Working on lecture 3
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Stefan Kebekus
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@@ -1,3 +1,4 @@
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Multiplikationsabbildung
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Majorantenkriterium
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Summenregel
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Drehstreckungsmatrix
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@@ -3,3 +3,8 @@
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qist.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar mit Ableitungsmatrix \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QMat\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Implikation \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist exakt die Aussage von Konsequenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Umkehrrichtung lasse ich als Hausaufgabe, damit Sie sich an die Definitionen und Sätze der Vorlesung „Analysis II“ erinnern.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine eigene Notation entwickelt hat.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und es ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und die Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.\\E$"}
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@@ -55,14 +55,14 @@ Analysis-Vorlesungen.
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\end{definition}
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\section{Komplex Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit}
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\section{Die Cauchy-Riemann Gleichungen}
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Definitionen~\ref{def:2-1-1} und \ref{def:2-1-3} sehen völlig gleich aus. Das
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wirft die Frage auf: Ist komplexe Differenzierbarkeit wirklich ein neuer
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Begriff? Gibt es einen Unterschied zum Begriff der Differenzierbarkeit von
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Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis“ kennen?
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\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]
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\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]\label{eri:2-2-1}
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Es sei $U ⊂ ℝ²$ offen und $p ∈ U$. Eine Abbildung $f: U → ℝ²$ heißt bei $p$
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differenzierbar mit Ableitungsmatrix $A ∈ \text{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$, wenn
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\[
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@@ -80,78 +80,85 @@ Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis
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\]
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Dann ist $A$ die Matrix der partiellen Ableitungen,
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\[
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A = \begin{pmatrix} \frac{∂}{∂ x}f_1(p) & \frac{∂}{∂ y} f_1(p) \\ \frac{∂}{∂ x} f_2(p) & \frac{∂}{∂ y} f_2(p) \end{pmatrix}.
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||||
A = \begin{pmatrix} \frac{∂f_1}{∂ x}(p) & \frac{∂f_1}{∂ y}(p) \\ \frac{∂f_2}{∂ x} (p) & \frac{∂f_2}{∂ y} (p) \end{pmatrix}.
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\]
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\end{erinnerung}
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\begin{notation}
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Wie in der Analysis üblich bezeichnen wir die Ableitungsmatrix (=
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„Jacobi-Matrix“) einer Abbildung $f : ℝ² → ℝ²$ (oder äquivalent: $f : ℂ → ℂ$)
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mit $J_f(p)$.
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\end{notation}
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\subsubsection{Proberechnungen}
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Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen,
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machen wir in diesem Abschnitt eine große Proberechnung. Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
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und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit
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Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$. Es gilt also
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\[
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\begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, I]
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||||
Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen,
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||||
machen wir eine große Proberechnung. Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
|
||||
und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit
|
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Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$. Es gilt also
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\[
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\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ = d_1 + i · d_2.
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||||
\]
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||||
Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist
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\begin{equation}\label{eq:2-2-1-1}
|
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\]
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||||
Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist
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||||
\begin{equation}\label{eq:2-2-1-1}
|
||||
\lim_{n → ∞} \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n} = δ = d_1 + i · d_2.
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||||
\end{equation}
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||||
Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in
|
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Komponenten,
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||||
\[
|
||||
\end{equation}
|
||||
Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in
|
||||
Komponenten,
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||||
\[
|
||||
p = p_1 + i·p_2
|
||||
\quad\text{und}\quad
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||||
f(x + iy) = f_1(x,y) + i · f_2(x,y).
|
||||
\]
|
||||
\]
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|
||||
\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge}
|
||||
\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge}
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||||
|
||||
Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir also
|
||||
zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist. Dann ist
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||||
\begin{align*}
|
||||
d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\
|
||||
& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
|
||||
& = \frac{∂}{∂ x}f_1(p_1, p_2) + i \frac{∂}{∂ x} f_2(p_1, p_2).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wir sehen:
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||||
\begin{equation}\label{eq:2-2-1-2}
|
||||
\frac{∂}{∂ x} f_1(p) = d_1
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||||
Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir
|
||||
also zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist. Dann ist
|
||||
\begin{align*}
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||||
d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\
|
||||
& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
|
||||
& = \frac{∂f_1}{∂ x}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ x} (p_1, p_2).
|
||||
\end{align*}
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||||
Wir sehen:
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||||
\begin{equation}\label{eq:2-2-1-2}
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||||
\frac{∂f_1}{∂ x} (p) = d_1
|
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\quad\text{und}\quad
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||||
\frac{∂}{∂ x} f_2(p) = d_2.
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||||
\end{equation}
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\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge}
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Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir also
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als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen
|
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ist. Dann ist
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\begin{align*}
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||||
d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\
|
||||
& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\
|
||||
& = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
|
||||
& = -i·\left(\frac{∂}{∂ y}f_1(p_1, p_2) + i \frac{∂}{∂ y} f_2(p_1, p_2)\right) \\
|
||||
& = \frac{∂}{∂ y} f_2(p_1, p_2)-i·\frac{∂}{∂ y}f_1(p_1, p_2).
|
||||
\end{align*}
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Wir sehen:
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\begin{equation}\label{eq:2-2-1-3}
|
||||
\frac{∂}{∂ y} f_2(p) = d_1
|
||||
\quad\text{und}\quad
|
||||
\frac{∂}{∂ y} f_1(p) = -d_2.
|
||||
\end{equation}
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Wir beenden die Proberechnungen hier. Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
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\begin{prop}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
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||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex
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||||
differenzierbar. Schreibe $f$ in Komponenten, $f$ in Komponenten, $f = f_1 +
|
||||
i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann ist
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||||
\begin{equation}\label{eq:2-2-2-1}
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||||
\frac{∂}{∂ x} f_1(p) = \frac{∂}{∂ y} f_2(p)
|
||||
\quad\text{und}\quad
|
||||
\frac{∂}{∂ y} f_1(p) = -\frac{∂}{∂ x} f_2(p).
|
||||
\frac{∂f_2}{∂ x} (p) = d_2.
|
||||
\end{equation}
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||||
\end{prop}
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\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge}
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Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir
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also als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen
|
||||
Zahlen ist. Dann ist
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\begin{align*}
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||||
d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\
|
||||
& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\
|
||||
& = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
|
||||
& = -i·\left(\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)\right) \\
|
||||
& = \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)-i·\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Wir sehen:
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||||
\begin{equation}\label{eq:2-2-1-3}
|
||||
\frac{∂f_2}{∂ y} (p) = d_1
|
||||
\quad\text{und}\quad
|
||||
\frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -d_2.
|
||||
\end{equation}
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||||
Wir beenden die Proberechnung hier.
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\end{proberechnung}
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Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
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\begin{kons}[Cauchy-Riemann Gleichungen]\label{kons:2-2-3}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex
|
||||
differenzierbar. Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1,
|
||||
f_2 : U → ℝ$. Dann sind $f_1$ und $f_2$ bei $p$ differenzierbar und es ist
|
||||
\begin{equation}\label{eq:2-2-2-1}
|
||||
\frac{∂f_1}{∂ x} (p) = \frac{∂f_2}{∂ y} (p)
|
||||
\quad\text{und}\quad
|
||||
\frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -\frac{∂f_2}{∂ x} (p).
|
||||
\end{equation}
|
||||
\end{kons}
|
||||
\begin{proof}
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||||
Vergleiche~\eqref{eq:2-2-1-2} und \eqref{eq:2-2-1-3}.
|
||||
\end{proof}
|
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@@ -161,7 +168,262 @@ Wir beenden die Proberechnungen hier. Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
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||||
partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
|
||||
\end{notation}
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\sideremark{Vorlesung 3}Es gilt sogar eine Äquivalenz.
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\begin{satz}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion.
|
||||
Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann
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||||
sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:2-2-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex
|
||||
differenzierbar.
|
||||
|
||||
\item\label{il:2-2-5-2} Die Funktionen $f_1$ und $f_2$ sind bei $p$
|
||||
differenzierbar und erfüllen die Cauchy-Riemann Gleichungen
|
||||
\eqref{eq:2-2-2-1}.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
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||||
\begin{proof}
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||||
Die Implikation \ref{il:2-2-5-1} $⇔$ \ref{il:2-2-5-2} ist exakt die Aussage
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von Konsequenz~\ref{kons:2-2-3}. Die Umkehrrichtung lasse ich als
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||||
Hausaufgabe, damit Sie sich an die Definitionen und Sätze der Vorlesung
|
||||
„Analysis~II“ erinnern.
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\end{proof}
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Die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine
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eigene Notation entwickelt hat.
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|
||||
\begin{notation}[Wirtinger-Kalkül]\label{not:2-2-6}%
|
||||
\index{Wirtinger-Kalkül}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine
|
||||
komplex-wertige Funktion. Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$,
|
||||
mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Wenn $f_1$ und $f_2$ bei $p$ partiell differenzierbar
|
||||
sind, dann schreibt man
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\frac{∂ f}{∂ z}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) - i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\
|
||||
& = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) - i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\
|
||||
& = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(-\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\
|
||||
\intertext{und}
|
||||
\frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\
|
||||
& = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\
|
||||
& = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) - \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\
|
||||
\end{align*}
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Komplexe Differenzierbarkeit und Wirtinger-Kalkül]
|
||||
Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion.
|
||||
Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann
|
||||
sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar.
|
||||
|
||||
\item Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es ist $\frac{∂ f}{∂
|
||||
\bar{z}}(p) = 0$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Falls die äquivalenten Bedingungen erfüllt sind, gilt auch $f'(p) = \frac{∂
|
||||
f}{∂ z}(p)$.
|
||||
\end{prop}
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Vergleiche die letzte Zeile von Notation~\ref{not:2-2-6} mit den
|
||||
Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit}
|
||||
|
||||
Wir vergleichen in diesem Abschnitt noch einmal die Begriffe „Komplexe
|
||||
Differenzierbarkeit“ und „Differenzierbarkeit“. Diesmal geht es darum, die Rolle
|
||||
der Ableitungsmatrix zu verstehen. Wir starten wieder mit einer Proberechnung.
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}[Komplexe Multiplikation = Drehstreckung]
|
||||
Sei $δ ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl. Dann ist die Multiplikationsabbildung
|
||||
\[
|
||||
m_δ : ℂ → ℂ, \quad z ↦ δ·z
|
||||
\]
|
||||
eine Drehstreckung. Wenn ich die $ℂ$ und $ℝ²$ wie üblich identifiziere, dann
|
||||
ist die Drehstreckung $m_δ : ℝ² → ℝ²$ linear und durch Multiplikation mit
|
||||
einer Matrix $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ beschrieben.
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}[Lineare Algebra]\label{eri:2-3-2}%
|
||||
Betrachte die Matrix
|
||||
\[
|
||||
A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ).
|
||||
\]
|
||||
Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die zur Matrixmultiplikation mit $A$ gehörende Abbildung $ℝ² → ℝ²$ ist
|
||||
eine Drehstreckung.
|
||||
|
||||
\item\label{il:2-3-2-2} Es gilt $a = d$ und $b = -c$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{frage}
|
||||
Kennen wir die Gleichungen \ref{il:2-3-2-2} irgendwoher?
|
||||
\end{frage}
|
||||
|
||||
\begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, II]
|
||||
Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Weiter sei
|
||||
$δ ∈ ℂ$ eine Zahl und es sei $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ die zur
|
||||
Multiplikation $δ$ gehörende Drehstreckungsmatrix. Dann gilt Folgendes:
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p) - δ · h}{h} = 0 \\
|
||||
& ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - δ · h|}{|h|} = 0 \\
|
||||
& ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Also sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar mit Ableitung
|
||||
$f'(p) = δ$
|
||||
|
||||
\item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ differenzierbar mit Ableitungsmatrix
|
||||
$J_f(p) = A$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{proberechnung}
|
||||
|
||||
Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang
|
||||
zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Dann sind
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die folgenden Aussagen äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:2-3-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar.
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\item\label{il:2-3-5-2} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es
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gelten die Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}.
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\item\label{il:2-3-5-3} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es
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ist $\frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) = 0$.
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\item\label{il:2-3-5-4} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und die
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Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $Leftrightarrow$
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\ref{il:2-3-5-2} interessant. Betrachte dazu die Ableitungsmatrix von $f$ wie
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in Erinnerung~\ref{eri:2-2-1} und vergleiche die Cauchy-Riemann Gleichungen
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\eqref{eq:2-2-2-1} mit Erinnerung~\ref{eri:2-3-2}.
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\end{proof}
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\section{Einige fundamentale holomorphe Funktionen}
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\subsection{Fingerübung beim Ableiten}
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Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen, und sei $γ: V → U$ total differenzierbar.
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Dann ist $V \ni t ↦ V$, $γ'(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t)
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\end{pmatrix} ∈ ℝ² = ℂ$, kann also als komplexe Zahl aufgefasst werden. Jetzt
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sei $f ∈ 𝒪(U)$.
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Ich interessiere mich für die Ableitung von $f ◦ γ: V → ℂ$.
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Nach der Kettenregel für total differenzierbare Funktionen ist
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\begin{align}
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(f ◦ γ)'(t) &= J_{f}|_{γ(t)} · γ'(t)\\
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&= \begin{pmatrix} 2×2\text{-Matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Vektor} \end{pmatrix}\\
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&= \text{Drehstreckung zu } f'(γ(t))\\
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&= f'(γ(t)) · γ'(t)\\
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&= \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix}
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\end{align}
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mittels von komplexen Zahlen.
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\begin{kons}
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Real-komplexe Kettenregel
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\end{kons}
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\subsection{Beispiele von holomorphen Funktionen}
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\paragraph{Direkte Nachrechnung / Summen- und Produktregel}
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\begin{itemize}
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\item Alle Polynome sind holomorph: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$
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\item Direkte Nachrechnung / Summen-, Produkt- und Quotientenregel
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\item Alle rationalen Funktionen sind holomorph: $ℂ(z) ⊂ 𝒪(ℂ ∖
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\{\text{Nullstellen des Nenners}\})$
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\end{itemize}
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\paragraph{Direktes Nachrechnen}
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\begin{itemize}
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\item $\exp: ℂ → ℂ^{⨯}$, $x+iy ↦ e^x \begin{pmatrix} \cos y \\ \sin y \end{pmatrix}$ ist holomorph
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mit $\exp' = \exp$.
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Also sind $\sin$ und $\cos$ holomorph.
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\end{itemize}
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\paragraph{Direktes Nachrechnen / Kettenregel}
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\begin{itemize}
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\item Verkettungen von holomorphen Funktionen sind holomorph:
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$\exp(2z + 4z⁷)$, $\sin(z⁸) ∈ 𝒪(ℂ)$.
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\end{itemize}
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\subsection{Kettenregel}
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\begin{prop}
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph,
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sodass die folgenden Bedingungen gelten:
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\begin{enumerate}
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\item $f$ ist injektiv.
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\item $\forall p ∈ U: f'(p) ≠ 0$.
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\end{enumerate}
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Dann ist $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und $f^{-1}: V → U$ ist wieder
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holomorph.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Wir wissen aus Analysis II: $V := f(U)$ ist offen und
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$f^{-1}: V → U$ ist total differenzierbar. Genauer: wenn $q ∈ V$ ist
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mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist
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Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
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\[
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= \left(\text{Ableitungsmatrix von } f \text{ bei } p\right)^{-1}
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\]
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Klar: per Annahme ist $A$ ist Drehstreckung, Faktor $≠ 0$.
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Also ist auch $A^{-1}$ eine Drehstreckung $⇒ f^{-1}$ erfüllt bei $q$
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die Cauchy-Riemann Gleichungen.
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\end{proof}
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\subsection{Konkrete Beispiele}
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\begin{enumerate}
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\item[A)] $U = \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} =$ „obere Halbebene"
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$f: U → \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} ⊂ ℂ$
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$z ↦ z²$
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Also gibt es eine holomorphe Wurzelfunktion
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$\sqrt{\ }: $ geeignet Ebene $→ U$
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\item[B)] Ditto mit Logarithmus, falls $U$ geeignet klein ist.
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Erinnerung:
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\[
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\log z = \log|z| + i · \arg(z)
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\]
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... sieht schrecklich aus, ist aber gar nicht so schlimm, denn
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$\forall z ∈ U: z = \log(\exp(z))$
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$⇒ \forall z ∈ U: 1 = \log'(\exp(z)) · \exp'(z)$ (Kettenregel)
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$⇒ \forall z ∈ U: \log'(\exp(z)) = \frac{1}{\exp(z)}$
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$⇒ \forall z ∈ V: \log'(z) = \frac{1}{z}$
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\end{enumerate}
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% !TEX root = LineareAlgebra2
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@@ -42,6 +42,7 @@
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\newcommand\video[1]{\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Skript.pdf}{(Skript)}}
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\theoremstyle{plain}
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\newtheorem{proberechnung}[thm]{Proberechnung}
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\newtheorem{merke}[thm]{Merke}
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\newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe}
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\newtheorem{satz}[thm]{Satz}
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Reference in New Issue
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