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Stefan Kebekus
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vendored
5
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vendored
@@ -100,3 +100,8 @@ Mangoldt-Funktion
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Mangoldt
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Danzig-Langfuhr
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pf
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Taubersatz
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Newman
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Konvergenzverhalten
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Summierbarkeitsmethode
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Taubersatzes
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@@ -27,7 +27,7 @@ unendlich viele Primzahlen. Eine sinnvollere Frage ist vielleicht die folgende.
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genau?
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\end{rem}
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\begin{satz}[Primzahlsatz]
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\begin{satz}[Primzahlsatz]\label{satz:16-1-3}%
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Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{π(x) · \log(x)}{x} = 1$.
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\end{satz}
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@@ -265,15 +265,18 @@ Beobachtungen.
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\begin{satz}[Fortsetzbarkeit von $ζ$]\label{satz:16-2-1}%
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Die Funktion $ζ(s) - \frac{s}{s-1}$ besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf
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$\{ s \mid \mathfrak{Re}(s) > 0 \}$. Insbesondere besitzt $ζ(s)$ eine
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||||
holomorphe Fortsetzung auf $\{ s \mid \mathfrak{Re}(s) > 0, s \ne 1 \}$ und
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||||
hat in $1$ einen Pol erster Ordnung mit $\Res_1(ζ) = 1$.
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||||
$\{ s \::\: \mathfrak{Re}(s) > 0 \}$. Insbesondere besitzt $ζ(s)$ eine
|
||||
holomorphe Fortsetzung auf
|
||||
\[
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||||
\{ s \::\: \mathfrak{Re}(s) > 0, s \ne 1 \}
|
||||
\]
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und hat in $1$ einen Pol erster Ordnung mit $\Res_1(ζ) = 1$.
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||||
\end{satz}
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\begin{rem}[Notation][Abrunden]
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Für $x ∈ ℝ$ schreiben wir
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\[
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⌊ x ⌋ := \max\{ k ∈ ℤ \mid k \le x \}.
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||||
⌊ x ⌋ := \max\{ k ∈ ℤ \::\: k \le x \}.
|
||||
\]
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||||
Die Funktion $x ↦ ⌊x⌋$ heißt
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\emph{Abrundungsfunktion}\index{Abrundungsfunktion} oder
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@@ -294,7 +297,7 @@ Beobachtungen.
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&= \sum_{n=1}^∞ n·\int_n^{n+1} \frac{s}{x^{s+1}} \, dx \\
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||||
&= s · \sum_{n=1}^∞ \int_n^{n+1} \frac{⌊x⌋}{x^{s+1}} \, dx && \text{für $x ∈ [n, n+1)$ ist $⌊x⌋ = n$} \\
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||||
&= s · \int_1^∞ \frac{⌊x⌋}{x^{s+1}} \, dx.
|
||||
\intertext{Nun gilt: $s · \int_1^∞ \frac{x}{x^{s+1}} \, dx = \frac{s}{s-1}$, also}
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||||
\intertext{Nun gilt: $s · \int_1^∞ \frac{x}{x^{s+1}} \, dx = \frac{s}{s-1}$, also}
|
||||
ζ(s) - \frac{s}{s-1} & = s · \int_1^∞ \frac{⌊ x ⌋ - x}{x^{s+1}} \, dx.
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||||
\end{align*}
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||||
Es genügt also zu zeigen, dass die Funktion
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@@ -318,8 +321,7 @@ Beobachtungen.
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Mit mehr Arbeit lässt sich $ζ(s)$ sogar holomorph auf $ℂ ∖ \{1\}$ fortsetzen.
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Bezeichnet $Γ$ die Gamma-Funktion, so gilt
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\[
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ζ(s) = 2^s π^{s-1} · \sin\left(\frac{π s}{2}\right) ·
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||||
Γ(1-s) · ζ(1-s).
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||||
ζ(s) = 2^s π^{s-1} · \sin\left(\frac{π s}{2}\right) · Γ(1-s) · ζ(1-s).
|
||||
\]
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||||
Insbesondere gilt $ζ(-2k) = 0$ für $k ∈ ℤ_{>0}$, denn es ist $Γ(k) = (k-1)!$
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wenn $k ∈ ℤ_{>0}$. Diese Nullstellen heißen die \emph{trivialen Nullstellen}
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@@ -327,7 +329,7 @@ Beobachtungen.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}
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||||
Die holomorphe Fortsetzung von $ζ$ auf $\{s \mid \mathfrak{Re}(s) > 0, s \ne
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||||
Die holomorphe Fortsetzung von $ζ$ auf $\{s \::\: \mathfrak{Re}(s) > 0, s \ne
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||||
1\}$ und $ℂ ∖ \{1\}$ ist mysteriös! Es ist sehr wenig über diese Funktion
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bekannt. Das wenige was bekannt ist, ist recht schwer zu beweisen.
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\end{bemerkung}
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@@ -350,7 +352,7 @@ Faltungen sind ein wichtiges Werkzeug beim Umgang mit Dirichlet-Reihen.
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\]
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||||
Gegeben $f, g ∈ \mathcal{A}$ definiere $(f \ast g) ∈ \mathcal{A}$ durch
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\[
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||||
(f \ast g)(n) := \sum_{d \mid n} f(d) · g\left(\frac{n}{d}\right).
|
||||
(f \ast g)(n) := \sum_{d \::\: n} f(d) · g\left(\frac{n}{d}\right).
|
||||
\]
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||||
Dabei läuft die Summe läuft Teiler $d$ von $n$ mit $d \ge 1$. Man nennt $f
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\ast g$ die \emph{Faltung von $f$ und $g$}\index{Faltung}.
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||||
@@ -392,7 +394,7 @@ Faltungen sind ein wichtiges Werkzeug beim Umgang mit Dirichlet-Reihen.
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\ast μ = 1$, heißt die \emph{Möbius-Funktion}\footnote{August Ferdinand Möbius
|
||||
(* 17.~November 1790 in Pforta; † 26.~September 1868 in Leipzig) war ein
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||||
deutscher Mathematiker und Astronom an der Universität Leipzig.}. Diese
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beschreibt die Dirichlet-Reihe von $\frac{1}{ζ(s)}$. Die Möbius-Funktion kann
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||||
beschreibt die Dirichlet-Reihe von $\frac{1}{ζ(s)}$. Die Möbius-Funktion kann
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explizit durch folgende Formel beschrieben werden
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\[
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μ(n) = \begin{cases}
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@@ -401,7 +403,7 @@ Faltungen sind ein wichtiges Werkzeug beim Umgang mit Dirichlet-Reihen.
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||||
(-1)^r, & \text{wenn $n$ das Produkt von $r$ verschiedenen Primzahlen ist}
|
||||
\end{cases}
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||||
\]
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||||
Beispielsweise ist $μ(1) = 1$, $μ(12) = 0$, $μ(6) = 1$, $μ(30) = -1$. Für uns
|
||||
Beispielsweise ist $μ(1) = 1$, $μ(12) = 0$, $μ(6) = 1$, $μ(30) = -1$. Für uns
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||||
ist nur wichtig: Die Möbius-Funktion $μ$ ist betragsmäßig durch 1 beschränkt!
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\end{bemerkung}
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@@ -454,10 +456,10 @@ etwas arbeiten.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Es sei $ε ∈ \mathcal{A}$ die konstante Funktion mit Wert $1$. Dann ist $ζ$
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durch die zu $ε$ gehörende Dirichlet-Reihe gegeben. Gegeben eine Zahl $n ∈
|
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durch die zu $ε$ gehörende Dirichlet-Reihe gegeben. Gegeben eine Zahl $n ∈
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||||
ℕ⁺$, so gilt:
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||||
\[
|
||||
\log n = \sum_{d \mid n} Λ(d) = (ε \ast Λ)(n).
|
||||
\log n = \sum_{d \::\: n} Λ(d) = (ε \ast Λ)(n).
|
||||
\]
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||||
Das bedeutet:
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\[
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@@ -527,7 +529,7 @@ Damit können wir den letzten Schritt machen.
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\begin{konsequenz}
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||||
Für $\mathfrak{Re}(s) > 0$ liegen die Nullstellen von $ζ$ also im Streifen
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\[
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||||
\{ z \mid 0 < \mathfrak{Re}(z) < 1 \}.
|
||||
\{ z \::\: 0 < \mathfrak{Re}(z) < 1 \}.
|
||||
\]
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||||
\end{konsequenz}
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@@ -538,5 +540,314 @@ Damit können wir den letzten Schritt machen.
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||||
Probleme der Mathematik, diese Vermutung zu beweisen oder zu widerlegen.
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\end{rem}
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\sideremark{Vorlesung}
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\section{Der Taubersatz von Newman}
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Der Beweis des Primzahlsatzes benötigt noch ein letztes Werkzeug: den
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„Taubersatz“ von Newman\footnote{Donald Joseph Newman (* 27.~Juli 1930 in
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Brooklyn; † 28.~März 2007 in Philadelphia) war ein US-amerikanischer
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||||
Mathematiker.}. Ein Taubersatz\footnote{Alfred Tauber (geboren am 5.~November
|
||||
1866 in Pressburg, Kaisertum Österreich; gestorben am 26.~Juli 1942 im KZ
|
||||
Theresienstadt) war ein österreichischer Mathematiker.} ist ein Satz, der es
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erlaubt, aus dem Konvergenzverhalten eines Mittelwerts (oder einer
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Summierbarkeitsmethode) auf das Konvergenzverhalten der ursprünglichen Folge
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oder Reihe zu schließen.
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Newman's Beweis des Primzahlsatzes, den wir hier wiedergeben, stammt aus dem
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Jahr 1972. Das Manuskript mit dem Titel „\foreignlanguage{english}{Simple
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analytic proof of the prime number theorem}“ erschien 1980 im
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||||
\foreignlanguage{english}{American Mathematical Monthly} und ist durch seine
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besondere Kürze und damit relativ hohe Zugänglichkeit bekannt.
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\begin{satz}[Taubersatz von Newman]\label{satz:16-4-1}%
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Sei $f: [0, ∞) → ℂ$ beschränkt und lokal integrierbar. Die
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Laplace-Transformierte
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\[
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F(z) := \int_0^∞ f(t) \, e^{-zt} \, dt, \quad \mathfrak{Re}(z) > 0
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\]
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sei holomorph auf eine offene Umgebung von $\mathfrak{Re}(z) ≥ 0$ fortsetzbar.
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||||
Dann existiert das Integral
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\[
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||||
\int_0^∞ f(t) \, dt
|
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\]
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und der Wert des Integrals ist gleich $F(0)$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Für $T > 0$ ist
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\[
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||||
F_T(z) = \int_0^T f(t) \, e^{-zt} \, dt
|
||||
\]
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||||
eine auf ganz $ℂ$ holomorphe Funktion. Wir wollen zeigen, dass die Gleichung
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||||
\begin{equation}\label{eq:16-4-0-1}
|
||||
\lim_{T → ∞} F_T(0) = F(0)
|
||||
\end{equation}
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||||
gilt. Sei $R > 0$ und $δ = δ(R) > 0$ so, dass $F$ auf der offenen Menge
|
||||
\[
|
||||
U := \{ z ∈ ℂ \::\: |z| \le R \text{ und } \mathfrak{Re}(z) ≥ -δ(R) \}
|
||||
\]
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||||
holomorph ist. Es gilt:
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||||
\[
|
||||
∂ U = \underbrace{\{ z ∈ ∂ U \::\: \mathfrak{Re}(z) > 0 \}}_{:= C_+}
|
||||
∪ \underbrace{\{ z ∈ ∂ U \::\: \mathfrak{Re}(z) < 0 \}}_{:= C_-}
|
||||
∪ \underbrace{\{ iR, -iR \}}_{\text{Nullmenge}}.
|
||||
\]
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||||
Jetzt kommt der Trick von Newman: Nach der Cauchy-Integralformel gilt:
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\begin{equation}\label{eq:16-4-0-2}
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||||
F(0) - F_T(0)
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||||
= \frac{1}{2πi} \int_C \left( F(z) - F_T(z) \right) · e^{zT} · \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Die Funktion $f$ ist per Annahme beschränkt. Mit anderen Worten: es gibt eine
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Zahl $B > 0$ sodass für jede Zahl $t ≥ 0$ die Ungleichung $|f(t)| ≤ B$ gilt.
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||||
\paragraph*{Beweisschritt: Diskussion von $F-F_T$ auf $C_+$}
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Für jedes $z ∈ C_+$ gilt die folgende Abschätzung:
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\begin{align}
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||||
\label{eq:16-4-1-1} \left| F(z) - F_T(z) \right| & = \left| \int_T^∞ f(t) \, e^{-zt} \, dt \right| \\
|
||||
\nonumber & ≤ B · \int_T^∞ \left| e^{-zt} \right| \, dt \\
|
||||
\nonumber & = B · \int_T^∞ e^{-\mathfrak{Re}(z) · t} \, dt \\
|
||||
\nonumber & = B · e^{-\mathfrak{Re}(z) · T} · \mathfrak{Re}(z)^{-1}.
|
||||
\end{align}
|
||||
Zusätzlich gilt die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
1 + \frac{z²}{R²} = 1 + \frac{z²}{z · \frac{z}{z}}
|
||||
\]
|
||||
und deshalb für jedes $z ∈ C_+$
|
||||
\begin{equation}\label{eq:16-4-1-2}
|
||||
\left| e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) · \frac{1}{z} \right| = e^{\mathfrak{Re}(z) · T} · \frac{2 \, \mathfrak{Re}(z)}{R²}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
In der Summe folgt nun aus \eqref{eq:16-4-1-1} und \eqref{eq:16-4-1-2} die
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||||
Abschätzung:
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||||
\begin{equation}\label{eq:16-4-1-3}
|
||||
\left| \frac{1}{2 π i} \int_{C_+} \left( F(z) - F_T(z) \right) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right|
|
||||
≤ \frac{1}{2π} · \frac{2B}{R²} · \underbrace{R π}_{= \text{Länge von } C_+} = \frac{B}{R}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
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||||
\paragraph*{Beweisschritt: Diskussion von $F-F_T$ auf $C_-$}
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||||
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||||
Betrachte den Halbkreis
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\[
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||||
C_-' := \{ z ∈ ℂ \::\: |z| = R, \, \mathfrak{Re}(z) < 0 \}.
|
||||
\]
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||||
Weil die Funktion $F_T$ auf ganz $ℂ$ holomorph ist, folgt aus der
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||||
Homotopie-Invarianz des Integrals die Gleichung
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||||
\begin{equation}\label{eq:16-4-2-4}
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||||
\int_{C_-} F_T(z) · e^{zT} · \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z}
|
||||
= \int_{C_-'} F_T(z) · e^{zT} · \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Wie oben sehen wir, dass für jedes $z ∈ C_-'$ die folgenden Abschätzungen
|
||||
gelten,
|
||||
\begin{equation}\label{eq:16-4-2-5}
|
||||
\left| F_T(z) \right| = \left| \int_0^T f(t) \, e^{-zt} \, dt \right|
|
||||
\le S · \frac{e^{-\mathfrak{Re}(z) · T}}{|\mathfrak{Re}(z)|}
|
||||
\end{equation}
|
||||
und
|
||||
\begin{equation}\label{eq:16-4-2-6}
|
||||
\left| e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) · \frac{1}{z} \right|
|
||||
= e^{\mathfrak{Re}(z) · T} · \frac{|2 \, \mathfrak{Re}(z)|}{R²}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
In der Summe folgt nun aus \eqref{eq:16-4-2-5} und \eqref{eq:16-4-2-6} die
|
||||
Abschätzung:
|
||||
\begin{equation}\label{eq:16-4-2-7}
|
||||
\left| \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F_T(z) \, e^{-zT}
|
||||
\left( 1 + \frac{R²}{z²} \right) \frac{dz}{z} \right| \le \frac{B}{R}.
|
||||
\end{equation}
|
||||
Betrachte nun das Integral
|
||||
\[
|
||||
\frac{1}{2π i} \int_{C_-} F(z) · e^{zT} · \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z}.
|
||||
\]
|
||||
Die Faktoren $F(z)$ und $\left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{1}{z}$ dabei
|
||||
unabhängig von $T$. Der verbleibende Faktor $e^{zT}$ konvergiert für $T → ∞$
|
||||
auf der Menge $\mathfrak{Re}(z) < 0$ lokal gleichmäßig gegen $0$. Also ist
|
||||
\begin{equation}\label{eq:xxa}
|
||||
\lim_{T → ∞} \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F(z) · e^{zT} · \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} = 0.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
|
||||
\paragraph*{Beweisschritt: Zusammenfassung und Beweisende}
|
||||
|
||||
Insgesamt folgt aus den Abschätzungen \eqref{eq:16-4-1-3} und
|
||||
\eqref{eq:16-4-2-7} für jedes $R > 0$ die Ungleichung
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left| F(0) - F_T(0) \right| & = \left| \frac{1}{2π i} \int_C \left( F(z) - F_T(z) \right) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| && \text{\eqref{eq:16-4-0-2}}\\
|
||||
& ≤ \left| \frac{1}{2π i} \int_{C_+} \left( F(z) - F_T(z) \right) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| \\
|
||||
& \quad + \left| \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F(z) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| \\
|
||||
& \quad + \left| \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F_T(z) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| \\
|
||||
& ≤ \frac{2B}{R} + \left| \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F_T(z) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| && \text{\eqref{eq:16-4-1-3}, \eqref{eq:16-4-2-7}}
|
||||
\end{align*}
|
||||
und dann mit \eqref{eq:xxa}
|
||||
\[
|
||||
\lim_{T → ∞} \left| F(0) - F_T(0) \right| ≤ \frac{2B}{R}.
|
||||
\]
|
||||
Die Behauptung \eqref{eq:16-4-0-1} folgt dann nach Grenzübergang $R → ∞$.
|
||||
Damit ist der Taubersatz von Newman bewiesen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{Anwendung des Taubersatzes auf den Primzahlsatz}
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||||
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||||
Wollen den Taubersatz auf die Funktion
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||||
\[
|
||||
F(s) := \frac{Φ(s+1)}{s+1} - \frac{1}{s}
|
||||
\]
|
||||
anwenden, wobei
|
||||
\[
|
||||
Φ(s) := \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln p}{p^s}
|
||||
\]
|
||||
ist. Also müssen wir die Funktion $Φ$ diskutieren.
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Die Funktion $Φ(s) - \frac{1}{s-1}$ ist auf der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$
|
||||
holomorph.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Schreibe
|
||||
\[
|
||||
F(s) := -\frac{ζ'(s)}{ζ(s)} = \sum_{n=1}^∞ \frac{Λ(n)}{n^s} = \sum_{r=1}^∞ \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln(p)}{(p^r)^s}.
|
||||
\]
|
||||
Wir wissen bereits, dass die Funktion $F(s) - \frac{1}{s-1}$ holomorph auf die
|
||||
Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ fortsetzbar ist. Es genügt also zu zeigen, dass
|
||||
die Funktion $F(s) - Φ(s)$ holomorph auf die Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$
|
||||
fortsetzbar ist. Wir zeigen die stärkere Aussage, dass die Funktion $F(s) -
|
||||
Φ(s)$ holomorph auf die Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1/2$ fortsetzbar ist. Dazu
|
||||
beachte:
|
||||
\[
|
||||
F(s) - Φ(s) = \sum_{r=2}^∞ \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln(p)}{(p^r)^s}.
|
||||
\]
|
||||
Sei nun eine Zahl $s$ mit $σ := \mathfrak{Re}(s) > \frac{1}{2}$ gegeben.
|
||||
Betrachte die Konstante $C := \frac{2}{2 - \sqrt{2}}$ und stelle fest, dass
|
||||
für jede Primzahl $p$ die folgende Ungleichung gilt,
|
||||
\[
|
||||
\frac{1}{p^{2σ} - p^σ} \le \frac{C}{p^{2σ}}.
|
||||
\]
|
||||
Es ist aber
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left| F(s) - Φ(s) \right| & ≤ \sum_{r=2}^∞ \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln p}{(p^r)^σ} \\
|
||||
& = \sum_{p \text{ prim}} \ln(p) · \sum_{r=2}^∞ \frac{1}{(p^r)^σ} \\
|
||||
& = \sum_{p \text{ prim}} \ln(p) · \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{p^σ}} - 1 - \frac{1}{p^σ} \right) \\
|
||||
& = \sum_{p \text{ prim}} \ln(p) · \frac{1}{p^{2σ} - p^σ} \\
|
||||
& \leq C · \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln(p)}{p^{2σ}} \\
|
||||
& \leq C · \sum_{n=1}^∞ \frac{\ln(n)}{n^{2σ}} = C · ζ'(2σ).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Weil $ζ$ für $\mathfrak{Re}(s) > 1$ holomorph ist, folgt die Behauptung.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Der Primzahlsatz benötigt noch weitere Lemmata.
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
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Betrachte die Funktion
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\[
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θ: ℝ⁺ → ℝ, \quad x ↦ \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(p).
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\]
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Dann ist die Funktion $x ↦ \frac{θ(x)}{x}$ auf der Menge $x ≥ 1$ beschränkt.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Jede Primzahl $p$ mit $n < p \le 2n$ teilt $\binom{2n}{n}$. Damit gilt:
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\[
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e^{θ(2n) - θ(n)} = \prod_{n < p \le 2n} p ≤ \binom{2n}{n} ≤ \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} = 2^{2n}
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\]
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und
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\begin{equation}\label{eq:16-4-4-1}
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θ(2n) - θ(n) ≤ 2n·\ln(2).
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\end{equation}
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Fixiere $N ∈ ℕ⁺$ und wähle ein $m ∈ ℕ⁺$ mit $2^{m-1} < N \le 2^m$. Dann gilt:
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\begin{align*}
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θ(N) & ≤ θ(2^m) = θ(2^m) - θ(2⁰) \\
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& = \sum_{k=1}^m \left( θ(2^k) - θ(2^{k-1}) \right) \\
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& ≤ (\ln 2) \left( 2^m + 2^{m-1} + … + 2 \right) && \text{\eqref{eq:16-4-4-1}} \\
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& = 2·(\ln 2)·(2^m - 1) \\
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& ≤ 4 · (\ln 2) · 2^{m-1} \\
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& < 4 · (\ln 2) · N.
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\end{align*}
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Insbesondere gilt $\frac{θ(N)}{N} < 4 \, \ln 2$, wie benötigt.
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\end{proof}
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Jetzt spielt der Taubersatz eine Rolle.
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\begin{lemma}\label{lem:16-4-4}%
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Das uneigentliche Integral
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\[
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\int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x²} \, dx
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\]
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konvergiert.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Für alle Zahlen $s$ mit $\mathfrak{Re}(s) > 1$ gilt:
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\begin{align*}
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Φ(s) = \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln p}{p^s} & = \sum_{n=2}^∞ \frac{θ(n) - θ(n-1)}{n^s} \\
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& = \sum_{n=1}^∞ θ(n) · \left( \frac{1}{n^s} - \frac{1}{(n+1)^s} \right) \\
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& = \sum_{n=1}^∞ θ(n) · \int_n^{n+1} \frac{s}{x^{s+1}} \, dx \\
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& = s·\int_1^∞ \frac{θ(x)}{x^{s+1}} \, dx.
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\end{align*}
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Wir wissen, dass die Funktion $h(u) := \frac{θ(u)}{u} - 1$ beschränkt und
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lokal integrierbar ist. Dann ist aber
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\begin{align*}
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\int_0^∞ h\left(e^t\right) \, e^{-t} \, dt & = \int_1^∞ h(u) · \frac{du}{u^{s+1}} \\
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& = \int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x^{s+2}} \, dx \\
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& = \frac{Φ(s+1)}{s+1} - \frac{1}{s}.
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\end{align*}
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Der letzte Ausdruck ist aber auf der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 0$ holomorph.
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Damit folgt aus Satz~\ref{satz:16-4-1} („Taubersatz von Newman“), dass das
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Integral
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\[
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\int_0^∞ h\left(e^t\right) \, e^{-t} \, dt
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\]
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existiert und gleich $\int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x²} \, dx$ ist.
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\end{proof}
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\begin{kor}\label{kor:16-4-5}%
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Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{θ(x)}{x} = 1$.
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\end{kor}
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\begin{proof}
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Angenommen, es existiert eine Zahl $λ > 1$, sodass für alle ausreichend großen
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$u$ die Ungleichung $θ(u) ≥ λ·u$ gilt. Dann ist aber
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\[
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\int_u^{λ·u} \frac{θ(x) - x}{x²}
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≥ \int_u^{λ·u} \frac{λ·u - x}{x²} \, dx
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\overset{y = \frac{x}{u}}{=} \underbrace{\int_1^λ \frac{1-y}{y²} \, dy}_{\text{unabhängig von }u} > 0
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\]
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Lemma~\ref{lem:16-4-4} impliziert aber
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\[
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\lim_{u → ∞} \int_u^∞ \frac{θ(x) - x}{x²} \, dx = 0
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\]
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und wir erhalten einen Widerspruch. Also kann eine solche Zahl $λ > 1$ nicht
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existieren. Analog schließt man aus, dass eine Zahl $λ < 1$ mit den
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entsprechenden Eigenschaften existiert. Damit folgt die Behauptung.
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\end{proof}
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\subsection{Beweis des Primzahlsatzes, Satz~\ref*{satz:16-1-3}}
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Für jede Zahl $x$ gilt die Ungleichung
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\[
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θ(x) = \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(p) ≤ \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(x) = π (x) \, \ln(x).
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\]
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Nach Korollar~\ref{kor:16-4-5} ist damit
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\[
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\liminf_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} ≥ \lim_{x → ∞} \frac{θ(x)}{x} \overset{\text{Kor.}}{=} 1.
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\]
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Auf der anderen Seite finden wir für jede Zahl $ε > 0$ eine Abschätzung
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\begin{align*}
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θ(x) ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} \ln(p) & ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} (1-ε) · \ln(x) && \text{weil } p > x^{1-ε}\\
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& \geq (1-ε) · \ln(x) · \left( π (x) - π \left(x^{1-ε}\right) \right) \\
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& \geq (1-ε) · \ln(x) · \left( π (x) - x^{1-ε} \right)
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\end{align*}
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und damit
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\[
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π (x) · \ln(x) \le \frac{θ(x)}{1-ε} + \ln(x) · x^{1-ε}.
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\]
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Das impliziert aber
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\[
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\limsup_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} \le \frac{1}{1-ε}.
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\]
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Durch Grenzübergang $ε → 0$ folgt
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\[
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\limsup_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} \le 1
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\]
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und damit der Primzahlsatz. \qed
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% !TEX root = Funktionentheorie
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Reference in New Issue
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