Funktionentheorie/02-diffbarkeit.tex

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\chapter{Differenzierbarkeit}

\section{Holomorphe Funktionen}

Wir definieren in wenigen Zeilen, komplexe Differenzierbarkeit von Funktionen
$ℂ → ℂ$.  Vorher erinnern wir kurz an die relevanten Begriffe aus den
Analysis-Vorlesungen.

\begin{definition}[Reelle Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-1}
  Es sei $U ⊂ ℝ$ offen und $p ∈ U$.  Eine Funktion $f: U → ℝ$ ist
  bei $p$ differenzierbar mit Ableitung $δ ∈ ℝ$, wenn
  \[
    \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ
  \]
  ist.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  Reell differenzierbare Funktionen sind stetig.  Es gelten die Summenregel,
  Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, …
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Komplexe Differenzierbarkeit]\label{def:2-1-3}
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$.  Eine Funktion $f: U → ℂ$ ist
  bei $p$ komplex differenzierbar\index{komplex differenzierbar} mit Ableitung
  $δ ∈ ℂ$, wenn
  \[
    \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ
  \]
  ist.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  Genau wie in der Vorlesung „Analysis“ beweist man: komplex differenzierbare
  Funktionen sind stetig.  Es gelten die Summenregel, Produktregel,
  Quotientenregel, Kettenregel, …
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Holomorphie an einem Punkt]
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$.  Eine Funktion $f: U → ℂ$ heißt
  „holomorph\index{holomorph} bei $p$“, wenn es eine offene Umgebung $p ∈ V ⊂ U$
  gibt, sodass $f$ bei jedem Punkt aus $V$ komplex differenzierbar ist.  Die
  Menge der Funktionen, die bei $p$ holomorph sind, wird mit $𝒪_p$ bezeichnet.
\end{definition}

\begin{definition}[Holomorphie auf einer offenen Menge]
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$.  Eine Funktion $f: U → ℂ$ heißt „holomorph
  auf $U$“, wenn $f$ bei jedem Punkt aus $U$ komplex differenzierbar ist.  In
  diesem Fall wird die Ableitungsfunktion mit $f' : U → ℂ$ bezeichnet.  Die
  Menge der Funktionen, die auf $U$ holomorph sind, wird mit $𝒪(U)$
  bezeichnet.
\end{definition}


\section{Die Cauchy-Riemann Gleichungen}

Definitionen~\ref{def:2-1-1} und \ref{def:2-1-3} sehen völlig gleich aus.  Das
wirft die Frage auf: Ist komplexe Differenzierbarkeit wirklich ein neuer
Begriff?  Gibt es einen Unterschied zum Begriff der Differenzierbarkeit von
Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis“ kennen?

\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]\label{eri:2-2-1}
  Es sei $U ⊂ ℝ²$ offen und $p ∈ U$.  Eine Abbildung $f: U → ℝ²$ heißt bei $p$
  differenzierbar mit Ableitungsmatrix $A ∈ \text{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$, wenn
  \[
    \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0.
  \]
  Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℝ²$ ist
  \[
    \lim_{n → ∞} \frac{|f(p+h_n) - f(p) - A · h_n|}{|h_n|} = 0.
  \]
  Falls $f$ bei $p$ differenzierbar ist, dann wissen wir auch genau, wie die
  Ableitungsmatrix $A$ aussieht.  Dazu schreiben wir die Funktion $f$ zuerst in
  Komponenten,
  \[
    f(x,y) = \begin{pmatrix} f_1(x,y) \\ f_2(x,y) \end{pmatrix}.
  \]
  Dann ist $A$ die Matrix der partiellen Ableitungen,
  \[
    A = \begin{pmatrix} \frac{∂f_1}{∂ x}(p) & \frac{∂f_1}{∂ y}(p) \\ \frac{∂f_2}{∂ x} (p) & \frac{∂f_2}{∂ y} (p) \end{pmatrix}.
  \]
\end{erinnerung}

\begin{notation}
  Wie in der Analysis üblich bezeichnen wir die Ableitungsmatrix (=
  „Jacobi-Matrix“) einer Abbildung $f : ℝ² → ℝ²$ (oder äquivalent: $f : ℂ → ℂ$)
  mit $J_f(p)$.
\end{notation}

\begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, I]
  Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen,
  machen wir eine große Proberechnung.  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
  und $p ∈ U$.  Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit
  Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$.  Es gilt also
  \[
    \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ = d_1 + i · d_2.
  \]
  Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist
  \begin{equation}\label{eq:2-2-1-1}
    \lim_{n → ∞} \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n} = δ = d_1 + i · d_2.
  \end{equation}
  Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in
  Komponenten,
  \[
    p = p_1 + i·p_2
    \quad\text{und}\quad
    f(x + iy) = f_1(x,y) + i · f_2(x,y).
  \]

  \paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge}

  Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen.  Betrachten wir
  also zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist.  Dann ist
  \begin{align*}
  d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\
  & = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
  & = \frac{∂f_1}{∂ x}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ x} (p_1, p_2).
  \end{align*}
  Wir sehen:
  \begin{equation}\label{eq:2-2-1-2}
    \frac{∂f_1}{∂ x} (p) = d_1
    \quad\text{und}\quad
    \frac{∂f_2}{∂ x} (p) = d_2.
  \end{equation}

  \paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge}

  Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen.  Betrachten wir
  also als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen
  Zahlen ist.  Dann ist
  \begin{align*}
  d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\
  & = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\
  & = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
  & = -i·\left(\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)\right) \\
  & = \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)-i·\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2).
  \end{align*}
  Wir sehen:
  \begin{equation}\label{eq:2-2-1-3}
    \frac{∂f_2}{∂ y} (p) = d_1
    \quad\text{und}\quad
    \frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -d_2.
  \end{equation}
  Wir beenden die Proberechnung hier.
\end{proberechnung}

Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.

\begin{kons}[Cauchy-Riemann Gleichungen]\label{kons:2-2-3}%
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$.  Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex
  differenzierbar.  Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1,
  f_2 : U → ℝ$.  Dann sind $f_1$ und $f_2$ bei $p$ differenzierbar und es ist
  \begin{equation}\label{eq:2-2-2-1}
    \frac{∂f_1}{∂ x} (p) = \frac{∂f_2}{∂ y} (p)
    \quad\text{und}\quad
    \frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -\frac{∂f_2}{∂ x} (p).
  \end{equation}
\end{kons}
\begin{proof}
  Vergleiche~\eqref{eq:2-2-1-2} und \eqref{eq:2-2-1-3}.
\end{proof}

\begin{notation}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
  Man nennt das Gleichungssystem~\eqref{eq:2-2-2-1} die „Cauchy-Riemann
  partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
\end{notation}

\sideremark{Vorlesung 3}Es gilt sogar eine Äquivalenz.

\begin{satz}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion.
  Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$.  Dann
  sind die folgenden Aussagen äquivalent.
  \begin{enumerate}
    \item\label{il:2-2-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex
    differenzierbar.

    \item\label{il:2-2-5-2} Die Funktionen $f_1$ und $f_2$ sind bei $p$
    differenzierbar und erfüllen die Cauchy-Riemann Gleichungen
    \eqref{eq:2-2-2-1}.
  \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
  Die Implikation \ref{il:2-2-5-1} $⇔$ \ref{il:2-2-5-2} ist exakt die Aussage
  von Konsequenz~\ref{kons:2-2-3}.  Die Umkehrrichtung lasse ich als
  Hausaufgabe, damit Sie sich an die Definitionen und Sätze der Vorlesung
  „Analysis~II“ erinnern.
\end{proof}

Die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine
eigene Notation entwickelt hat.

\begin{notation}[Wirtinger-Kalkül]\label{not:2-2-6}%
  \index{Wirtinger-Kalkül}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine
  komplex-wertige Funktion.  Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$,
  mit $f_1, f_2 : U → ℝ$.  Wenn $f_1$ und $f_2$ bei $p$ partiell differenzierbar
  sind, dann schreibt man
  \begin{align*}
    \frac{∂ f}{∂ z}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) - i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\
    & = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) - i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\
    & = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(-\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\
    \intertext{und}
    \frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\
    & = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\
    & = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) - \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\
  \end{align*}
\end{notation}


\begin{prop}[Komplexe Differenzierbarkeit und Wirtinger-Kalkül]
  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion.
  Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann
  sind die folgenden Aussagen äquivalent.
  \begin{enumerate}
  \item Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar.

  \item Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es ist $\frac{∂ f}{∂
    \bar{z}}(p) = 0$.
  \end{enumerate}
  Falls die äquivalenten Bedingungen erfüllt sind, gilt auch $f'(p) = \frac{∂
  f}{∂ z}(p)$.
\end{prop}
\begin{proof}
  Vergleiche die letzte Zeile von Notation~\ref{not:2-2-6} mit den
  Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}.
\end{proof}


\section{Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit}

Wir vergleichen in diesem Abschnitt noch einmal die Begriffe „Komplexe
Differenzierbarkeit“ und „Differenzierbarkeit“.  Diesmal geht es darum, die Rolle
der Ableitungsmatrix zu verstehen.  Wir starten wieder mit einer Proberechnung.

\begin{erinnerung}[Komplexe Multiplikation = Drehstreckung]
  Sei $δ ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl.  Dann ist die Multiplikationsabbildung
  \[
    m_δ : ℂ → ℂ, \quad z ↦ δ·z
  \]
  eine Drehstreckung.  Wenn ich die $ℂ$ und $ℝ²$ wie üblich identifiziere, dann
  ist die Drehstreckung $m_δ : ℝ² → ℝ²$ linear und durch Multiplikation mit
  einer Matrix $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ beschrieben.
\end{erinnerung}

\begin{erinnerung}[Lineare Algebra]\label{eri:2-3-2}%
  Betrachte die Matrix
  \[
    A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ).
  \]
  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
  \begin{enumerate}
  \item Die zur Matrixmultiplikation mit $A$ gehörende Abbildung $ℝ² → ℝ²$ ist
  eine Drehstreckung.

  \item\label{il:2-3-2-2} Es gilt $a = d$ und $b = -c$.
  \end{enumerate}
\end{erinnerung}

\begin{frage}
  Kennen wir die Gleichungen \ref{il:2-3-2-2} irgendwoher?
\end{frage}

\begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, II]
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion.  Weiter sei
  $δ ∈ ℂ$ eine Zahl und es sei $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ die zur
  Multiplikation $δ$ gehörende Drehstreckungsmatrix.  Dann gilt Folgendes:
  \begin{align*}
    \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p) - δ · h}{h} = 0 \\
    & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - δ · h|}{|h|} = 0 \\
    & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0.
  \end{align*}
  Also sind die folgenden Aussagen äquivalent.
  \begin{enumerate}
    \item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar mit Ableitung
    $f'(p) = δ$

    \item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ differenzierbar mit Ableitungsmatrix
    $J_f(p) = A$.
  \end{enumerate}
\end{proberechnung}

Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang
zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.

\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion.  Dann sind
  die folgenden Aussagen äquivalent.
  \begin{enumerate}
  \item\label{il:2-3-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar.

  \item\label{il:2-3-5-2} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es
  gelten die Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}.

  \item\label{il:2-3-5-3} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es
  ist $\frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) = 0$.

  \item\label{il:2-3-5-4} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und die
  Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.
  \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
  Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $Leftrightarrow$
  \ref{il:2-3-5-2} interessant.  Betrachte dazu die Ableitungsmatrix von $f$ wie
  in Erinnerung~\ref{eri:2-2-1} und vergleiche die Cauchy-Riemann Gleichungen
  \eqref{eq:2-2-2-1} mit Erinnerung~\ref{eri:2-3-2}.
\end{proof}


\section{Einige fundamentale holomorphe Funktionen}

\subsection{Fingerübung beim Ableiten}

Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen, und sei $γ: V → U$ total differenzierbar.
Dann ist $V \ni t ↦ V$, $γ'(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t)
\end{pmatrix} ∈ ℝ² = ℂ$, kann also als komplexe Zahl aufgefasst werden.  Jetzt
sei $f ∈ 𝒪(U)$.

Ich interessiere mich für die Ableitung von $f ◦ γ: V → ℂ$.

Nach der Kettenregel für total differenzierbare Funktionen ist
\begin{align}
  (f ◦ γ)'(t) &= J_{f}|_{γ(t)} · γ'(t)\\
  &= \begin{pmatrix} 2×2\text{-Matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Vektor} \end{pmatrix}\\
  &= \text{Drehstreckung zu } f'(γ(t))\\
  &= f'(γ(t)) · γ'(t)\\
  &= \begin{pmatrix} \text{kompl.  Zahl} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{kompl.  Zahl} \end{pmatrix}
\end{align}
mittels von komplexen Zahlen.

\begin{kons}
  Real-komplexe Kettenregel
\end{kons}

\subsection{Beispiele von holomorphen Funktionen}

\paragraph{Direkte Nachrechnung / Summen- und Produktregel}

\begin{itemize}
\item Alle Polynome sind holomorph: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$
\item Direkte Nachrechnung / Summen-, Produkt- und Quotientenregel
\item Alle rationalen Funktionen sind holomorph: $ℂ(z) ⊂ 𝒪(ℂ ∖
\{\text{Nullstellen des Nenners}\})$
\end{itemize}

\paragraph{Direktes Nachrechnen}

\begin{itemize}
\item $\exp: ℂ → ℂ^{⨯}$, $x+iy ↦ e^x \begin{pmatrix} \cos y \\ \sin y \end{pmatrix}$ ist holomorph
  
  mit $\exp' = \exp$.
  
  Also sind $\sin$ und $\cos$ holomorph.
\end{itemize}

\paragraph{Direktes Nachrechnen / Kettenregel}

\begin{itemize}
\item Verkettungen von holomorphen Funktionen sind holomorph:
  
  $\exp(2z + 4z⁷)$, $\sin(z⁸) ∈ 𝒪(ℂ)$.
\end{itemize}

\subsection{Kettenregel}

\begin{prop}
  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph,
  sodass die folgenden Bedingungen gelten:
  \begin{enumerate}
  \item $f$ ist injektiv.
  \item $\forall p ∈ U: f'(p) ≠ 0$.
  \end{enumerate}
  
  Dann ist $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und $f^{-1}: V → U$ ist wieder
  holomorph.
\end{prop}

\begin{proof}
  Wir wissen aus Analysis II: $V := f(U)$ ist offen und
  $f^{-1}: V → U$ ist total differenzierbar.  Genauer: wenn $q ∈ V$ ist
  mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist
  
  Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
  \[
    = \left(\text{Ableitungsmatrix von } f \text{ bei } p\right)^{-1}
  \]
  
  Klar: per Annahme ist $A$ ist Drehstreckung, Faktor $≠ 0$.
  
  Also ist auch $A^{-1}$ eine Drehstreckung $⇒ f^{-1}$ erfüllt bei $q$
  
  die Cauchy-Riemann Gleichungen.
\end{proof}

\subsection{Konkrete Beispiele}

\begin{enumerate}
\item[A)] $U = \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} =$ „obere Halbebene"
  
  $f: U → \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} ⊂ ℂ$
  
  $z ↦ z²$
  
  Also gibt es eine holomorphe Wurzelfunktion
  
  $\sqrt{\ }: $ geeignet Ebene $→ U$

\item[B)] Ditto mit Logarithmus, falls $U$ geeignet klein ist.
  
  Erinnerung:
  \[
    \log z = \log|z| + i · \arg(z)
  \]
  
  ...  sieht schrecklich aus, ist aber gar nicht so schlimm, denn
  
  $\forall z ∈ U: z = \log(\exp(z))$
  
  $⇒ \forall z ∈ U: 1 = \log'(\exp(z)) · \exp'(z)$ (Kettenregel)
  
  $⇒ \forall z ∈ U: \log'(\exp(z)) = \frac{1}{\exp(z)}$
  
  $⇒ \forall z ∈ V: \log'(z) = \frac{1}{z}$
\end{enumerate}

% !TEX root = LineareAlgebra2