Working…

07-nullstelle.tex

@@ -165,12 +165,12 @@ $ℂ$.
 \begin{proof}
   Wenn $f \equiv 0$ ist, dann ist alles klar.  Also nehmen wir im Folgenden an,
   dass $f$ \emph{nicht} die Nullfunktion ist.  Die Zahl $0 ∈ ℂ$ ist also eine
-  isolierte Nullstelle.  Schreibe dann $f(z) = z · g(z)$, wo $g ∈ 𝒪(Δ)$. Wir
+  isolierte Nullstelle.  Schreibe dann $f(z) = z · g(z)$, wo $g ∈ 𝒪(Δ)$.  Wir
   halten folgende Eigenschaften der Funktion $g$ fest.
   \begin{enumerate}
     \item\label{il:7-2-1-5} Für alle $z ∈ Δ$ gilt die Ungleichung $|g(z)| ≤ 1$.
       Dazu argumentieren wir mit Widerspruch und nehmen an, dass es ein $z_m ∈
-      Δ$ gibt mit $|f(z_m)| > |z_m|$.  Dann ist auch $|g(z_m)| > 1$. Wähle ein
+      Δ$ gibt mit $|f(z_m)| > |z_m|$.  Dann ist auch $|g(z_m)| > 1$.  Wähle ein
       $ε > 0$ so klein, dass $|g(z)| > 1 + ε$ gilt und beachte aber, dass für
       jede Zahl $z$ mit $|z| > \frac{1}{1+ε}$ die folgende Ungleichung gilt:
       \[

08-lokaleStruktur.tex

@@ -6,8 +6,8 @@
 Ich beginne mit einer Erinnerung.
 
 \begin{lem}\label{lem:8-0-1}%
-  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$.  Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Weiter sei ein Punkt $ρ ∈ U$ gegeben,
-  sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist. Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
+  sodass $f'(ρ) ≠ 0$ ist.  Dann gibt es eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊂ U$,
   sodass Folgendes gilt.
   \begin{enumerate}
   \item Das Bild $W := f(V) ⊂ ℂ$ ist offen.
@@ -16,12 +16,12 @@ Ich beginne mit einer Erinnerung.
   \end{enumerate}
 \end{lem}
 \begin{proof}
-  Das haben wir schon oft gemacht. Wir wissen, dass $f$ unendlich oft  komplex
+  Das haben wir schon oft gemacht.  Wir wissen, dass $f$ unendlich oft komplex
-  differenzierbar ist. Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$
+  differenzierbar ist.  Insbesondere ist $f'$ stetig und es gibt Umgebung von $ρ$
-  wo $f' ≠ 0$ ist. Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die
+  wo $f' ≠ 0$ ist.  Aus der Vorlesung „Analysis II“ kennen wir den Satz über die
-  lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) \subseteq U$,
+  lokale Umkehrbarkeit: es gibt eine offene Umgebung $V = V(ρ) ⊆ U$,
-  sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist. Außerdem gilt: für
+  sodass $W := f(V)$ offen und $f|_V: V → W$ bijektiv ist.  Außerdem gilt: für
-  jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$.  Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist  die
+  jedes $z ∈ V$ ist $f'(z) ≠ 0$.  Nach Proposition~\vref{prop:2-4-4} ist die
   Umkehrfunktion $(f|_V)^{-1}$ wieder holomorph.
 \end{proof}
 
@@ -30,74 +30,85 @@ dass jeder Punkt aus $ℂ^*$ eine Umgebung hat, auf der eine Wurzelfunktion
 existiert.
 
 \begin{satz}[Wurzeln holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-2}%
-  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$.  Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Angenommen, $f$ hat bei $ρ ∈ U$ eine
-  Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$. Dann gibt es eine Umgebung $V =
+  Nullstelle von Ordnung $n$, mit $1 ≤ n < ∞$.  Dann gibt es eine Umgebung $V =
-  V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ \sO(V)$ sodass folgendes gilt:
+  V(ρ) ⊂ U$ und eine Funktion $b ∈ 𝒪(V)$ sodass folgendes gilt:
   \begin{enumerate}
-  \item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$, und
+  \item Für jedes $z ∈ V$ gilt $f(z) = b(z)^n$.
-  \item die Bildmenge $W := b(V) ⊂ ℂ$ ist offen und $b: V → W$ ist biholomorph.
+
+  \item Die Bildmenge $W := b(V) ⊂ ℂ$ ist offen und $b: V → W$ ist biholomorph.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist. Falls $n = 1$,
+  Wir betrachten nur den Fall, dass $ρ ∈ ℂ$ der Nullpunkt ist.  Falls $n = 1$,
   dann zeigt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass wir $b := f$ setzen können.
 
-  Sei also $n > 1$. Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe
+  Sei also $n > 1$.  Wir haben schon gesehen: auf einer geeigneten Kreisscheibe
   $D$ um $ρ = 0$ gibt es eine Funktion $g$ mit $g(0) ≠ 0$, sodass auf ganz $D$
   die folgende Gleichung gilt:
   \[
     f(z) = z^n·g(z).
   \]
-  Insbesondere gibt es offene Umgebung $\Omega = \Omega(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf
+  Insbesondere gibt es offene Umgebung $Ω = Ω(g(0)) ⊂ ℂ$, sodass auf $Ω$ eine
-  $\Omega$ eine $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: \Omega →
+  $n$-te Wurzelfunktion existiert, also eine Funktion $r: Ω → ℂ^*$ sodass für
-  ℂ^*$ sodass für jedes $\omega \in \Omega$ die Gleichung $r(\omega)^n = \omega$
+  jedes $ω ∈ Ω$ die Gleichung $r(ω)^n = ω$ gilt. Setze dann $V := D ∩ g^{-1}(Ω)$
-  gilt.  
+  und definiere die Funktion
-  Setze dann $V := D \cap g^{-1}(\Omega)$ und definiere die Funktion
   \[
-    b : V \to \bC, \quad z \mapsto z·r(g(z)).
+    b : V → ℂ, \quad z ↦ z·r(g(z)).
   \]
   Rechne nach, dass $b$ die gewünschten Eigenschaften hat.
 \end{proof}
 
-Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass  lokal jede
+Als Konsequenz von Satz~\ref{satz:8-0-2} können wir sagen, dass lokal jede
-holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$. Der folgende Satz macht diese
+holomorphe Funktion aussieht wie $z ↦ z^n$.  Die folgende Notation und der
-Aussage präzise.
+folgende Satz machen diese Aussage präzise.
+
+\begin{definition}[Einbettungen]\label{def:8-0-2}%
+  Es sei $U \subseteq \bC$ offen und $f \in \mathcal{O}(U)$. Nenne $f$ eine
+  \emph{Einbettung von $U$ in $\bC$}\index{Einbettung}, wenn $f(U) \subseteq
+  \bC$ offen und die eingeschränkte Abbildung $f: U \to f(U)$ biholomorph ist.  
+\end{definition}
+
+\begin{notation}[Einbettungen]
+  In der Situation von Definition~\ref{def:8-0-2} schreibt man anstelle der
+  üblichen Notation $f: U \to \bC$ oft $f: U \hookrightarrow \bC$, um darauf
+  hinzuweisen, dass $f$ eine Einbettung ist, 
+\end{notation}
 
 \begin{satz}[Lokale Struktur holomorpher Funktionen]\label{satz:8-0-3}%
-  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ \sO(U)$. Weiter sei $ρ ∈ U$ ein Punkt, sodass
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Weiter sei $ρ ∈ U$ ein Punkt, sodass
-  $f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist. Dann gibt es Einbettungen der
+  $f$ in der Nähe von $ρ$ nicht konstant ist.  Dann gibt es eine Zahl $n ∈ ℕ$
-  Einheitskreisscheibe,
+  und Einbettungen der Einheitskreisscheibe,
   \[
-    u, v: Δ → ℂ,
+    u, v: Δ \hookrightarrow ℂ,
   \]
   sodass die folgenden Eigenschaften gelten
   \[
-    u(\Delta) \subseteq U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ).
+    u(Δ) ⊆ U, \quad u(0) = ρ, \quad v(0) = f(ρ)
   \]
-  Zusätzlich gilt: Es gibt eine Zahl $n ∈ ℕ$, sodass das folgende Diagramm
+  und das folgende Diagramm kommutiert
-  kommutiert
   \[
     \begin{tikzcd}
-      Δ \ar[r, "u"] \ar[d, "z \mapsto z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\
+      Δ \ar[r, hook, "u"] \ar[d, "z ↦ z^n"'] & U \ar[d, "f"] \\
-      Δ \ar[r, "v"'] & ℂ.
+      Δ \ar[r, hook, "v"'] & ℂ.
     \end{tikzcd}
   \]
 \end{satz}
 \begin{proof}
-  Wir betrachten die Funktion $z \mapsto f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine
+  Wir betrachten die Funktion $z ↦ f(z) - ρ$, die am Punkt $ρ$ eine Nullstelle
-  Nullstelle hat. Sei $1 \leq n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei
+  hat.  Sei $1 ≤ n < ∞$ die Nullstellenordnung dieser Funktion bei $p$.  Nach
-  $p$. Nach Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt
+  Satz~\ref{satz:8-0-2} über die Wurzeln holomorpher Funktionen gibt es eine
-  es eine Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung
+  Umgebung $V = V(ρ)$ und eine Einbettung
   \[
     b: V → ℂ
   \]
   mit Bildmenge $W$, sodass für jedes $z ∈ V$ gilt: $f(z) - ρ = b(z)^n$.
 
   Die Menge $W$ ist eine offene Umgebung der $0$.  Wir können daher ein Skalar
-  $λ ∈ ℝ^+$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den
+  $λ ∈ ℝ⁺$ wählen, sodass die skalierte Menge $λ·W = \{λ·w \::\: w ∈ W\}$ den
-  Einheitskreis $Δ$ enthält. Betrachte die Abbildung
+  Einheitskreis $Δ$ enthält.  Betrachte die Abbildung
   \[
-    u : \Delta \to \bC, \quad z \mapsto \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1}
+    u : Δ → ℂ, \quad z ↦ \bigl(λ·b(z)\bigr)^{-1}
   \]
   und setze
   \[
@@ -115,28 +126,28 @@ Aussage präzise.
     v: Δ → ℂ, \quad z ↦ \frac{z}{\sqrt[n]{λ}} + ρ.
   \]
   Nachdem wir die Kreisscheibe $D$ um $0$ gegebenenfalls verkleinern, können wir
-  annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist. Dann gilt für jedes $z ∈ D$:
+  annehmen, dass $g(D) ⊂ \widetilde{W}$ ist.  Dann gilt für jedes $z ∈ D$:
   \[
     f(z) = z^n·r(g(z))^n = \left[z·r(g(z))\right]^n.
   \]
   Jetzt ist klar: $\left[z·r(g(z))\right](ρ)$ ist eine Wurzel von $g(ρ) ≠ 0$,
-  also selbst ungleich 0. Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass  es eine
+  also selbst ungleich 0.  Deshalb sagt Lemma~\ref{lem:8-0-1}, dass es eine
   Umgebung $V ⊂ Δ$ gibt, sodass $b = z·r(g(z))$ biholomorph auf die Bildmenge
   ist.
 \end{proof}
 
 Satz~\ref{satz:8-0-3} erlaubt, jede (nicht-konstante) holomorphe Funktion lokal
-mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen. Zum Beispiel ist die
+mit der holomorphen Funktion $z ↦ z^n$ zu vergleichen.  Zum Beispiel ist die
-Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen). Also erhalten
+Abbildung $z ↦ z^n$ offen (= Bilder offener Mengen sind offen).  Also erhalten
 wir:
 
 \begin{satz}[Satz von der Gebietstreue]\label{satz:gebietstreue}%
-  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ \sO(U)$ nicht konstant.
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend, und sei $f ∈ 𝒪(U)$ nicht konstant.
   Dann ist $f(U) ⊂ ℂ$ offen und zusammenhängend.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Nach dem Satz über die lokale Struktur ist $f(U)$ offen, weil die Abbildung
-  $f$ offen ist. Aus der Vorlesung  „Analysis II“ wissen wir: Bilder
+  $f$ offen ist.  Aus der Vorlesung „Analysis II“ wissen wir: Bilder
   zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen sind zusammenhängend.
 \end{proof}
 
@@ -149,17 +160,18 @@ wir:
 
 Als Beispielanwendung erhalten wir einen neuen Beweis des Maximumsprinzips.
 
-\begin{satz}[Maximumsprinzip]
+\begin{satz}[Maximumprinzip]
-  Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet und $f ∈ \sO(U)$ sei eine nicht-konstante, holomorphe
+  \index{Maximumprinzip}Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet und $f ∈ 𝒪(U)$ sei eine
-  Funktion. Dann hat $|f|$ kein lokales Maximum in $U$.
+  nicht-konstante, holomorphe Funktion.  Dann hat $|f|$ kein lokales Maximum in
+  $U$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   Wir argumentieren mit Widerspruch und nehmen an, es gebe ein $ρ ∈ U$ sodass
-  $|f|$ bei $ρ$ ein lokales Maximum annimmt. Nach Verkleinern von $U$ können wir
+  $|f|$ bei $ρ$ ein lokales Maximum annimmt.  Nach Verkleinern von $U$ können
-  ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $|f|$ bei $ρ$ ein globales
+  wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $|f|$ bei $ρ$ ein
-  Maximum annimmt. Aber: $f(U)$ ist offen, also existiert ein $ε > 0$, sodass
+  globales Maximum annimmt.  Aber: $f(U)$ ist offen, also existiert ein $ε > 0$,
-  $B_ε(f(ρ)) ⊂ f(U)$ ist. Also liegen in $f(U)$ neben $f(ρ)$ noch Punkten mit
+  sodass $B_ε(f(ρ)) ⊂ f(U)$ ist.  Also liegen in $f(U)$ neben $f(ρ)$ noch
-  größerem Betrag.
+  Punkten mit größerem Betrag.
 \end{proof}
 
 % !TEX root = Funktionentheorie

09-singularities.tex

@@ -5,54 +5,53 @@
 
 \section{Isolierte Singularitäten}
 
-Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei
+Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei $ρ
-$ρ ∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus ρ)$.
+∈ U$ ein Punkt.  Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$. Was kann ich
-Was kann ich über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?
+über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?
 
 \begin{bsp}
   In diesen Beispielen ist $U = ℂ$ und $ρ = 0$.
   \begin{enumerate}
   \item Die Funktion $f(z) = z$ ist die Einschränkung einer holomorphe Funktion,
-    die bereits auf ganz $U$ definiert ist. Man sagt in diesem Fall, die
+    die bereits auf ganz $U$ definiert ist.  Man sagt in diesem Fall, die
-    \emph{Singularität von $f$  bei $ρ$ ist hebbar}.
+    \emph{Singularität von $f$ bei $ρ$ ist hebbar}.
 
   \item Die Funktion $f(z) = 1/z$ ist keinesfalls die Einschränkung einer
-    holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert. Tatsächlich ist $f$
+    holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert.  Tatsächlich ist
-    ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$
+    $f$ ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$
-    definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ^+$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0)
+    definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ⁺$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0)
-    \setminus 0$ unbeschränkt). Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn
+    ∖ 0$ unbeschränkt).  Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn $z·f(z)$
-    $z·f(z)$ ist holomorph. Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine
+    ist holomorph.  Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine
     Polstelle}.
 
   \item Im Vergleich zu den vorhergehenden Funktionen ist $f(z) = \exp(1/z)$
-    echt übel. Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der
+    echt übel.  Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der
     Nähe von $0$ betragsmäßig unbeschränkt (dazu reicht es, reelle $z$ zu
-    betrachten). So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}.
+    betrachten).  So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}.
   \end{enumerate}
 \end{bsp}
 
 \begin{definition}[Funktionen mit isolierten Singularitäten]\label{def:9-1-1}%
-  Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen.  Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
   Singularitäten}\index{holomorph!mit isolieren Singularitäten} ist eine
-  holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge
+  holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge ist.
-  ist.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Typen mit isolierten Singularitäten]
   In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei ein Punkt $ρ ∈ T$.
   \begin{enumerate}
-  \item Wenn es eine Funktion $F ∈ \sO( (U \setminus T) \cup \{ρ\})$, die auch 
+  \item Wenn es eine Funktion $F ∈ 𝒪( (U ∖ T) ∪ \{ρ\})$, die auch $U ∖ T$ mit
-    $U \setminus T$ mit $f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei
+    $f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{hebbare
-    $ρ$ eine \emph{hebbare Singularität}\index{hebbare Singularität} hat.
+    Singularität}\index{hebbare Singularität} hat.
 
   \item Wenn $f$ hat bei $ρ$ keine hebbare Singularität, es aber eine Zahl $n ∈
     ℕ$ gibt, sodass die Funktion $(z - ρ)^n·f(z)$ eine hebbare Singularität hat,
-    dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle}
+    dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle} hat.
-    hat. Die kleinste Zahl $n$ heisst
+    Die kleinste Zahl $n$ heißt
     \emph{Polstellenordnung}\index{Polstellenordnung} von $f$ am Punkt $ρ$.
 
   \item Wenn die Funktion $f$ bei $ρ$ weder eine hebbare Singularität noch eine
-  Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{wesentliche
+  Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{wesentliche
   Singularität}\index{wesentliche Singularität} hat.
   \end{enumerate}
 \end{definition}