kebekus
/
AlgebraZahlentheorie
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Packages Projects Releases Wiki Activity

Fix typos

This commit is contained in:
Stefan Kebekus 2023-11-10 10:00:53 +01:00
parent a6ff676680
commit e5761aa858
7 changed files with 143 additions and 96 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

26
.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt vendored
View File

@ -167,3 +167,29 @@ Automorphismengruppe
Frobeniusmorphismus Frobeniusmorphismus
Fixkörperkonstruktion Fixkörperkonstruktion
Äquivalenzklassen Äquivalenzklassen
Sylow
Primzahlpotenzteiler
Christiania
Cauchy
Bahnengleichung
Sceaux
Sylowuntergruppe
Sylowuntergruppen
Normalisator
Camille
Zykel
Signums-Abbildung
Sylow-Satz
Isotropiegruppe
Moduln
Torsionsanteil
Feb
Radikalerweiterungen
Gradformel
Legendre-Symbol
Repräsentantenniveau
Identifikationen
Legendre-Symbole
Summationsreihenfolge
Legendre-Symbolen
uninspirierend

22
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
View File

@ -64,3 +64,25 @@
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWohin geht die Reise?.\\E$"} {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWohin geht die Reise?.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qund Mult.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qquadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qquadratfrei = kein Primteiler tritt doppelt auf\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.p.-Gruppen und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.p.-Sylowuntergruppen.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QAlso ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QSatz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Mit den gleichen Voraussetzungen wie in Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: wenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q den Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q teilt, dann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDie Antwort kennen Sie wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im Zusammenhang mit der Konstruktion von Jordan-Basen diskutiert.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 12:] Die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der geraden Permutationen, also der Kern der Signums-Abbildung, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, ist eine Untergruppe von Ordnung 12.\\E$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 12:] Die Menge \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q der geraden Permutationen, also der Kern der Signums-Abbildung, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, ist eine Untergruppe von Ordnung 12.\\E$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 24:] Dies muss die ganze Gruppe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein.\\E$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.\\E$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 4:] Jedes Element der Ordnung 4 liefert eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QPartition Repräsentant Geometrische Anschauung Ordnung Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse abcd () Identität 1 1 aabc (12) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 4 2=6 aabb (12)(34) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 6/2 = 3 aaab (123) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3 4· 2 = 8 aaaa (1234) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 4 3· 2 = 6 Konjugationsklassen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_RECHENZEICHEN","sentence":"^\\QPartition Repräsentant Geometrische Anschauung Ordnung Anzahl der Elemente in der Konjugationsklasse abcd () Identität 1 1 aabc (12) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 4 2=6 aabb (12)(34) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 2 6/2 = 3 aaab (123) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 3 4· 2 = 8 aaaa (1234) \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q 4 3· 2 = 6 Konjugationsklassen in \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+$"}
{"rule":"LEERZEICHEN_HINTER_DOPPELPUNKT","sentence":"^\\Q[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Ordnung 3:] Dies müssen die 3-Sylowuntergruppen von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q sein.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDer Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.n.-Ecks.\\E$"}
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QDann schreibe \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q quadratischer Rest modulo \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q quadratischer Nichtrest modulo \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q falls \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein Vielfaches von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDas Buch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q nennt 196 unterschiedliche, publizierte Beweise; die Autorenliste ist ein Who-is-Who der Mathematik seit Gauß und Euler.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Behauptung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Die Zahl \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist ungerade.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWas ist in dieser Vorlesung eigentlich passiert?.\\E$"}

65
18.tex
View File

@ -11,8 +11,8 @@ dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$. Aber existiert auch zu jedem Teiler von $|G|$
auch tatsächlich eine Untergruppe? Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze auch tatsächlich eine Untergruppe? Für Primzahlpotenzteiler werden die Sätze
von von
Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter Sylow\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow}{Peter
Ludwig Mejdell Sylow} (* 12. Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; † 7. Ludwig Mejdell Sylow} (* 12.~Dezember 1832 in Christiania, heute Oslo; †
September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende 7.~September 1918 ebenda) war ein norwegischer Mathematiker, der grundlegende
Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten. Arbeiten zur Gruppentheorie verfasste.} diese Frage ausführlich beantworten.
\begin{notation} \begin{notation}
@ -39,17 +39,17 @@ die folgende.
Bahnen, die mehr als ein Element haben. Wir bezeichnen diese Bahnen mit Bahnen, die mehr als ein Element haben. Wir bezeichnen diese Bahnen mit
$B_1, …, B_n$. Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt: $B_1, …, B_n$. Weil $M$ die disjunkte Vereinigung der Bahnen ist, gilt:
\begin{equation*} \begin{equation*}
|M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|, |M| = |M_0| + |B_1|+ ⋯ +|B_n|.
\end{equation*} \end{equation*}
Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass Wir wissen aus der Bahnengleichung, Satz~\vref{Satz_Seite_156_und_157}, dass
die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind. Also ist $|B_i|$ ein die Zahlen $|B_i|$ stets Teiler von $|G| = p^m$ sind. Also ist $|B_i|$ ein
Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung Vielfaches von $p$ und es gilt die gewünschte Gleichung $|M| \equiv |M_0|
$|M| \equiv |M_0| \:\:(\operatorname{mod} p)$. \:\:(\operatorname{mod} p)$.
\end{proof} \end{proof}
Der Satz von Der Satz von
Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Augustin-Louis
Cauchy} (* 21. August 1789 in Paris; † 23. Mai 1857 in Sceaux) war ein Cauchy} (* 21.~August 1789 in Paris; † 23.~Mai 1857 in Sceaux) war ein
französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine französischer Mathematiker.} wendet das zentrale Schlüssellemma auf eine
endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter endliche Gruppe an, um die Existenz von Gruppenelementen mit interessanter
Ordnung zu beweisen. Ordnung zu beweisen.
@ -73,11 +73,10 @@ Ordnung zu beweisen.
Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das Als Nächstes brauchen wir eine schicke Gruppenwirkung, denn wir wollen das
zentrale Schlüssellemma anwenden. Dazu lassen wir die zyklische Gruppe zentrale Schlüssellemma anwenden. Dazu lassen wir die zyklische Gruppe
$ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische $ℤ/(p)$ auf $M$ durch zyklisches Vertauschen wirken\footnote{Die zyklische
Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch Vertauschung wirkt auf $M$, weil in jeder Gruppe aus $a· b = e$ auch $b· a =
$b· a = e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch e$ gilt. Damit ist nämlich klar, dass mit $(a_1, …, a_p) ∈ M$ auch die
die zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, zyklisch vertauschten Tupel $(a_2, …, a_p, a_1)$, $(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, …
$(a_3, …, a_p, a_1, a_2)$, … auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge auch wieder in $M$ liegen.}. Die Fixpunktmenge dieser Wirkung ist
dieser Wirkung ist
\[ \[
M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}. M_0 = \{ (a, …, a) ∈ G^p \::\: a^p=e\}.
\] \]
@ -93,7 +92,7 @@ Ordnung zu beweisen.
\end{proof} \end{proof}
\section{$p$-Gruppen und $p$-Sylowuntergruppen} \section{\texorpdfstring{$p$}{p}-Gruppen und \texorpdfstring{$p$}{p}-Sylowuntergruppen}
Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen Wenn man den Satz von Cauchy ernst nimmt, dann scheinen diejenigen Gruppen
besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen. Die besonders einfach zu sein, deren Ordnung möglichst wenige Teiler besitzen. Die
@ -112,7 +111,7 @@ folgende Definition beschreibt den Extremfall.
Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$ Wenn $|G| = p^n$ ist, dann hat jedes Element $g ∈ G$ eine Ordnung, die $p^n$
teilt, also eine Potenz von $p$. Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann teilt, also eine Potenz von $p$. Wenn $|G|$ keine Potenz von $p$ ist, dann
gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt. Nach gibt es eine Primzahl $q ≠ p$, die Ordnung $|G|$ teilt. Nach
Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von Cauchy'') gibt es dann aber auch ein Satz~\ref{Satz_von_Cauchy} („Satz von Cauchy“) gibt es dann aber auch ein
Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein. Element der Ordnung $q$, und $G$ kann keine $p$-Gruppe sein.
\end{proof} \end{proof}
@ -135,16 +134,16 @@ dieser Situation kann man immerhin noch nach den $p$-Gruppen fragen, die in $G$
enthalten sind. Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich enthalten sind. Dabei sind die maximal großen $p$-Untergruppen natürlich
besonders gut. besonders gut.
\begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG} \begin{definition}[$p$-Sylowuntergruppe]\label{defn:pSUG}%
Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von Es sei $G$ eine endliche Gruppe. Eine \emph{$p$-Sylowunter\-gruppe von
$G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$. $G$}\index{Sylowuntergruppe} ist eine maximale $p$-Untergruppe von $G$.
\end{definition} \end{definition}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet ``maximal'' natürlich ``maximal In Definition~\ref{defn:pSUG} bedeutet „maximal“ natürlich „maximal bezüglich
bezüglich Inklusion''. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil Inklusion“. Die Menge der $p$-Untergruppen ist nicht leer, weil $\{e\}$ eine
$\{e\}$ eine $p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die $p$-Untergruppe ist. Für \emph{endliche} Gruppen ist die Existenz von
Existenz von $p$-Sylowuntergruppen klar. $p$-Sylowuntergruppen klar.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{lem} \begin{lem}
@ -162,7 +161,7 @@ besonders gut.
$g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$. $g^{-1}·H·g =G_p$ und $H = g·G_p·g^{-1}$.
\end{proof} \end{proof}
\begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze} \begin{lemma}\label{Lemma_vor_Korrolar_Sylowsaetze}%
Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$. Wie in Sei $U$ eine $p$-Untergruppe einer endlichen Gruppe $G$. Wie in
Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$. Dann Definition~\ref{defn:normalisator} sei $N(U)$ der Normalisator von $U$. Dann
gilt gilt
@ -185,9 +184,9 @@ besonders gut.
& ⇔ g ∈ N(U). & ⇔ g ∈ N(U).
\end{align*} \end{align*}
Also ist Also ist
\begin{equation*} \[
[N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U]. \qedhere [N(U):U] = |M_0| \overset{\text{Satz~\ref{lem:zsl}}}{\equiv} |M| = [G:U]. \qedhere
\end{equation*} \]
\end{proof} \end{proof}
\begin{kor} \begin{kor}
@ -291,13 +290,13 @@ Fall auch einmal in den
Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation. Ich Wir betrachten die Wirkung von $S_n$ auf sich selbst durch Konjugation. Ich
frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt. Die Antwort kennen Sie frage zuerst, wie viele Konjugationsklassen es gibt. Die Antwort kennen Sie
wahrscheinlich aus der Vorlesung ``Lineare Algebra II'', wo man diese Frage im wahrscheinlich aus der Vorlesung „Lineare Algebra II“, wo man diese Frage im
Zusammenhang mit der Konstruktion von Zusammenhang mit der Konstruktion von
Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie Jordan\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie
Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5. Januar 1838 in Ennemond Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; †
Lyon; † 21. Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen 21.~Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}-Basen diskutiert.
diskutiert. Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, Weil aber vielleicht nicht alle auf demselben Stand sind, wiederhole ich die
wiederhole ich die Sache noch einmal. Sache noch einmal.
\begin{fakt} \begin{fakt}
Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Dann gibt eine Bijektion zwischen der Menge der
@ -373,13 +372,13 @@ können also nur die folgenden Ordnungen haben.
12 existieren. 12 existieren.
\item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein. Die Anzahl $s_2$ \item[Ordnung 8:] Dies müssen die 2-Sylowuntergruppen sein. Die Anzahl $s_2$
der 2-Sylowuntergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} (``Dritter der 2-Sylow\-untergruppen ist nach Satz~\ref{Satz_Sylow_Drei} („Dritter
Sylow-Satz'') ein Teiler von 24 mit Sylow-Satz“) ein Teiler von 24 mit $s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$,
$s_2 \equiv 1 \:\: (\operatorname{mod} 2)$, also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir also $s_2=1$ oder $s_2=3$. Wir wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins}
wissen nach dem Satz~\ref{Satz_Sylow_Eins} (``Erster Sylow-Satz''), dass jedes („Erster Sylow-Satz“), dass jedes Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer
Element der Ordnung 1, 2 oder 4 in einer 2-Sylowuntergruppe enthalten 2-Sylowuntergruppe enthalten ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16
ist. Tabelle~\vref{fig:ks4} zeigt, dass es 16 solche Elemente gibt. solche Elemente gibt. Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente.
Allerdings hat eine 2-Sylowuntergruppe nur 8 Elemente. Also ist $s_2 = 3$. Also ist $s_2 = 3$.
\item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert. \item[Ordnung 6:] Es ist im Moment unklar, ob eine solche Untergruppe existiert.

10
19.tex
View File

@ -5,14 +5,14 @@
\label{chap:19} \label{chap:19}
\sideremark{Vorlesung 21}Die allereinfachsten Gruppen sind Abelsch. Bevor wir \sideremark{Vorlesung 21}Die allereinfachsten Gruppen sind Abelsch. Bevor wir
uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, ``auflösbaren'' Gruppen uns im nächsten Kapitel mit den etwas interessanteren, „auflösbaren“ Gruppen
auseinandersetzen, diskutieren wir jetzt erst einmal diesen einfachen Fall. Im auseinandersetzen, diskutieren wir jetzt erst einmal diesen einfachen Fall. Im
Vergleich zur Stoff-Fülle der vorherigen Vorlesungen ist dieses Kapitel echt Vergleich zur Stoff-Fülle der vorherigen Vorlesungen ist dieses Kapitel echt
dünn. Zeit zum Luftholen! dünn. Zeit zum Luftholen!
\begin{notation} \begin{notation}
Wie allgemein üblich werden wir die Gruppenverknüpfung bei Abelschen Gruppen Wie allgemein üblich werden wir die Gruppenverknüpfung bei Abelschen Gruppen
(fast) immer additiv schreiben und das ``+''-Symbol verwenden. Das neutrale (fast) immer additiv schreiben und das „+“-Symbol verwenden. Das neutrale
Element wird dann logischerweise mit $0$ oder $0_G$ bezeichnet. Element wird dann logischerweise mit $0$ oder $0_G$ bezeichnet.
\end{notation} \end{notation}
@ -54,10 +54,10 @@ dünn. Zeit zum Luftholen!
n(a+b)=n·a + n·b \qquad \forall n∈ℤ,\ a, b ∈ G. n(a+b)=n·a + n·b \qquad \forall n∈ℤ,\ a, b ∈ G.
\end{equation*} \end{equation*}
Sagen Sie den folgenden Satz dreimal laut auf und beweisen Sie ihn dann als Sagen Sie den folgenden Satz dreimal laut auf und beweisen Sie ihn dann als
Hausaufgabe: ``Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln''. Hausaufgabe: „Abelsche Gruppen sind dasselbe wie $ℤ$-Moduln“.
\end{konstruktion} \end{konstruktion}
Ein Vektorraum ist ``endlich-dimensional'', wenn es ein endliches Ein Vektorraum ist „endlich-dimensional“, wenn es ein endliches
Erzeugendensystem gibt. Das geht genau so bei Gruppen. Erzeugendensystem gibt. Das geht genau so bei Gruppen.
\begin{definition}[Basics zu Abelschen Gruppen und $ℤ$-Moduln] \begin{definition}[Basics zu Abelschen Gruppen und $ℤ$-Moduln]
@ -125,7 +125,7 @@ für Abelsche Gruppen. Es gibt Sätze, bei deren Beweis man dividieren muss.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{warnung} \end{warnung}
Der folgende ``Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen'' klassifiziert Der folgende „Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen“ klassifiziert
die Gruppen vollständig und klärt eigentlich jede Frage, die es zum Thema gibt. die Gruppen vollständig und klärt eigentlich jede Frage, die es zum Thema gibt.
Der Satz wird in dieser Vorlesung aus Zeitgründen leider nicht bewiesen. Der Satz wird in dieser Vorlesung aus Zeitgründen leider nicht bewiesen.
Tatsächlich gilt aber sogar ein allgemeinerer Satz für endlich erzeugte Moduln Tatsächlich gilt aber sogar ein allgemeinerer Satz für endlich erzeugte Moduln

6
22.tex
View File

@ -223,7 +223,7 @@ $f_n(x) := x^n-1 ∈ ℚ[x]$ als $n$.ten Kreisteilungskörper über $ℚ$ genann
mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$ mit $L_n/ℚ$ bezeichnet. Als Zerfällungskörper eines Polynoms ist $L_n/ℚ$
natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu natürlich Galoisch, wir müssen jetzt die Galoisgruppe bestimmen. Wähle dazu
eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$ eine primitive $n$.te Einheitswurzel $ξ$ und beobachte, dass dann $L_n = ℚ(ξ)$
ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$-te ist. Das Minimalpolynom von $ξ$ kennen wir schon, es ist das $n$.te
Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist Kreisteilungspolynom $Φ_n$. Also ist
\begin{equation*} \begin{equation*}
[L_n : ℚ ] = \deg Φ_n = φ(n). [L_n : ℚ ] = \deg Φ_n = φ(n).
@ -242,7 +242,7 @@ Die Galoisgruppe ist jetzt kein Geheimnis mehr.
\end{proof} \end{proof}
\section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären $n$-Ecks} \section{Der Satz von Gauß über die Konstruierbarkeit des regulären \texorpdfstring{$n$}{n}-Ecks}
Damit kommen wir zu einem der Ergebnisse, auf die wir das ganze Semester über Damit kommen wir zu einem der Ergebnisse, auf die wir das ganze Semester über
hin gearbeitet haben: die vollständige Antwort auf die Frage nach der hin gearbeitet haben: die vollständige Antwort auf die Frage nach der
@ -306,7 +306,7 @@ Satz unser erstes \emph{positives} Resultat.
Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist \emph{viel} besser, als er aussieht. Schauen Satz~\ref{Satz_von_Seite_197} ist \emph{viel} besser, als er aussieht. Schauen
Sie sich den Beweis genau an: Sie sehen, wie wir im Beweis aus einer Sie sich den Beweis genau an: Sie sehen, wie wir im Beweis aus einer
\emph{Auflösungskette} für geeignete Galoisgruppen eine \emph{Auflösungskette} für geeignete Galoisgruppen eine
\emph{Konstruktionsvorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also \emph{Konstruktions\-vorschrift} für den Punkt $z$ machen. Der Beweis ist also
kein abstraktes Existenzresultat, sondern liefert (bei entsprechender Arbeit) kein abstraktes Existenzresultat, sondern liefert (bei entsprechender Arbeit)
eine konkrete Vorschrift, wie man an den gegebenen Punkt $z$ kommt -- ob der so eine konkrete Vorschrift, wie man an den gegebenen Punkt $z$ kommt -- ob der so
erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut erhaltene Konstruktionsweg dann immer besonders elegant oder praktisch gut

28
23.tex
View File

@ -75,9 +75,9 @@ noch zwei Korollare vorstellen.
\section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen} \section{Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen}
Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den Um die zentrale Idee zu illustrieren, erkläre ich den Zusammenhang zwischen den
Fragen: ``Ist $f$ durch Radikale auflösbar?'' und ``Wie sieht die Galoisgruppe Fragen: „Ist $f$ durch Radikale auflösbar?“, und „Wie sieht die Galoisgruppe von
von $f$ aus?'' zuerst im besonders einfachen Fall von ``reinen'' Polynomen, bei $f$ aus?“ zuerst im besonders einfachen Fall von „reinen“ Polynomen, bei denen
denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind. die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
\begin{defn}[Reines Polynom] \begin{defn}[Reines Polynom]
Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines Es sei $K$ ein Körper. Ein Polynom $f ∈ K[x]$ heißt \emph{rein}\index{reines
@ -94,7 +94,7 @@ denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
\begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins} \begin{satz}[Reine Polynome und zyklische Galoiserweiterungen]\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins}
Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Falls Es sei $K$ ein Körper und es sei $n ∈ ℕ^{>0}$ eine Zahl. Falls
$\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist. $\operatorname{char} K = p > 0$ ist, nehmen wir noch an, dass $p\nmid n$ ist.
Wenn $K$ alle $n$-ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes. Wenn $K$ alle $n$.ten Einheitswurzeln enthält, dann gilt Folgendes.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die \item\label{Satz_Aufloesen_von_Gleichungen_Eins_1} Für jedes $a ∈ K^*$ ist die
Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch. Galoisgruppe des reinen Polynoms $f=x^n-a∈ K[x]$ zyklisch.
@ -117,8 +117,8 @@ denen die Nullstellen ganz offenbar Wurzeln sind.
\section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen} \section{Radikalerweiterungen von Galoiserweiterungen}
Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von Unsere Debatte krankt noch an einer wesentlichen Stelle: in der Definition von
``Radikalerweiterung'', Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht}, „Radikalerweiterung“, Definition~\vref{def:radikal}, fordern wir \emph{nicht},
dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{ging auch gar nicht, weil dass Radikalerweiterungen Galoisch sind\footnote{Das ging auch gar nicht, weil
Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der Galoiserweiterungen erst im Kapitel~\ref{chap:15} eingeführt wurden.}. Der
folgende Satz behebt diesen Mangel. folgende Satz behebt diesen Mangel.
@ -143,7 +143,7 @@ folgende Satz behebt diesen Mangel.
sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in sagt, dass es eine größere Radikalerweiterung $L'/K$, sodass $f$ über $L'$ in
Linearfaktoren zerfällt. Also gibt es eine Radikalerweiterung, die Linearfaktoren zerfällt. Also gibt es eine Radikalerweiterung, die
\emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält. Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible \emph{alle} Nullstellen von $f$ enthält. Kurz gesagt: wenn $f$ irreduzible
ist und \emph{eine} Nullstelle als ``Wurzelausdruck'' geschrieben werden kann, ist und \emph{eine} Nullstelle als „Wurzelausdruck“ geschrieben werden kann,
dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden. dann können \emph{alle} Nullstellen als Wurzelausdruck geschrieben werden.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
@ -189,17 +189,17 @@ folgende Satz behebt diesen Mangel.
Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei Vor dem Beweis von Satz~\ref{Theorem_Unterkapitel_Einundzwanzig_Eins} noch zwei
Vorüberlegungen. Vorüberlegungen.
\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1} \begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_1}%
Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive Wenn $L/K$ eine Galoiserweiterung ist und $ξ ∈ \overline{L}$ eine primitive
$n$-te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn $n$.te Einheitswurzel, dann sind auch $L(ξ)/K$ und $L(ξ)/K(ξ)$ Galoisch. Denn
wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynomes $g ∈ K[x]$ schreiben, dann wenn wir $L$ als Zerfällungskörper eines Polynoms $g ∈ K[x]$ schreiben, dann
ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynomes $g·(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist ist $L(ξ)$ der Zerfällungskörper des Polynoms $g·(x^n-1) ∈ K[x]$. Also ist
$L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls. $L(ξ)/K$ Galoisch und die Zwischenerweiterung $L(ξ)/K(ξ)$ ebenfalls.
\end{claim-de} \end{claim-de}
\begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2} \begin{claim-de}\label{Vorueberlegung_2}%
Wenn $ξ$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann Wenn $ξ$ eine primitive $n$.te Einheitswurzel über $K$ ist und $n=m·l$, dann
ist $ξ^l$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$, ist $ξ^l$ eine primitive $m$.te Einheitswurzel. Die Elemente $ξ^l$, $ξ^{2l}$,
…, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden. …, $ξ^{m· l}$ sind paarweise verschieden.
\end{claim-de} \end{claim-de}

60
24.tex
View File

@ -6,7 +6,7 @@
\sideremark{Vorlesung 25} \sideremark{Vorlesung 25}
In diesem Skript zur Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' hatten wir bislang In diesem Skript zur Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ hatten wir bislang
noch sehr wenig Zahlentheorie. Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch noch sehr wenig Zahlentheorie. Dass muss ich jetzt, auf dem letzten Meter, noch
ändern. Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz ändern. Oberflächlich betrachtet geht es beim quadratischen Reziprozitätsgesetz
darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl darum, zu entscheiden, ob eine Zahl ein quadratischer Rest einer anderen Zahl
@ -23,26 +23,26 @@ ist.
$p$}. $p$}.
\end{definition} \end{definition}
Wikipedia schreibt sinngemäß ``Die Entdeckung des quadratischen Wikipedia schreibt sinngemäß „Die Entdeckung des quadratischen
Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (erschienen 1801 in
den den
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae}{Disquisitiones
Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Arithmeticae}, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte
Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.''. Tatsächlich der Entwicklung der modernen Zahlentheorie.“ Tatsächlich handelt es sich um
handelt es sich um einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte, einen sehr tiefen Satz der viele Mathematiker inspirierte, von dem wir hier aber
von dem wir hier aber nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das nur die Oberfläche ankratzen. Schauen Sie einmal in das Buch der
Buch der Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz Beweise\footnote{Sie können das Buch im Uni-Netz
\href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.} \href{https://doi.org/10.1007/978-3-662-57767-7}{kostenlos herunterladen}.}
\cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare \cite[Kapitel~5]{zbMATH06333926} für viele weitere Erklärungen, elementare
Beweise und historische Anmerkungen. Beweise und historische Anmerkungen.
\begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp} \begin{bemerkung}[Quadratische Reste in $𝔽_p$]\label{bem:qrmp}%
Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl. Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ ℤ$ ein Es sei $p ∈ ℕ$ eine Primzahl. Die Frage, ob eine Zahl $a ∈ ℤ$ ein
quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von quadratischer Rest modulo $p$ ist, hängt natürlich nur von der Restklasse von
$a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von ``quadratischem $a$ in $𝔽_p$ ab. Man nennt erweitert daher den Begriff von „quadratischem
Rest'' häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn Rest“ häufig und nennt ein Element $b ∈ 𝔽_p$ einen quadratischen Rest, wenn
die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind also die Gleichung $x² = b$ in $𝔽_p$ lösbar ist. Die quadratischen Reste sind
die Elemente von also die Elemente von
\[ \[
(𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x² (𝔽^*_p)² := \img \Bigl( 𝔽^*_p → (𝔽^*_p)², \quad x ↦ x²
\Bigr) ⊂ 𝔽^*_p. \Bigr) ⊂ 𝔽^*_p.
@ -67,10 +67,10 @@ Wie viele quadratische Reste gibt es überhaupt? Die Antwort ist einfach.
\section{Das Legendre-Symbol} \section{Das Legendre-Symbol}
Um den Begriff ``quadratischer Rest'' etwas quantitativer zu erfassen, führen Um den Begriff „quadratischer Rest“ etwas quantitativer zu erfassen, führen wir
wir das das
Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie Legendre\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre}{Adrien-Marie
Legendre} (* 18. September 1752 in Paris; † 9. Januar 1833 ebenda) war ein Legendre} (* 18.~September 1752 in Paris; † 9.~Januar 1833 ebenda) war ein
französischer Mathematiker.}-Symbol ein. französischer Mathematiker.}-Symbol ein.
\begin{definition}[Legendre-Symbol] \begin{definition}[Legendre-Symbol]
@ -112,8 +112,8 @@ Wir können noch etwas mehr über das Legendre-Symbol sagen.
$p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $ℤ/(p-1)$. Wir $p-1$ Elemente, ist also isomorph zur (additiven Gruppe) $ℤ/(p-1)$. Wir
beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit beobachten, dass die quadratischen Reste unter diesem Isomorphismus genau mit
den geradzahligen Elementen von $ℤ/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl den geradzahligen Elementen von $ℤ/(p-1)$ identifiziert werden --- die Zahl
$(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff ``geradzahligen Elementen von $(p-1)$ ist gerade, sodass der Begriff „geradzahligen Elementen von
$ℤ/(p-1)$'' sinnvoll verwendet werden kann. $ℤ/(p-1)$“ sinnvoll verwendet werden kann.
Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden Als Nächstes setzen wir $n := \frac{p-1}{2}$ und betrachten den folgenden
Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht Morphismus, den wir auf Repräsentantenniveau definieren\footnote{Vielleicht
@ -181,7 +181,7 @@ formulieren.
überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und überhaupt nicht klar, was die beiden Ausdrücke $\left(\frac{p}{q}\right)$ und
$\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben! Es gibt in der $\left(\frac{q}{p}\right)$ miteinander zu tun haben! Es gibt in der
Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer Zahlentheorie, Arithmetik und der arithmetischen Geometrie eine Reihe weiterer
``Reziprozitätsgesetze'', bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr „Reziprozitätsgesetze“, bei denen es sich typischerweise ebenfalls um sehr
tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt. tiefe, überraschende und gar nicht einsichtige Resultate handelt.
\end{rem} \end{rem}
@ -193,9 +193,9 @@ effizient ausrechnen kann. Statt großer Theorie mache ich einfach ein Beispiel
Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17? Ist 7 ein quadratischer Rest modulo 17?
\begin{align*} \begin{align*}
\left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\ \left(\frac{7}{17}\right) & = \left(\frac{17}{7}\right)·(-1)^{8·3} = \left(\frac{3}{7}\right) && \text{quadratische Reziprozität und } 17 \equiv 3 \:\:(\operatorname{mod} 7) \\
& = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3) & = \left(\frac{7}{3}\right)·(-1)^{3·1} = -\left(\frac{1}{3}\right) = -1 && \text{quadratische Reziprozität und } 7 \equiv 1 \:\:(\operatorname{mod} 3).
\end{align*} \end{align*}
Also ist die Antwort: ``nein!'' Also ist die Antwort: „Nein!“
\end{bsp} \end{bsp}
@ -219,20 +219,20 @@ hervorragenden Skripten des Bayreuther Kollegen
\bigskip \bigskip
Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen. Der Primkörper von $F$ Es sei $F$ der endliche Körper mit $q^{p-1}$ Elementen. Der Primkörper von $F$
is $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach ist $𝔽_q$, insbesondere hat $F$ die Charakteristik $q$. Nach
Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative Satz~\vref{Satz_Endliche_Mult_Gruppe_also_Zyklisch_S164} ist die multiplikative
Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen. Nach dem kleinen Gruppe $F^*$ ist zyklisch, mit $q^{p-1}-1$ vielen Elementen. Nach dem kleinen
Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und Satz von Fermat, Satz~\vref{satz:kleinerFermat} und
Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches Bemerkung~\ref{bem:kleinerFermat} ist die Zahl $q^{p-1}-1$ ist ein Vielfaches
von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} (``Satz von von $p$, und deshalb gibt es nach Satz~\vref{Satz_von_Cauchy} („Satz von
Cauchy'') ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal, Cauchy“) ein Element $ξ ∈ F^*$ der Ordnung $p$. Wir beobachten schon einmal,
dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit dass sich das Körperelement $\sum_{i=1}^p ξⁱ ∈ F$ bei Multiplikation mit $ξ ∈
$ξ ∈ F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt, F^*$ nicht ändert. Also ist $\sum_{i=1}ⁱ ξ^p = 0 ∈ F$, oder anders gesagt,
\begin{equation}\label{eq:g4.1} \begin{equation}\label{eq:g4.1}
\sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F. \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = -1 ∈ F.
\end{equation} \end{equation}
Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$: Als Nächstes betrachten wir die folgende „Gaußsche“ Summe im Körper $F$:
\[ \[
G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F. G := \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ ∈ F.
\] \]
@ -243,7 +243,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
\[ \[
\sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n} \sum_{i=1}^{p-1} ξⁱ = \sum_{i=1}^{p-1} ξ^{i·n}
\quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \quad\text{und}\quad \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ =
\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n} \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i·n}{p}\right)·ξ^{i·n}.
\] \]
\end{behauptung} \end{behauptung}
\begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}] \begin{proof}[Beweis der Behauptung~\ref{beh:0}]
@ -268,7 +268,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\ G^q & = \left( \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ \right)^q = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)^q·ξ^{i·q} && \text{wir sind in Charakteristik $q$!} \\
& = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\ & = \sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{$q$ ist ungerade} \\
& = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\ & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{iq}{p}\right)·ξ^{i·q} && \text{Lemma~\ref{lem:lsim}} \\
& = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}} & = \left(\frac{q}{p}\right)·\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)·ξⁱ = \left(\frac{q}{p}\right)·G && \text{Behauptung~\ref{beh:0}.}
\end{align*} \end{align*}
Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})} Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:1})}
\end{proof} \end{proof}
@ -290,7 +290,7 @@ Als Nächstes betrachten wir die folgende ``Gaußsche'' Summe im Körper $F$:
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\ & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) + \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right)· \sum_{i=1}^{p-1}ξ^{(j+1)i} \\
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\ & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·(p-1) - \sum_{j=1}^{p-2} \left(\frac{j}{p}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.1}} \\
& = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\ & = \left(\frac{p-1}{p}\right)·p && \text{Gleichung~\eqref{eq:g4.2}} \\
& = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}} & = (-1)^{\frac{p-1}{2}}·p && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}.}
\end{align*} \end{align*}
Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})} Damit ist die Behauptung bewiesen. \qedhere~\mbox{(Behauptung~\ref{beh:2})}
\end{proof} \end{proof}
@ -302,7 +302,7 @@ auszudrücken, und die so entstandenen Formeln zu vergleichen.
\left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\ \left( \frac{q}{p} \right)·G & = G^q && \text{Behauptung~\ref{beh:1}} \\
& = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\ & = G·(G²)^{\frac{q-1}{2}} && \text{Die Zahl $q$ ist ungerade.}\\
& = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\ & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·p^{\frac{q-1}{2}} && \text{Behauptung~\ref{beh:2}} \\
& = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}} & = G·(-1)^{\frac{q-1}{2}·\frac{p-1}{2}}·\left( \frac{p}{q} \right) && \text{Euler-Kriterium, Lemma~\ref{lem:EK}.}
\end{align*} \end{align*}
Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir Weil wir in Behauptung~\ref{beh:2} gesehen haben, dass $G ≠ 0$ ist, dürfen wir
kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung. \qed kürzen und erhalten die gewünschte Gleichung. \qed