diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 3a58356..3778df8 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -1,3 +1,4 @@ Multiplikationsabbildung Majorantenkriterium Summenregel +Drehstreckungsmatrix diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 00cba17..8e56dde 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -3,3 +3,8 @@ {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qist.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar mit Ableitungsmatrix \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QMat\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Implikation \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist exakt die Aussage von Konsequenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Umkehrrichtung lasse ich als Hausaufgabe, damit Sie sich an die Definitionen und Sätze der Vorlesung „Analysis II“ erinnern.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine eigene Notation entwickelt hat.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und es ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und die Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.\\E$"} diff --git a/02-diffbarkeit.tex b/02-diffbarkeit.tex index b2fe0b1..8a96269 100644 --- a/02-diffbarkeit.tex +++ b/02-diffbarkeit.tex @@ -55,14 +55,14 @@ Analysis-Vorlesungen. \end{definition} -\section{Komplex Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit} +\section{Die Cauchy-Riemann Gleichungen} Definitionen~\ref{def:2-1-1} und \ref{def:2-1-3} sehen völlig gleich aus. Das wirft die Frage auf: Ist komplexe Differenzierbarkeit wirklich ein neuer Begriff? Gibt es einen Unterschied zum Begriff der Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis“ kennen? -\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$] +\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]\label{eri:2-2-1} Es sei $U ⊂ ℝ²$ offen und $p ∈ U$. Eine Abbildung $f: U → ℝ²$ heißt bei $p$ differenzierbar mit Ableitungsmatrix $A ∈ \text{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$, wenn \[ @@ -80,78 +80,85 @@ Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis \] Dann ist $A$ die Matrix der partiellen Ableitungen, \[ - A = \begin{pmatrix} \frac{∂}{∂ x}f_1(p) & \frac{∂}{∂ y} f_1(p) \\ \frac{∂}{∂ x} f_2(p) & \frac{∂}{∂ y} f_2(p) \end{pmatrix}. + A = \begin{pmatrix} \frac{∂f_1}{∂ x}(p) & \frac{∂f_1}{∂ y}(p) \\ \frac{∂f_2}{∂ x} (p) & \frac{∂f_2}{∂ y} (p) \end{pmatrix}. \] \end{erinnerung} +\begin{notation} + Wie in der Analysis üblich bezeichnen wir die Ableitungsmatrix (= + „Jacobi-Matrix“) einer Abbildung $f : ℝ² → ℝ²$ (oder äquivalent: $f : ℂ → ℂ$) + mit $J_f(p)$. +\end{notation} -\subsubsection{Proberechnungen} - -Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen, -machen wir in diesem Abschnitt eine große Proberechnung. Es sei $U ⊂ ℂ$ offen -und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit -Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$. Es gilt also -\[ - \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ = d_1 + i · d_2. -\] -Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist -\begin{equation}\label{eq:2-2-1-1} - \lim_{n → ∞} \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n} = δ = d_1 + i · d_2. -\end{equation} -Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in -Komponenten, -\[ - p = p_1 + i·p_2 - \quad\text{und}\quad - f(x + iy) = f_1(x,y) + i · f_2(x,y). -\] - -\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge} - -Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir also -zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist. Dann ist -\begin{align*} -d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\ -& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\ -& = \frac{∂}{∂ x}f_1(p_1, p_2) + i \frac{∂}{∂ x} f_2(p_1, p_2). -\end{align*} -Wir sehen: -\begin{equation}\label{eq:2-2-1-2} - \frac{∂}{∂ x} f_1(p) = d_1 - \quad\text{und}\quad - \frac{∂}{∂ x} f_2(p) = d_2. -\end{equation} - -\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge} - -Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir also -als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen -ist. Dann ist -\begin{align*} -d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\ -& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\ -& = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\ -& = -i·\left(\frac{∂}{∂ y}f_1(p_1, p_2) + i \frac{∂}{∂ y} f_2(p_1, p_2)\right) \\ -& = \frac{∂}{∂ y} f_2(p_1, p_2)-i·\frac{∂}{∂ y}f_1(p_1, p_2). -\end{align*} -Wir sehen: -\begin{equation}\label{eq:2-2-1-3} - \frac{∂}{∂ y} f_2(p) = d_1 - \quad\text{und}\quad - \frac{∂}{∂ y} f_1(p) = -d_2. -\end{equation} -Wir beenden die Proberechnungen hier. Als Konsequenz halten wir Folgendes fest. - -\begin{prop}[Cauchy-Riemann Gleichungen] - Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex - differenzierbar. Schreibe $f$ in Komponenten, $f$ in Komponenten, $f = f_1 + - i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann ist - \begin{equation}\label{eq:2-2-2-1} - \frac{∂}{∂ x} f_1(p) = \frac{∂}{∂ y} f_2(p) - \quad\text{und}\quad - \frac{∂}{∂ y} f_1(p) = -\frac{∂}{∂ x} f_2(p). +\begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, I] + Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen, + machen wir eine große Proberechnung. Es sei $U ⊂ ℂ$ offen + und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit + Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$. Es gilt also + \[ + \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ = d_1 + i · d_2. + \] + Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist + \begin{equation}\label{eq:2-2-1-1} + \lim_{n → ∞} \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n} = δ = d_1 + i · d_2. \end{equation} -\end{prop} + Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in + Komponenten, + \[ + p = p_1 + i·p_2 + \quad\text{und}\quad + f(x + iy) = f_1(x,y) + i · f_2(x,y). + \] + + \paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge} + + Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir + also zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist. Dann ist + \begin{align*} + d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\ + & = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\ + & = \frac{∂f_1}{∂ x}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ x} (p_1, p_2). + \end{align*} + Wir sehen: + \begin{equation}\label{eq:2-2-1-2} + \frac{∂f_1}{∂ x} (p) = d_1 + \quad\text{und}\quad + \frac{∂f_2}{∂ x} (p) = d_2. + \end{equation} + + \paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge} + + Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen. Betrachten wir + also als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen + Zahlen ist. Dann ist + \begin{align*} + d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\ + & = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\ + & = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\ + & = -i·\left(\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)\right) \\ + & = \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)-i·\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2). + \end{align*} + Wir sehen: + \begin{equation}\label{eq:2-2-1-3} + \frac{∂f_2}{∂ y} (p) = d_1 + \quad\text{und}\quad + \frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -d_2. + \end{equation} + Wir beenden die Proberechnung hier. +\end{proberechnung} + +Als Konsequenz halten wir Folgendes fest. + +\begin{kons}[Cauchy-Riemann Gleichungen]\label{kons:2-2-3}% + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$. Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex + differenzierbar. Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, + f_2 : U → ℝ$. Dann sind $f_1$ und $f_2$ bei $p$ differenzierbar und es ist + \begin{equation}\label{eq:2-2-2-1} + \frac{∂f_1}{∂ x} (p) = \frac{∂f_2}{∂ y} (p) + \quad\text{und}\quad + \frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -\frac{∂f_2}{∂ x} (p). + \end{equation} +\end{kons} \begin{proof} Vergleiche~\eqref{eq:2-2-1-2} und \eqref{eq:2-2-1-3}. \end{proof} @@ -161,7 +168,262 @@ Wir beenden die Proberechnungen hier. Als Konsequenz halten wir Folgendes fest. partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}. \end{notation} +\sideremark{Vorlesung 3}Es gilt sogar eine Äquivalenz. +\begin{satz}[Cauchy-Riemann Gleichungen] + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion. + Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann + sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:2-2-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex + differenzierbar. + + \item\label{il:2-2-5-2} Die Funktionen $f_1$ und $f_2$ sind bei $p$ + differenzierbar und erfüllen die Cauchy-Riemann Gleichungen + \eqref{eq:2-2-2-1}. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Die Implikation \ref{il:2-2-5-1} $⇔$ \ref{il:2-2-5-2} ist exakt die Aussage + von Konsequenz~\ref{kons:2-2-3}. Die Umkehrrichtung lasse ich als + Hausaufgabe, damit Sie sich an die Definitionen und Sätze der Vorlesung + „Analysis~II“ erinnern. +\end{proof} + +Die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine +eigene Notation entwickelt hat. + +\begin{notation}[Wirtinger-Kalkül]\label{not:2-2-6}% + \index{Wirtinger-Kalkül}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine + komplex-wertige Funktion. Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, + mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Wenn $f_1$ und $f_2$ bei $p$ partiell differenzierbar + sind, dann schreibt man + \begin{align*} + \frac{∂ f}{∂ z}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) - i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\ + & = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) - i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\ + & = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(-\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\ + \intertext{und} + \frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\ + & = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\ + & = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) - \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\ + \end{align*} +\end{notation} + + +\begin{prop}[Komplexe Differenzierbarkeit und Wirtinger-Kalkül] + Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion. + Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann + sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar. + + \item Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es ist $\frac{∂ f}{∂ + \bar{z}}(p) = 0$. + \end{enumerate} + Falls die äquivalenten Bedingungen erfüllt sind, gilt auch $f'(p) = \frac{∂ + f}{∂ z}(p)$. +\end{prop} +\begin{proof} + Vergleiche die letzte Zeile von Notation~\ref{not:2-2-6} mit den + Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}. +\end{proof} + + +\section{Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit} + +Wir vergleichen in diesem Abschnitt noch einmal die Begriffe „Komplexe +Differenzierbarkeit“ und „Differenzierbarkeit“. Diesmal geht es darum, die Rolle +der Ableitungsmatrix zu verstehen. Wir starten wieder mit einer Proberechnung. + +\begin{erinnerung}[Komplexe Multiplikation = Drehstreckung] + Sei $δ ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl. Dann ist die Multiplikationsabbildung + \[ + m_δ : ℂ → ℂ, \quad z ↦ δ·z + \] + eine Drehstreckung. Wenn ich die $ℂ$ und $ℝ²$ wie üblich identifiziere, dann + ist die Drehstreckung $m_δ : ℝ² → ℝ²$ linear und durch Multiplikation mit + einer Matrix $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ beschrieben. +\end{erinnerung} + +\begin{erinnerung}[Lineare Algebra]\label{eri:2-3-2}% + Betrachte die Matrix + \[ + A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ). + \] + Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item Die zur Matrixmultiplikation mit $A$ gehörende Abbildung $ℝ² → ℝ²$ ist + eine Drehstreckung. + + \item\label{il:2-3-2-2} Es gilt $a = d$ und $b = -c$. + \end{enumerate} +\end{erinnerung} + +\begin{frage} + Kennen wir die Gleichungen \ref{il:2-3-2-2} irgendwoher? +\end{frage} + +\begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, II] + Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Weiter sei + $δ ∈ ℂ$ eine Zahl und es sei $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ die zur + Multiplikation $δ$ gehörende Drehstreckungsmatrix. Dann gilt Folgendes: + \begin{align*} + \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p) - δ · h}{h} = 0 \\ + & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - δ · h|}{|h|} = 0 \\ + & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0. + \end{align*} + Also sind die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar mit Ableitung + $f'(p) = δ$ + + \item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ differenzierbar mit Ableitungsmatrix + $J_f(p) = A$. + \end{enumerate} +\end{proberechnung} + +Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang +zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen. + +\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit] + Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion. Dann sind + die folgenden Aussagen äquivalent. + \begin{enumerate} + \item\label{il:2-3-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar. + + \item\label{il:2-3-5-2} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es + gelten die Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}. + + \item\label{il:2-3-5-3} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es + ist $\frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) = 0$. + + \item\label{il:2-3-5-4} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und die + Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $Leftrightarrow$ + \ref{il:2-3-5-2} interessant. Betrachte dazu die Ableitungsmatrix von $f$ wie + in Erinnerung~\ref{eri:2-2-1} und vergleiche die Cauchy-Riemann Gleichungen + \eqref{eq:2-2-2-1} mit Erinnerung~\ref{eri:2-3-2}. +\end{proof} + + +\section{Einige fundamentale holomorphe Funktionen} + +\subsection{Fingerübung beim Ableiten} + +Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen, und sei $γ: V → U$ total differenzierbar. +Dann ist $V \ni t ↦ V$, $γ'(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t) +\end{pmatrix} ∈ ℝ² = ℂ$, kann also als komplexe Zahl aufgefasst werden. Jetzt +sei $f ∈ 𝒪(U)$. + +Ich interessiere mich für die Ableitung von $f ◦ γ: V → ℂ$. + +Nach der Kettenregel für total differenzierbare Funktionen ist +\begin{align} + (f ◦ γ)'(t) &= J_{f}|_{γ(t)} · γ'(t)\\ + &= \begin{pmatrix} 2×2\text{-Matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Vektor} \end{pmatrix}\\ + &= \text{Drehstreckung zu } f'(γ(t))\\ + &= f'(γ(t)) · γ'(t)\\ + &= \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{kompl. Zahl} \end{pmatrix} +\end{align} +mittels von komplexen Zahlen. + +\begin{kons} + Real-komplexe Kettenregel +\end{kons} + +\subsection{Beispiele von holomorphen Funktionen} + +\paragraph{Direkte Nachrechnung / Summen- und Produktregel} + +\begin{itemize} +\item Alle Polynome sind holomorph: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$ +\item Direkte Nachrechnung / Summen-, Produkt- und Quotientenregel +\item Alle rationalen Funktionen sind holomorph: $ℂ(z) ⊂ 𝒪(ℂ ∖ +\{\text{Nullstellen des Nenners}\})$ +\end{itemize} + +\paragraph{Direktes Nachrechnen} + +\begin{itemize} +\item $\exp: ℂ → ℂ^{⨯}$, $x+iy ↦ e^x \begin{pmatrix} \cos y \\ \sin y \end{pmatrix}$ ist holomorph + + mit $\exp' = \exp$. + + Also sind $\sin$ und $\cos$ holomorph. +\end{itemize} + +\paragraph{Direktes Nachrechnen / Kettenregel} + +\begin{itemize} +\item Verkettungen von holomorphen Funktionen sind holomorph: + + $\exp(2z + 4z⁷)$, $\sin(z⁸) ∈ 𝒪(ℂ)$. +\end{itemize} + +\subsection{Kettenregel} + +\begin{prop} + Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph, + sodass die folgenden Bedingungen gelten: + \begin{enumerate} + \item $f$ ist injektiv. + \item $\forall p ∈ U: f'(p) ≠ 0$. + \end{enumerate} + + Dann ist $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und $f^{-1}: V → U$ ist wieder + holomorph. +\end{prop} + +\begin{proof} + Wir wissen aus Analysis II: $V := f(U)$ ist offen und + $f^{-1}: V → U$ ist total differenzierbar. Genauer: wenn $q ∈ V$ ist + mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist + + Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$ + \[ + = \left(\text{Ableitungsmatrix von } f \text{ bei } p\right)^{-1} + \] + + Klar: per Annahme ist $A$ ist Drehstreckung, Faktor $≠ 0$. + + Also ist auch $A^{-1}$ eine Drehstreckung $⇒ f^{-1}$ erfüllt bei $q$ + + die Cauchy-Riemann Gleichungen. +\end{proof} + +\subsection{Konkrete Beispiele} + +\begin{enumerate} +\item[A)] $U = \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} =$ „obere Halbebene" + + $f: U → \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} ⊂ ℂ$ + + $z ↦ z²$ + + Also gibt es eine holomorphe Wurzelfunktion + + $\sqrt{\ }: $ geeignet Ebene $→ U$ + +\item[B)] Ditto mit Logarithmus, falls $U$ geeignet klein ist. + + Erinnerung: + \[ + \log z = \log|z| + i · \arg(z) + \] + + ... sieht schrecklich aus, ist aber gar nicht so schlimm, denn + + $\forall z ∈ U: z = \log(\exp(z))$ + + $⇒ \forall z ∈ U: 1 = \log'(\exp(z)) · \exp'(z)$ (Kettenregel) + + $⇒ \forall z ∈ U: \log'(\exp(z)) = \frac{1}{\exp(z)}$ + + $⇒ \forall z ∈ V: \log'(z) = \frac{1}{z}$ +\end{enumerate} % !TEX root = LineareAlgebra2 diff --git a/Funktionentheorie.tex b/Funktionentheorie.tex index 5ef844b..0df2537 100644 --- a/Funktionentheorie.tex +++ b/Funktionentheorie.tex @@ -42,6 +42,7 @@ \newcommand\video[1]{\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Skript.pdf}{(Skript)}} \theoremstyle{plain} +\newtheorem{proberechnung}[thm]{Proberechnung} \newtheorem{merke}[thm]{Merke} \newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe} \newtheorem{satz}[thm]{Satz}