From 1fd06fcb686a10b01441ea1ef56e7361403ac2b5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Mon, 2 Feb 2026 15:31:15 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Working=E2=80=A6?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 1 + .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 1 + 16-Zahlentheorie.tex | 174 +++++++++++++------- 3 files changed, 114 insertions(+), 62 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 93c6e0d..8fe1eb3 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -107,3 +107,4 @@ Summierbarkeitsmethode Taubersatzes Argentino Fortsetzungssatz +Beschränktheitsaussage diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 330e9cc..b432d5c 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -56,3 +56,4 @@ {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Nullstellen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q…\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qheißen “trivial Nullstellen”, die Nullstellen im kritischen Streifen heissen “nicht-trivialee Nullstellen”\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qheißen „trivial Nullstellen“, die Nullstellen im kritischen Streifen heißen „nicht-triviale Nullstellen“.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QNach Lemma \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist damit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QLem.\\E$"} diff --git a/16-Zahlentheorie.tex b/16-Zahlentheorie.tex index 55b5615..5dff854 100644 --- a/16-Zahlentheorie.tex +++ b/16-Zahlentheorie.tex @@ -28,7 +28,7 @@ unendlich viele Primzahlen. Eine sinnvollere Frage ist vielleicht die folgende. \end{rem} \begin{satz}[Primzahlsatz]\label{satz:16-1-3}% - Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{π(x) · \log(x)}{x} = 1$. + \index{Primzahlsatz}Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{π(x) · \log(x)}{x} = 1$. \end{satz} \begin{rem}[Interpretation des Primzahlsatzes] @@ -688,15 +688,9 @@ erlaubt, aus dem Konvergenzverhalten eines Mittelwerts (oder einer Summierbarkeitsmethode) auf das Konvergenzverhalten der ursprünglichen Folge oder Reihe zu schließen. -Newman's Beweis des Primzahlsatzes, den wir hier wiedergeben, stammt aus dem -Jahr 1972. Das Manuskript mit dem Titel „\foreignlanguage{english}{Simple -analytic proof of the prime number theorem}“ erschien 1980 im -\foreignlanguage{english}{American Mathematical Monthly} und ist durch seine -besondere Kürze und damit relativ hohe Zugänglichkeit bekannt. - \begin{satz}[Taubersatz von Newman]\label{satz:16-4-1}% - Sei $f: [0, ∞) → ℂ$ beschränkt und lokal integrierbar. Die - Laplace-Transformierte + \index{Taubersatz von Newman}Sei $f: [0, ∞) → ℂ$ beschränkt und lokal + integrierbar. Die Laplace-Transformierte \[ F(z) := \int_0^∞ f(t) \, e^{-zt} \, dt, \quad \mathfrak{Re}(z) > 0 \] @@ -830,21 +824,92 @@ besondere Kürze und damit relativ hohe Zugänglichkeit bekannt. \end{proof} -\subsection{Anwendung des Taubersatzes auf den Primzahlsatz} +\section{Beweis des Primzahlsatzes, Satz~\ref*{satz:16-1-3}} + +Newman's Beweis des Primzahlsatzes, den wir hier wiedergeben, stammt aus dem +Jahr 1972. Das Manuskript mit dem Titel „\foreignlanguage{english}{Simple +analytic proof of the prime number theorem}“ erschien 1980 im +\foreignlanguage{english}{American Mathematical Monthly} und ist durch seine +besondere Kürze und damit relativ hohe Zugänglichkeit bekannt. Bilden Sie sich +selbst eine Meinung. + +Wir betrachten die Funktion +\[ + θ: ℝ⁺ → ℝ, \quad x ↦ \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(p). +\] +Im Laufe des Beweises werden wir folgende Eigenschaften zeigen. +\begin{description} + \item[Schritt 1] Die Funktion $x \mapsto \frac{\theta(x)}{x}$ ist auf dem + Intervall $[1, \infty)$ beschränkt. --- Das ist eine lästige, elementare + Rechnung. + + \item[Schritt 2] Das uneigentliche Integral $\int_1^\infty + \frac{\theta(x)-x}{x^2}\:dx$ konvergiert. --- Dies ist der wesentliche Punkt + im Beweis. Um die Existenz des Integrals zu zeigen, wird neben der + Beschränktheitsaussage von Schritt 1 der Taubersatz angewendet und die + Riemannsche $\zeta$-Funktion benutzt. Dies ist die einzige Stelle des + Beweises, wo die Riemannsche $\zeta$-Funktion auftaucht. + + \item[Schritt 3] Es ist $\lim \frac{\theta(x)}{x} = 1$. --- Das ist wieder + eine lästige, elementare Rechnung. Existenz und Wert des Grenzwertes sind + Folgen der Ergebnisse aus Schritt 2. + + \item[Schritt 4] Ende des Beweises. Mithilfe von Schritt 3 können wir den + gesuchten Grenzwert von unten und oben beschränken. +\end{description} + + +\subsection{Schritt 1: Beschränktheit} + +\begin{lemma}[Beschränktheit] + Die Funktion $x ↦ \frac{θ(x)}{x}$ ist auf der Menge $x ≥ 1$ beschränkt. +\end{lemma} +\begin{proof} + Jede Primzahl $p$ mit $n < p \le 2n$ teilt $\binom{2n}{n}$. Damit gilt: + \[ + e^{θ(2n) - θ(n)} = \prod_{n < p \le 2n} p ≤ \binom{2n}{n} ≤ \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} = 2^{2n} + \] + und + \begin{equation}\label{eq:16-4-4-1} + θ(2n) - θ(n) ≤ 2n·\ln(2). + \end{equation} + Fixiere $N ∈ ℕ⁺$ und wähle ein $m ∈ ℕ⁺$ mit $2^{m-1} < N \le 2^m$. Dann gilt: + \begin{align*} + θ(N) & ≤ θ(2^m) = θ(2^m) - θ(2⁰) \\ + & = \sum_{k=1}^m \left( θ(2^k) - θ(2^{k-1}) \right) \\ + & ≤ (\ln 2) \left( 2^m + 2^{m-1} + … + 2 \right) && \text{\eqref{eq:16-4-4-1}} \\ + & = 2·(\ln 2)·(2^m - 1) \\ + & ≤ 4 · (\ln 2) · 2^{m-1} \\ + & < 4 · (\ln 2) · N. + \end{align*} + Insbesondere gilt $\frac{θ(N)}{N} < 4 \, \ln 2$, wie benötigt. +\end{proof} + + +\subsection{Schritt 2: Existenz des Integrals} Wir wollen den Taubersatz auf die Funktion \[ - F(s) := \frac{Φ(s+1)}{s+1} - \frac{1}{s} + f(t) := \frac{\theta(e^t)}{e^t} - 1 \] -anwenden, wobei +anwenden. Eine Rechnung wird zeigen, dass die Funktion $F$ dann durch \[ - Φ(s) := \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln p}{p^s} + F(s) := \frac{\Phi(s+1)}{s+1} - \frac{1}{s} \] -ist. Also müssen wir die Funktion $Φ$ diskutieren. +gegeben ist, wobei +\[ + Φ(s) := \sum_{p \text{ prim}} \frac{\ln p}{p^s}. +\] +Also müssen wir die Funktion $Φ$ diskutieren. Als eine der Voraussetzungen im +Taubersatz müssen wir sicherstellen, dass die Funktion $F$ holomorph auf eine +Umgebung der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 0$ fortsetzbar ist. Äquivalent: wir +müssen sicherstellen, dass die Funktion $\frac{Φ(s)}{s} - \frac{1}{s-1}$ +holomorph auf eine Umgebung der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ fortsetzbar ist. +Das stellen wir in den folgenden beiden Lemmata sicher. -\begin{lemma}\label{lem:16-5-2} - Die Funktion $Φ(s) - \frac{1}{s-1}$ ist auf der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ - holomorph. +\begin{lemma}[Fortsetzbarkeit I]\label{lem:16-5-2}% + Die Funktion $Φ(s) - \frac{1}{s-1}$ ist holomorph auf eine Umgebung der Menge + $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ fortsetzbar. \end{lemma} \begin{proof} Schreibe @@ -878,9 +943,9 @@ ist. Also müssen wir die Funktion $Φ$ diskutieren. Weil $ζ$ für $\mathfrak{Re}(s) > 1$ holomorph ist, folgt die Behauptung. \end{proof} -\begin{lemma} - Die Funktion $\frac{Φ(s)}{s} - \frac{1}{s-1}$ ist auf der Menge - $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ holomorph. +\begin{lemma}[Fortsetzbarkeit II]\label{lem:16-6-3}% + Die Funktion $\frac{Φ(s)}{s} - \frac{1}{s-1}$ ist holomorph auf eine Umgebung + der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ fortsetzbar. \end{lemma} \begin{proof} Nach Lemma~\ref{lem:16-5-2} ist die Funktion $Φ(s) - \frac{1}{s-1}$ auf der @@ -892,39 +957,7 @@ ist. Also müssen wir die Funktion $Φ$ diskutieren. $\frac{Φ(s)}{s} - \frac{1}{s-1}$. \end{proof} -Der Primzahlsatz benötigt noch weitere Lemmata. - -\begin{lemma} - Betrachte die Funktion - \[ - θ: ℝ⁺ → ℝ, \quad x ↦ \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(p). - \] - Dann ist die Funktion $x ↦ \frac{θ(x)}{x}$ auf der Menge $x ≥ 1$ beschränkt. -\end{lemma} -\begin{proof} - Jede Primzahl $p$ mit $n < p \le 2n$ teilt $\binom{2n}{n}$. Damit gilt: - \[ - e^{θ(2n) - θ(n)} = \prod_{n < p \le 2n} p ≤ \binom{2n}{n} ≤ \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k} = 2^{2n} - \] - und - \begin{equation}\label{eq:16-4-4-1} - θ(2n) - θ(n) ≤ 2n·\ln(2). - \end{equation} - Fixiere $N ∈ ℕ⁺$ und wähle ein $m ∈ ℕ⁺$ mit $2^{m-1} < N \le 2^m$. Dann gilt: - \begin{align*} - θ(N) & ≤ θ(2^m) = θ(2^m) - θ(2⁰) \\ - & = \sum_{k=1}^m \left( θ(2^k) - θ(2^{k-1}) \right) \\ - & ≤ (\ln 2) \left( 2^m + 2^{m-1} + … + 2 \right) && \text{\eqref{eq:16-4-4-1}} \\ - & = 2·(\ln 2)·(2^m - 1) \\ - & ≤ 4 · (\ln 2) · 2^{m-1} \\ - & < 4 · (\ln 2) · N. - \end{align*} - Insbesondere gilt $\frac{θ(N)}{N} < 4 \, \ln 2$, wie benötigt. -\end{proof} - -Jetzt spielt der Taubersatz eine Rolle. - -\begin{lemma}\label{lem:16-4-4}% +\begin{lemma}[Anwendung des Taubersatzes]\label{lem:16-4-4}% Das uneigentliche Integral \[ \int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x²} \, dx @@ -946,18 +979,21 @@ Jetzt spielt der Taubersatz eine Rolle. & = \int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x^{s+2}} \, dx \\ & = \frac{Φ(s+1)}{s+1} - \frac{1}{s}. \end{align*} - Der letzte Ausdruck ist aber auf der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 0$ holomorph. - Damit folgt aus Satz~\ref{satz:16-4-1} („Taubersatz von Newman“), dass das - Integral + Der letzte Ausdruck ist aber nach Lemma~\ref{lem:16-6-3} holomorph auf eine + Umgebung der Menge $\mathfrak{Re}(s) ≥ 1$ fortsetzbar. Damit folgt aus + Satz~\ref{satz:16-4-1} („Taubersatz von Newman“), dass das Integral \[ \int_0^∞ h\left(e^t\right) \, e^{-t} \, dt \] existiert und gleich $\int_1^∞ \frac{θ(x) - x}{x²} \, dx$ ist. \end{proof} -\begin{kor}\label{kor:16-4-5}% + +\subsection{Schritt 3: Existenz des Grenzwertes} + +\begin{lemma}[Existenz des Grenzwertes]\label{lem:16-4-5}% Es ist $\lim_{x → ∞} \frac{θ(x)}{x} = 1$. -\end{kor} +\end{lemma} \begin{proof} Angenommen, es existiert eine Zahl $λ > 1$, sodass für alle ausreichend großen $u$ die Ungleichung $θ(u) ≥ λ·u$ gilt. Dann ist aber @@ -976,20 +1012,34 @@ Jetzt spielt der Taubersatz eine Rolle. \end{proof} -\section{Beweis des Primzahlsatzes, Satz~\ref*{satz:16-1-3}} +\subsection{Schritt 4: Ende des Beweises} + +Um die gewünschte Konvergenz zu zeigen, zeigen wir im Rest des Beweises die +folgenden Ungleichungen zwischen dem Limes Superior und dem Limes Inferior der +gesuchten Funktion, +\[ + \liminf_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} ≥ 1 \geq \limsup_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x}. +\] + + +\paragraph{Abschätzung des Limes Inferior} Für jede Zahl $x$ gilt die Ungleichung \[ θ(x) = \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(p) ≤ \sum_{p \le x, \, p \text{ prim}} \ln(x) = π (x) \, \ln(x). \] -Nach Korollar~\ref{kor:16-4-5} ist damit +Nach Lemma~\ref{lem:16-4-5} ist damit \[ - \liminf_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} ≥ \lim_{x → ∞} \frac{θ(x)}{x} \overset{\text{Kor.}}{=} 1. + \liminf_{x → ∞} \frac{π (x) \, \ln(x)}{x} ≥ \lim_{x → ∞} \frac{θ(x)}{x} \overset{\text{Lem.}}{=} 1. \] + +\paragraph{Abschätzung des Limes Superior} + Auf der anderen Seite finden wir für jede Zahl $ε > 0$ eine Abschätzung \begin{align*} - θ(x) ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} \ln(p) & ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} (1-ε) · \ln(x) && \text{weil } p > x^{1-ε}\\ + θ(x) & ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} \ln(p) \\ + & ≥ \sum_{x^{1-ε} < p \le x} (1-ε) · \ln(x) && \text{weil } p > x^{1-ε} \\ & ≥ (1-ε) · \ln(x) · \left( π (x) - π \left(x^{1-ε}\right) \right) \\ & ≥ (1-ε) · \ln(x) · \left( π (x) - x^{1-ε} \right) \end{align*}