From 262880a68c58e256de9362ef9c5276661866f25c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Wed, 17 Dec 2025 13:06:35 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Working=E2=80=A6?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 5 + 16-Zahlentheorie.tex | 341 ++++++++++++++++++++++++++++-- 2 files changed, 331 insertions(+), 15 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index c8f6628..11e11e5 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -100,3 +100,8 @@ Mangoldt-Funktion Mangoldt Danzig-Langfuhr pf +Taubersatz +Newman +Konvergenzverhalten +Summierbarkeitsmethode +Taubersatzes diff --git a/16-Zahlentheorie.tex b/16-Zahlentheorie.tex index e2af1e8..69a0a68 100644 --- a/16-Zahlentheorie.tex +++ b/16-Zahlentheorie.tex @@ -27,7 +27,7 @@ unendlich viele Primzahlen. Eine sinnvollere Frage ist vielleicht die folgende. genau? \end{rem} -\begin{satz}[Primzahlsatz] +\begin{satz}[Primzahlsatz]\label{satz:16-1-3}% Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{π(x) · \log(x)}{x} = 1$. \end{satz} @@ -265,15 +265,18 @@ Beobachtungen. \begin{satz}[Fortsetzbarkeit von $ζ$]\label{satz:16-2-1}% Die Funktion $ζ(s) - \frac{s}{s-1}$ besitzt eine holomorphe Fortsetzung auf - $\{ s \mid \mathfrak{Re}(s) > 0 \}$. Insbesondere besitzt $ζ(s)$ eine - holomorphe Fortsetzung auf $\{ s \mid \mathfrak{Re}(s) > 0, s \ne 1 \}$ und - hat in $1$ einen Pol erster Ordnung mit $\Res_1(ζ) = 1$. + $\{ s \::\: \mathfrak{Re}(s) > 0 \}$. Insbesondere besitzt $ζ(s)$ eine + holomorphe Fortsetzung auf + \[ + \{ s \::\: \mathfrak{Re}(s) > 0, s \ne 1 \} + \] + und hat in $1$ einen Pol erster Ordnung mit $\Res_1(ζ) = 1$. \end{satz} \begin{rem}[Notation][Abrunden] Für $x ∈ ℝ$ schreiben wir \[ - ⌊ x ⌋ := \max\{ k ∈ ℤ \mid k \le x \}. + ⌊ x ⌋ := \max\{ k ∈ ℤ \::\: k \le x \}. \] Die Funktion $x ↦ ⌊x⌋$ heißt \emph{Abrundungsfunktion}\index{Abrundungsfunktion} oder @@ -294,7 +297,7 @@ Beobachtungen. &= \sum_{n=1}^∞ n·\int_n^{n+1} \frac{s}{x^{s+1}} \, dx \\ &= s · \sum_{n=1}^∞ \int_n^{n+1} \frac{⌊x⌋}{x^{s+1}} \, dx && \text{für $x ∈ [n, n+1)$ ist $⌊x⌋ = n$} \\ &= s · \int_1^∞ \frac{⌊x⌋}{x^{s+1}} \, dx. - \intertext{Nun gilt: $s · \int_1^∞ \frac{x}{x^{s+1}} \, dx = \frac{s}{s-1}$, also} + \intertext{Nun gilt: $s · \int_1^∞ \frac{x}{x^{s+1}} \, dx = \frac{s}{s-1}$, also} ζ(s) - \frac{s}{s-1} & = s · \int_1^∞ \frac{⌊ x ⌋ - x}{x^{s+1}} \, dx. \end{align*} Es genügt also zu zeigen, dass die Funktion @@ -318,8 +321,7 @@ Beobachtungen. Mit mehr Arbeit lässt sich $ζ(s)$ sogar holomorph auf $ℂ ∖ \{1\}$ fortsetzen. Bezeichnet $Γ$ die Gamma-Funktion, so gilt \[ - ζ(s) = 2^s π^{s-1} · \sin\left(\frac{π s}{2}\right) · - Γ(1-s) · ζ(1-s). + ζ(s) = 2^s π^{s-1} · \sin\left(\frac{π s}{2}\right) · Γ(1-s) · ζ(1-s). \] Insbesondere gilt $ζ(-2k) = 0$ für $k ∈ ℤ_{>0}$, denn es ist $Γ(k) = (k-1)!$ wenn $k ∈ ℤ_{>0}$. Diese Nullstellen heißen die \emph{trivialen Nullstellen} @@ -327,7 +329,7 @@ Beobachtungen. \end{bemerkung} \begin{bemerkung} - Die holomorphe Fortsetzung von $ζ$ auf $\{s \mid \mathfrak{Re}(s) > 0, s \ne + Die holomorphe Fortsetzung von $ζ$ auf $\{s \::\: \mathfrak{Re}(s) > 0, s \ne 1\}$ und $ℂ ∖ \{1\}$ ist mysteriös! Es ist sehr wenig über diese Funktion bekannt. Das wenige was bekannt ist, ist recht schwer zu beweisen. \end{bemerkung} @@ -350,7 +352,7 @@ Faltungen sind ein wichtiges Werkzeug beim Umgang mit Dirichlet-Reihen. \] Gegeben $f, g ∈ \mathcal{A}$ definiere $(f \ast g) ∈ \mathcal{A}$ durch \[ - (f \ast g)(n) := \sum_{d \mid n} f(d) · g\left(\frac{n}{d}\right). + (f \ast g)(n) := \sum_{d \::\: n} f(d) · g\left(\frac{n}{d}\right). \] Dabei läuft die Summe läuft Teiler $d$ von $n$ mit $d \ge 1$. Man nennt $f \ast g$ die \emph{Faltung von $f$ und $g$}\index{Faltung}. @@ -392,7 +394,7 @@ Faltungen sind ein wichtiges Werkzeug beim Umgang mit Dirichlet-Reihen. \ast μ = 1$, heißt die \emph{Möbius-Funktion}\footnote{August Ferdinand Möbius (* 17.~November 1790 in Pforta; † 26.~September 1868 in Leipzig) war ein deutscher Mathematiker und Astronom an der Universität Leipzig.}. Diese - beschreibt die Dirichlet-Reihe von $\frac{1}{ζ(s)}$. Die Möbius-Funktion kann + beschreibt die Dirichlet-Reihe von $\frac{1}{ζ(s)}$. Die Möbius-Funktion kann explizit durch folgende Formel beschrieben werden \[ μ(n) = \begin{cases} @@ -401,7 +403,7 @@ Faltungen sind ein wichtiges Werkzeug beim Umgang mit Dirichlet-Reihen. (-1)^r, & \text{wenn $n$ das Produkt von $r$ verschiedenen Primzahlen ist} \end{cases} \] - Beispielsweise ist $μ(1) = 1$, $μ(12) = 0$, $μ(6) = 1$, $μ(30) = -1$. Für uns + Beispielsweise ist $μ(1) = 1$, $μ(12) = 0$, $μ(6) = 1$, $μ(30) = -1$. Für uns ist nur wichtig: Die Möbius-Funktion $μ$ ist betragsmäßig durch 1 beschränkt! \end{bemerkung} @@ -454,10 +456,10 @@ etwas arbeiten. \end{lemma} \begin{proof} Es sei $ε ∈ \mathcal{A}$ die konstante Funktion mit Wert $1$. Dann ist $ζ$ - durch die zu $ε$ gehörende Dirichlet-Reihe gegeben. Gegeben eine Zahl $n ∈ + durch die zu $ε$ gehörende Dirichlet-Reihe gegeben. Gegeben eine Zahl $n ∈ ℕ⁺$, so gilt: \[ - \log n = \sum_{d \mid n} Λ(d) = (ε \ast Λ)(n). + \log n = \sum_{d \::\: n} Λ(d) = (ε \ast Λ)(n). \] Das bedeutet: \[ @@ -527,7 +529,7 @@ Damit können wir den letzten Schritt machen. \begin{konsequenz} Für $\mathfrak{Re}(s) > 0$ liegen die Nullstellen von $ζ$ also im Streifen \[ - \{ z \mid 0 < \mathfrak{Re}(z) < 1 \}. + \{ z \::\: 0 < \mathfrak{Re}(z) < 1 \}. \] \end{konsequenz} @@ -538,5 +540,314 @@ Damit können wir den letzten Schritt machen. Probleme der Mathematik, diese Vermutung zu beweisen oder zu widerlegen. \end{rem} +\sideremark{Vorlesung} + +\section{Der Taubersatz von Newman} + +Der Beweis des Primzahlsatzes benötigt noch ein letztes Werkzeug: den +„Taubersatz“ von Newman\footnote{Donald Joseph Newman (* 27.~Juli 1930 in +Brooklyn; † 28.~März 2007 in Philadelphia) war ein US-amerikanischer +Mathematiker.}. Ein Taubersatz\footnote{Alfred Tauber (geboren am 5.~November +1866 in Pressburg, Kaisertum Österreich; gestorben am 26.~Juli 1942 im KZ +Theresienstadt) war ein österreichischer Mathematiker.} ist ein Satz, der es +erlaubt, aus dem Konvergenzverhalten eines Mittelwerts (oder einer +Summierbarkeitsmethode) auf das Konvergenzverhalten der ursprünglichen Folge +oder Reihe zu schließen. + +Newman's Beweis des Primzahlsatzes, den wir hier wiedergeben, stammt aus dem +Jahr 1972. Das Manuskript mit dem Titel „\foreignlanguage{english}{Simple +analytic proof of the prime number theorem}“ erschien 1980 im +\foreignlanguage{english}{American Mathematical Monthly} und ist durch seine +besondere Kürze und damit relativ hohe Zugänglichkeit bekannt. + +\begin{satz}[Taubersatz von Newman]\label{satz:16-4-1}% + Sei $f: [0, ∞) → ℂ$ beschränkt und lokal integrierbar. Die + Laplace-Transformierte + \[ + F(z) := \int_0^∞ f(t) \, e^{-zt} \, dt, \quad \mathfrak{Re}(z) > 0 + \] + sei holomorph auf eine offene Umgebung von $\mathfrak{Re}(z) ≥ 0$ fortsetzbar. + Dann existiert das Integral + \[ + \int_0^∞ f(t) \, dt + \] + und der Wert des Integrals ist gleich $F(0)$. +\end{satz} +\begin{proof} + Für $T > 0$ ist + \[ + F_T(z) = \int_0^T f(t) \, e^{-zt} \, dt + \] + eine auf ganz $ℂ$ holomorphe Funktion. Wir wollen zeigen, dass die Gleichung + \begin{equation}\label{eq:16-4-0-1} + \lim_{T → ∞} F_T(0) = F(0) + \end{equation} + gilt. Sei $R > 0$ und $δ = δ(R) > 0$ so, dass $F$ auf der offenen Menge + \[ + U := \{ z ∈ ℂ \::\: |z| \le R \text{ und } \mathfrak{Re}(z) ≥ -δ(R) \} + \] + holomorph ist. Es gilt: + \[ + ∂ U = \underbrace{\{ z ∈ ∂ U \::\: \mathfrak{Re}(z) > 0 \}}_{:= C_+} + ∪ \underbrace{\{ z ∈ ∂ U \::\: \mathfrak{Re}(z) < 0 \}}_{:= C_-} + ∪ \underbrace{\{ iR, -iR \}}_{\text{Nullmenge}}. + \] + Jetzt kommt der Trick von Newman: Nach der Cauchy-Integralformel gilt: + \begin{equation}\label{eq:16-4-0-2} + F(0) - F_T(0) + = \frac{1}{2πi} \int_C \left( F(z) - F_T(z) \right) · e^{zT} · \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z}. + \end{equation} + Die Funktion $f$ ist per Annahme beschränkt. Mit anderen Worten: es gibt eine + Zahl $B > 0$ sodass für jede Zahl $t ≥ 0$ die Ungleichung $|f(t)| ≤ B$ gilt. + + + \paragraph*{Beweisschritt: Diskussion von $F-F_T$ auf $C_+$} + + Für jedes $z ∈ C_+$ gilt die folgende Abschätzung: + \begin{align} + \label{eq:16-4-1-1} \left| F(z) - F_T(z) \right| & = \left| \int_T^∞ f(t) \, e^{-zt} \, dt \right| \\ + \nonumber & ≤ B · \int_T^∞ \left| e^{-zt} \right| \, dt \\ + \nonumber & = B · \int_T^∞ e^{-\mathfrak{Re}(z) · t} \, dt \\ + \nonumber & = B · e^{-\mathfrak{Re}(z) · T} · \mathfrak{Re}(z)^{-1}. + \end{align} + Zusätzlich gilt die Gleichung + \[ + 1 + \frac{z²}{R²} = 1 + \frac{z²}{z · \frac{z}{z}} + \] + und deshalb für jedes $z ∈ C_+$ + \begin{equation}\label{eq:16-4-1-2} + \left| e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) · \frac{1}{z} \right| = e^{\mathfrak{Re}(z) · T} · \frac{2 \, \mathfrak{Re}(z)}{R²}. + \end{equation} + In der Summe folgt nun aus \eqref{eq:16-4-1-1} und \eqref{eq:16-4-1-2} die + Abschätzung: + \begin{equation}\label{eq:16-4-1-3} + \left| \frac{1}{2 π i} \int_{C_+} \left( F(z) - F_T(z) \right) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| + ≤ \frac{1}{2π} · \frac{2B}{R²} · \underbrace{R π}_{= \text{Länge von } C_+} = \frac{B}{R}. + \end{equation} + + + \paragraph*{Beweisschritt: Diskussion von $F-F_T$ auf $C_-$} + + Betrachte den Halbkreis + \[ + C_-' := \{ z ∈ ℂ \::\: |z| = R, \, \mathfrak{Re}(z) < 0 \}. + \] + Weil die Funktion $F_T$ auf ganz $ℂ$ holomorph ist, folgt aus der + Homotopie-Invarianz des Integrals die Gleichung + \begin{equation}\label{eq:16-4-2-4} + \int_{C_-} F_T(z) · e^{zT} · \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} + = \int_{C_-'} F_T(z) · e^{zT} · \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z}. + \end{equation} + Wie oben sehen wir, dass für jedes $z ∈ C_-'$ die folgenden Abschätzungen + gelten, + \begin{equation}\label{eq:16-4-2-5} + \left| F_T(z) \right| = \left| \int_0^T f(t) \, e^{-zt} \, dt \right| + \le S · \frac{e^{-\mathfrak{Re}(z) · T}}{|\mathfrak{Re}(z)|} + \end{equation} + und + \begin{equation}\label{eq:16-4-2-6} + \left| e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) · \frac{1}{z} \right| + = e^{\mathfrak{Re}(z) · T} · \frac{|2 \, \mathfrak{Re}(z)|}{R²}. + \end{equation} + In der Summe folgt nun aus \eqref{eq:16-4-2-5} und \eqref{eq:16-4-2-6} die + Abschätzung: + \begin{equation}\label{eq:16-4-2-7} + \left| \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F_T(z) \, e^{-zT} + \left( 1 + \frac{R²}{z²} \right) \frac{dz}{z} \right| \le \frac{B}{R}. + \end{equation} + Betrachte nun das Integral + \[ + \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F(z) · e^{zT} · \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z}. + \] + Die Faktoren $F(z)$ und $\left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{1}{z}$ dabei + unabhängig von $T$. Der verbleibende Faktor $e^{zT}$ konvergiert für $T → ∞$ + auf der Menge $\mathfrak{Re}(z) < 0$ lokal gleichmäßig gegen $0$. Also ist + \begin{equation}\label{eq:xxa} + \lim_{T → ∞} \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F(z) · e^{zT} · \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} = 0. + \end{equation} + + + \paragraph*{Beweisschritt: Zusammenfassung und Beweisende} + + Insgesamt folgt aus den Abschätzungen \eqref{eq:16-4-1-3} und + \eqref{eq:16-4-2-7} für jedes $R > 0$ die Ungleichung + \begin{align*} + \left| F(0) - F_T(0) \right| & = \left| \frac{1}{2π i} \int_C \left( F(z) - F_T(z) \right) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| && \text{\eqref{eq:16-4-0-2}}\\ + & ≤ \left| \frac{1}{2π i} \int_{C_+} \left( F(z) - F_T(z) \right) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| \\ + & \quad + \left| \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F(z) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| \\ + & \quad + \left| \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F_T(z) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| \\ + & ≤ \frac{2B}{R} + \left| \frac{1}{2π i} \int_{C_-} F_T(z) e^{zT} \left( 1 + \frac{z²}{R²} \right) \frac{dz}{z} \right| && \text{\eqref{eq:16-4-1-3}, \eqref{eq:16-4-2-7}} + \end{align*} + und dann mit \eqref{eq:xxa} + \[ + \lim_{T → ∞} \left| F(0) - F_T(0) \right| ≤ \frac{2B}{R}. + \] + Die Behauptung \eqref{eq:16-4-0-1} folgt dann nach Grenzübergang $R → ∞$. + Damit ist der Taubersatz von Newman bewiesen. +\end{proof} + + +\subsection{Anwendung des Taubersatzes auf den Primzahlsatz} + +Wollen den Taubersatz auf die Funktion +\[ + F(s) := \frac{Φ(s+1)}{s+1} - \frac{1}{s} +\] +anwenden, wobei +\[ + Φ(s) := \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln p}{p^s} +\] +ist. Also müssen wir die Funktion $Φ$ diskutieren. + +\begin{lemma} + Die Funktion $Φ(s) - \frac{1}{s-1}$ ist auf der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ + holomorph. +\end{lemma} +\begin{proof} + Schreibe + \[ + F(s) := -\frac{ζ'(s)}{ζ(s)} = \sum_{n=1}^∞ \frac{Λ(n)}{n^s} = \sum_{r=1}^∞ \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln(p)}{(p^r)^s}. + \] + Wir wissen bereits, dass die Funktion $F(s) - \frac{1}{s-1}$ holomorph auf die + Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ fortsetzbar ist. Es genügt also zu zeigen, dass + die Funktion $F(s) - Φ(s)$ holomorph auf die Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ + fortsetzbar ist. Wir zeigen die stärkere Aussage, dass die Funktion $F(s) - + Φ(s)$ holomorph auf die Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1/2$ fortsetzbar ist. Dazu + beachte: + \[ + F(s) - Φ(s) = \sum_{r=2}^∞ \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln(p)}{(p^r)^s}. + \] + Sei nun eine Zahl $s$ mit $σ := \mathfrak{Re}(s) > \frac{1}{2}$ gegeben. + Betrachte die Konstante $C := \frac{2}{2 - \sqrt{2}}$ und stelle fest, dass + für jede Primzahl $p$ die folgende Ungleichung gilt, + \[ + \frac{1}{p^{2σ} - p^σ} \le \frac{C}{p^{2σ}}. + \] + Es ist aber + \begin{align*} + \left| F(s) - Φ(s) \right| & ≤ \sum_{r=2}^∞ \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln p}{(p^r)^σ} \\ + & = \sum_{p \text{ prim}} \ln(p) · \sum_{r=2}^∞ \frac{1}{(p^r)^σ} \\ + & = \sum_{p \text{ prim}} \ln(p) · \left( \frac{1}{1 - \frac{1}{p^σ}} - 1 - \frac{1}{p^σ} \right) \\ + & = \sum_{p \text{ prim}} \ln(p) · \frac{1}{p^{2σ} - p^σ} \\ + & \leq C · \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln(p)}{p^{2σ}} \\ + & \leq C · \sum_{n=1}^∞ \frac{\ln(n)}{n^{2σ}} = C · ζ'(2σ). + \end{align*} + Weil $ζ$ für $\mathfrak{Re}(s) > 1$ holomorph ist, folgt die Behauptung. +\end{proof} + +Der Primzahlsatz benötigt noch weitere Lemmata. + +\begin{lemma} + Betrachte die Funktion + \[ + θ: ℝ⁺ → ℝ, \quad x ↦ \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(p). + \] + Dann ist die Funktion $x ↦ \frac{θ(x)}{x}$ auf der Menge $x ≥ 1$ beschränkt. +\end{lemma} +\begin{proof} + Jede Primzahl $p$ mit $n < p \le 2n$ teilt $\binom{2n}{n}$. Damit gilt: + \[ + e^{θ(2n) - θ(n)} = \prod_{n < p \le 2n} p ≤ \binom{2n}{n} ≤ \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} = 2^{2n} + \] + und + \begin{equation}\label{eq:16-4-4-1} + θ(2n) - θ(n) ≤ 2n·\ln(2). + \end{equation} + Fixiere $N ∈ ℕ⁺$ und wähle ein $m ∈ ℕ⁺$ mit $2^{m-1} < N \le 2^m$. Dann gilt: + \begin{align*} + θ(N) & ≤ θ(2^m) = θ(2^m) - θ(2⁰) \\ + & = \sum_{k=1}^m \left( θ(2^k) - θ(2^{k-1}) \right) \\ + & ≤ (\ln 2) \left( 2^m + 2^{m-1} + … + 2 \right) && \text{\eqref{eq:16-4-4-1}} \\ + & = 2·(\ln 2)·(2^m - 1) \\ + & ≤ 4 · (\ln 2) · 2^{m-1} \\ + & < 4 · (\ln 2) · N. + \end{align*} + Insbesondere gilt $\frac{θ(N)}{N} < 4 \, \ln 2$, wie benötigt. +\end{proof} + +Jetzt spielt der Taubersatz eine Rolle. + +\begin{lemma}\label{lem:16-4-4}% + Das uneigentliche Integral + \[ + \int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x²} \, dx + \] + konvergiert. +\end{lemma} +\begin{proof} + Für alle Zahlen $s$ mit $\mathfrak{Re}(s) > 1$ gilt: + \begin{align*} + Φ(s) = \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln p}{p^s} & = \sum_{n=2}^∞ \frac{θ(n) - θ(n-1)}{n^s} \\ + & = \sum_{n=1}^∞ θ(n) · \left( \frac{1}{n^s} - \frac{1}{(n+1)^s} \right) \\ + & = \sum_{n=1}^∞ θ(n) · \int_n^{n+1} \frac{s}{x^{s+1}} \, dx \\ + & = s·\int_1^∞ \frac{θ(x)}{x^{s+1}} \, dx. + \end{align*} + Wir wissen, dass die Funktion $h(u) := \frac{θ(u)}{u} - 1$ beschränkt und + lokal integrierbar ist. Dann ist aber + \begin{align*} + \int_0^∞ h\left(e^t\right) \, e^{-t} \, dt & = \int_1^∞ h(u) · \frac{du}{u^{s+1}} \\ + & = \int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x^{s+2}} \, dx \\ + & = \frac{Φ(s+1)}{s+1} - \frac{1}{s}. + \end{align*} + Der letzte Ausdruck ist aber auf der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 0$ holomorph. + Damit folgt aus Satz~\ref{satz:16-4-1} („Taubersatz von Newman“), dass das + Integral + \[ + \int_0^∞ h\left(e^t\right) \, e^{-t} \, dt + \] + existiert und gleich $\int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x²} \, dx$ ist. +\end{proof} + +\begin{kor}\label{kor:16-4-5}% + Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{θ(x)}{x} = 1$. +\end{kor} +\begin{proof} + Angenommen, es existiert eine Zahl $λ > 1$, sodass für alle ausreichend großen + $u$ die Ungleichung $θ(u) ≥ λ·u$ gilt. Dann ist aber + \[ + \int_u^{λ·u} \frac{θ(x) - x}{x²} + ≥ \int_u^{λ·u} \frac{λ·u - x}{x²} \, dx + \overset{y = \frac{x}{u}}{=} \underbrace{\int_1^λ \frac{1-y}{y²} \, dy}_{\text{unabhängig von }u} > 0 + \] + Lemma~\ref{lem:16-4-4} impliziert aber + \[ + \lim_{u → ∞} \int_u^∞ \frac{θ(x) - x}{x²} \, dx = 0 + \] + und wir erhalten einen Widerspruch. Also kann eine solche Zahl $λ > 1$ nicht + existieren. Analog schließt man aus, dass eine Zahl $λ < 1$ mit den + entsprechenden Eigenschaften existiert. Damit folgt die Behauptung. +\end{proof} + + +\subsection{Beweis des Primzahlsatzes, Satz~\ref*{satz:16-1-3}} + +Für jede Zahl $x$ gilt die Ungleichung +\[ + θ(x) = \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(p) ≤ \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(x) = π (x) \, \ln(x). +\] +Nach Korollar~\ref{kor:16-4-5} ist damit +\[ + \liminf_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} ≥ \lim_{x → ∞} \frac{θ(x)}{x} \overset{\text{Kor.}}{=} 1. +\] + +Auf der anderen Seite finden wir für jede Zahl $ε > 0$ eine Abschätzung +\begin{align*} + θ(x) ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} \ln(p) & ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} (1-ε) · \ln(x) && \text{weil } p > x^{1-ε}\\ + & \geq (1-ε) · \ln(x) · \left( π (x) - π \left(x^{1-ε}\right) \right) \\ + & \geq (1-ε) · \ln(x) · \left( π (x) - x^{1-ε} \right) +\end{align*} +und damit +\[ + π (x) · \ln(x) \le \frac{θ(x)}{1-ε} + \ln(x) · x^{1-ε}. +\] +Das impliziert aber +\[ + \limsup_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} \le \frac{1}{1-ε}. +\] +Durch Grenzübergang $ε → 0$ folgt +\[ + \limsup_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} \le 1 +\] +und damit der Primzahlsatz. \qed % !TEX root = Funktionentheorie