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@@ -78,3 +78,12 @@ Baptiste
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 Funktionenfolgen
+Montel
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+Aveyron
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+Beschränktheitssatz

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@@ -43,3 +43,5 @@
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGenauer: Wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Stammfunktion von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist, dann sind alle Lösungen der Differenzialgleichung auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben durch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qconst \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf Seite pf:14-3-2.\\E$"}
 {"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf Seite pf:14-3-2.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qvon \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qkonvergiert bei allen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q!\\E$"}

15-RiemannMapping.tex

@@ -4,14 +4,13 @@
 \chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz}
 
 \begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}%
-  \index{Riemannscher Abbildungssatz}%
-  Es sei $U \subsetneq \bC$ offen, zusammenhängend und einfach zusammenhängend.
-  Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
+  \index{Riemannscher Abbildungssatz}Es sei $U ⊊ ℂ$ offen, zusammenhängend und
+  einfach zusammenhängend. Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
 \end{satz}
 
 \begin{bem}
-  Die Annahme $U \subsetneq \mathbb{C}$ ist wichtig, denn $U = \mathbb{C}$ ist
-  nicht biholomorph zu $B_1(0)$.
+  Die Annahme $U ⊊ \bC$ ist wichtig, denn $U = \bC$ ist nicht biholomorph zu
+  $B_1(0)$.
 \end{bem}
 
 
@@ -23,20 +22,21 @@ gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen. In der Literatur findet man statt
 beschränkt“.
 
 \begin{defn}[Gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen]\label{def:15-0-3}%
-  Sei $U \subset \bC$ offen. Eine Funktionenfolge $f_n : U \to \bC$ ist
-  \emph{gleichmäßig beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge},
-  wenn eine Zahl $R \in \bR$ existiert, sodass für jedes $p \in U$ und jedes $n
-  \in \bN$ die Ungleichung $|f_n(p)| < R$ gilt.  Die Funktionenfolge ist
-  \emph{lokal gleichmäßig beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte
-  Funktionenfolge}, wenn jeder Punkt $p \in U$ eine Umgebung $V = V(p) \subset
-  U$ hat, sodass $f_n|_V : V \to \bC$ gleichmäßig beschränkt ist.
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen.  Eine Funktionenfolge $f_n : U → ℂ$ ist \emph{gleichmäßig
+  beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn eine Zahl $R
+  ∈ ℝ$ existiert, sodass für jedes $p ∈ U$ und jedes $n ∈ ℕ$ die Ungleichung
+  $|f_n(p)| < R$ gilt.  Die Funktionenfolge ist \emph{lokal gleichmäßig
+  beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn jeder
+  Punkt $p ∈ U$ eine Umgebung $V = V(p) ⊂ U$ hat, sodass $f_n|_V : V → ℂ$
+  gleichmäßig beschränkt ist.
 \end{defn}
 
 \begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April
-    1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}%
-  Es sei $U \subset \bC$ offen und $f_n \in \sO(U)$ eine lokal gleichmäßig
-  beschränkte Folge von holomorphen Funktionen.  Dann gibt es eine Teilfolge,
-  die lokal gleichmäßig konvergiert.
+    1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer
+    Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine lokal gleichmäßig beschränkte
+  Folge von holomorphen Funktionen.  Dann gibt es eine Teilfolge, die lokal
+  gleichmäßig konvergiert.
 \end{satz}
 
 \begin{erinnerung}[Satz von Heine\footnote{Heinrich Eduard Heine (* 18.~März
@@ -47,42 +47,42 @@ beschränkt“.
     Mathematiker und Politiker.}]%
   Es sei $a_n$ eine beschränkte Folge von komplexen Zahlen.  Dann gibt es eine
   konvergente Teilfolge.  Im Kontext von Satz~\ref{satz:15-0-4} bedeutet das:
-  wenn ein Punkt $p \in U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1},
-  f_{n_2}, \ldots$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert.
+  wenn ein Punkt $p ∈ U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1},
+  f_{n_2}, …$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert.
 \end{erinnerung}
 
 \begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 1 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-4}%
   Wir wissen, dass es eine abzählbare Basis der Topologie gibt.  Insbesondere
-  gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, \ldots$ von $U$.
+  gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, …$ von $U$.
   \begin{itemize}
-    \item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, \ldots$, die bei
-      $p_1$ konvergiert.
+    \item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$, die bei $p_1$
+      konvergiert.
 
-    \item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, \ldots$,
-      die bei $p_1$ und $p_2$ konvergiert.
+    \item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, …$, die bei
+      $p_1$ und $p_2$ konvergiert.
 
     \item …
   \end{itemize}
-  Am Ende gilt: Die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, \ldots$ konvergiert bei
+  Am Ende gilt: die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$ konvergiert bei
   allen $p_k$!
 \end{vorueberlegung}
 
 \begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 2 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-5}%
-  Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} \subset U$ gegeben ist, dann gilt
-  für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_r(p)$ nach der
-  Integralformel für Ableitungen die Gleichung
+  Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben ist, dann gilt für jede
+  Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_r(p)$ nach der Integralformel für
+  Ableitungen die Gleichung
   \[
-    f_n'(w) = \frac{1}{2\pi} \int_{\partial B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)^2}\,dz.
+    f_n'(w) = \frac{1}{2π} \int_{∂ B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)²}\,dz.
   \]
   Beachte:
   \begin{itemize}
     \item Die Funktionswerte $f_n(z)$ ist per Annahme betragsmäßig beschränkt.
 
-    \item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)^2}$ ebenfalls
+    \item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)²}$ ebenfalls
       betragsmäßig beschränkt.
   \end{itemize}
   Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt.  Genauer: es
-  existiert $M \in \bR$, sodass für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in
+  existiert $M ∈ ℝ$, sodass für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈
   B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
   \[
     |f_n'(w)| < M
@@ -90,29 +90,26 @@ beschränkt“.
   gilt.
 \end{vorueberlegung}
 
-Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssätz sing nun eine direkte
+Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssatz sing nun eine direkte
 Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}.
 
 \begin{konsequenz}[Mittelwertsatz]
   In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei eine Kreisscheibe
-  $\overline{B_r(p)} \subset U$ gegeben. Dann existiert eine Zahl $M \in \bR$,
-  sodass für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_{r/2}(p)$ die
-  Ungleichung
+  $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben.  Dann existiert eine Zahl $M ∈ ℝ$, sodass für
+  jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
   \[
-    |f_n(p) - f_n(w)| < M \cdot |p-w|
+    |f_n(p) - f_n(w)| < M · |p-w|
   \]
   gilt.  \qed
 \end{konsequenz}
 
 \begin{konsequenz}[Beschränktheitssatz]\label{kon:15-0-6}%
-  In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p \in U$ und eine
-  Zahl $\varepsilon > 0$ gegeben. Dann existiert eine positive Zahl $\delta_{p,
-  \varepsilon} > 0$, sodass die Kreisscheibe $B_{\delta_{p, \varepsilon}}(p)$
-  ganz in $U$ liegt und  
-  für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_{\delta_{p,
-  \varepsilon}}(p)$ die Ungleichung
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p ∈ U$ und eine
+  Zahl $ε > 0$ gegeben.  Dann existiert eine positive Zahl $δ_{p, ε} > 0$,
+  sodass die Kreisscheibe $B_{δ_{p, ε}}(p)$ ganz in $U$ liegt und für jede Zahl
+  $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{δ_{p, ε}}(p)$ die Ungleichung
   \[
-    |f_n(p) - f_n(w)| < \varepsilon/3
+    |f_n(p) - f_n(w)| < ε/3
   \]
   gilt.  \qed
 \end{konsequenz}
@@ -120,37 +117,35 @@ Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}.
 \begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:15-0-4} von Montel]
   Nach Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-4} können wir die Folge $f_n$ (falls nötig)
   durch eine Teilfolge ersetzen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit
-  annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, \ldots \in U$
-  existiert, sodass $f_n(p_k)$ konvergiert.
+  annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, … ∈ U$ existiert,
+  sodass $f_n(p_k)$ konvergiert.
 
   Wir werden zeigen, dass die Folge $f_n$ dann bereits lokal gleichmäßig
-  konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K \subset U$, so gibt es für jedes
-  $\varepsilon > 0$ einen Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p \in
-  K$ die Ungleichung
+  konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K ⊂ U$, so gibt es für jedes $ε > 0$ einen
+  Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p ∈ K$ die Ungleichung
   \[
-    |f_n(p) - f_m(p)| < \varepsilon
+    |f_n(p) - f_m(p)| < ε
   \]
-  gilt. Seien also $K$ und $\varepsilon$ gegeben.
+  gilt.  Seien also $K$ und $ε$ gegeben.
 
-  Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{\delta(p_i, \varepsilon/3)}(p_i)$ aus
-  Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} (``Beschränktheitssatz'') bilden eine offene
+  Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{δ(p_i, ε/3)}(p_i)$ aus
+  Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} („Beschränktheitssatz“) bilden eine offene
   Überdeckung von $U$.  Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser
   Kreisscheiben die Menge $K$.  Nach Umnummerierung seien dies
   \[
-    B_{\delta_{p_1, \varepsilon/3}}(p_1), \ldots, B_{\delta_{p_\ell,
-      \varepsilon/3}}(p_\ell).
+    B_{δ_{p_1, ε/3}}(p_1), …, B_{δ_{p_{ℓ}, ε/3}}(p_{ℓ}).
   \]
-  Jetzt kann ich nach Annahme $N \in \bN$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden Index $1 \leq i \leq \ell$ die Ungleichung
+  Jetzt kann ich nach Annahme $N ∈ ℕ$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden
+  Index $1 ≤ i ≤ ℓ$ die Ungleichung
   \[
-    |f_n(p_i) - f_m(p_i)| < \varepsilon/3.
+    |f_n(p_i) - f_m(p_i)| < ε/3
   \]
-  gilt.  Gegeben irgendeinen $p \in K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 \leq i \leq
-  \ell$, sodass $p \in B_{\delta_{p_i, \varepsilon/3}}(p_i)$ ist und für alls $n, m >
-  N$ gilt:
+  gilt.  Gegeben irgendeinen $p ∈ K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 ≤ i ≤ ℓ$,
+  sodass $p ∈ B_{δ_{p_i, ε/3}}(p_i)$ ist und für alle $n, m > N$ gilt:
   \begin{align*}
     |f_n(p_i) - f_m(p)| & = |f_n(p) - f_n(p_i) + f_n(p_i) - f_m(p_i) + f_m(p_i) - f_m(p)| \\
-    & \leq |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\
-    & \leq \varepsilon.
+    & ≤ |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\
+    & ≤ ε.
   \end{align*}
   Damit ist der Satz bewiesen.
 \end{proof}