From e5761aa8585967ad7dd7010d3715b6bf6983cc4a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Fri, 10 Nov 2023 10:00:53 +0100 Subject: [PATCH] Fix typos --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 26 ++++++++ .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 22 +++++++ 18.tex | 73 ++++++++++----------- 19.tex | 12 ++-- 22.tex | 6 +- 23.tex | 30 ++++----- 24.tex | 70 ++++++++++---------- 7 files changed, 143 insertions(+), 96 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index a59530f..e15df52 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -167,3 +167,29 @@ Automorphismengruppe Frobeniusmorphismus Fixkörperkonstruktion Äquivalenzklassen +Sylow +Primzahlpotenzteiler +Christiania +Cauchy +Bahnengleichung +Sceaux +Sylowuntergruppe +Sylowuntergruppen +Normalisator +Camille +Zykel +Signums-Abbildung +Sylow-Satz +Isotropiegruppe +Moduln +Torsionsanteil +Feb +Radikalerweiterungen +Gradformel +Legendre-Symbol +Repräsentantenniveau +Identifikationen +Legendre-Symbole +Summationsreihenfolge +Legendre-Symbolen +uninspirierend diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index a36796c..d8a3e0b 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -64,3 +64,25 @@ {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWohin geht die Reise?.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qquadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.p.-Gruppen und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.p.-Sylowuntergruppen.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QSatz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Mit den gleichen Voraussetzungen wie in Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q teilt, dann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDie Antwort kennen Sie wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im Zusammenhang mit der Konstruktion von Jordan-Basen diskutiert.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 12:] Die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der geraden Permutationen, also der Kern der Signums-Abbildung, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, ist eine Untergruppe von Ordnung 12.\\E$"} +{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 12:] Die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der geraden Permutationen, also der Kern der Signums-Abbildung, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, ist eine Untergruppe von Ordnung 12.\\E$"} +{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"} +{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.\\E$"} +{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.\\E$"} +{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPartition Repräsentant Geometrische Anschauung Ordnung Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse abcd () Identität 1 1 aabc (12) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 4 2=6 aabb (12)(34) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 6/2 = 3 aaab (123) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3 4· 2 = 8 aaaa (1234) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 4 3· 2 = 6 Konjugationsklassen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"} +{"rule":"LEERZEICHEN_RECHENZEICHEN","sentence":"^\\QPartition Repräsentant Geometrische Anschauung Ordnung Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse abcd () Identität 1 1 aabc (12) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 4 2=6 aabb (12)(34) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 6/2 = 3 aaab (123) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3 4· 2 = 8 aaaa (1234) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 4 3· 2 = 6 Konjugationsklassen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"} +{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.n.-Ecks.\\E$"} +{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QDann schreibe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q quadratischer Rest modulo \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q quadratischer Nichtrest modulo \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Vielfaches von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDas Buch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nennt 196 unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der Mathematik seit Gauß und Euler.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Behauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ungerade.\\E$"} +{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWas ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?.\\E$"} diff --git a/18.tex b/18.tex index 4f91052..5194700 100644 --- a/18.tex +++ b/18.tex @@ -11,9 +11,9 @@ dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Aber existiert auch zu jedem Teiler von $|G|$ auch tatsächlich eine Untergruppe? Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze von Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter - Ludwig Mejdell Sylow} (* 12. Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; † 7. - September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende - Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten. +Ludwig Mejdell Sylow} (* 12.~Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; † +7.~September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende +Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten. \begin{notation} Im Folgenden sei $p$ stets eine Primzahl. @@ -39,18 +39,18 @@ die folgende. Bahnen, die mehr als ein Element haben. Wir bezeichnen diese Bahnen mit $B_1, …, B_n$. Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt: \begin{equation*} - |M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|, + |M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|. \end{equation*} Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind. Also ist $|B_i|$ ein - Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung - $|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$. + Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung $|M| \equiv |M_0| + \:\:(\operatorname{mod} p)$. \end{proof} Der Satz von Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis - Cauchy} (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux) war ein - französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine +Cauchy} (* 21.~August 1789 in Paris; † 23.~Mai 1857 in Sceaux) war ein +französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter Ordnung zu beweisen. @@ -73,11 +73,10 @@ Ordnung zu beweisen. Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das zentrale Schlüssellemma anwenden. Dazu lassen wir die zyklische Gruppe $ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische - Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch - $b· a = e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch - die zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, - $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, … auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge - dieser Wirkung ist + Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch $b· a = + e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch die + zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, … + auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge dieser Wirkung ist \[ M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}. \] @@ -93,7 +92,7 @@ Ordnung zu beweisen. \end{proof} -\section{$p$-Gruppen und $p$-Sylowuntergruppen} +\section{\texorpdfstring{$p$}{p}-Gruppen und \texorpdfstring{$p$}{p}-Sylowuntergruppen} Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen. Die @@ -112,7 +111,7 @@ folgende Definition beschreibt den Extremfall. Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$ teilt, also eine Potenz von $p$. Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt. Nach - Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von Cauchy'') gibt es dann aber auch ein + Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} („Satz von Cauchy“) gibt es dann aber auch ein Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein. \end{proof} @@ -135,16 +134,16 @@ dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$ enthalten sind. Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich besonders gut. -\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG} +\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}% Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von - $G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$. + $G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$. \end{definition} \begin{bemerkung} - In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet ``maximal'' natürlich ``maximal - bezüglich Inklusion''. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil - $\{e\}$ eine $p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die - Existenz von $p$-Sylowuntergruppen klar. + In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet „maximal“ natürlich „maximal bezüglich + Inklusion“. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil $\{e\}$ eine + $p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die Existenz von + $p$-Sylowuntergruppen klar. \end{bemerkung} \begin{lem} @@ -162,7 +161,7 @@ besonders gut. $g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$. \end{proof} -\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze} +\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}% Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$. Wie in Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$. Dann gilt @@ -185,9 +184,9 @@ besonders gut. & ⇔ g ∈ N(U). \end{align*} Also ist - \begin{equation*} - [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U].\qedhere - \end{equation*} + \[ + [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U]. \qedhere + \] \end{proof} \begin{kor} @@ -291,13 +290,13 @@ Fall auch einmal in den Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation. Ich frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt. Die Antwort kennen Sie -wahrscheinlich aus der Vorlesung ``Lineare Algebra II'', wo man diese Frage im +wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im Zusammenhang mit der Konstruktion von Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie - Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5. Januar 1838 in - Lyon; † 21. Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen -diskutiert. Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, -wiederhole ich die Sache noch einmal. +Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; † +21.~Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen diskutiert. +Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich die +Sache noch einmal. \begin{fakt} Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der @@ -373,13 +372,13 @@ können also nur die folgenden Ordnungen haben. 12 existieren. \item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein. Die Anzahl $s_2$ - der 2-Sylowuntergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} (``Dritter - Sylow-Satz'') ein Teiler von 24 mit - $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$, also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir - wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins} (``Erster Sylow-Satz''), dass jedes - Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer 2-Sylowuntergruppe enthalten - ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16 solche Elemente gibt. - Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente. Also ist $s_2 = 3$. + der 2-Sylow\-untergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} („Dritter + Sylow-Satz“) ein Teiler von 24 mit $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$, + also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins} + („Erster Sylow-Satz“), dass jedes Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer + 2-Sylowuntergruppe enthalten ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16 + solche Elemente gibt. Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente. + Also ist $s_2 = 3$. \item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert. diff --git a/19.tex b/19.tex index 652e130..118610c 100644 --- a/19.tex +++ b/19.tex @@ -5,14 +5,14 @@ \label{chap:19} \sideremark{Vorlesung 21}Die allereinfachsten Gruppen sind Abelsch. Bevor wir -uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, ``auflösbaren'' Gruppen +uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, „auflösbaren“ Gruppen auseinandersetzen, diskutieren wir jetzt erst einmal diesen einfachen Fall. Im Vergleich zur Stoff-Fülle der vorherigen Vorlesungen ist dieses Kapitel echt dünn. Zeit zum Luftholen! \begin{notation} Wie allgemein üblich werden wir die Gruppenverknüpfung bei Abelschen Gruppen - (fast) immer additiv schreiben und das ``+''-Symbol verwenden. Das neutrale + (fast) immer additiv schreiben und das „+“-Symbol verwenden. Das neutrale Element wird dann logischerweise mit $0$ oder $0_G$ bezeichnet. \end{notation} @@ -54,15 +54,15 @@ dünn. Zeit zum Luftholen! n(a+b)=n·a + n·b \qquad \forall n∈ℤ,\ a, b ∈ G. \end{equation*} Sagen Sie den folgenden Satz dreimal laut auf und beweisen Sie ihn dann als - Hausaufgabe: ``Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln''. + Hausaufgabe: „Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln“. \end{konstruktion} -Ein Vektorraum ist ``endlich-dimensional'', wenn es ein endliches +Ein Vektorraum ist „endlich-dimensional“, wenn es ein endliches Erzeugendensystem gibt. Das geht genau so bei Gruppen. \begin{definition}[Basics zu Abelschen Gruppen und $ℤ$-Moduln] Eine abelsche Gruppe $G$ ist \emph{endlich erzeugt}\index{endlich erzeugte - abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r∈ G$ gibt, + abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r ∈ G$ gibt, sodass sich jedes Element $g∈ G$ als $ℤ$-Linearkombination \begin{equation*} g=\sum n_i·g_i @@ -125,7 +125,7 @@ für Abelsche Gruppen. Es gibt Sätze, bei deren Beweis man dividieren muss. \end{enumerate} \end{warnung} -Der folgende ``Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen'' klassifiziert +Der folgende „Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen“ klassifiziert die Gruppen vollständig und klärt eigentlich jede Frage, die es zum Thema gibt. Der Satz wird in dieser Vorlesung aus Zeitgründen leider nicht bewiesen. Tatsächlich gilt aber sogar ein allgemeinerer Satz für endlich erzeugte Moduln diff --git a/22.tex b/22.tex index 1683fab..4b41cda 100644 --- a/22.tex +++ b/22.tex @@ -223,7 +223,7 @@ $f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$.ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genann mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$ natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$ -ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te +ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$.te Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist \begin{equation*} [L_n : ℚ ] = \deg Φ_n = φ(n). @@ -242,7 +242,7 @@ Die Galoisgruppe ist jetzt kein Geheimnis mehr. \end{proof} -\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks} +\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \texorpdfstring{$n$}{n}-Ecks} Damit kommen wir zu einem der Ergebnisse, auf die wir das ganze Semester über hin gearbeitet haben: die vollständige Antwort auf die Frage nach der @@ -306,7 +306,7 @@ Satz unser erstes \emph{positives} Resultat. Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist \emph{viel} besser, als er aussieht. Schauen Sie sich den Beweis genau an: Sie sehen, wie wir im Beweis aus einer \emph{Auflösungskette} für geeignete Galoisgruppen eine -\emph{Konstruktionsvorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also +\emph{Konstruktions\-vorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also kein abstraktes Existenzresultat, sondern liefert (bei entsprechender Arbeit) eine konkrete Vorschrift, wie man an den gegebenen Punkt $z$ kommt -- ob der so erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut diff --git a/23.tex b/23.tex index cecf814..d3162d1 100644 --- a/23.tex +++ b/23.tex @@ -75,9 +75,9 @@ noch zwei Korollare vorstellen. \section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen} Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den -Fragen: ``Ist $f$ durch Radikale auflösbar?'' und ``Wie sieht die Galoisgruppe -von $f$ aus?'' zuerst im besonders einfachen Fall von ``reinen'' Polynomen, bei -denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind. +Fragen: „Ist $f$ durch Radikale auflösbar?“, und „Wie sieht die Galoisgruppe von +$f$ aus?“ zuerst im besonders einfachen Fall von „reinen“ Polynomen, bei denen +die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind. \begin{defn}[Reines Polynom] Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines @@ -94,7 +94,7 @@ denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind. \begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins} Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Falls $\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist. - Wenn $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes. + Wenn $K$ alle $n$.ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch. @@ -117,9 +117,9 @@ denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind. \section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen} Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von -``Radikalerweiterung'', Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht}, -dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{ging auch gar nicht, weil - Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der +„Radikalerweiterung“, Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht}, +dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{Das ging auch gar nicht, weil +Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der folgende Satz behebt diesen Mangel. \begin{satz}\label{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}\label{satz:23.2.1} @@ -143,7 +143,7 @@ folgende Satz behebt diesen Mangel. sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in Linearfaktoren zerfällt. Also gibt es eine Radikalerweiterung, die \emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält. Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible - ist und \emph{eine} Nullstelle als ``Wurzelausdruck'' geschrieben werden kann, + ist und \emph{eine} Nullstelle als „Wurzelausdruck“ geschrieben werden kann, dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden. \end{bemerkung} @@ -189,17 +189,17 @@ folgende Satz behebt diesen Mangel. Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei Vorüberlegungen. -\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1} +\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}% Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive - $n$-te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn - wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynomes $g ∈ K[x]$ schreiben, dann - ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynomes $g·(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist + $n$.te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn + wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynoms $g ∈ K[x]$ schreiben, dann + ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynoms $g·(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist $L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls. \end{claim-de} -\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2} - Wenn $ξ$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann - ist $ξ^l$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$, +\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}% + Wenn $ξ$ eine primitive $n$.te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann + ist $ξ^l$ eine primitive $m$.te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$, …, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden. \end{claim-de} diff --git a/24.tex b/24.tex index 602f7e9..46f1faf 100644 --- a/24.tex +++ b/24.tex @@ -6,7 +6,7 @@ \sideremark{Vorlesung 25} -In diesem Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' hatten wir bislang +In diesem Skript zur Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ hatten wir bislang noch sehr wenig Zahlentheorie. Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch ändern. Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl @@ -15,7 +15,7 @@ ist. \begin{definition}[Quadratischer Rest] Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl, weiter sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$. Die Zahl $a$ heißt \emph{quadratischer Rest modulo $p$}\index{quadratischer - Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung + Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung \[ x² \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p) \] @@ -23,26 +23,26 @@ ist. $p$}. \end{definition} -Wikipedia schreibt sinngemäß ``Die Entdeckung des quadratischen +Wikipedia schreibt sinngemäß „Die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in den \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones - Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die -Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.''. Tatsächlich -handelt es sich um einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte, -von dem wir hier aber nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das -Buch der Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz - \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.} +Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte +der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.“ Tatsächlich handelt es sich um +einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte, von dem wir hier aber +nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das Buch der +Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz +\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.} \cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare Beweise und historische Anmerkungen. -\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp} +\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}% Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl. Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ ℤ$ ein quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von - $a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von ``quadratischem - Rest'' häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn - die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind also - die Elemente von + $a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von „quadratischem + Rest“ häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn + die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind + also die Elemente von \[ (𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x² \Bigr) ⊂ 𝔽^*_p. @@ -67,11 +67,11 @@ Wie viele quadratische Reste gibt es überhaupt? Die Antwort ist einfach. \section{Das Legendre-Symbol} -Um den Begriff ``quadratischer Rest'' etwas quantitativer zu erfassen, führen -wir das +Um den Begriff „quadratischer Rest“ etwas quantitativer zu erfassen, führen wir +das Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie - Legendre} (* 18. September 1752 in Paris; † 9. Januar 1833 ebenda) war ein - französischer Mathematiker.}-Symbol ein. +Legendre} (* 18.~September 1752 in Paris; † 9.~Januar 1833 ebenda) war ein +französischer Mathematiker.}-Symbol ein. \begin{definition}[Legendre-Symbol] Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$. Dann schreibe @@ -112,8 +112,8 @@ Wir können noch etwas mehr über das Legendre-Symbol sagen. $p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $ℤ/(p-1)$. Wir beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit den geradzahligen Elementen von $ℤ/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl - $(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff ``geradzahligen Elementen von - $ℤ/(p-1)$'' sinnvoll verwendet werden kann. + $(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff „geradzahligen Elementen von + $ℤ/(p-1)$“ sinnvoll verwendet werden kann. Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht @@ -181,7 +181,7 @@ formulieren. überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und $\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben! Es gibt in der Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer - ``Reziprozitätsgesetze'', bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr + „Reziprozitätsgesetze“, bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt. \end{rem} @@ -193,9 +193,9 @@ effizient ausrechnen kann. Statt großer Theorie mache ich einfach ein Beispiel Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17? \begin{align*} \left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\ - & = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3) + & = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3). \end{align*} - Also ist die Antwort: ``nein!'' + Also ist die Antwort: „Nein!“ \end{bsp} @@ -212,27 +212,27 @@ abgeschrieben. Wenn Sie den Beweis nicht mögen, finden Sie in den hervorragenden Skripten des Bayreuther Kollegen \href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/}{Michael Stoll} einen \href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/EinfZAS-WS2014/Skript-EinfZAS-pub-screen.pdf}{anderen - Beweis}. Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen +Beweis}. Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen \href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Beweis - mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}. +mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}. \bigskip Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen. Der Primkörper von $F$ -is $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach +ist $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen. Nach dem kleinen Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches -von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von -Cauchy'') ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal, -dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit -$ξ ∈ F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt, +von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} („Satz von +Cauchy“) ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal, +dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit $ξ ∈ +F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt, \begin{equation}\label{eq:g4.1} \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F. \end{equation} -Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$: +Als Nächstes betrachten wir die folgende „Gaußsche“ Summe im Körper $F$: \[ G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F. \] @@ -243,7 +243,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$: \[ \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n} \quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = - \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n} + \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}. \] \end{behauptung} \begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}] @@ -268,7 +268,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$: G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\ & = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\ & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\ - & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}} + & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}.} \end{align*} Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})} \end{proof} @@ -290,7 +290,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$: & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\ & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\ & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\ - & = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}} + & = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}.} \end{align*} Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})} \end{proof} @@ -302,7 +302,7 @@ auszudrücken, und die so entstandenen Formeln zu vergleichen. \left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\ & = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\ & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\ - & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}} + & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}.} \end{align*} Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung. \qed