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\chapter{Anwendungen}
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\section{Hohe Potenzen}
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\label{sec:hohePot}
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\sideremark{Vorlesung 5}Als erste Anwendung der Jordanschen Normalform möchte
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ich zeigen, wie man sehr hohe Potenzen einer Matrix oder eines Endomorphismus
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ausrechnen kann. Wenn Sie noch nie das Bedürfnis hatten, sehr hohe Potenzen
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einer Matrix oder eines Endomorphismus auszurechnen, dann bitte ich Sie um etwas
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Geduld. Wir werden etwas später noch sehen, wozu das gut ist.
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\begin{beobachtung}[Hohe Potenzen nilpotenter Jordanblöcke]
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Für einen nilpotenten Jordanblock $J(0,n)$ (über einem beliebigen Körper) und
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eine Zahl $p ∈ ℕ$ ist es sehr einfach, die Potenz $J(0,n)^p$ auszurechnen.
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Ich schreibe gar keinen komplizierten Satz auf, sondern rechne einfach ein
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Beispiel.
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\begin{align*}
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J(0,5) &=
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\begin{pmatrix}
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0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
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0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
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||
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
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||
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||
\end{pmatrix} &
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||
J(0,5)² &=
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||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
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||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||
\end{pmatrix} \\
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J(0,5)³ &=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||
\end{pmatrix} &
|
||
J(0,5)⁴ &=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||
\end{pmatrix} \\
|
||
J(0,5)⁵ &=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 & 0
|
||
\end{pmatrix} &
|
||
J(0,5)^p & = 0 \text{ für alle } p ≥ 5.
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||
\end{align*}
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||
Ich bin mir sicher, Sie durchschauen das System.
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\end{beobachtung}
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Als nächstes überlegen wir uns, wie die Potenzen von beliebigen Jordan-Blöcken
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ausrechnen. Das folgende Lemma sagt, wie das geht. Beachten Sie, dass in der
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Formel~\eqref{eq:binomi} stets $J(0,n)ⁱ = 0$ ist, falls $i ≥ n$ ist. Das
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macht die Formel kurz und in der Praxis gut berechenbar.
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\begin{lem}[Hohe Potenzen von Jordanblöcken]\label{lem:binomi}
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $λ ∈ k$ und $n,p ∈ ℕ$. Dann ist
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\begin{equation}\label{eq:binomi}
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J(λ,n)^p = \sum_{i=0}^p \binom{p}{i}·λ^{p-i}·J(0,n)ⁱ.
|
||
\end{equation}
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Dabei ist $\binom{p}{i}$ der bekannte
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient}{Binomialkoeffizient}.
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||
\end{lem}
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\begin{proof}[Beweis als Übungsaufgabe]
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Schreibe wieder einmal $J(λ,n) = λ·\Id_{n⨯n} + J(0,n)$ und
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\[
|
||
J(λ,n)^p =\bigl( λ·\Id_{n⨯n} + J(0,n) \bigr)^p
|
||
\]
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||
Beachten Sie, dass die Matrizen $λ·\Id_{n⨯n}$ und $J(0,n)$ kommutieren,
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dass also die Gleichheit
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\[
|
||
λ·\Id_{n⨯n}·J(0,n) = λ·J(0,n)·\Id_{n⨯n}
|
||
\]
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||
gilt! Benutzen Sie das, um jetzt genau wie in der Analysis-Vorlesung die
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binomische Formel~\eqref{eq:binomi} per Induktion nach $p$ zu zeigen.
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\end{proof}
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\begin{beobachtung}[Hohe Potenzen von Matrizen in Jordanscher Normalform]
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Falls $A$ eine quadratische Matrix in Jordanscher Normalform ist (über einem
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beliebigen Körper),
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\[
|
||
A = \begin{pmatrix}
|
||
J(λ_1, n_1) & & & 0 \\
|
||
& J(λ_2, n_2) & \\
|
||
& & \ddots \\
|
||
0 & & & J(λ_l, n_l)
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
|
||
und falls irgendein $p ∈ ℕ$ gegeben ist, dann rechnen Sie bitte nach, dass
|
||
\[
|
||
A^p = \begin{pmatrix}
|
||
J(λ_1, n_1)^p & & & 0 \\
|
||
& J(λ_2, n_2)^p & \\
|
||
& & \ddots \\
|
||
0 & & & J(λ_l, n_l)^p
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\]
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||
ist. Lemma~\ref{lem:binomi} sagt, wie man den letzten Ausdruck gut
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ausrechnet.
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\end{beobachtung}
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\begin{beobachtung}[Hohe Potenzen von komplexen Matrizen]
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Es sei $A$ eine beliebige quadratische $(n⨯n)$-Matrix über den komplexen
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Zahlen. Wir wissen nach Kapitel~\ref{chapt:Jordan}, wie wir halbwegs
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effizient eine invertierbare Matrix $S ∈ GL_n(ℂ)$ finden, sodass $B :=
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S·A·S^{-1}$ Jordansche Normalform hat. Dann ist $A = S^{-1}·B·S$ und
|
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\[
|
||
A^p = S^{-1}·B·\underbrace{S·S^{-1}}_{= \Id}·B·\underbrace{S·S^{-1}}_{= \Id}·B·S ⋯ S^{-1}·B·S = S^{-1}·B^p·S.
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||
\]
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||
Aber $B^p$ können wir ganz gut ausrechnen.
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\end{beobachtung}
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\section{Die Exponentialfunktion}
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\subsection{Wiederholung}
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In der Vorlesung Analysis haben Sie die Exponentialfunktion kennengelernt,
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\[
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\exp : ℝ → ℝ, \quad t ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{t^n}{n!}.
|
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\]
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||
Wahrscheinlich kennen Sie auch schon die komplexe Exponentialfunktion und
|
||
wissen, dass für jede reelle Zahl $t$ gilt
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\[
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||
\exp(i·t) = \cos(t) + i·\sin(t).
|
||
\]
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||
Falls nicht, ist jetzt eine gute Gelegenheit, diese Dinge auf
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||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion}{Wikipedia} nachzulesen.
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\subsection{Das Matrixexponential}
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Ich verallgemeinere die Exponentialfunktion jetzt, die Beweise in diesem Abschnitt
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überlasse ich aber den Kollegen von der Analysis. Gegeben eine
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$(n⨯n)$-Matrix $A$ über den komplexen Zahlen, definiere ich
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\[
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||
\exp(A) := \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n.
|
||
\]
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Dabei sei $A⁰$ stets die $(n⨯n)$-Einheitsmatrix. Diese Reihe konvergiert in
|
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dem Sinne, dass jeder einzelne der $n²$ vielen Matrixeinträge konvergiert --
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natürlich lässt sich noch viel mehr sagen: absolute Konvergenz, Konvergenz in
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Operatornorm, …. Ich erhalte so eine Abbildung
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\[
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||
\exp : \Mat_{n⨯n}(ℂ) → \Mat_{n⨯n}(ℂ), \quad A ↦ \sum_{n=0}^∞ \frac{1}{n!}·A^n,
|
||
\]
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||
die in der Literatur oft Matrixexponential\index{Matrixexponential} genannt
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||
wird. Sie finden weitere Erläuterungen und erste Beispiele bei
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||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential}{Wikipedia}.
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\begin{bsp}
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Es sei $A$ eine komplexe $(n⨯n)$-Diagonalmatrix,
|
||
\[
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||
A = \begin{pmatrix}
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||
λ_1 & & & 0 \\
|
||
& λ_2 & \\
|
||
& & \ddots \\
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||
0 & & & λ_n
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\end{pmatrix}.
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||
\]
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||
Dann ist
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||
\[
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||
\exp(A) = \begin{pmatrix}
|
||
\exp(λ_1) & & & 0 \\
|
||
& \exp(λ_2) & \\
|
||
& & \ddots \\
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||
0 & & & \exp(λ_n)
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||
\end{pmatrix}
|
||
\]
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||
\end{bsp}
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||
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\begin{bsp}
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||
Für einen nilpotenten Jordanblock $J(0,i)$ ist das Matrixexponential gegeben
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||
durch die endliche Summe
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\[
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||
\exp J(0,i) = \sum_{n=0}^{i-1} \frac{1}{n!}J(0,i)^n
|
||
\]
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||
\end{bsp}
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Etwas weitergehende Beispiele finden Sie als
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\href{http://www.iam.uni-bonn.de/fileadmin/Mathphys/15SS_ODEs/06-matrixexponential.pdf}{Beispiel
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1.4. in diesem Seminarvortrag}. Ich nenne ohne Beweis einige Eigenschaften des
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Matrixexponentials.
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\begin{fakt}[Elementare Fakten zum Matrixpotential]
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Es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl weiter seien $A$ und $B$ zwei komplexe $(n⨯
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n)$-Matrizen.
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\begin{enumerate}
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||
\item\label{il:3-2-3-1} Falls $A$ und $B$ kommutieren (falls also $AB=BA$
|
||
ist), dann gilt
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||
\[
|
||
\exp(A+B)=\exp(A)·\exp(B).
|
||
\]
|
||
|
||
\item\label{il:3-2-3-2} Für jede invertierbare, komplexe $(n⨯n)$-Matrix $S$
|
||
ist
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||
\[
|
||
\exp(S·A·S^{-1}) = S·\exp(A)·S^{-1} \eqno \qed
|
||
\]
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{fakt}
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||
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\begin{beobachtung}
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||
Wenn $A$ irgendeine komplexe $(n⨯n)$-Matrix ist, dann kommutieren die Matrizen
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||
$A$ und $-A$ offenbar. Also ist nach Punkt~\ref{il:3-2-3-1}
|
||
\[
|
||
\Id_{n⨯n} = \exp(0) = \exp \bigl(A+(-A) \bigr) = \exp(A) · \exp(-A).
|
||
\]
|
||
Es folgt, dass das Matrixexponential $\exp(A)$ für jede komplexe
|
||
$(n⨯n)$-Matrix $A$ stets invertierbar ist, und dass $\exp(A)^{-1} = \exp(-A)$
|
||
gilt.
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\end{beobachtung}
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Insgesamt sollten Sie mit den Beobachtungen aus Abschnitt~\ref{sec:hohePot}
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jetzt ganz gut in der Lage sein, beliebige Matrixexponentials auszurechnen.
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\section{Lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme}
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\subsection{Erinnerung}
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||
Sie haben lineare, homogene Differenzialgleichungen wahrscheinlich schon in der
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Schule kennengelernt. Gegeben sind Zahlen $a$ und $y_0$ aus $ℝ$. Gesucht ist
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||
eine differenzierbare Funktion $y : ℝ → ℝ$, sodass für alle $t ∈ ℝ$ gilt: $y'(t)
|
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= a·y(t)$. Außerdem soll $y(0) = y_0$ sein. Aus der Vorlesung Analysis wissen
|
||
Sie, dass es nur eine solche Funktion gibt:
|
||
$$
|
||
y(t) = \exp(t·a)·y_0.
|
||
$$
|
||
Dasselbe funktioniert genau so mit komplexen Zahlen.
|
||
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||
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||
\subsection{Lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme}
|
||
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||
Gegeben sei jetzt eine Zahl $n ∈ ℕ$, eine komplexe $(n⨯n)$-Matrix $A$ und ein
|
||
Vektor $\vec{y}_0 ∈ ℂ^n$. Gesucht sind $n$ differenzierbare Funktionen $y_1$,
|
||
…, $y_n : ℂ → ℂ$, sodass für alle $t ∈ ℂ$ gilt:
|
||
\[
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
y'_1(t) \\
|
||
y'_2(t) \\
|
||
\vdots \\
|
||
y'_n(t)
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
A ·
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
y_1(t) \\
|
||
y_2(t) \\
|
||
\vdots \\
|
||
y_n(t)
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
\]
|
||
Außerdem soll
|
||
\[
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
y_1(0) \\
|
||
y_2(0) \\
|
||
\vdots \\
|
||
y_n(0)
|
||
\end{pmatrix}
|
||
= \vec{y}_0
|
||
\]
|
||
sein.
|
||
|
||
\begin{fakt}[Lösungsformel für lineare, homogene Differentialgleichungssysteme]\label{fakt:3-3-1}%
|
||
Dieses Problem hat genau eine Lösung. Die Funktionen $y_1$, …, $y_n$ sind
|
||
gegeben als
|
||
\[
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
y_1(t) \\
|
||
y_2(t) \\
|
||
\vdots \\
|
||
y_n(t)
|
||
\end{pmatrix}
|
||
= \exp(t·A)·\vec{y}_0
|
||
\eqno \qed
|
||
\]
|
||
\end{fakt}
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Ich diskutiere ein Beispiel in \video{5-1}.
|
||
\end{bsp}
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||
|
||
\subsection{Differenzialgleichungen höherer Ordnung}
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||
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||
Ich erkläre an einem Beispiel, wie man mit unseren Methoden eine
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||
Differenzialgleichung höherer Ordnung löst. Gegeben seien Zahlen $a$, $b$ und
|
||
$c$ sowie $y_0$, $y'_0$ und $y''_0$. Gesucht ist eine Funktion $y : ℝ → ℝ$,
|
||
sodass für alle $t ∈ ℝ$ gilt:
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||
\begin{equation}\label{eq:3-3-2-1}
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||
y'''(t) = a·y(t)+b·y'(t)+c·y''(t).
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||
\end{equation}
|
||
Außerdem soll $y(0) = y_0$, $y'(0) = y'_0$ und $y''(0) = y''_0$ sein. Der Trick
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||
ist, jetzt neue Funktionen einzuführen:
|
||
\[
|
||
y_1 := y, \quad y_2 := y', \quad\text{und}\quad y_3 := y''.
|
||
\]
|
||
Dann ist $y'_1 = y_2$, $y'_2 = y_3$ und $y'_3 = a·y_1 + b·y_2 + c·y_3$. In
|
||
dieser Formulierung stellt sich \eqref{eq:3-3-2-1} wie folgt dar.
|
||
\[
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
y'_1(t) \\
|
||
y'_2(t) \\
|
||
y'_3(t)
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 1 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 1 \\
|
||
a & b & c
|
||
\end{pmatrix}
|
||
·
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
y_1(t) \\
|
||
y_2(t) \\
|
||
y_3(t)
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\quad\text{und}\quad
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
y_1(0) \\
|
||
y_2(0) \\
|
||
y_3(0)
|
||
\end{pmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
y_0 \\
|
||
y'_0 \\
|
||
y''_0
|
||
\end{pmatrix}.
|
||
\]
|
||
Nach der Lösungsformel für lineare, homogene Differenzialgleichungssysteme,
|
||
Fakt~\ref{fakt:3-3-1}, können wir diese DGL jetzt aber lösen.
|
||
|
||
\begin{bsp}
|
||
Es gibt auf YouTube sehr viele Beispielvideos. Ich empfehle
|
||
\href{https://www.youtube.com/watch?v=8\_Poojt6QzM}{dieses Video meines
|
||
Kollegen Loviscach}, der super-gut erklären kann.
|
||
\end{bsp}
|
||
|
||
% !TEX root = LineareAlgebra2
|