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@ -167,3 +167,29 @@ Automorphismengruppe
Frobeniusmorphismus
Fixkörperkonstruktion
Äquivalenzklassen
Sylow
Primzahlpotenzteiler
Christiania
Cauchy
Bahnengleichung
Sceaux
Sylowuntergruppe
Sylowuntergruppen
Normalisator
Camille
Zykel
Signums-Abbildung
Sylow-Satz
Isotropiegruppe
Moduln
Torsionsanteil
Feb
Radikalerweiterungen
Gradformel
Legendre-Symbol
Repräsentantenniveau
Identifikationen
Legendre-Symbole
Summationsreihenfolge
Legendre-Symbolen
uninspirierend

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@ -64,3 +64,25 @@
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWohin geht die Reise?.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qquadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.p.-Gruppen und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.p.-Sylowuntergruppen.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QSatz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Mit den gleichen Voraussetzungen wie in Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q teilt, dann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDie Antwort kennen Sie wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im Zusammenhang mit der Konstruktion von Jordan-Basen diskutiert.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 12:] Die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der geraden Permutationen, also der Kern der Signums-Abbildung, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, ist eine Untergruppe von Ordnung 12.\\E$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 12:] Die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der geraden Permutationen, also der Kern der Signums-Abbildung, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, ist eine Untergruppe von Ordnung 12.\\E$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.\\E$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.\\E$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPartition Repräsentant Geometrische Anschauung Ordnung Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse abcd () Identität 1 1 aabc (12) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 4 2=6 aabb (12)(34) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 6/2 = 3 aaab (123) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3 4· 2 = 8 aaaa (1234) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 4 3· 2 = 6 Konjugationsklassen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_RECHENZEICHEN","sentence":"^\\QPartition Repräsentant Geometrische Anschauung Ordnung Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse abcd () Identität 1 1 aabc (12) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 4 2=6 aabb (12)(34) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 6/2 = 3 aaab (123) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3 4· 2 = 8 aaaa (1234) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 4 3· 2 = 6 Konjugationsklassen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.n.-Ecks.\\E$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QDann schreibe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q quadratischer Rest modulo \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q quadratischer Nichtrest modulo \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Vielfaches von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDas Buch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nennt 196 unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der Mathematik seit Gauß und Euler.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Behauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ungerade.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWas ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?.\\E$"}

73
18.tex
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@ -11,9 +11,9 @@ dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Aber existiert auch zu jedem Teiler von $|G|$
auch tatsächlich eine Untergruppe? Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze
von
Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter
Ludwig Mejdell Sylow} (* 12. Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; † 7.
September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
Ludwig Mejdell Sylow} (* 12.~Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; †
7.~September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
\begin{notation}
Im Folgenden sei $p$ stets eine Primzahl.
@ -39,18 +39,18 @@ die folgende.
Bahnen, die mehr als ein Element haben. Wir bezeichnen diese Bahnen mit
$B_1, …, B_n$. Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt:
\begin{equation*}
|M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|,
|M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|.
\end{equation*}
Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass
die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind. Also ist $|B_i|$ ein
Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung
$|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$.
Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung $|M| \equiv |M_0|
\:\:(\operatorname{mod} p)$.
\end{proof}
Der Satz von
Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis
Cauchy} (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux) war ein
französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
Cauchy} (* 21.~August 1789 in Paris; † 23.~Mai 1857 in Sceaux) war ein
französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter
Ordnung zu beweisen.
@ -73,11 +73,10 @@ Ordnung zu beweisen.
Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das
zentrale Schlüssellemma anwenden. Dazu lassen wir die zyklische Gruppe
$/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische
Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch
$b· a = e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch
die zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$,
$(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, … auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge
dieser Wirkung ist
Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch $b· a =
e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch die
zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, …
auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge dieser Wirkung ist
\[
M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}.
\]
@ -93,7 +92,7 @@ Ordnung zu beweisen.
\end{proof}
\section{$p$-Gruppen und $p$-Sylowuntergruppen}
\section{\texorpdfstring{$p$}{p}-Gruppen und \texorpdfstring{$p$}{p}-Sylowuntergruppen}
Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen
besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen. Die
@ -112,7 +111,7 @@ folgende Definition beschreibt den Extremfall.
Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$
teilt, also eine Potenz von $p$. Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann
gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt. Nach
Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von Cauchy'') gibt es dann aber auch ein
Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} („Satz von Cauchy“) gibt es dann aber auch ein
Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein.
\end{proof}
@ -135,16 +134,16 @@ dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$
enthalten sind. Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich
besonders gut.
\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}
\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}%
Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von
$G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$.
$G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet ``maximal'' natürlich ``maximal
bezüglich Inklusion''. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil
$\{e\}$ eine $p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die
Existenz von $p$-Sylowuntergruppen klar.
In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet „maximal“ natürlich „maximal bezüglich
Inklusion“. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil $\{e\}$ eine
$p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die Existenz von
$p$-Sylowuntergruppen klar.
\end{bemerkung}
\begin{lem}
@ -162,7 +161,7 @@ besonders gut.
$g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}
\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}%
Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$. Wie in
Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$. Dann
gilt
@ -185,9 +184,9 @@ besonders gut.
& ⇔ g ∈ N(U).
\end{align*}
Also ist
\begin{equation*}
[N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U].\qedhere
\end{equation*}
\[
[N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U]. \qedhere
\]
\end{proof}
\begin{kor}
@ -291,13 +290,13 @@ Fall auch einmal in den
Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation. Ich
frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt. Die Antwort kennen Sie
wahrscheinlich aus der Vorlesung ``Lineare Algebra II'', wo man diese Frage im
wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im
Zusammenhang mit der Konstruktion von
Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie
Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5. Januar 1838 in
Lyon; † 21. Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen
diskutiert. Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind,
wiederhole ich die Sache noch einmal.
Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; †
21.~Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen diskutiert.
Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich die
Sache noch einmal.
\begin{fakt}
Es sei $n ∈ $ eine Zahl. Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der
@ -373,13 +372,13 @@ können also nur die folgenden Ordnungen haben.
12 existieren.
\item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein. Die Anzahl $s_2$
der 2-Sylowuntergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} (``Dritter
Sylow-Satz'') ein Teiler von 24 mit
$s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$, also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir
wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins} (``Erster Sylow-Satz''), dass jedes
Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer 2-Sylowuntergruppe enthalten
ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16 solche Elemente gibt.
Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente. Also ist $s_2 = 3$.
der 2-Sylow\-untergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} (Dritter
Sylow-Satz“) ein Teiler von 24 mit $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$,
also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins}
(„Erster Sylow-Satz“), dass jedes Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer
2-Sylowuntergruppe enthalten ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16
solche Elemente gibt. Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.
Also ist $s_2 = 3$.
\item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.

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19.tex
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@ -5,14 +5,14 @@
\label{chap:19}
\sideremark{Vorlesung 21}Die allereinfachsten Gruppen sind Abelsch. Bevor wir
uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, ``auflösbaren'' Gruppen
uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, „auflösbaren“ Gruppen
auseinandersetzen, diskutieren wir jetzt erst einmal diesen einfachen Fall. Im
Vergleich zur Stoff-Fülle der vorherigen Vorlesungen ist dieses Kapitel echt
dünn. Zeit zum Luftholen!
\begin{notation}
Wie allgemein üblich werden wir die Gruppenverknüpfung bei Abelschen Gruppen
(fast) immer additiv schreiben und das ``+''-Symbol verwenden. Das neutrale
(fast) immer additiv schreiben und das „+“-Symbol verwenden. Das neutrale
Element wird dann logischerweise mit $0$ oder $0_G$ bezeichnet.
\end{notation}
@ -54,15 +54,15 @@ dünn. Zeit zum Luftholen!
n(a+b)=n·a + n·b \qquad \forall n∈,\ a, b ∈ G.
\end{equation*}
Sagen Sie den folgenden Satz dreimal laut auf und beweisen Sie ihn dann als
Hausaufgabe: ``Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $$-Moduln''.
Hausaufgabe: „Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $$-Moduln“.
\end{konstruktion}
Ein Vektorraum ist ``endlich-dimensional'', wenn es ein endliches
Ein Vektorraum ist „endlich-dimensional“, wenn es ein endliches
Erzeugendensystem gibt. Das geht genau so bei Gruppen.
\begin{definition}[Basics zu Abelschen Gruppen und $$-Moduln]
Eine abelsche Gruppe $G$ ist \emph{endlich erzeugt}\index{endlich erzeugte
abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r∈ G$ gibt,
abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r ∈ G$ gibt,
sodass sich jedes Element $g∈ G$ als $$-Linearkombination
\begin{equation*}
g=\sum n_i·g_i
@ -125,7 +125,7 @@ für Abelsche Gruppen. Es gibt Sätze, bei deren Beweis man dividieren muss.
\end{enumerate}
\end{warnung}
Der folgende ``Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen'' klassifiziert
Der folgende „Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen“ klassifiziert
die Gruppen vollständig und klärt eigentlich jede Frage, die es zum Thema gibt.
Der Satz wird in dieser Vorlesung aus Zeitgründen leider nicht bewiesen.
Tatsächlich gilt aber sogar ein allgemeinerer Satz für endlich erzeugte Moduln

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22.tex
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@ -223,7 +223,7 @@ $f_n(x) := x^n-1 ∈ [x]$ als $n$.ten Kreisteilungskörper über $$ genann
mit $L_n/$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/$
natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu
eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = (ξ)$
ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te
ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$.te
Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist
\begin{equation*}
[L_n : ] = \deg Φ_n = φ(n).
@ -242,7 +242,7 @@ Die Galoisgruppe ist jetzt kein Geheimnis mehr.
\end{proof}
\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks}
\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \texorpdfstring{$n$}{n}-Ecks}
Damit kommen wir zu einem der Ergebnisse, auf die wir das ganze Semester über
hin gearbeitet haben: die vollständige Antwort auf die Frage nach der
@ -306,7 +306,7 @@ Satz unser erstes \emph{positives} Resultat.
Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist \emph{viel} besser, als er aussieht. Schauen
Sie sich den Beweis genau an: Sie sehen, wie wir im Beweis aus einer
\emph{Auflösungskette} für geeignete Galoisgruppen eine
\emph{Konstruktionsvorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also
\emph{Konstruktions\-vorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also
kein abstraktes Existenzresultat, sondern liefert (bei entsprechender Arbeit)
eine konkrete Vorschrift, wie man an den gegebenen Punkt $z$ kommt -- ob der so
erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut

30
23.tex
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@ -75,9 +75,9 @@ noch zwei Korollare vorstellen.
\section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen}
Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den
Fragen: ``Ist $f$ durch Radikale auflösbar?'' und ``Wie sieht die Galoisgruppe
von $f$ aus?'' zuerst im besonders einfachen Fall von ``reinen'' Polynomen, bei
denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
Fragen: „Ist $f$ durch Radikale auflösbar?“, und „Wie sieht die Galoisgruppe von
$f$ aus?“ zuerst im besonders einfachen Fall von „reinen“ Polynomen, bei denen
die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
\begin{defn}[Reines Polynom]
Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines
@ -94,7 +94,7 @@ denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
\begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins}
Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ^{>0}$ eine Zahl. Falls
$\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist.
Wenn $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
Wenn $K$ alle $n$.ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
\begin{enumerate}
\item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die
Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch.
@ -117,9 +117,9 @@ denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
\section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen}
Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von
``Radikalerweiterung'', Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{ging auch gar nicht, weil
Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der
„Radikalerweiterung“, Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{Das ging auch gar nicht, weil
Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der
folgende Satz behebt diesen Mangel.
\begin{satz}\label{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}\label{satz:23.2.1}
@ -143,7 +143,7 @@ folgende Satz behebt diesen Mangel.
sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in
Linearfaktoren zerfällt. Also gibt es eine Radikalerweiterung, die
\emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält. Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible
ist und \emph{eine} Nullstelle als ``Wurzelausdruck'' geschrieben werden kann,
ist und \emph{eine} Nullstelle als „Wurzelausdruck“ geschrieben werden kann,
dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden.
\end{bemerkung}
@ -189,17 +189,17 @@ folgende Satz behebt diesen Mangel.
Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei
Vorüberlegungen.
\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}
\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}%
Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive
$n$-te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn
wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynomes $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynomes $(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist
$n$.te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn
wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynoms $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynoms $(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist
$L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls.
\end{claim-de}
\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}
Wenn $ξ$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
ist $ξ^l$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}%
Wenn $ξ$ eine primitive $n$.te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
ist $ξ^l$ eine primitive $m$.te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
…, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden.
\end{claim-de}

70
24.tex
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@ -6,7 +6,7 @@
\sideremark{Vorlesung 25}
In diesem Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' hatten wir bislang
In diesem Skript zur Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ hatten wir bislang
noch sehr wenig Zahlentheorie. Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch
ändern. Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz
darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl
@ -15,7 +15,7 @@ ist.
\begin{definition}[Quadratischer Rest]
Es sei $p ∈ $ eine Primzahl, weiter sei $a ∈ $ teilerfremd zu $p$. Die Zahl
$a$ heißt \emph{quadratischer Rest modulo $p$}\index{quadratischer
Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung
Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung
\[
\equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)
\]
@ -23,26 +23,26 @@ ist.
$p$}.
\end{definition}
Wikipedia schreibt sinngemäß ``Die Entdeckung des quadratischen
Wikipedia schreibt sinngemäß Die Entdeckung des quadratischen
Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in
den
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones
Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die
Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.''. Tatsächlich
handelt es sich um einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte,
von dem wir hier aber nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das
Buch der Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.}
Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte
der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.“ Tatsächlich handelt es sich um
einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte, von dem wir hier aber
nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das Buch der
Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.}
\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare
Beweise und historische Anmerkungen.
\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}
\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}%
Es sei $p ∈ $ eine Primzahl. Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ $ ein
quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von
$a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von ``quadratischem
Rest'' häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn
die Gleichung $= b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind also
die Elemente von
$a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von quadratischem
Rest häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn
die Gleichung $= b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind
also die Elemente von
\[
(𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x²
\Bigr) ⊂ 𝔽^*_p.
@ -67,11 +67,11 @@ Wie viele quadratische Reste gibt es überhaupt? Die Antwort ist einfach.
\section{Das Legendre-Symbol}
Um den Begriff ``quadratischer Rest'' etwas quantitativer zu erfassen, führen
wir das
Um den Begriff „quadratischer Rest“ etwas quantitativer zu erfassen, führen wir
das
Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie
Legendre} (* 18. September 1752 in Paris; † 9. Januar 1833 ebenda) war ein
französischer Mathematiker.}-Symbol ein.
Legendre} (* 18.~September 1752 in Paris; † 9.~Januar 1833 ebenda) war ein
französischer Mathematiker.}-Symbol ein.
\begin{definition}[Legendre-Symbol]
Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ $. Dann schreibe
@ -112,8 +112,8 @@ Wir können noch etwas mehr über das Legendre-Symbol sagen.
$p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $/(p-1)$. Wir
beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit
den geradzahligen Elementen von $/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl
$(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff ``geradzahligen Elementen von
$/(p-1)$'' sinnvoll verwendet werden kann.
$(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff geradzahligen Elementen von
$/(p-1)$ sinnvoll verwendet werden kann.
Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden
Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht
@ -181,7 +181,7 @@ formulieren.
überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und
$\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben! Es gibt in der
Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer
``Reziprozitätsgesetze'', bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr
„Reziprozitätsgesetze“, bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr
tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt.
\end{rem}
@ -193,9 +193,9 @@ effizient ausrechnen kann. Statt großer Theorie mache ich einfach ein Beispiel
Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17?
\begin{align*}
\left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\
& = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3)
& = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3).
\end{align*}
Also ist die Antwort: ``nein!''
Also ist die Antwort: „Nein!“
\end{bsp}
@ -212,27 +212,27 @@ abgeschrieben. Wenn Sie den Beweis nicht mögen, finden Sie in den
hervorragenden Skripten des Bayreuther Kollegen
\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/}{Michael Stoll} einen
\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/EinfZAS-WS2014/Skript-EinfZAS-pub-screen.pdf}{anderen
Beweis}. Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen
Beweis}. Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen
\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Beweis
mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}.
mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}.
\bigskip
Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen. Der Primkörper von $F$
is $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach
ist $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach
Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative
Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen. Nach dem kleinen
Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und
Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches
von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von
Cauchy'') ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal,
dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit
$ξ ∈ F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt,
von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (Satz von
Cauchy) ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal,
dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit $ξ ∈
F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt,
\begin{equation}\label{eq:g4.1}
\sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F.
\end{equation}
Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
Als Nächstes betrachten wir die folgende „Gaußsche“ Summe im Körper $F$:
\[
G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F.
\]
@ -243,7 +243,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
\[
\sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n}
\quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ =
\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}
\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}.
\]
\end{behauptung}
\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}]
@ -268,7 +268,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\
& = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\
& = \left(\frac{q}{p}\right\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\
& = \left(\frac{q}{p}\right\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}
& = \left(\frac{q}{p}\right\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}.}
\end{align*}
Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})}
\end{proof}
@ -290,7 +290,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right\sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\
& = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
& = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}.}
\end{align*}
Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})}
\end{proof}
@ -302,7 +302,7 @@ auszudrücken, und die so entstandenen Formeln zu vergleichen.
\left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\
& = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\
& = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\
& = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
& = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}.}
\end{align*}
Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir
kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung. \qed