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Stefan Kebekus
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@@ -107,3 +107,4 @@ Summierbarkeitsmethode
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Taubersatzes
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Argentino
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Fortsetzungssatz
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Beschränktheitsaussage
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.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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@@ -56,3 +56,4 @@
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Nullstellen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q…\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qheißen “trivial Nullstellen”, die Nullstellen im kritischen Streifen heissen “nicht-trivialee Nullstellen”\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qheißen „trivial Nullstellen“, die Nullstellen im kritischen Streifen heißen „nicht-triviale Nullstellen“.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QNach Lemma \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist damit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QLem.\\E$"}
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@@ -28,7 +28,7 @@ unendlich viele Primzahlen. Eine sinnvollere Frage ist vielleicht die folgende.
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\end{rem}
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\begin{satz}[Primzahlsatz]\label{satz:16-1-3}%
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Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{π(x) · \log(x)}{x} = 1$.
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\index{Primzahlsatz}Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{π(x) · \log(x)}{x} = 1$.
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\end{satz}
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\begin{rem}[Interpretation des Primzahlsatzes]
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@@ -688,15 +688,9 @@ erlaubt, aus dem Konvergenzverhalten eines Mittelwerts (oder einer
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Summierbarkeitsmethode) auf das Konvergenzverhalten der ursprünglichen Folge
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oder Reihe zu schließen.
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Newman's Beweis des Primzahlsatzes, den wir hier wiedergeben, stammt aus dem
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Jahr 1972. Das Manuskript mit dem Titel „\foreignlanguage{english}{Simple
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analytic proof of the prime number theorem}“ erschien 1980 im
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\foreignlanguage{english}{American Mathematical Monthly} und ist durch seine
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besondere Kürze und damit relativ hohe Zugänglichkeit bekannt.
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\begin{satz}[Taubersatz von Newman]\label{satz:16-4-1}%
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Sei $f: [0, ∞) → ℂ$ beschränkt und lokal integrierbar. Die
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Laplace-Transformierte
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\index{Taubersatz von Newman}Sei $f: [0, ∞) → ℂ$ beschränkt und lokal
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integrierbar. Die Laplace-Transformierte
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\[
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F(z) := \int_0^∞ f(t) \, e^{-zt} \, dt, \quad \mathfrak{Re}(z) > 0
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\]
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@@ -830,21 +824,92 @@ besondere Kürze und damit relativ hohe Zugänglichkeit bekannt.
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\end{proof}
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\subsection{Anwendung des Taubersatzes auf den Primzahlsatz}
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\section{Beweis des Primzahlsatzes, Satz~\ref*{satz:16-1-3}}
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Newman's Beweis des Primzahlsatzes, den wir hier wiedergeben, stammt aus dem
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Jahr 1972. Das Manuskript mit dem Titel „\foreignlanguage{english}{Simple
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analytic proof of the prime number theorem}“ erschien 1980 im
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\foreignlanguage{english}{American Mathematical Monthly} und ist durch seine
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besondere Kürze und damit relativ hohe Zugänglichkeit bekannt. Bilden Sie sich
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selbst eine Meinung.
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Wir betrachten die Funktion
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\[
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θ: ℝ⁺ → ℝ, \quad x ↦ \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(p).
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\]
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Im Laufe des Beweises werden wir folgende Eigenschaften zeigen.
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\begin{description}
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\item[Schritt 1] Die Funktion $x \mapsto \frac{\theta(x)}{x}$ ist auf dem
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Intervall $[1, \infty)$ beschränkt. --- Das ist eine lästige, elementare
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Rechnung.
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\item[Schritt 2] Das uneigentliche Integral $\int_1^\infty
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\frac{\theta(x)-x}{x^2}\:dx$ konvergiert. --- Dies ist der wesentliche Punkt
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im Beweis. Um die Existenz des Integrals zu zeigen, wird neben der
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Beschränktheitsaussage von Schritt 1 der Taubersatz angewendet und die
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Riemannsche $\zeta$-Funktion benutzt. Dies ist die einzige Stelle des
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Beweises, wo die Riemannsche $\zeta$-Funktion auftaucht.
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\item[Schritt 3] Es ist $\lim \frac{\theta(x)}{x} = 1$. --- Das ist wieder
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eine lästige, elementare Rechnung. Existenz und Wert des Grenzwertes sind
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Folgen der Ergebnisse aus Schritt 2.
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\item[Schritt 4] Ende des Beweises. Mithilfe von Schritt 3 können wir den
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gesuchten Grenzwert von unten und oben beschränken.
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\end{description}
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\subsection{Schritt 1: Beschränktheit}
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\begin{lemma}[Beschränktheit]
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Die Funktion $x ↦ \frac{θ(x)}{x}$ ist auf der Menge $x ≥ 1$ beschränkt.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Jede Primzahl $p$ mit $n < p \le 2n$ teilt $\binom{2n}{n}$. Damit gilt:
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\[
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e^{θ(2n) - θ(n)} = \prod_{n < p \le 2n} p ≤ \binom{2n}{n} ≤ \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} = 2^{2n}
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||||
\]
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||||
und
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\begin{equation}\label{eq:16-4-4-1}
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θ(2n) - θ(n) ≤ 2n·\ln(2).
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\end{equation}
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||||
Fixiere $N ∈ ℕ⁺$ und wähle ein $m ∈ ℕ⁺$ mit $2^{m-1} < N \le 2^m$. Dann gilt:
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\begin{align*}
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||||
θ(N) & ≤ θ(2^m) = θ(2^m) - θ(2⁰) \\
|
||||
& = \sum_{k=1}^m \left( θ(2^k) - θ(2^{k-1}) \right) \\
|
||||
& ≤ (\ln 2) \left( 2^m + 2^{m-1} + … + 2 \right) && \text{\eqref{eq:16-4-4-1}} \\
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||||
& = 2·(\ln 2)·(2^m - 1) \\
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||||
& ≤ 4 · (\ln 2) · 2^{m-1} \\
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||||
& < 4 · (\ln 2) · N.
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||||
\end{align*}
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||||
Insbesondere gilt $\frac{θ(N)}{N} < 4 \, \ln 2$, wie benötigt.
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\end{proof}
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\subsection{Schritt 2: Existenz des Integrals}
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Wir wollen den Taubersatz auf die Funktion
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\[
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F(s) := \frac{Φ(s+1)}{s+1} - \frac{1}{s}
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f(t) := \frac{\theta(e^t)}{e^t} - 1
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\]
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anwenden, wobei
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anwenden. Eine Rechnung wird zeigen, dass die Funktion $F$ dann durch
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\[
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||||
Φ(s) := \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln p}{p^s}
|
||||
F(s) := \frac{\Phi(s+1)}{s+1} - \frac{1}{s}
|
||||
\]
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||||
ist. Also müssen wir die Funktion $Φ$ diskutieren.
|
||||
gegeben ist, wobei
|
||||
\[
|
||||
Φ(s) := \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln p}{p^s}.
|
||||
\]
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||||
Also müssen wir die Funktion $Φ$ diskutieren. Als eine der Voraussetzungen im
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Taubersatz müssen wir sicherstellen, dass die Funktion $F$ holomorph auf eine
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Umgebung der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 0$ fortsetzbar ist. Äquivalent: wir
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müssen sicherstellen, dass die Funktion $\frac{Φ(s)}{s} - \frac{1}{s-1}$
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holomorph auf eine Umgebung der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ fortsetzbar ist.
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Das stellen wir in den folgenden beiden Lemmata sicher.
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\begin{lemma}\label{lem:16-5-2}
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Die Funktion $Φ(s) - \frac{1}{s-1}$ ist auf der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$
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holomorph.
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\begin{lemma}[Fortsetzbarkeit I]\label{lem:16-5-2}%
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Die Funktion $Φ(s) - \frac{1}{s-1}$ ist holomorph auf eine Umgebung der Menge
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$\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ fortsetzbar.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Schreibe
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@@ -878,9 +943,9 @@ ist. Also müssen wir die Funktion $Φ$ diskutieren.
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Weil $ζ$ für $\mathfrak{Re}(s) > 1$ holomorph ist, folgt die Behauptung.
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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Die Funktion $\frac{Φ(s)}{s} - \frac{1}{s-1}$ ist auf der Menge
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$\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ holomorph.
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\begin{lemma}[Fortsetzbarkeit II]\label{lem:16-6-3}%
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Die Funktion $\frac{Φ(s)}{s} - \frac{1}{s-1}$ ist holomorph auf eine Umgebung
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der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ fortsetzbar.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Nach Lemma~\ref{lem:16-5-2} ist die Funktion $Φ(s) - \frac{1}{s-1}$ auf der
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@@ -892,39 +957,7 @@ ist. Also müssen wir die Funktion $Φ$ diskutieren.
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$\frac{Φ(s)}{s} - \frac{1}{s-1}$.
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\end{proof}
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Der Primzahlsatz benötigt noch weitere Lemmata.
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\begin{lemma}
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Betrachte die Funktion
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\[
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θ: ℝ⁺ → ℝ, \quad x ↦ \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(p).
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\]
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Dann ist die Funktion $x ↦ \frac{θ(x)}{x}$ auf der Menge $x ≥ 1$ beschränkt.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Jede Primzahl $p$ mit $n < p \le 2n$ teilt $\binom{2n}{n}$. Damit gilt:
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\[
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||||
e^{θ(2n) - θ(n)} = \prod_{n < p \le 2n} p ≤ \binom{2n}{n} ≤ \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} = 2^{2n}
|
||||
\]
|
||||
und
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||||
\begin{equation}\label{eq:16-4-4-1}
|
||||
θ(2n) - θ(n) ≤ 2n·\ln(2).
|
||||
\end{equation}
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||||
Fixiere $N ∈ ℕ⁺$ und wähle ein $m ∈ ℕ⁺$ mit $2^{m-1} < N \le 2^m$. Dann gilt:
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||||
\begin{align*}
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||||
θ(N) & ≤ θ(2^m) = θ(2^m) - θ(2⁰) \\
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||||
& = \sum_{k=1}^m \left( θ(2^k) - θ(2^{k-1}) \right) \\
|
||||
& ≤ (\ln 2) \left( 2^m + 2^{m-1} + … + 2 \right) && \text{\eqref{eq:16-4-4-1}} \\
|
||||
& = 2·(\ln 2)·(2^m - 1) \\
|
||||
& ≤ 4 · (\ln 2) · 2^{m-1} \\
|
||||
& < 4 · (\ln 2) · N.
|
||||
\end{align*}
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||||
Insbesondere gilt $\frac{θ(N)}{N} < 4 \, \ln 2$, wie benötigt.
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\end{proof}
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Jetzt spielt der Taubersatz eine Rolle.
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\begin{lemma}\label{lem:16-4-4}%
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\begin{lemma}[Anwendung des Taubersatzes]\label{lem:16-4-4}%
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Das uneigentliche Integral
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\[
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\int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x²} \, dx
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@@ -946,18 +979,21 @@ Jetzt spielt der Taubersatz eine Rolle.
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& = \int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x^{s+2}} \, dx \\
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& = \frac{Φ(s+1)}{s+1} - \frac{1}{s}.
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||||
\end{align*}
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Der letzte Ausdruck ist aber auf der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 0$ holomorph.
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Damit folgt aus Satz~\ref{satz:16-4-1} („Taubersatz von Newman“), dass das
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Integral
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Der letzte Ausdruck ist aber nach Lemma~\ref{lem:16-6-3} holomorph auf eine
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Umgebung der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ fortsetzbar. Damit folgt aus
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Satz~\ref{satz:16-4-1} („Taubersatz von Newman“), dass das Integral
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\[
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||||
\int_0^∞ h\left(e^t\right) \, e^{-t} \, dt
|
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\]
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existiert und gleich $\int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x²} \, dx$ ist.
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\end{proof}
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\begin{kor}\label{kor:16-4-5}%
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\subsection{Schritt 3: Existenz des Grenzwertes}
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\begin{lemma}[Existenz des Grenzwertes]\label{lem:16-4-5}%
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Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{θ(x)}{x} = 1$.
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\end{kor}
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Angenommen, es existiert eine Zahl $λ > 1$, sodass für alle ausreichend großen
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$u$ die Ungleichung $θ(u) ≥ λ·u$ gilt. Dann ist aber
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@@ -976,20 +1012,34 @@ Jetzt spielt der Taubersatz eine Rolle.
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\end{proof}
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\section{Beweis des Primzahlsatzes, Satz~\ref*{satz:16-1-3}}
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\subsection{Schritt 4: Ende des Beweises}
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Um die gewünschte Konvergenz zu zeigen, zeigen wir im Rest des Beweises die
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folgenden Ungleichungen zwischen dem Limes Superior und dem Limes Inferior der
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gesuchten Funktion,
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\[
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\liminf_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} ≥ 1 \geq \limsup_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x}.
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\]
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\paragraph{Abschätzung des Limes Inferior}
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Für jede Zahl $x$ gilt die Ungleichung
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\[
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θ(x) = \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(p) ≤ \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(x) = π (x) \, \ln(x).
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\]
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Nach Korollar~\ref{kor:16-4-5} ist damit
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Nach Lemma~\ref{lem:16-4-5} ist damit
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\[
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\liminf_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} ≥ \lim_{x → ∞} \frac{θ(x)}{x} \overset{\text{Kor.}}{=} 1.
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||||
\liminf_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} ≥ \lim_{x → ∞} \frac{θ(x)}{x} \overset{\text{Lem.}}{=} 1.
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\]
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\paragraph{Abschätzung des Limes Superior}
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Auf der anderen Seite finden wir für jede Zahl $ε > 0$ eine Abschätzung
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\begin{align*}
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θ(x) ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} \ln(p) & ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} (1-ε) · \ln(x) && \text{weil } p > x^{1-ε}\\
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θ(x) & ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} \ln(p) \\
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& ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} (1-ε) · \ln(x) && \text{weil } p > x^{1-ε} \\
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& ≥ (1-ε) · \ln(x) · \left( π (x) - π \left(x^{1-ε}\right) \right) \\
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& ≥ (1-ε) · \ln(x) · \left( π (x) - x^{1-ε} \right)
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\end{align*}
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