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Stefan Kebekus
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a6ff676680
commit
e5761aa858
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@ -167,3 +167,29 @@ Automorphismengruppe
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Frobeniusmorphismus
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Fixkörperkonstruktion
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Äquivalenzklassen
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Sylow
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Primzahlpotenzteiler
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Christiania
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Cauchy
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Bahnengleichung
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Sceaux
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Sylowuntergruppe
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Sylowuntergruppen
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Normalisator
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Camille
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Zykel
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Signums-Abbildung
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Sylow-Satz
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Isotropiegruppe
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Moduln
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Torsionsanteil
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Feb
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Radikalerweiterungen
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Gradformel
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Legendre-Symbol
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Repräsentantenniveau
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Identifikationen
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Legendre-Symbole
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Summationsreihenfolge
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Legendre-Symbolen
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uninspirierend
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@ -64,3 +64,25 @@
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWohin geht die Reise?.\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qquadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.p.-Gruppen und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.p.-Sylowuntergruppen.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QSatz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Mit den gleichen Voraussetzungen wie in Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q teilt, dann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDie Antwort kennen Sie wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im Zusammenhang mit der Konstruktion von Jordan-Basen diskutiert.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 12:] Die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der geraden Permutationen, also der Kern der Signums-Abbildung, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, ist eine Untergruppe von Ordnung 12.\\E$"}
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{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 12:] Die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der geraden Permutationen, also der Kern der Signums-Abbildung, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, ist eine Untergruppe von Ordnung 12.\\E$"}
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{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
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{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.\\E$"}
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{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.\\E$"}
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{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPartition Repräsentant Geometrische Anschauung Ordnung Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse abcd () Identität 1 1 aabc (12) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 4 2=6 aabb (12)(34) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 6/2 = 3 aaab (123) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3 4· 2 = 8 aaaa (1234) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 4 3· 2 = 6 Konjugationsklassen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
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{"rule":"LEERZEICHEN_RECHENZEICHEN","sentence":"^\\QPartition Repräsentant Geometrische Anschauung Ordnung Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse abcd () Identität 1 1 aabc (12) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 4 2=6 aabb (12)(34) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 6/2 = 3 aaab (123) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3 4· 2 = 8 aaaa (1234) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 4 3· 2 = 6 Konjugationsklassen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
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{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.n.-Ecks.\\E$"}
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{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QDann schreibe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q quadratischer Rest modulo \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q quadratischer Nichtrest modulo \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Vielfaches von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDas Buch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nennt 196 unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der Mathematik seit Gauß und Euler.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Behauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ungerade.\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWas ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?.\\E$"}
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73
18.tex
73
18.tex
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@ -11,9 +11,9 @@ dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Aber existiert auch zu jedem Teiler von $|G|$
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auch tatsächlich eine Untergruppe? Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze
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von
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Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter
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||||
Ludwig Mejdell Sylow} (* 12. Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; † 7.
|
||||
September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
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||||
Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
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||||
Ludwig Mejdell Sylow} (* 12.~Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; †
|
||||
7.~September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
|
||||
Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
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||||
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||||
\begin{notation}
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Im Folgenden sei $p$ stets eine Primzahl.
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@ -39,18 +39,18 @@ die folgende.
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Bahnen, die mehr als ein Element haben. Wir bezeichnen diese Bahnen mit
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$B_1, …, B_n$. Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt:
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\begin{equation*}
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||||
|M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|,
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||||
|M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|.
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\end{equation*}
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||||
Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass
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die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind. Also ist $|B_i|$ ein
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Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung
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$|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$.
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Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung $|M| \equiv |M_0|
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\:\:(\operatorname{mod} p)$.
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\end{proof}
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||||
Der Satz von
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Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis
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Cauchy} (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux) war ein
|
||||
französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
|
||||
Cauchy} (* 21.~August 1789 in Paris; † 23.~Mai 1857 in Sceaux) war ein
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||||
französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
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endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter
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Ordnung zu beweisen.
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@ -73,11 +73,10 @@ Ordnung zu beweisen.
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Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das
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zentrale Schlüssellemma anwenden. Dazu lassen wir die zyklische Gruppe
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$ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische
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Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch
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||||
$b· a = e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch
|
||||
die zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$,
|
||||
$(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, … auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge
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||||
dieser Wirkung ist
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||||
Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch $b· a =
|
||||
e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch die
|
||||
zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, …
|
||||
auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge dieser Wirkung ist
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||||
\[
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||||
M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}.
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||||
\]
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@ -93,7 +92,7 @@ Ordnung zu beweisen.
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\end{proof}
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\section{$p$-Gruppen und $p$-Sylowuntergruppen}
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\section{\texorpdfstring{$p$}{p}-Gruppen und \texorpdfstring{$p$}{p}-Sylowuntergruppen}
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||||
Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen
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besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen. Die
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@ -112,7 +111,7 @@ folgende Definition beschreibt den Extremfall.
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Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$
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teilt, also eine Potenz von $p$. Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann
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gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt. Nach
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||||
Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von Cauchy'') gibt es dann aber auch ein
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||||
Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} („Satz von Cauchy“) gibt es dann aber auch ein
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||||
Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein.
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\end{proof}
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@ -135,16 +134,16 @@ dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$
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enthalten sind. Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich
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besonders gut.
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||||
\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}
|
||||
\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}%
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||||
Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von
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||||
$G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$.
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||||
$G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$.
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
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||||
In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet ``maximal'' natürlich ``maximal
|
||||
bezüglich Inklusion''. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil
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||||
$\{e\}$ eine $p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die
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||||
Existenz von $p$-Sylowuntergruppen klar.
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||||
In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet „maximal“ natürlich „maximal bezüglich
|
||||
Inklusion“. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil $\{e\}$ eine
|
||||
$p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die Existenz von
|
||||
$p$-Sylowuntergruppen klar.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
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||||
\begin{lem}
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||||
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@ -162,7 +161,7 @@ besonders gut.
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|||
$g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$.
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||||
\end{proof}
|
||||
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||||
\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}
|
||||
\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}%
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||||
Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$. Wie in
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||||
Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$. Dann
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gilt
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||||
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@ -185,9 +184,9 @@ besonders gut.
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|||
& ⇔ g ∈ N(U).
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||||
\end{align*}
|
||||
Also ist
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||||
\begin{equation*}
|
||||
[N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U].\qedhere
|
||||
\end{equation*}
|
||||
\[
|
||||
[N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U]. \qedhere
|
||||
\]
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{kor}
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@ -291,13 +290,13 @@ Fall auch einmal in den
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||||
Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation. Ich
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frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt. Die Antwort kennen Sie
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wahrscheinlich aus der Vorlesung ``Lineare Algebra II'', wo man diese Frage im
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||||
wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im
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||||
Zusammenhang mit der Konstruktion von
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||||
Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie
|
||||
Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5. Januar 1838 in
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||||
Lyon; † 21. Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen
|
||||
diskutiert. Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind,
|
||||
wiederhole ich die Sache noch einmal.
|
||||
Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; †
|
||||
21.~Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen diskutiert.
|
||||
Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich die
|
||||
Sache noch einmal.
|
||||
|
||||
\begin{fakt}
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||||
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der
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@ -373,13 +372,13 @@ können also nur die folgenden Ordnungen haben.
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12 existieren.
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\item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein. Die Anzahl $s_2$
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||||
der 2-Sylowuntergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} (``Dritter
|
||||
Sylow-Satz'') ein Teiler von 24 mit
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||||
$s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$, also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir
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||||
wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins} (``Erster Sylow-Satz''), dass jedes
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||||
Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer 2-Sylowuntergruppe enthalten
|
||||
ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16 solche Elemente gibt.
|
||||
Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente. Also ist $s_2 = 3$.
|
||||
der 2-Sylow\-untergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} („Dritter
|
||||
Sylow-Satz“) ein Teiler von 24 mit $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$,
|
||||
also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins}
|
||||
(„Erster Sylow-Satz“), dass jedes Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer
|
||||
2-Sylowuntergruppe enthalten ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16
|
||||
solche Elemente gibt. Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.
|
||||
Also ist $s_2 = 3$.
|
||||
|
||||
\item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.
|
||||
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||||
|
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|||
12
19.tex
12
19.tex
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@ -5,14 +5,14 @@
|
|||
\label{chap:19}
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||||
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||||
\sideremark{Vorlesung 21}Die allereinfachsten Gruppen sind Abelsch. Bevor wir
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||||
uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, ``auflösbaren'' Gruppen
|
||||
uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, „auflösbaren“ Gruppen
|
||||
auseinandersetzen, diskutieren wir jetzt erst einmal diesen einfachen Fall. Im
|
||||
Vergleich zur Stoff-Fülle der vorherigen Vorlesungen ist dieses Kapitel echt
|
||||
dünn. Zeit zum Luftholen!
|
||||
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||||
\begin{notation}
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||||
Wie allgemein üblich werden wir die Gruppenverknüpfung bei Abelschen Gruppen
|
||||
(fast) immer additiv schreiben und das ``+''-Symbol verwenden. Das neutrale
|
||||
(fast) immer additiv schreiben und das „+“-Symbol verwenden. Das neutrale
|
||||
Element wird dann logischerweise mit $0$ oder $0_G$ bezeichnet.
|
||||
\end{notation}
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||||
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@ -54,15 +54,15 @@ dünn. Zeit zum Luftholen!
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|||
n(a+b)=n·a + n·b \qquad \forall n∈ℤ,\ a, b ∈ G.
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||||
\end{equation*}
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||||
Sagen Sie den folgenden Satz dreimal laut auf und beweisen Sie ihn dann als
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||||
Hausaufgabe: ``Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln''.
|
||||
Hausaufgabe: „Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln“.
|
||||
\end{konstruktion}
|
||||
|
||||
Ein Vektorraum ist ``endlich-dimensional'', wenn es ein endliches
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||||
Ein Vektorraum ist „endlich-dimensional“, wenn es ein endliches
|
||||
Erzeugendensystem gibt. Das geht genau so bei Gruppen.
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Basics zu Abelschen Gruppen und $ℤ$-Moduln]
|
||||
Eine abelsche Gruppe $G$ ist \emph{endlich erzeugt}\index{endlich erzeugte
|
||||
abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r∈ G$ gibt,
|
||||
abelsche Gruppe}, wenn es endlich viele Elemente $g_1, …, g_r ∈ G$ gibt,
|
||||
sodass sich jedes Element $g∈ G$ als $ℤ$-Linearkombination
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
g=\sum n_i·g_i
|
||||
|
|
@ -125,7 +125,7 @@ für Abelsche Gruppen. Es gibt Sätze, bei deren Beweis man dividieren muss.
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|||
\end{enumerate}
|
||||
\end{warnung}
|
||||
|
||||
Der folgende ``Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen'' klassifiziert
|
||||
Der folgende „Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen“ klassifiziert
|
||||
die Gruppen vollständig und klärt eigentlich jede Frage, die es zum Thema gibt.
|
||||
Der Satz wird in dieser Vorlesung aus Zeitgründen leider nicht bewiesen.
|
||||
Tatsächlich gilt aber sogar ein allgemeinerer Satz für endlich erzeugte Moduln
|
||||
|
|
|
|||
6
22.tex
6
22.tex
|
|
@ -223,7 +223,7 @@ $f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$.ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genann
|
|||
mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$
|
||||
natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu
|
||||
eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$
|
||||
ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te
|
||||
ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$.te
|
||||
Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist
|
||||
\begin{equation*}
|
||||
[L_n : ℚ ] = \deg Φ_n = φ(n).
|
||||
|
|
@ -242,7 +242,7 @@ Die Galoisgruppe ist jetzt kein Geheimnis mehr.
|
|||
\end{proof}
|
||||
|
||||
|
||||
\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks}
|
||||
\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \texorpdfstring{$n$}{n}-Ecks}
|
||||
|
||||
Damit kommen wir zu einem der Ergebnisse, auf die wir das ganze Semester über
|
||||
hin gearbeitet haben: die vollständige Antwort auf die Frage nach der
|
||||
|
|
@ -306,7 +306,7 @@ Satz unser erstes \emph{positives} Resultat.
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|||
Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist \emph{viel} besser, als er aussieht. Schauen
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||||
Sie sich den Beweis genau an: Sie sehen, wie wir im Beweis aus einer
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||||
\emph{Auflösungskette} für geeignete Galoisgruppen eine
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||||
\emph{Konstruktionsvorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also
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||||
\emph{Konstruktions\-vorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also
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||||
kein abstraktes Existenzresultat, sondern liefert (bei entsprechender Arbeit)
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eine konkrete Vorschrift, wie man an den gegebenen Punkt $z$ kommt -- ob der so
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erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut
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30
23.tex
30
23.tex
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@ -75,9 +75,9 @@ noch zwei Korollare vorstellen.
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\section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen}
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Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den
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Fragen: ``Ist $f$ durch Radikale auflösbar?'' und ``Wie sieht die Galoisgruppe
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von $f$ aus?'' zuerst im besonders einfachen Fall von ``reinen'' Polynomen, bei
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||||
denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
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||||
Fragen: „Ist $f$ durch Radikale auflösbar?“, und „Wie sieht die Galoisgruppe von
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||||
$f$ aus?“ zuerst im besonders einfachen Fall von „reinen“ Polynomen, bei denen
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die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
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\begin{defn}[Reines Polynom]
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Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines
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@ -94,7 +94,7 @@ denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
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\begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins}
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||||
Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Falls
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||||
$\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist.
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||||
Wenn $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
|
||||
Wenn $K$ alle $n$.ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die
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||||
Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch.
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@ -117,9 +117,9 @@ denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
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\section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen}
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Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von
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``Radikalerweiterung'', Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
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||||
dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{ging auch gar nicht, weil
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||||
Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der
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||||
„Radikalerweiterung“, Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
|
||||
dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{Das ging auch gar nicht, weil
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||||
Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der
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folgende Satz behebt diesen Mangel.
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\begin{satz}\label{Satz_Subsection_Einundzwanzig_Zwei}\label{satz:23.2.1}
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@ -143,7 +143,7 @@ folgende Satz behebt diesen Mangel.
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sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in
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Linearfaktoren zerfällt. Also gibt es eine Radikalerweiterung, die
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||||
\emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält. Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible
|
||||
ist und \emph{eine} Nullstelle als ``Wurzelausdruck'' geschrieben werden kann,
|
||||
ist und \emph{eine} Nullstelle als „Wurzelausdruck“ geschrieben werden kann,
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||||
dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden.
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\end{bemerkung}
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@ -189,17 +189,17 @@ folgende Satz behebt diesen Mangel.
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Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei
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Vorüberlegungen.
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\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}
|
||||
\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}%
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||||
Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive
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||||
$n$-te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn
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||||
wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynomes $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
|
||||
ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynomes $g·(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist
|
||||
$n$.te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn
|
||||
wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynoms $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
|
||||
ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynoms $g·(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist
|
||||
$L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls.
|
||||
\end{claim-de}
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\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}
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||||
Wenn $ξ$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
|
||||
ist $ξ^l$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
|
||||
\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}%
|
||||
Wenn $ξ$ eine primitive $n$.te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
|
||||
ist $ξ^l$ eine primitive $m$.te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
|
||||
…, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden.
|
||||
\end{claim-de}
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||||
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70
24.tex
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24.tex
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|
@ -6,7 +6,7 @@
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\sideremark{Vorlesung 25}
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||||
In diesem Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' hatten wir bislang
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||||
In diesem Skript zur Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ hatten wir bislang
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noch sehr wenig Zahlentheorie. Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch
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||||
ändern. Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz
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||||
darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl
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@ -15,7 +15,7 @@ ist.
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\begin{definition}[Quadratischer Rest]
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||||
Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl, weiter sei $a ∈ ℤ$ teilerfremd zu $p$. Die Zahl
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||||
$a$ heißt \emph{quadratischer Rest modulo $p$}\index{quadratischer
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||||
Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung
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||||
Rest}\index{Rest!quadratischer}, wenn die Gleichung
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\[
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||||
x² \equiv a \:\:(\operatorname{mod} p)
|
||||
\]
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||||
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@ -23,26 +23,26 @@ ist.
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|||
$p$}.
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||||
\end{definition}
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Wikipedia schreibt sinngemäß ``Die Entdeckung des quadratischen
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||||
Wikipedia schreibt sinngemäß „Die Entdeckung des quadratischen
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Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in
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||||
den
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||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones
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||||
Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die
|
||||
Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.''. Tatsächlich
|
||||
handelt es sich um einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte,
|
||||
von dem wir hier aber nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das
|
||||
Buch der Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz
|
||||
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.}
|
||||
Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte
|
||||
der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.“ Tatsächlich handelt es sich um
|
||||
einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte, von dem wir hier aber
|
||||
nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das Buch der
|
||||
Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz
|
||||
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.}
|
||||
\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare
|
||||
Beweise und historische Anmerkungen.
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||||
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||||
\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}
|
||||
\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}%
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||||
Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl. Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ ℤ$ ein
|
||||
quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von
|
||||
$a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von ``quadratischem
|
||||
Rest'' häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn
|
||||
die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind also
|
||||
die Elemente von
|
||||
$a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von „quadratischem
|
||||
Rest“ häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn
|
||||
die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind
|
||||
also die Elemente von
|
||||
\[
|
||||
(𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x²
|
||||
\Bigr) ⊂ 𝔽^*_p.
|
||||
|
|
@ -67,11 +67,11 @@ Wie viele quadratische Reste gibt es überhaupt? Die Antwort ist einfach.
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||||
\section{Das Legendre-Symbol}
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||||
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||||
Um den Begriff ``quadratischer Rest'' etwas quantitativer zu erfassen, führen
|
||||
wir das
|
||||
Um den Begriff „quadratischer Rest“ etwas quantitativer zu erfassen, führen wir
|
||||
das
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||||
Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie
|
||||
Legendre} (* 18. September 1752 in Paris; † 9. Januar 1833 ebenda) war ein
|
||||
französischer Mathematiker.}-Symbol ein.
|
||||
Legendre} (* 18.~September 1752 in Paris; † 9.~Januar 1833 ebenda) war ein
|
||||
französischer Mathematiker.}-Symbol ein.
|
||||
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||||
\begin{definition}[Legendre-Symbol]
|
||||
Es sei $p$ eine ungerade Primzahl und es sei $a ∈ ℤ$. Dann schreibe
|
||||
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@ -112,8 +112,8 @@ Wir können noch etwas mehr über das Legendre-Symbol sagen.
|
|||
$p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $ℤ/(p-1)$. Wir
|
||||
beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit
|
||||
den geradzahligen Elementen von $ℤ/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl
|
||||
$(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff ``geradzahligen Elementen von
|
||||
$ℤ/(p-1)$'' sinnvoll verwendet werden kann.
|
||||
$(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff „geradzahligen Elementen von
|
||||
$ℤ/(p-1)$“ sinnvoll verwendet werden kann.
|
||||
|
||||
Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden
|
||||
Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht
|
||||
|
|
@ -181,7 +181,7 @@ formulieren.
|
|||
überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und
|
||||
$\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben! Es gibt in der
|
||||
Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer
|
||||
``Reziprozitätsgesetze'', bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr
|
||||
„Reziprozitätsgesetze“, bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr
|
||||
tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt.
|
||||
\end{rem}
|
||||
|
||||
|
|
@ -193,9 +193,9 @@ effizient ausrechnen kann. Statt großer Theorie mache ich einfach ein Beispiel
|
|||
Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17?
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\
|
||||
& = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3)
|
||||
& = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Also ist die Antwort: ``nein!''
|
||||
Also ist die Antwort: „Nein!“
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -212,27 +212,27 @@ abgeschrieben. Wenn Sie den Beweis nicht mögen, finden Sie in den
|
|||
hervorragenden Skripten des Bayreuther Kollegen
|
||||
\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/}{Michael Stoll} einen
|
||||
\href{http://www.mathe2.uni-bayreuth.de/stoll/teaching/EinfZAS-WS2014/Skript-EinfZAS-pub-screen.pdf}{anderen
|
||||
Beweis}. Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen
|
||||
Beweis}. Annette Huber bevorzugt in ihrem Skript einen
|
||||
\href{http://home.mathematik.uni-freiburg.de/arithgeom/lehre/ws17/azt/algebra17.pdf}{Beweis
|
||||
mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}.
|
||||
mithilfe der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern}.
|
||||
|
||||
\bigskip
|
||||
|
||||
Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen. Der Primkörper von $F$
|
||||
is $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach
|
||||
ist $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach
|
||||
Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative
|
||||
Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen. Nach dem kleinen
|
||||
Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und
|
||||
Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches
|
||||
von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von
|
||||
Cauchy'') ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal,
|
||||
dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit
|
||||
$ξ ∈ F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt,
|
||||
von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} („Satz von
|
||||
Cauchy“) ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal,
|
||||
dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit $ξ ∈
|
||||
F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt,
|
||||
\begin{equation}\label{eq:g4.1}
|
||||
\sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F.
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
|
||||
Als Nächstes betrachten wir die folgende „Gaußsche“ Summe im Körper $F$:
|
||||
\[
|
||||
G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F.
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -243,7 +243,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
|
|||
\[
|
||||
\sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n}
|
||||
\quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ =
|
||||
\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}
|
||||
\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}.
|
||||
\]
|
||||
\end{behauptung}
|
||||
\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}]
|
||||
|
|
@ -268,7 +268,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
|
|||
G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\
|
||||
& = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\
|
||||
& = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\
|
||||
& = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}}
|
||||
& = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
|
@ -290,7 +290,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
|
|||
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\
|
||||
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\
|
||||
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\
|
||||
& = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
|
||||
& = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
|
@ -302,7 +302,7 @@ auszudrücken, und die so entstandenen Formeln zu vergleichen.
|
|||
\left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\
|
||||
& = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\
|
||||
& = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\
|
||||
& = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}}
|
||||
& = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}.}
|
||||
\end{align*}
|
||||
Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir
|
||||
kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung. \qed
|
||||
|
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