Working…

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -141,3 +141,10 @@ Prägarbe
 Verklebeeigenschaft
 quadratintegrierbaren
 quadratintegrierbare
+Moduln
+Linearsystem
+Linearsysteme
+Garbenmorphismen
+Garbenmorphismus
+Kokern
+Garbenaxiom

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -75,3 +75,7 @@
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEs ergibt also Sinn, zu sagen: „Die meromorphe Differenzialform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat bei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Polstelle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-ter Ordnung“.\\E$"}
 {"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QDifferenzialformen?.\\E$"}
 {"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ_2","sentence":"^\\QWenn \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine Stammfunktion besitzt (= wenn es eine Funktion \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gibt mit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q), dann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QWenn in der Situation aus Beispiel \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Funktionen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gegeben sind, dann ist \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QÄhnlich wie in der Vorlesung „Lineare Algebra“ wollen wir in diesem Abschnitt Kern, Bild und Kokern für Garbenmorphismen definieren.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Beweis \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q] Wir zeigen die Kontraposition: Angenommen, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q wäre als Garbenmorphismus nicht injektiv.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Beweis \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q] Es sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ein injektiver Garbenmorphismus, sei \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

03.tex

@@ -384,7 +384,7 @@ kennen.
 \end{proof}
 
 Eine quantitative Version des Hauptsatzes der Algebra findet sich in
-Satz~\vref{satz:4-4-2}.
+Satz~\ref{satz:4-4-2}.
 
 \sideremark{Vorlesung 4}
 
@@ -444,7 +444,7 @@ Topologie der Faser.
     \item Die Abbildung $f : ℂ → ℂ^*$, $z ↦ \exp(z)$ ist eine unverzweigte
     Überlagerung.
 
-    \item Die Quotientenabbildung $π : ℂ → ℂ/Γ$ aus Beispiel~\vref{bsp:2-1-8}
+    \item Die Quotientenabbildung $π : ℂ → ℂ/Γ$ aus Beispiel~\ref{bsp:2-1-8}
       („komplexe Tori“) eine unverzweigte Überlagerung.
   \end{enumerate}
 \end{bsp}

04.tex

@@ -97,7 +97,7 @@ Anschaulich ist ein Divisor eine diskrete Menge von Punkten mit Vielfachheiten.
   Untergruppe von $\Div(X)$.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{bemerkung}[Hauptdivisoren haben Grad 0]
+\begin{bemerkung}[Hauptdivisoren haben Grad 0]\label{rem:4-2-5}%
   Nicht jeder Divisor ist ein Hauptdivisor!  Wenn $X$ kompakt ist, dann hat jede
   meromorphe Funktion genau so viele Nullstellen wie Polstellen, also ist für
   jeden Hauptdivisor $D$ der Grad $\deg(D) = 0$.
@@ -340,15 +340,15 @@ Quotienten $\sI_x / \sI_x²$.
 \end{beobachtung}
 
 
-\subsubsection{Kotangentialräume und Differenzialformen im $ℂ^n$}
+\subsubsection{Kotangentialräume und Differenzialformen in $ℂ$}
 
-\begin{bsp}[Proberechnung: Kotangentialräume im $ℂ^n$]\label{bsp:4-3-19}%
+\begin{bsp}[Proberechnung: Kotangentialräume im $ℂ$]\label{bsp:4-3-19}%
   Es sei $X ⊂ ℂ$ offen und es sei $p ∈ X$.  Die Menge der Keime von holomorphen
   Funktionen ist dann
   \begin{align*}
-    𝒪_{X,p} &= \left\{ \text{Potenzreihen $\sum_{i=0}^{∞} a_i (z-p)ⁱ$ mit positivem Konvergenzradius} \right\} \\
-    m_p &= \left\{ \text{Potenzreihen $\sum_{i=1}^{∞} a_i (z-p)ⁱ$ mit positivem Konvergenzradius} \right\} \\
-    m²_p &= \left\{ \text{Potenzreihen $\sum_{i=2}^{∞} a_i (z-p)ⁱ$ mit positivem Konvergenzradius} \right\}.
+    𝒪_{X,p} &= \left\{ \text{Potenzreihen $\sum_{i=0}^∞ a_i (z-p)ⁱ$ mit positivem Konvergenzradius} \right\} \\
+    m_p &= \left\{ \text{Potenzreihen $\sum_{i=1}^∞ a_i (z-p)ⁱ$ mit positivem Konvergenzradius} \right\} \\
+    m²_p &= \left\{ \text{Potenzreihen $\sum_{i=2}^∞ a_i (z-p)ⁱ$ mit positivem Konvergenzradius} \right\}.
   \end{align*}
   Der komplexe Kotangentialraum $m_p / m²_p$ ist dann ein eindimensionaler
   Vektorraum, erzeugt von der Restklasse der Funktion $z - p$.  Allgemeiner:
@@ -357,7 +357,7 @@ Quotienten $\sI_x / \sI_x²$.
   m²_p$.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Proberechnung: Differenzialformen $ℂ^n$]\label{bsp:4-3-20}%
+\begin{bsp}[Proberechnung: Differenzialformen in $ℂ$]\label{bsp:4-3-20}%
   In der Situation aus Beispiel~\ref{bsp:4-3-19} sei $f ∈ 𝒪_X(U)$ irgendeine
   holomorphe Funktion.  Dann ist
   \[
@@ -366,7 +366,7 @@ Quotienten $\sI_x / \sI_x²$.
   Also gilt die Gleichheit von Differenzialformen $df = f' · dz$.
 \end{bsp}
   
-\begin{bsp}[Proberechnung: Differenzialformen $ℂ^n$]
+\begin{bsp}[Proberechnung: Differenzialformen in $ℂ$]
   In der Situation aus Beispiel~\ref{bsp:4-3-20} sei eine weitere Funktion $g ∈
   𝒪_X(U)$ gegeben mit $g'(p) ≠ 0$ für alle $p ∈ U$, dann gilt $dg = g'·dz$,
   also
@@ -531,9 +531,9 @@ Quotienten $\sI_x / \sI_x²$.
   \[
     ω_1(p) = α(p) · ω_2(p)
   \]
-  gilt.  Ich behaupte: $α$ ist meromorph eine meromorphe Funktion auf $X$.  Dazu
-  betrachte ich einen Atlas $(\varphi_i : U_i → V_i)_{i ∈ I}$ und schreibe die
-  durch $ω_1$ und $ω_2$ auf $V_i$ induzierten Differenzialformen aus
+  gilt.  Ich behaupte: $α$ ist eine meromorphe Funktion auf $X$.  Dazu betrachte
+  ich einen Atlas $(\varphi_i : U_i → V_i)_{i ∈ I}$ und schreibe die durch $ω_1$
+  und $ω_2$ auf $V_i$ induzierten Differenzialformen aus
   \[
     f_{i,1}·dz
     \quad\text{und}\quad
@@ -671,7 +671,7 @@ Integrale über Wege auf $ℂ$ auf Integrale über Wege auf Riemannschen Fläche
 übertragen.
 
 \begin{fakt}[Wegintegrale]
-  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:4-5-3} gilt folgendes.
+  In der Situation von Konstruktion~\ref{kons:4-5-3} gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
     \item Der Wert des Integrals hängt nur von $ω$ und der Homotopieklasse des
       Weges ab.

05.tex

@@ -32,7 +32,7 @@ eine Abelsche Gruppe zu („auf $U$ differenzierbare/holomorphe/meromorphe
 Funktionen“).  Wenn $V ⊆ U$ eine offene Teilmenge ist, dann kann ich Elemente
 der Gruppe auf $V$ einschränken.
 
-\begin{definition}[Prägarbe]\label{def:5-1-1}%
+\begin{defn}[Prägarbe]\label{def:5-1-1}%
   Sei $(X, τ)$ ein topologischer Raum.  Eine \emph{Prägarbe}\index{Prägarbe} $ℱ$
   von abelschen Gruppen ist eine Abbildung
   \[
@@ -49,10 +49,10 @@ der Gruppe auf $V$ einschränken.
     \item Für jede Kette $W ⊆ V ⊆ U$ von offenen Mengen gilt $ρ_{U,W} = ρ_{V,W}
       ◦ ρ_{U,V}$.
   \end{itemize}
-\end{definition}
+\end{defn}
 
 \begin{notation}[Prägarben]
-  In der Situation von Definition~\ref{def:5-1-1} sei $U ⊆ X$ offen. Elemente
+  In der Situation von Definition~\ref{def:5-1-1} sei $U ⊆ X$ offen.  Elemente
   von $ℱ(U)$ werden oft als \emph{Schnitte der Prägarbe $ℱ$ über der Menge
   $U$}\index{Schnitte!in Prägarben} bezeichnet.  Die Abbildungen $ρ_{U,V}$
   heißen \emph{Einschränkungsabbildungen}\index{Einschränkungsabbildung}.
@@ -61,7 +61,7 @@ der Gruppe auf $V$ einschränken.
 Jede $𝒞^∞$-Funktion ist differenzierbar und jede holomorphe Funktion ist
 $𝒞^∞$.  Der formal richtige Begriff ist der „Morphismus von Prägarben“.
 
-\begin{definition}[Morphismus von Prägarben]
+\begin{defn}[Morphismus von Prägarben]
   Sei $(X,τ)$ ein topologischer Raum und $ℱ$, $𝒢$ seien Prägarben.  Ein
   \emph{Morphismus}\index{Morphismus!Prägarben} $α : ℱ → 𝒢$ von Prägarben ist
   für jedes $U ∈ τ$ eine Abbildung
@@ -75,7 +75,7 @@ $𝒞^∞$.  Der formal richtige Begriff ist der „Morphismus von Prägarben“
       ℱ(V) \ar[r, "α(V)"'] & 𝒢(V)
     \end{tikzcd}
   \]
-\end{definition}
+\end{defn}
 
 
 \section{Garben}
@@ -87,7 +87,7 @@ $U_1$, $U_2$ und $𝒞^∞$-Funktionen $f_1$ auf $U_1$ und $f_2$ auf $U_2$, soda
 $f_1|_{U_1 ∩ U_2} = f_2|_{U_1 ∩ U_2}$, dann verkleben die Funktionen zu einer
 $𝒞^∞$-Funktion $f$ auf $U_1 ∪ U_2$.
 
-\begin{definition}[Garbe]
+\begin{defn}[Garbe]
   Es sei $ℱ$ eine Prägarbe auf einem topologischen Raum $X$.  Nenne $ℱ$ eine
   \emph{Garbe}\index{Garbe}, wenn für alle offenen Mengen $U$ und alle
   Überdeckungen $X = \bigcup_i U_i$ Folgendes gilt.
@@ -103,7 +103,7 @@ $𝒞^∞$-Funktion $f$ auf $U_1 ∪ U_2$.
       gilt, dann gibt es ein $s ∈ ℱ(U)$, sodass für jeden Index $i$ die
       Gleichheit $s|_{U_i} = s_i$ gilt.
   \end{enumerate}
-\end{definition}
+\end{defn}
 
 \begin{bemerkung}[Verklebeeigenschaft]
   Man nennt \ref{il:5-2-1-2} die
@@ -125,7 +125,7 @@ $𝒞^∞$-Funktion $f$ auf $U_1 ∪ U_2$.
 Wir haben in den Definitionen~\ref{def:4-3-1} und \ref{def:4-3-10} Keime von
 Funktionen betrachtet.  Das geht mit Garben ganz genau so.
 
-\begin{definition}[Halm]
+\begin{defn}[Halm]
   Sei $ℱ$ eine Garbe auf $X$ und $p$ ein Punkt.  Nenne zwei Schnitte, die in der
   Nähe von $p$ definiert sind, \emph{äquivalent}, wenn sie auf einer Umgebung
   übereinstimmen:
@@ -137,7 +137,7 @@ Funktionen betrachtet.  Das geht mit Garben ganz genau so.
   \]
   Äquivalenzklassen heißen \emph{Keime}\index{Keim!einer Garbe}, die Menge der
   Äquivalenzklassen heißt \emph{Halm}\index{Halm}.
-\end{definition}
+\end{defn}
 
 \begin{beobachtung}
   Es sei $ℱ$ eine Garbe, sodass alle Halme gleich $0$ sind.  Dann ist $ℱ$ die
@@ -146,4 +146,260 @@ Funktionen betrachtet.  Das geht mit Garben ganz genau so.
   0$, also $ℱ(U) = 0$.
 \end{beobachtung}
 
+\sideremark{Vorlesung 7}
+
+Gegeben eine Riemannsche Fläche $X$, dann ist die wichtigste Garbe $𝒪_X$, die
+Garbe der holomorphen Funktionen.  Die meisten anderen Garben, die uns noch so
+interessieren, haben eine interessante Eigenschaft: Man kann die Schnitte mit
+Funktionen multiplizieren.
+
+\begin{defn}[$𝒪_X$-Modulgarbe]
+  Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche.  Eine
+  \emph{$𝒪_X$-Modulgarbe}\index{Modulgarbe} ist eine Garbe $ℱ$ und für jedes $U
+  ∈ τ$ eine Modulverknüpfung
+  \[
+    𝒪_X(U) ⨯ ℱ(U) \longrightarrow ℱ(U),
+  \]
+  die mit Einschränkung verträglich ist.
+\end{defn}
+
+\begin{bsp}[$𝒪_X$-Modulgarbe]
+  Beispiele für Modulgarben auf einer Riemannschen Fläche $X$ sind die Garben
+  $ℳ_X$ der meromorphen Funktionen und $Ω_X¹$, die Garbe der holomorphen
+  Differenzialformen.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Modulgarben und Linearsysteme zu Divisoren}
+
+\begin{bsp}[$𝒪_X$-Modulgarbe zu Divisoren]\label{bsp:5-2-8}%
+  Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche und $D ∈ \Div(X)$ ein Divisor.  Dann
+  definiere eine Garbe $𝒪_X(D)$ wie folgt: Für jede offene Menge $U$ ist
+  \[
+    𝒪_X(D)(U) = \{ f ∈ ℳ_X(U) \::\: \ddiv(f) ≥ -D|_U\}.
+  \]
+  Das bedeutet Folgendes.
+  \begin{itemize}
+    \item Wenn ein Punkt $p$ mit positive Vielfachheit $n$ auftaucht, dann heißt
+    das, dass $f$ bei $p$ eine Polstelle von Ordnung höchstens $n$ haben darf.
+
+    \item Wenn ein Punkt $p$ mit negativer Vielfachheit $-n$ auftaucht, dann
+    heißt das, dass $f$ bei $p$ eine Nullstelle von Ordnung mindestens $n$ haben
+    muss.
+  \end{itemize}
+\end{bsp}
+
+\begin{beobachtung}[Modulstruktur]
+  Wenn in der Situation aus Beispiel~\ref{bsp:5-2-8} Funktionen $f ∈ 𝒪_X(D)(U)$
+  und $g ∈ 𝒪_X(U)$ gegeben sind, dann ist $g·f ∈ 𝒪_X(D)(U)$.  Also ist
+  $𝒪_X(D)(U) ⊂ ℳ_X(U)$ ein $𝒪_X(U)$-Untermodul.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{beobachtung}[Lokal freie Garben]\label{beob:5-2-9}%
+  Sei $p ∈ X$ ein Punkt.  Dann wähle eine Kartenumgebung
+  \[
+    \varphi : U → V
+  \]
+  und einen Punkt $p ∈ U$ so, dass $D|_U = n · p$ ist\footnote{Der Wert $n = 0$
+  ist erlaubt!}.  Dann liegt die Funktion
+  \[
+    (z - \varphi(p))^{-n} ◦ \varphi : U → \mathbb C
+  \]
+  in $𝒪_X(D)(U)$ und ist sogar eine Basis von $𝒪_X(D)(U)$ als $𝒪_X(U)$-Modul.
+  Man sagt: $𝒪_X(D)$ ist eine \emph{lokal freie}
+  $𝒪_X$-Modulgarbe\index{Modulgarbe!lokal frei} vom Rang $1$.  Alternativ sagt
+  man: $𝒪_X(D)$ ist eine \emph{invertierbare}\index{Modulgarbe!invertierbar}
+  $𝒪_X$-Modulgarbe.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{bemerkung}[Achtung!  Mißverständnis!]
+  Die Menge $U$ aus Beobachtung~\ref{beob:5-2-9} war sehr speziell gewählt.
+  Beobachtung~\ref{beob:5-2-9} bedeutet \emph{nicht}, dass für jede offene Menge
+  $U$ der Modul $𝒪_X(D)(U)$ eine einelementige Basis besitzt.  Als
+  Gegenbeispiel betrachte $X = ℙ¹$ und $D = -1 · ∞ ∈ \Div(ℙ¹)$. Dann ist
+  $𝒪_X(D)(ℙ¹) = 0$, denn Funktionen in $𝒪_X(D)(ℙ¹)$ dürfen keine Polstellen
+  haben (und sind daher holomorph, also konstant), müssen aber eine Nullstelle
+  haben.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beobachtung}[Lineare Äquivalenz von Divisoren und Isomorphie von Modulgarben, I]
+  Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche, es sei $D ∈ \Div(X)$ ein Divisor und $U ⊆
+  X$ offen.  Weiter sei $f ∈ ℳ_X(U)$ und $g ∈ 𝒪_X(D)(U)$.  Dann ist $f·g ∈
+  𝒪_X(D + \ddiv(f))(U)$.  Man rechnet sogar nach: Multiplikation mit $f$
+  liefert einen Isomorphismus von $𝒪_X(U)$-Moduln
+  \[
+    𝒪_X(D)(U) → 𝒪_X(D + \ddiv(f))(U).
+  \]
+  Wir merken uns: Wenn zwei Divisoren $D_1$ und $D_2$ linear äquivalent sind,
+  dann sind die $𝒪_X$-Modulgarben $𝒪_X(D_1)$ und $𝒪_X(D_2)$ isomorph.
+\end{beobachtung}
+
+\begin{hsg}[Lineare Äquivalenz von Divisoren und Isomorphie von Modulgarben, I]
+  Es sei $X$ eine Riemannsche Fläche, und es seien $D_1$, $D_2 ∈ \Div(X)$ zwei
+  Divisoren.  Wenn die $𝒪_X$-Modulgarben $𝒪_X(D_1)$ und $𝒪_X(D_2)$ isomorph,
+  dann sind die Divisoren $D_1$ und $D_2$ linear äquivalent.
+
+  Betrachten Sie erst einmal den Fall, dass $D_1 ≥ 0$ ist.  Benötigen Sie zum
+  Beweis der linearen Äquivalenz eine meromorphe Funktion?  Betrachten Sie eine
+  Isomorphie $\varphi : 𝒪_X(D_1) → 𝒪_X(D_2)$.  Beobachten Sie, dass $1 ∈
+  𝒪_X(D_1)(X)$ ist und nehmen Sie $\varphi(1)$.
+\end{hsg}
+
+\begin{bemerkung}[Grundlegendes Ziel für den Rest der Vorlesung]
+  Ich hatte schon erwähnt, wie wichtig der Körper $ℳ_X(X)$ ist, wenn wir die
+  Riemannsche Fläche $X$ verstehen wollen.  Wir versuchen den Körper $ℳ_X(X)$ zu
+  verstehen, indem wir erst einmal Divisoren $D$ betrachten und die komplexen
+  Unterräume
+  \[
+    L(D) := 𝒪_X(D)(X) ⊂ ℳ(X)
+  \]
+  verstehen ---auf diese Weise teilen wir uns den Körper $ℳ_X(X)$ in
+  endlich-dimensionale Vektorräume auf.  Nenne $L(D)$ das
+  \emph{Linearsystem}\index{Linearsystem} von $D$.  Die Dimension wird mit
+  \[
+    l(D) := \dim_{ℂ} L(D)
+  \]
+  notiert.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{bsp}[Erste Linearsysteme]
+  Ist $X$ eine zusammenhängende und kompakte Riemannsche Fläche, dann ist
+  $l(0)=1$, denn
+  \[
+    L(0)=𝒪_X(0)(X)=\{\text{holomorphe Funktionen auf }X\}=\text{konstant}.
+  \]
+  Wenn $D$ ein Divisor ist mit $\deg D < 0$, dann ist $l(D)=0$.  Wenn nämlich $f
+  ∈ L(D)$ eine nicht-triviale meromorphe Funktion wäre, dann wäre $\ddiv(f) ≥
+  -D$, also $\ddiv(f) \le D$, und damit
+  \[
+    \deg \ddiv(f) \le \deg D < 0,
+  \]
+  Widerspruch, denn wir haben in Bemerkung~\ref{rem:4-2-5} gesehen, dass $\deg
+  \operatorname{div}(f)=0$ ist.
+\end{bsp}
+
+
+\section{Garbenmorphismen}
+
+In einem großen der Teil der Vorlesung „Riemannsche Flächen“ geht es um die
+Räume $L(D)$.  Wir studieren diese Räume, indem wir die Garbe $𝒪_X(D)$ mit
+anderen Garben vergleichen.  Genauer: Wenn es einen Morphismus
+\[
+  ℱ → 𝒪_X(D)
+\]
+von Garben gibt, dann gibt es einen zugehörigen Morphismus
+\[
+  ℱ(X) → L(D)
+\]
+von abelschen Gruppen, die oft auch Vektorräume sind.  Ähnlich wie in der
+Vorlesung „Lineare Algebra“ wollen wir in diesem Abschnitt Kern, Bild und Kokern
+für Garbenmorphismen definieren.
+
+\begin{bemerkung}[Vorbemerkung]
+  Wenn $α : ℱ → 𝒢$ ein Garbenmorphismus ist und $p ∈ X$ ein Punkt, dann
+  induziert $α$ einen Morphismus zwischen den Halmen
+  \[
+    α_p : ℱ_p → 𝒢_p.
+  \]
+\end{bemerkung}
+
+\begin{defn}[Injektivität und Surjektivität von Garbenmorphismen]
+  Es sei $X$ ein topologischer Raum und $α : ℱ → 𝒢$ ein Morphismus von Garben.
+  Nenne $α$
+  injektiv/surjektiv\index{injektiv!Garbenmorphismus}\index{surjektiv!Garbenmorphismus},
+  wenn für alle $p ∈ X$ gilt:
+  \[
+    α_p : ℱ_p → 𝒢_p
+  \]
+  ist injektiv/surjektiv.
+\end{defn}
+
+Es ist vielleicht nicht ganz offensichtlich, was die Worte „injektiv“ und
+„surjektiv“ in diesem Kontext bedeuten.  Um das zu erklären, sind die Begriffe
+„Kern“ und „Bildgarbe“ nützlich.
+
+\begin{defn}[Kern und Bild]\label{def:5-4-3}%
+  Es sei $X$ ein topologischer Raum und $α : ℱ → 𝒢$ ein Morphismus von Garben.
+  Wir definieren \emph{Kern}\index{Kern!Garbenmorphismus} und
+  \emph{Bildgarbe}\index{Bildgarbe} durch
+  \begin{align*}
+    \ker(α)(U) & := \{\, σ ∈ ℱ(U) \::\: \forall\, p ∈ U : σ_p ∈ \ker(α_p) \,\}, \\
+    \img(α)(U) & := \{\, σ ∈ 𝒢(U) \::\: \forall\, p ∈ U : σ_p ∈ \operatorname{im}(α_p) \,\}.
+  \end{align*}
+\end{defn}
+
+\begin{hsg}
+  Man rechne nach, dass $\ker(α)$ und $\img(α)$ aus Definition~\ref{def:5-4-3}
+  tatsächlich Garben sind.
+\end{hsg}
+
+Der Begriff „injektiv“ ist relativ leicht zu verstehen.
+
+\begin{lemma}[Injektiver Garbenmorphismus]
+  Es sei $X$ ein topologischer Raum und $α : ℱ → 𝒢$ ein Morphismus von Garben.
+  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:5-4-5-1} Der Garbenmorphismus $α$ ist injektiv.
+
+    \item\label{il:5-4-5-2} Für jede offene Menge $U$ ist $α(U)$ injektiv als
+    Morphismus von Abelschen Gruppen.
+  \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+  Vorüberlegung: Wenn $σ ∈ ℱ(U)$ ein Schnitt ist, sodass für alle Punkte $p ∈ U$
+  gilt, dass $σ_p ∈ ℱ_p$ gleich null ist, dann folgt aus dem Garbenaxiom, dass
+  $σ$ gleich null ist.  Wenn $ℋ$ eine Garbe ist, sodass für alle $p ∈ X$ gilt
+  $ℋ_p =0$, dann ist $ℋ = 0$.
+  \begin{description}
+    \item[Beweis \ref{il:5-4-5-1} $⇒$ \ref{il:5-4-5-2}] Es sei $α$ ein
+      injektiver Garbenmorphismus, sei $U ∈ τ$ und $σ ∈ \ker(α(U))$.  Dann gilt
+      für alle $p ∈ U$:
+      \[
+        σ_p ∈ \ker(α_p) = 0.
+      \]
+      Also ist nach der Vorüberlegung bereits $σ = 0$.
+
+    \item[Beweis \ref{il:5-4-5-2} $⇒$ \ref{il:5-4-5-1}] Wir zeigen die
+    Kontraposition: Angenommen, $α$ wäre als Garbenmorphismus \emph{nicht}
+    injektiv.  Das bedeutet: Es gibt einen Punkt $p ∈ X$, sodass $\ker(α_p) \ne
+    0$ ist.  Also existiert eine offene Menge $U = U(p)$ und ein Schnitt $σ ∈
+    ℱ(U)$, sodass
+    \[
+      σ_p \ne 0 \text{ in } ℱ_p
+      \quad\text{und}\quad
+      α_p(σ_p) = (α(U)(σ))_p = 0 \text{ in } 𝒢_p.
+    \]
+    Nach Verkleinern von $U$ können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit
+    annehmen, dass $σ \ne 0$ aber $α(U)(σ)=0$ ist.  Dann ist $σ$ aber ein
+    nicht-trivialer Schnitt in $\ker(α)$.
+  \end{description}
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}[Achtung!  Mißverständnis!]
+  Es sei $X$ ein topologischer Raum und $α : ℱ → 𝒢$ ein Morphismus von Garben.
+  Dann sind die folgenden Aussagen im Allgemeinen \emph{überhaupt nicht}
+  äquivalent.
+  \begin{enumerate}
+    \item\label{il:5-4-6-1} Der Garbenmorphismus $α$ ist surjektiv.
+
+    \item\label{il:5-4-6-2} Für jede offene Menge $U$ ist $α(U)$ surjektiv als
+      Morphismus von Abelschen Gruppen.
+  \end{enumerate}
+  Für ein einfaches Beispiel sei $X = ℂ^*$.  Dann ist
+  \[
+    \exp : 𝒪_X → 𝒪_X^*
+  \]
+  ein Morphismus von Garben, gegeben durch
+  \[
+    𝒪_X(U) → 𝒪_X^*(U), \qquad f ↦ \exp ◦ f.
+  \]
+  Dieser Garbenmorphismus ist surjektiv, denn lokal hat jede Funktion aus
+  $𝒪_X^*$ einen Logarithmus.  Die Abbildung
+  \[
+    𝒪_X(X) → 𝒪_X^*(X), \qquad f ↦ \exp ◦ f
+  \]
+  ist aber überhaupt nicht surjektiv, denn die Funktion $\Id ∈ 𝒪_X^*(X)$ hat
+  keinen Logarithmus!
+\end{bemerkung}
+
 % !TEX root = RiemannscheFlaechen

gfx/stdPreamble.tex

@@ -10,8 +10,6 @@
 \usepackage[T1]{fontenc}
 \usepackage{newunicodechar}
 \usepackage{mathtools}
-\usepackage{varioref}
-\usepackage[arrow,curve,matrix]{xy}
 
 % Graphics Packages
 \usepackage{colortbl}
@@ -273,7 +271,7 @@
 \newcommand{\cC}{\mathcal C}
 \newcommand{\cD}{\mathcal D}
 \newcommand{\cE}{\mathcal E}
-\newcommand{\cM}{\mathcal M}
+\newcommand{\cM}{\sM}
 \newcommand{\cN}{\mathcal N}
 \newcommand{\cV}{\mathcal V}