Working on lecture 3

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -1,3 +1,4 @@
 Multiplikationsabbildung
 Majorantenkriterium
 Summenregel
+Drehstreckungsmatrix

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -3,3 +3,8 @@
 {"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QEs ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qist.\\E$"}
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEine Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q heißt bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar mit Ableitungsmatrix \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QMat\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Implikation \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist exakt die Aussage von Konsequenz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Umkehrrichtung lasse ich als Hausaufgabe, damit Sie sich an die Definitionen und Sätze der Vorlesung „Analysis II“ erinnern.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine eigene Notation entwickelt hat.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und es ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q differenzierbar und die Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.\\E$"}

02-diffbarkeit.tex

@@ -55,14 +55,14 @@ Analysis-Vorlesungen.
 \end{definition}
 
 
-\section{Komplex Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit}
+\section{Die Cauchy-Riemann Gleichungen}
 
 Definitionen~\ref{def:2-1-1} und \ref{def:2-1-3} sehen völlig gleich aus.  Das
 wirft die Frage auf: Ist komplexe Differenzierbarkeit wirklich ein neuer
 Begriff?  Gibt es einen Unterschied zum Begriff der Differenzierbarkeit von
 Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis“ kennen?
 
-\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]
+\begin{erinnerung}[Differenzierbarkeit von Abbildungen $ℝ² → ℝ²$]\label{eri:2-2-1}
   Es sei $U ⊂ ℝ²$ offen und $p ∈ U$.  Eine Abbildung $f: U → ℝ²$ heißt bei $p$
   differenzierbar mit Ableitungsmatrix $A ∈ \text{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$, wenn
   \[
@@ -80,78 +80,85 @@ Abbildungen $ℝ² → ℝ²$, den wir schon lange aus der Vorlesung „Analysis
   \]
   Dann ist $A$ die Matrix der partiellen Ableitungen,
   \[
-    A = \begin{pmatrix} \frac{∂}{∂ x}f_1(p) & \frac{∂}{∂ y} f_1(p) \\ \frac{∂}{∂ x} f_2(p) & \frac{∂}{∂ y} f_2(p) \end{pmatrix}.
+    A = \begin{pmatrix} \frac{∂f_1}{∂ x}(p) & \frac{∂f_1}{∂ y}(p) \\ \frac{∂f_2}{∂ x} (p) & \frac{∂f_2}{∂ y} (p) \end{pmatrix}.
   \]
 \end{erinnerung}
 
+\begin{notation}
+  Wie in der Analysis üblich bezeichnen wir die Ableitungsmatrix (=
+  „Jacobi-Matrix“) einer Abbildung $f : ℝ² → ℝ²$ (oder äquivalent: $f : ℂ → ℂ$)
+  mit $J_f(p)$.
+\end{notation}
 
-\subsubsection{Proberechnungen}
+\begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, I]
-
+  Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen,
-Um den Unterschied von reeller und komplexer Differenzierbarkeit zu verstehen,
+  machen wir eine große Proberechnung.  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
-machen wir in diesem Abschnitt eine große Proberechnung.  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen
+  und $p ∈ U$.  Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit
-und $p ∈ U$.  Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex differenzierbar mit
+  Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$.  Es gilt also
-Ableitung $δ = d_1 + i · d_2$.  Es gilt also
+  \[
-\[
     \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ = d_1 + i · d_2.
-\]
+  \]
-Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist
+  Dabei bedeutet der Limes: für alle Nullfolgen $(h_n)$ aus $ℂ$ ist
-\begin{equation}\label{eq:2-2-1-1}
+  \begin{equation}\label{eq:2-2-1-1}
     \lim_{n → ∞} \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n} = δ = d_1 + i · d_2.
-\end{equation}
+  \end{equation}
-Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in
+  Um das jetzt besser zu verstehen, schreiben wir $p$ und $f$ zuerst einmal in
-Komponenten,
+  Komponenten,
-\[
+  \[
     p = p_1 + i·p_2
     \quad\text{und}\quad
     f(x + iy) = f_1(x,y) + i · f_2(x,y).
-\]
+  \]
 
-\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge}
+  \paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein reelle Folge}
 
-Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen.  Betrachten wir also
+  Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen.  Betrachten wir
-zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist.  Dann ist
+  also zuerst den Fall, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen ist.  Dann ist
-\begin{align*}
+  \begin{align*}
-d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\
+  d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{h_n}\\
-& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
+  & = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1 + h_n, p_2) + i·f_2(p_1 + h_n, p_2) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
-& = \frac{∂}{∂ x}f_1(p_1, p_2) + i \frac{∂}{∂ x} f_2(p_1, p_2).
+  & = \frac{∂f_1}{∂ x}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ x} (p_1, p_2).
-\end{align*}
+  \end{align*}
-Wir sehen:
+  Wir sehen:
-\begin{equation}\label{eq:2-2-1-2}
+  \begin{equation}\label{eq:2-2-1-2}
-  \frac{∂}{∂ x} f_1(p) = d_1
+    \frac{∂f_1}{∂ x} (p) = d_1
     \quad\text{und}\quad
-  \frac{∂}{∂ x} f_2(p) = d_2.
+    \frac{∂f_2}{∂ x} (p) = d_2.
-\end{equation}
-
-\paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge}
-
-Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen.  Betrachten wir also
-als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen Zahlen
-ist.  Dann ist
-\begin{align*}
-d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\
-& = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\
-& = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
-& = -i·\left(\frac{∂}{∂ y}f_1(p_1, p_2) + i \frac{∂}{∂ y} f_2(p_1, p_2)\right) \\
-& = \frac{∂}{∂ y} f_2(p_1, p_2)-i·\frac{∂}{∂ y}f_1(p_1, p_2).
-\end{align*}
-Wir sehen:
-\begin{equation}\label{eq:2-2-1-3}
-  \frac{∂}{∂ y} f_2(p) = d_1
-  \quad\text{und}\quad
-  \frac{∂}{∂ y} f_1(p) = -d_2.
-\end{equation}
-Wir beenden die Proberechnungen hier.  Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
-
-\begin{prop}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
-  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$.  Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex
-  differenzierbar.  Schreibe $f$ in Komponenten, $f$ in Komponenten, $f = f_1 +
-  i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$.  Dann ist
-  \begin{equation}\label{eq:2-2-2-1}
-    \frac{∂}{∂ x} f_1(p) = \frac{∂}{∂ y} f_2(p)
-    \quad\text{und}\quad
-    \frac{∂}{∂ y} f_1(p) = -\frac{∂}{∂ x} f_2(p).
   \end{equation}
-\end{prop}
+
+  \paragraph{Spezialfall: $h_n$ ist eine rein imaginäre Folge}
+
+  Die Gleichung~\eqref{eq:2-2-1-1} gilt für alle Nullfolgen.  Betrachten wir
+  also als nächstes Folgen der Form $i·h_n$, wo $h_n$ eine Folge von reellen
+  Zahlen ist.  Dann ist
+  \begin{align*}
+  d_1 + i·d_2 &= \frac{f(p+h_n) - f(p)}{i·h_n}\\
+  & = \lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{i·h_n} \\
+  & = -i·\lim_{n → ∞} \frac{f_1(p_1, p_2 + h_n) + i·f_2(p_1, p_2 + h_n) - f_1(p_1, p_2) - i·f_2(p_1, p_2)}{h_n} \\
+  & = -i·\left(\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2) + i \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)\right) \\
+  & = \frac{∂f_2}{∂ y} (p_1, p_2)-i·\frac{∂f_1}{∂ y}(p_1, p_2).
+  \end{align*}
+  Wir sehen:
+  \begin{equation}\label{eq:2-2-1-3}
+    \frac{∂f_2}{∂ y} (p) = d_1
+    \quad\text{und}\quad
+    \frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -d_2.
+  \end{equation}
+  Wir beenden die Proberechnung hier.
+\end{proberechnung}
+
+Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
+
+\begin{kons}[Cauchy-Riemann Gleichungen]\label{kons:2-2-3}%
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $p ∈ U$.  Weiter sei $f: U → ℂ$ bei $p$ komplex
+  differenzierbar.  Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1,
+  f_2 : U → ℝ$.  Dann sind $f_1$ und $f_2$ bei $p$ differenzierbar und es ist
+  \begin{equation}\label{eq:2-2-2-1}
+    \frac{∂f_1}{∂ x} (p) = \frac{∂f_2}{∂ y} (p)
+    \quad\text{und}\quad
+    \frac{∂f_1}{∂ y} (p) = -\frac{∂f_2}{∂ x} (p).
+  \end{equation}
+\end{kons}
 \begin{proof}
   Vergleiche~\eqref{eq:2-2-1-2} und \eqref{eq:2-2-1-3}.
 \end{proof}
@@ -161,7 +168,262 @@ Wir beenden die Proberechnungen hier.  Als Konsequenz halten wir Folgendes fest.
   partiellen Differenzialgleichungen“\index{Cauchy-Riemann Gleichungen}.
 \end{notation}
 
+\sideremark{Vorlesung 3}Es gilt sogar eine Äquivalenz.
 
+\begin{satz}[Cauchy-Riemann Gleichungen]
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion.
+  Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$.  Dann
+  sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:2-2-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex
+    differenzierbar.
+
+    \item\label{il:2-2-5-2} Die Funktionen $f_1$ und $f_2$ sind bei $p$
+    differenzierbar und erfüllen die Cauchy-Riemann Gleichungen
+    \eqref{eq:2-2-2-1}.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Die Implikation \ref{il:2-2-5-1} $⇔$ \ref{il:2-2-5-2} ist exakt die Aussage
+  von Konsequenz~\ref{kons:2-2-3}.  Die Umkehrrichtung lasse ich als
+  Hausaufgabe, damit Sie sich an die Definitionen und Sätze der Vorlesung
+  „Analysis~II“ erinnern.
+\end{proof}
+
+Die Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen sind so wichtig, dass sich eine
+eigene Notation entwickelt hat.
+
+\begin{notation}[Wirtinger-Kalkül]\label{not:2-2-6}%
+  \index{Wirtinger-Kalkül}Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine
+  komplex-wertige Funktion.  Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$,
+  mit $f_1, f_2 : U → ℝ$.  Wenn $f_1$ und $f_2$ bei $p$ partiell differenzierbar
+  sind, dann schreibt man
+  \begin{align*}
+    \frac{∂ f}{∂ z}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) - i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\
+    & = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) - i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\
+    & = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(-\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\
+    \intertext{und}
+    \frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) & := \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f}{∂ y}(p)\right) \\
+    & = \frac{1}{2}\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ x}(p) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + i·\frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right)\right) \\
+    & = \frac{1}{2}\left(\left(\frac{∂ f_1}{∂ x}(p) - \frac{∂ f_2}{∂ y}(p)\right) + i·\left(\frac{∂ f_1}{∂ y}(p) + \frac{∂ f_2}{∂ x}(p)\right)\right) \\
+  \end{align*}
+\end{notation}
+
+
+\begin{prop}[Komplexe Differenzierbarkeit und Wirtinger-Kalkül]
+  Es sei $U ⊂ ℂ$ offen, $p ∈ U$ und $f: U → ℂ$ eine komplex-wertige Funktion.
+  Schreibe $f$ in Komponenten, $f = f_1 + i · f_2$, mit $f_1, f_2 : U → ℝ$. Dann
+  sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar.
+
+  \item Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es ist $\frac{∂ f}{∂
+    \bar{z}}(p) = 0$.
+  \end{enumerate}
+  Falls die äquivalenten Bedingungen erfüllt sind, gilt auch $f'(p) = \frac{∂
+  f}{∂ z}(p)$.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+  Vergleiche die letzte Zeile von Notation~\ref{not:2-2-6} mit den
+  Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}.
+\end{proof}
+
+
+\section{Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit}
+
+Wir vergleichen in diesem Abschnitt noch einmal die Begriffe „Komplexe
+Differenzierbarkeit“ und „Differenzierbarkeit“.  Diesmal geht es darum, die Rolle
+der Ableitungsmatrix zu verstehen.  Wir starten wieder mit einer Proberechnung.
+
+\begin{erinnerung}[Komplexe Multiplikation = Drehstreckung]
+  Sei $δ ∈ ℂ$ eine komplexe Zahl.  Dann ist die Multiplikationsabbildung
+  \[
+    m_δ : ℂ → ℂ, \quad z ↦ δ·z
+  \]
+  eine Drehstreckung.  Wenn ich die $ℂ$ und $ℝ²$ wie üblich identifiziere, dann
+  ist die Drehstreckung $m_δ : ℝ² → ℝ²$ linear und durch Multiplikation mit
+  einer Matrix $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ beschrieben.
+\end{erinnerung}
+
+\begin{erinnerung}[Lineare Algebra]\label{eri:2-3-2}%
+  Betrachte die Matrix
+  \[
+    A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ).
+  \]
+  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item Die zur Matrixmultiplikation mit $A$ gehörende Abbildung $ℝ² → ℝ²$ ist
+  eine Drehstreckung.
+
+  \item\label{il:2-3-2-2} Es gilt $a = d$ und $b = -c$.
+  \end{enumerate}
+\end{erinnerung}
+
+\begin{frage}
+  Kennen wir die Gleichungen \ref{il:2-3-2-2} irgendwoher?
+\end{frage}
+
+\begin{proberechnung}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit, II]
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion.  Weiter sei
+  $δ ∈ ℂ$ eine Zahl und es sei $A ∈ \operatorname{Mat}(2 ⨯ 2, ℝ)$ die zur
+  Multiplikation $δ$ gehörende Drehstreckungsmatrix.  Dann gilt Folgendes:
+  \begin{align*}
+    \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p)}{h} = δ & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{f(p+h) - f(p) - δ · h}{h} = 0 \\
+    & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - δ · h|}{|h|} = 0 \\
+    & ⇔ \lim_{h → 0} \frac{|f(p+h) - f(p) - A · h|}{|h|} = 0.
+  \end{align*}
+  Also sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+    \item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar mit Ableitung
+    $f'(p) = δ$
+
+    \item Die Abbildung $f$ ist bei $p$ differenzierbar mit Ableitungsmatrix
+    $J_f(p) = A$.
+  \end{enumerate}
+\end{proberechnung}
+
+Der folgende Satz fasst alles zusammen, was wir bislang über den Zusammenhang
+zwischen Differenzierbarkeit und komplexer Differenzierbarkeit wissen.
+
+\begin{satz}[Komplexe Differenzierbarkeit und Differenzierbarkeit]
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen, sei $p ∈ U$ und sei $f: U → ℂ$ eine Funktion.  Dann sind
+  die folgenden Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+  \item\label{il:2-3-5-1} Die Funktion $f$ ist bei $p$ komplex differenzierbar.
+
+  \item\label{il:2-3-5-2} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es
+  gelten die Cauchy-Riemann Gleichungen \eqref{eq:2-2-2-1}.
+
+  \item\label{il:2-3-5-3} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und es
+  ist $\frac{∂ f}{∂ \bar{z}}(p) = 0$.
+
+  \item\label{il:2-3-5-4} Die Funktion $f$ ist bei $p$ differenzierbar und die
+  Ableitungsmatrix ist eine Drehstreckung.
+  \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+  Es ist lediglich die Implikation \ref{il:2-3-5-4} $Leftrightarrow$
+  \ref{il:2-3-5-2} interessant.  Betrachte dazu die Ableitungsmatrix von $f$ wie
+  in Erinnerung~\ref{eri:2-2-1} und vergleiche die Cauchy-Riemann Gleichungen
+  \eqref{eq:2-2-2-1} mit Erinnerung~\ref{eri:2-3-2}.
+\end{proof}
+
+
+\section{Einige fundamentale holomorphe Funktionen}
+
+\subsection{Fingerübung beim Ableiten}
+
+Seien $V ⊂ ℝ$ und $U ⊂ ℂ = ℝ²$ offen, und sei $γ: V → U$ total differenzierbar.
+Dann ist $V \ni t ↦ V$, $γ'(t) = \begin{pmatrix} γ_1'(t) \\ γ_2'(t)
+\end{pmatrix} ∈ ℝ² = ℂ$, kann also als komplexe Zahl aufgefasst werden.  Jetzt
+sei $f ∈ 𝒪(U)$.
+
+Ich interessiere mich für die Ableitung von $f ◦ γ: V → ℂ$.
+
+Nach der Kettenregel für total differenzierbare Funktionen ist
+\begin{align}
+  (f ◦ γ)'(t) &= J_{f}|_{γ(t)} · γ'(t)\\
+  &= \begin{pmatrix} 2×2\text{-Matrix} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{Vektor} \end{pmatrix}\\
+  &= \text{Drehstreckung zu } f'(γ(t))\\
+  &= f'(γ(t)) · γ'(t)\\
+  &= \begin{pmatrix} \text{kompl.  Zahl} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \text{kompl.  Zahl} \end{pmatrix}
+\end{align}
+mittels von komplexen Zahlen.
+
+\begin{kons}
+  Real-komplexe Kettenregel
+\end{kons}
+
+\subsection{Beispiele von holomorphen Funktionen}
+
+\paragraph{Direkte Nachrechnung / Summen- und Produktregel}
+
+\begin{itemize}
+\item Alle Polynome sind holomorph: $ℂ[z] ⊂ 𝒪(ℂ)$
+\item Direkte Nachrechnung / Summen-, Produkt- und Quotientenregel
+\item Alle rationalen Funktionen sind holomorph: $ℂ(z) ⊂ 𝒪(ℂ ∖
+\{\text{Nullstellen des Nenners}\})$
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Direktes Nachrechnen}
+
+\begin{itemize}
+\item $\exp: ℂ → ℂ^{⨯}$, $x+iy ↦ e^x \begin{pmatrix} \cos y \\ \sin y \end{pmatrix}$ ist holomorph
+  
+  mit $\exp' = \exp$.
+  
+  Also sind $\sin$ und $\cos$ holomorph.
+\end{itemize}
+
+\paragraph{Direktes Nachrechnen / Kettenregel}
+
+\begin{itemize}
+\item Verkettungen von holomorphen Funktionen sind holomorph:
+  
+  $\exp(2z + 4z⁷)$, $\sin(z⁸) ∈ 𝒪(ℂ)$.
+\end{itemize}
+
+\subsection{Kettenregel}
+
+\begin{prop}
+  Sei $U ⊂ ℂ$ offen und sei $f: U → ℂ$ holomorph,
+  sodass die folgenden Bedingungen gelten:
+  \begin{enumerate}
+  \item $f$ ist injektiv.
+  \item $\forall p ∈ U: f'(p) ≠ 0$.
+  \end{enumerate}
+  
+  Dann ist $V := f(U) ⊂ ℂ$ offen und $f^{-1}: V → U$ ist wieder
+  holomorph.
+\end{prop}
+
+\begin{proof}
+  Wir wissen aus Analysis II: $V := f(U)$ ist offen und
+  $f^{-1}: V → U$ ist total differenzierbar.  Genauer: wenn $q ∈ V$ ist
+  mit Urbildpunkt $p ∈ U$, dann ist
+  
+  Ableitungsmatrix von $f^{-1}$ bei $q$
+  \[
+    = \left(\text{Ableitungsmatrix von } f \text{ bei } p\right)^{-1}
+  \]
+  
+  Klar: per Annahme ist $A$ ist Drehstreckung, Faktor $≠ 0$.
+  
+  Also ist auch $A^{-1}$ eine Drehstreckung $⇒ f^{-1}$ erfüllt bei $q$
+  
+  die Cauchy-Riemann Gleichungen.
+\end{proof}
+
+\subsection{Konkrete Beispiele}
+
+\begin{enumerate}
+\item[A)] $U = \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) > 0\} =$ „obere Halbebene"
+  
+  $f: U → \{z ∈ ℂ \mid \text{Im}(z) ≠ 0 \text{ oder } \text{Re}(z) ≤ 0\} ⊂ ℂ$
+  
+  $z ↦ z²$
+  
+  Also gibt es eine holomorphe Wurzelfunktion
+  
+  $\sqrt{\ }: $ geeignet Ebene $→ U$
+
+\item[B)] Ditto mit Logarithmus, falls $U$ geeignet klein ist.
+  
+  Erinnerung:
+  \[
+    \log z = \log|z| + i · \arg(z)
+  \]
+  
+  ...  sieht schrecklich aus, ist aber gar nicht so schlimm, denn
+  
+  $\forall z ∈ U: z = \log(\exp(z))$
+  
+  $⇒ \forall z ∈ U: 1 = \log'(\exp(z)) · \exp'(z)$ (Kettenregel)
+  
+  $⇒ \forall z ∈ U: \log'(\exp(z)) = \frac{1}{\exp(z)}$
+  
+  $⇒ \forall z ∈ V: \log'(z) = \frac{1}{z}$
+\end{enumerate}
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2
 

Funktionentheorie.tex

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 \newcommand\video[1]{\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Video.mp4}{Erklärvideo #1} \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/Lehre/Vorlesungen/LA2/#1-Skript.pdf}{(Skript)}}
 
 \theoremstyle{plain}
+\newtheorem{proberechnung}[thm]{Proberechnung}
 \newtheorem{merke}[thm]{Merke}
 \newtheorem{aufgabe}[thm]{Aufgabe}
 \newtheorem{satz}[thm]{Satz}