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09-singularities.tex

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 \section{Isolierte Singularitäten}
 
-Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei
-$ρ ∈ U$ ein Punkt. Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus ρ)$.
-Was kann ich über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?
+Wir interessieren uns für die folgende Situation: Sei $U ⊂ ℂ$ ein Gebiet, sei $ρ
+∈ U$ ein Punkt.  Gegeben eine holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ ρ)$. Was kann ich
+über das Verhalten von $f$ bei $ρ$ sagen?
 
 \begin{bsp}
   In diesen Beispielen ist $U = ℂ$ und $ρ = 0$.
   \begin{enumerate}
   \item Die Funktion $f(z) = z$ ist die Einschränkung einer holomorphe Funktion,
-    die bereits auf ganz $U$ definiert ist. Man sagt in diesem Fall, die
-    \emph{Singularität von $f$  bei $ρ$ ist hebbar}.
+    die bereits auf ganz $U$ definiert ist.  Man sagt in diesem Fall, die
+    \emph{Singularität von $f$ bei $ρ$ ist hebbar}.
 
   \item Die Funktion $f(z) = 1/z$ ist keinesfalls die Einschränkung einer
-    holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert. Tatsächlich ist $f$
-    ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$
-    definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ^+$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0)
-    \setminus 0$ unbeschränkt). Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn
-    $z·f(z)$ ist holomorph. Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine
+    holomorphe Funktion, die bereits auf ganz $U$ definiert.  Tatsächlich ist
+    $f$ ist nicht einmal Einschränkung einer stetigen Funktion, die auf ganz $ℂ$
+    definiert ist (denn für jedes $ε ∈ ℝ⁺$ ist die Funktion $|1/z|$ auf $B_ε(0)
+    ∖ 0$ unbeschränkt).  Aber: ganz schlimm ist $f$ auch nicht, denn $z·f(z)$
+    ist holomorph.  Man sagt, die \emph{Funktion $f$ hat bei $0$ eine
     Polstelle}.
 
   \item Im Vergleich zu den vorhergehenden Funktionen ist $f(z) = \exp(1/z)$
-    echt übel. Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der
+    echt übel.  Man rechne nach: für jedes $n ∈ ℕ$ ist $z^n·\exp(1/z)$ in der
     Nähe von $0$ betragsmäßig unbeschränkt (dazu reicht es, reelle $z$ zu
-    betrachten). So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}.
+    betrachten).  So etwas nennen wir eine \emph{wesentliche Singularität}.
   \end{enumerate}
 \end{bsp}
 
 \begin{definition}[Funktionen mit isolierten Singularitäten]\label{def:9-1-1}%
-  Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen.  Eine \emph{holomorphe Funktion mit isolierten
   Singularitäten}\index{holomorph!mit isolieren Singularitäten} ist eine
-  holomorphe Funktion $f ∈ \sO(U \setminus T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge
-  ist.
+  holomorphe Funktion $f ∈ 𝒪(U ∖ T)$ wobei $T ⊂ U$ eine diskrete Menge ist.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Typen mit isolierten Singularitäten]
   In der Situation von Definition~\ref{def:9-1-1} sei ein Punkt $ρ ∈ T$.
   \begin{enumerate}
-  \item Wenn es eine Funktion $F ∈ \sO( (U \setminus T) \cup \{ρ\})$, die auch 
-    $U \setminus T$ mit $f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei
-    $ρ$ eine \emph{hebbare Singularität}\index{hebbare Singularität} hat.
+  \item Wenn es eine Funktion $F ∈ 𝒪( (U ∖ T) ∪ \{ρ\})$, die auch $U ∖ T$ mit
+    $f$ übereinstimmt, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{hebbare
+    Singularität}\index{hebbare Singularität} hat.
 
   \item Wenn $f$ hat bei $ρ$ keine hebbare Singularität, es aber eine Zahl $n ∈
     ℕ$ gibt, sodass die Funktion $(z - ρ)^n·f(z)$ eine hebbare Singularität hat,
-    dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle}
-    hat. Die kleinste Zahl $n$ heisst
+    dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{Polstelle}\index{Polstelle} hat.
+    Die kleinste Zahl $n$ heißt
     \emph{Polstellenordnung}\index{Polstellenordnung} von $f$ am Punkt $ρ$.
 
   \item Wenn die Funktion $f$ bei $ρ$ weder eine hebbare Singularität noch eine
-  Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $\rho$ eine \emph{wesentliche
+  Polstelle hat, dann sagt man, dass $f$ bei $ρ$ eine \emph{wesentliche
   Singularität}\index{wesentliche Singularität} hat.
   \end{enumerate}
 \end{definition}