Minimale Anpassungen in Abschnitt 2.1 und 2.2

01-Wiederholung.tex

@@ -21,15 +21,15 @@ Diagonalgestalt hat.
 \begin{defn}[Diagonalisierbarer Endomorphismus]
   In Situation~\ref{sit:LA1}: der Endomorphismus $f$ heißt
   \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Endomorphismus}, falls es eine
-  Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B$ eine Diagonalmatrix ist.
+  Basis $B$ von $V$ gibt, sodass $\Mat^B_B(f)$ eine Diagonalmatrix ist.
 \end{defn}
 
 Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert.
 
 \begin{defn}[Diagonalisierbare Matrix]
-  Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine $n ⨯ n$-Matrix $A$ heißt
+  Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine $(n ⨯ n)$-Matrix $A$ heißt
   \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Matrix}, falls sie einer
-  Diagonalmatrix ähnlich ist, d.  h.  $∃S ∈ Gl_n(k)$, sodass $SAS^{-1}$ eine
+  Diagonalmatrix ähnlich ist, d.  h.  $∃S ∈ GL_n(k)$, sodass $SAS^{-1}$ eine
   Diagonalmatrix ist.
 \end{defn}
 
@@ -85,14 +85,14 @@ Punkte abgezogen wurden.}.
   $$
   g(z) = (z - i)·(z + i)·(z + i)·(z + i)·(z - 2)·(z - 3).
   $$
-  Also ist $\deg(g) = 6$ und die Nullstellen von g sind $i$, $2$ und $3$
+  Also ist $\deg(g) = 6$ und die Nullstellen von $g$ sind $i$, $2$ und $3$
   (jeweils mit Vielfachheit 1) sowie $-i$ (mit Vielfachheit 3).
 \end{erinnerung}
 
 
 \section{Algebraische und geometrische Vielfachheit}
 
-Zurück zur Situation~\ref{sit:LA1}.  Wenn ich nun ein Skalar $λ ∈ k$ gegeben
+Zurück zur Situation~\ref{sit:LA1}.  Wenn ich nun einen Skalar $λ ∈ k$ gegeben
 habe, kann ich die folgenden zwei Zahlen betrachten.
 \begin{itemize}
 \item Die \emph{algebraische Vielfachheit von
@@ -128,9 +128,9 @@ habe, kann ich die folgenden zwei Zahlen betrachten.
   $$
 \end{prop}
 \begin{proof}
-  Sei ein Skalar $λ$ gegeben.  Falls geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich
+  Sei ein Skalar $λ$ gegeben.  Falls die geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich
   Null ist, ist nichts zu zeigen.  Sei also die geometrische Vielfachheit $d$
-  größer als Null.  Das bedeutet: Es gibt eine lineare unabhängige (angeordnete)
+  größer als Null.  Das bedeutet: Es gibt eine linear unabhängige (angeordnete)
   Teilmenge $\{ \vec{v}_1, … , \vec{v}_d \} ⊂ V$, die ich zu einer
   (angeordneten) Basis $B$ von $V$ ergänzen kann.  Dann ist die zugehörige
   Matrix von der Form

02-Jordan.tex

@@ -9,7 +9,7 @@
 \sideremark{Vorlesung 2}Wir hatten im letzten Kapitel ein Beispiel~\ref{bsp:1.1}
 für einen Endomorphismus gesehen, der nicht diagonalisierbar ist.  Aus der
 Traum.  In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass es aber stets eine Basis gibt,
-sodass die zugehörende Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest,
+sodass die dazugehörige Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest,
 solange wir über den komplexen Zahlen arbeiten.  Genauer gesagt: wir werden
 zeigen, dass es eine Basis gibt, sodass die Matrix „Jordansche Normalform“
 hat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie Ennemond
@@ -62,7 +62,7 @@ auch eine Menge Videos auf
 \end{bsp}
 
 \begin{defn}[Jordansche Normalform]
-  Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl.  Eine $n ⨯ n$-Matrix $A =
+  Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ sei eine Zahl.  Eine $(n ⨯ n)$-Matrix $A =
   (a_{ij})$ hat \emph{Jordansche Normalform}\index{Jordansche Normalform}, falls
   $A$ Blockgestalt hat, wobei auf der Diagonalen Jordanblöcke stehen und alle
   anderen Blöcke gleich Null sind.
@@ -110,13 +110,13 @@ Das Ziel dieses Kapitels ist jetzt, den folgenden Satz zu beweisen.
 \begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und
   es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus.  Dann gibt es eine angeordnete Basis
-  $\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche
+  $B$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche
   Normalform hat.
 \end{satz}
 
 \begin{notation}
   Situation wie in Satz~\ref{satz:JNF}.  Eine
-  \emph{Jordanbasis}\index{Jordanbasis} ist eine angeordnete Basis $\mathcal{B}$
+  \emph{Jordanbasis}\index{Jordanbasis} ist eine angeordnete Basis $B$
   von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform
   hat.
 \end{notation}
@@ -139,7 +139,7 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
 \begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und
   es sei $f ∈ \End(V)$.  Nenne den Endomorphismus $f$
-  \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$
+  \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls eine Zahl $m ∈ ℕ$
   existiert, sodass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist.  Die kleinste
   solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von
   $f$}\index{Nilpotenzindex!Endomorphismus}.
@@ -148,7 +148,7 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
 \begin{defn}[Nilpotente Matrizen]
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $( n⨯ n)$-Matrix
   mit Werten in $k$.  Nenne die Matrix $A$
-  \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert,
+  \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls eine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert,
   sodass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist.  Die kleinste solche Zahl $m$ heißt
   \emph{Nilpotenzindex von $A$}\index{Nilpotenzindex!Matrix}.
 \end{defn}
@@ -165,7 +165,7 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
 
 \begin{beobachtung}
   Matrizen, die ähnlich zu einer nilpotenten Matrix sind, sind selbst nilpotent.
-  Genauer: Sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N :=
+  Genauer: Sei $A$ eine $(n ⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ GL(n, k)$, sodass $N :=
   SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$.  Dann ist
   $$
   0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}.
@@ -272,7 +272,7 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
       0 & A
     \end{array}\right).
   $$
-  Es ist $χ_f(t) = (t-λ)·χ_A(t)$ und deshalb ist $λ$ eine $(r-1)$-fache
+  Es ist $χ_f(t) = (λ-t)·χ_A(t)$ und deshalb ist $λ$ eine $(r-1)$-fache
   Nullstelle des Polynoms $χ_A$.
 
 
@@ -355,7 +355,7 @@ und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
   \begin{align*}
     \vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1} & \quad \text{eine Basis von } W_1 \\
     \vec{v}²_1, …, \vec{v}²_{r_2} & \quad \text{eine Basis von } W_2 \\
-    … \\
+    \vdots \\
     \vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} & \quad \text{eine Basis von } W_k.
   \end{align*}
   Dann ist $\mathcal{B} := \{\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1}, \vec{v}²_1, …,
@@ -404,7 +404,7 @@ Jordansche Normalform zu zeigen.  Die Korollare~\ref{kor:2-2-11} und
   die Matrix $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$
   Jordansche Normalform hat, genügt es, eine Basis zu finden, sodass die Matrix
   $N_i$ der nilpotenten Abbildung $f|_{W_i} - λ_i·\Id_{W_i}$ Jordansche
-  Normalform hat (… denn dann hat auch $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i$ Jordansche
+  Normalform hat (…denn dann hat auch $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i$ Jordansche
   Normalform)
 \end{enumerate}