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07-nullstelle.tex

@@ -18,14 +18,15 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist.  Aber was können wir sonst noch sagen?
 
 
 \section{Zwei Typen von Nullstellen}
+\label{sec:7-1}
 
-  In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $ρ ∈ Z$ eine Nullstelle von $f$ und sei
-  \begin{equation}\label{eq:7-2-0-1}
-    \sum_{i=0}^∞ a_i(z-ρ)ⁱ
-  \end{equation}
-  die Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$.  Der Konvergenzradius sei
-  $r$.  Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
-  \begin{description}
+In Situation~\ref{set:7-0-1} sei $ρ ∈ Z$ eine Nullstelle von $f$ und sei
+\begin{equation}\label{eq:7-2-0-1}
+  \sum_{i=0}^∞ a_i(z-ρ)ⁱ
+\end{equation}
+die Potenzreihenentwicklung von $f$ im Punkt $ρ$.  Der Konvergenzradius sei $r$.
+Dann gibt es zwei Möglichkeiten.
+\begin{description}
   \item[Nullstelle vom Typ 1] Alle Koeffizienten $a_i$ der
     Potenzreihe~\eqref{eq:7-2-0-1} sind gleich 0.  Dann ist $f$ bereits in einer
     ganzen Umgebung von $f$ konstant Null.
@@ -55,8 +56,7 @@ abgeschlossene Teilmenge von $U$ ist.  Aber was können wir sonst noch sagen?
     \]
     und es gibt ein $ε > 0$, sodass $Z ∩ B_ε(ρ) = \{ρ\}$ ist.  Man sagt: $ρ$ ist
     eine isolierte Nullstelle von $f$.
-  \end{description}
-  
+\end{description}
 Zusammenfassung: Ich kann die Nullstellenmenge $Z$ aufteilen
 \[
     Z = \text{Typ 1} \: ∪ \text{Typ 2}
@@ -79,8 +79,8 @@ In der Summe sehen wir: Die Menge Nullstellen vom Typ 1 ist offen \emph{und}
 abgeschlossen, also eine ganze Zusammenhangskomponente von $U$!
 
 \begin{notation}[Nullestellenordnung]
-  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ O(U)$.  Weiter sei $ρ ∈ U$ gegeben.  Schreibe $f$ in
-  der Nähe von $ρ$ als Potenzreihe
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f ∈ 𝒪(U)$.  Weiter sei $ρ ∈ U$ gegeben.  Schreibe $f$
+  in der Nähe von $ρ$ als Potenzreihe
   \[
     f = \sum_{i=0}^∞ a_i (z-ρ)ⁱ.
   \]