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Stefan Kebekus
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@@ -78,3 +78,12 @@ Baptiste
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Auxerre
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Beaumont-en-Auge
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Funktionenfolgen
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Montel
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Aristide
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Félix
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Saint-Affrique
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Aveyron
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Émile
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Midi-Pyrénées
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Borel
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Beschränktheitssatz
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2
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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@@ -43,3 +43,5 @@
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGenauer: Wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Stammfunktion von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist, dann sind alle Lösungen der Differenzialgleichung auf \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben durch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qconst \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf Seite pf:14-3-2.\\E$"}
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{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\QWir beweisen Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q auf Seite pf:14-3-2.\\E$"}
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||||
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qvon \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qkonvergiert bei allen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q!\\E$"}
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@@ -70,7 +70,7 @@ Mittelwert-Eigenschaft per Definition erfüllen.
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\section{Konstruktion von harmonischen Funktionen}
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\begin{konstruktion}[Funktionen vom Rand der Kreisscheibe in das Innere Fortsetzen]\label{konst:14-2-1}%
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Es sei $S¹ ⊂ ℂ$ der Einheitskreis und $h : S¹ → ℝ$ sei stetig. Dann betrachte
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||||
Es sei $S¹ ⊂ ℂ$ der Einheitskreis und $h : S¹ → ℝ$ sei stetig. Dann betrachte
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\[
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\bar{h} : \overline{B_1(0)} → ℝ,
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\quad
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@@ -186,7 +186,7 @@ Wir beweisen Satz~\ref{satz:14-3-2} auf Seite~\vpageref{pf:14-3-2}.
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\begin{notation}[Laplace\footnote{Pierre-Simon Laplace, seit 1817 Marquis de
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Laplace (* 23.~März 1749 in Beaumont-en-Auge in der Normandie; † 5.~März
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1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, Physiker und Astronom. Er
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||||
1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, Physiker und Astronom. Er
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beschäftigte sich unter anderem mit der Wahrscheinlichkeitstheorie und mit
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Differenzialgleichungen.}-Operator]%
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Statt $\left(\frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}\right) f$ schreibt man oft $Δf$.
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@@ -4,39 +4,39 @@
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\chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz}
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\begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}%
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\index{Riemannscher Abbildungssatz}%
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Es sei $U \subsetneq \bC$ offen, zusammenhängend und einfach zusammenhängend.
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Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
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\index{Riemannscher Abbildungssatz}Es sei $U ⊊ ℂ$ offen, zusammenhängend und
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einfach zusammenhängend. Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
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\end{satz}
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\begin{bem}
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Die Annahme $U \subsetneq \mathbb{C}$ ist wichtig, denn $U = \mathbb{C}$ ist
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nicht biholomorph zu $B_1(0)$.
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||||
Die Annahme $U ⊊ \bC$ ist wichtig, denn $U = \bC$ ist nicht biholomorph zu
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$B_1(0)$.
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\end{bem}
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\section{Der Satz von Montel}
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Ein wesentlicher technisches Hilfsmittel im Beweis ist der folgende Satz über
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gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen. In der Literatur findet man statt
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gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen. In der Literatur findet man statt
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„gleichmäßig beschränkt“ manchmal auch den Begriff „betragsmäßig simultan
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beschränkt“.
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\begin{defn}[Gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen]\label{def:15-0-3}%
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Sei $U \subset \bC$ offen. Eine Funktionenfolge $f_n : U \to \bC$ ist
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||||
\emph{gleichmäßig beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge},
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||||
wenn eine Zahl $R \in \bR$ existiert, sodass für jedes $p \in U$ und jedes $n
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||||
\in \bN$ die Ungleichung $|f_n(p)| < R$ gilt. Die Funktionenfolge ist
|
||||
\emph{lokal gleichmäßig beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte
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||||
Funktionenfolge}, wenn jeder Punkt $p \in U$ eine Umgebung $V = V(p) \subset
|
||||
U$ hat, sodass $f_n|_V : V \to \bC$ gleichmäßig beschränkt ist.
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||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine Funktionenfolge $f_n : U → ℂ$ ist \emph{gleichmäßig
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||||
beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn eine Zahl $R
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||||
∈ ℝ$ existiert, sodass für jedes $p ∈ U$ und jedes $n ∈ ℕ$ die Ungleichung
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||||
$|f_n(p)| < R$ gilt. Die Funktionenfolge ist \emph{lokal gleichmäßig
|
||||
beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn jeder
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||||
Punkt $p ∈ U$ eine Umgebung $V = V(p) ⊂ U$ hat, sodass $f_n|_V : V → ℂ$
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||||
gleichmäßig beschränkt ist.
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||||
\end{defn}
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||||
\begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April
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||||
1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}%
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||||
Es sei $U \subset \bC$ offen und $f_n \in \sO(U)$ eine lokal gleichmäßig
|
||||
beschränkte Folge von holomorphen Funktionen. Dann gibt es eine Teilfolge,
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||||
die lokal gleichmäßig konvergiert.
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||||
\begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April
|
||||
1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer
|
||||
Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}%
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine lokal gleichmäßig beschränkte
|
||||
Folge von holomorphen Funktionen. Dann gibt es eine Teilfolge, die lokal
|
||||
gleichmäßig konvergiert.
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||||
\end{satz}
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\begin{erinnerung}[Satz von Heine\footnote{Heinrich Eduard Heine (* 18.~März
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@@ -44,45 +44,45 @@ beschränkt“.
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||||
Mathematiker und Hochschullehrer.}--Borel\footnote{Félix Édouard Justin
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||||
Émile Borel (* 7.~Januar 1871 in Saint-Affrique, Département Aveyron, Region
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||||
Midi-Pyrénées; † 3.~Februar 1956 in Paris) war ein französischer
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||||
Mathematiker und Politiker. }]%
|
||||
Mathematiker und Politiker.}]%
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||||
Es sei $a_n$ eine beschränkte Folge von komplexen Zahlen. Dann gibt es eine
|
||||
konvergente Teilfolge. Im Kontext von Satz~\ref{satz:15-0-4} bedeutet das:
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||||
wenn ein Punkt $p \in U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1},
|
||||
f_{n_2}, \ldots$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert.
|
||||
wenn ein Punkt $p ∈ U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1},
|
||||
f_{n_2}, …$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert.
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
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||||
\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 1 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-4}%
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||||
Wir wissen, dass es eine abzählbare Basis der Topologie gibt. Insbesondere
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||||
gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, \ldots$ von $U$.
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||||
gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, …$ von $U$.
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, \ldots$, die bei
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$p_1$ konvergiert.
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||||
\item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$, die bei $p_1$
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konvergiert.
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||||
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||||
\item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, \ldots$,
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||||
die bei $p_1$ und $p_2$ konvergiert.
|
||||
\item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, …$, die bei
|
||||
$p_1$ und $p_2$ konvergiert.
|
||||
|
||||
\item …
|
||||
\end{itemize}
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||||
Am Ende gilt: Die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, \ldots$ konvergiert bei
|
||||
Am Ende gilt: die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$ konvergiert bei
|
||||
allen $p_k$!
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||||
\end{vorueberlegung}
|
||||
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||||
\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 2 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-5}%
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||||
Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} \subset U$ gegeben ist, dann gilt
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||||
für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_r(p)$ nach der
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||||
Integralformel für Ableitungen die Gleichung
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||||
Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben ist, dann gilt für jede
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||||
Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_r(p)$ nach der Integralformel für
|
||||
Ableitungen die Gleichung
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||||
\[
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||||
f_n'(w) = \frac{1}{2\pi} \int_{\partial B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)^2}\,dz.
|
||||
f_n'(w) = \frac{1}{2π} \int_{∂ B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)²}\,dz.
|
||||
\]
|
||||
Beachte:
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||||
\begin{itemize}
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||||
\item Die Funktionswerte $f_n(z)$ ist per Annahme betragsmäßig beschränkt.
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||||
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||||
\item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)^2}$ ebenfalls
|
||||
\item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)²}$ ebenfalls
|
||||
betragsmäßig beschränkt.
|
||||
\end{itemize}
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||||
Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt. Genauer: es
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||||
existiert $M \in \bR$, sodass für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in
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||||
Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt. Genauer: es
|
||||
existiert $M ∈ ℝ$, sodass für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈
|
||||
B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
|
||||
\[
|
||||
|f_n'(w)| < M
|
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@@ -90,67 +90,62 @@ beschränkt“.
|
||||
gilt.
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||||
\end{vorueberlegung}
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||||
Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssätz sing nun eine direkte
|
||||
Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssatz sing nun eine direkte
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Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}.
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||||
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||||
\begin{konsequenz}[Mittelwertsatz]
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||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei eine Kreisscheibe
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||||
$\overline{B_r(p)} \subset U$ gegeben. Dann existiert eine Zahl $M \in \bR$,
|
||||
sodass für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_{r/2}(p)$ die
|
||||
Ungleichung
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||||
$\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben. Dann existiert eine Zahl $M ∈ ℝ$, sodass für
|
||||
jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
|
||||
\[
|
||||
|f_n(p) - f_n(w)| < M \cdot |p-w|
|
||||
|f_n(p) - f_n(w)| < M · |p-w|
|
||||
\]
|
||||
gilt. \qed
|
||||
gilt. \qed
|
||||
\end{konsequenz}
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||||
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||||
\begin{konsequenz}[Beschränktheitssatz]\label{kon:15-0-6}%
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||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p \in U$ und eine
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Zahl $\varepsilon > 0$ gegeben. Dann existiert eine positive Zahl $\delta_{p,
|
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\varepsilon} > 0$, sodass die Kreisscheibe $B_{\delta_{p, \varepsilon}}(p)$
|
||||
ganz in $U$ liegt und
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||||
für jede Zahl $n \in \bN$ und jeden Punkt $w \in B_{\delta_{p,
|
||||
\varepsilon}}(p)$ die Ungleichung
|
||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p ∈ U$ und eine
|
||||
Zahl $ε > 0$ gegeben. Dann existiert eine positive Zahl $δ_{p, ε} > 0$,
|
||||
sodass die Kreisscheibe $B_{δ_{p, ε}}(p)$ ganz in $U$ liegt und für jede Zahl
|
||||
$n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{δ_{p, ε}}(p)$ die Ungleichung
|
||||
\[
|
||||
|f_n(p) - f_n(w)| < \varepsilon/3
|
||||
|f_n(p) - f_n(w)| < ε/3
|
||||
\]
|
||||
gilt. \qed
|
||||
gilt. \qed
|
||||
\end{konsequenz}
|
||||
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||||
\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:15-0-4} von Montel]
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Nach Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-4} können wir die Folge $f_n$ (falls nötig)
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durch eine Teilfolge ersetzen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit
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annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, \ldots \in U$
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||||
existiert, sodass $f_n(p_k)$ konvergiert.
|
||||
annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, … ∈ U$ existiert,
|
||||
sodass $f_n(p_k)$ konvergiert.
|
||||
|
||||
Wir werden zeigen, dass die Folge $f_n$ dann bereits lokal gleichmäßig
|
||||
konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K \subset U$, so gibt es für jedes
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$\varepsilon > 0$ einen Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p \in
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||||
K$ die Ungleichung
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||||
konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K ⊂ U$, so gibt es für jedes $ε > 0$ einen
|
||||
Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p ∈ K$ die Ungleichung
|
||||
\[
|
||||
|f_n(p) - f_m(p)| < \varepsilon
|
||||
|f_n(p) - f_m(p)| < ε
|
||||
\]
|
||||
gilt. Seien also $K$ und $\varepsilon$ gegeben.
|
||||
gilt. Seien also $K$ und $ε$ gegeben.
|
||||
|
||||
Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{\delta(p_i, \varepsilon/3)}(p_i)$ aus
|
||||
Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} (``Beschränktheitssatz'') bilden eine offene
|
||||
Überdeckung von $U$. Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser
|
||||
Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{δ(p_i, ε/3)}(p_i)$ aus
|
||||
Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} („Beschränktheitssatz“) bilden eine offene
|
||||
Überdeckung von $U$. Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser
|
||||
Kreisscheiben die Menge $K$. Nach Umnummerierung seien dies
|
||||
\[
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||||
B_{\delta_{p_1, \varepsilon/3}}(p_1), \ldots, B_{\delta_{p_\ell,
|
||||
\varepsilon/3}}(p_\ell).
|
||||
B_{δ_{p_1, ε/3}}(p_1), …, B_{δ_{p_{ℓ}, ε/3}}(p_{ℓ}).
|
||||
\]
|
||||
Jetzt kann ich nach Annahme $N \in \bN$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden Index $1 \leq i \leq \ell$ die Ungleichung
|
||||
Jetzt kann ich nach Annahme $N ∈ ℕ$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden
|
||||
Index $1 ≤ i ≤ ℓ$ die Ungleichung
|
||||
\[
|
||||
|f_n(p_i) - f_m(p_i)| < \varepsilon/3.
|
||||
|f_n(p_i) - f_m(p_i)| < ε/3
|
||||
\]
|
||||
gilt. Gegeben irgendeinen $p \in K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 \leq i \leq
|
||||
\ell$, sodass $p \in B_{\delta_{p_i, \varepsilon/3}}(p_i)$ ist und für alls $n, m >
|
||||
N$ gilt:
|
||||
gilt. Gegeben irgendeinen $p ∈ K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 ≤ i ≤ ℓ$,
|
||||
sodass $p ∈ B_{δ_{p_i, ε/3}}(p_i)$ ist und für alle $n, m > N$ gilt:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
|f_n(p_i) - f_m(p)| & = |f_n(p) - f_n(p_i) + f_n(p_i) - f_m(p_i) + f_m(p_i) - f_m(p)| \\
|
||||
& \leq |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\
|
||||
& \leq \varepsilon.
|
||||
& ≤ |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\
|
||||
& ≤ ε.
|
||||
\end{align*}
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||||
Damit ist der Satz bewiesen.
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||||
\end{proof}
|
||||
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||||
Binary file not shown.
Reference in New Issue
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