kebekus/LineareAlgebra2
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Stefan Kebekus 2025-05-21 09:31:59 +02:00
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.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt vendored
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@ -46,3 +46,8 @@ Sequilinearform
Dualräumen Dualräumen
Hom-Räumen Hom-Räumen
Maximumsnorm Maximumsnorm
Cauchy-Schwarzschen
Cauchy-Schwarzsche
Cauchy
Sceaux
Amandus

1
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
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@ -40,3 +40,4 @@
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Dreiecksungleichung] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Dreiecksungleichung] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ergibt sich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ergibt sich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem Folgendes: Gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}

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06-Produkte.tex
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@ -88,10 +88,11 @@ diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
Es sei $k=ℝ$ oder $k=ℚ$ und $V$ ein $k$-Vektorraum. Weiter sei $b$ eine Es sei $k=ℝ$ oder $k=ℚ$ und $V$ ein $k$-Vektorraum. Weiter sei $b$ eine
symmetrische Bilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv symmetrische Bilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv
semidefinit}\index{Bilinearform!positiv semidefinit}\index{positiv semidefinit}\index{Bilinearform!positiv semidefinit}\index{positiv
semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) semidefinit}, falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung $b(\vec{x},
≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv definit}\index{Bilinearform!positiv \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv
definit}\index{positiv definit} falls zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit}, falls
$b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$. zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} =
\vec{0}$.
\end{defn} \end{defn}
\begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearformen gibt es nur über $ℚ$ und $ℝ$] \begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearformen gibt es nur über $ℚ$ und $ℝ$]
@ -407,9 +408,9 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Weiter sei $b$ eine Hermitesche Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Weiter sei $b$ eine Hermitesche
Sesquilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv Sesquilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv
semidefinit}\index{Hermitesche Sesquilinearform!positiv semidefinit}\index{Hermitesche Sesquilinearform!positiv
semidefinit}\index{positiv semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die semidefinit}\index{positiv semidefinit}, falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die
Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv
definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit}, falls
zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} =
\vec{0}$. \vec{0}$.
\end{defn} \end{defn}

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07-Euclidian-Unitary.tex
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@ -96,9 +96,9 @@ Skalarprodukt auf einem Vektorraum eine Norm induziert. Also liefern die
Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennengelernt haben, Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennengelernt haben,
sofort Beispiele für Normen. sofort Beispiele für Normen.
\begin{satz}[Skalarprodukt induziert Norm]\label{satz:sin} \begin{satz}[Skalarprodukt induziert Norm]\label{satz:sin}%
Wenn $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ irgendein Euklidischer oder Wenn $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ irgendein Euklidischer oder unitärer
unitärer Vektorraum ist, dann definiert die Abbildung Vektorraum ist, dann definiert die Abbildung
\[ \[
\|•\| : V → ℝ, \quad \vec{x} ↦ \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle} \|•\| : V → ℝ, \quad \vec{x} ↦ \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle}
\] \]
@ -106,8 +106,14 @@ sofort Beispiele für Normen.
\end{satz} \end{satz}
Der Beweis des Satzes~\ref{satz:sin}, den wir weiter unten geben, ist eine Der Beweis des Satzes~\ref{satz:sin}, den wir weiter unten geben, ist eine
ziemliche Rechnerei. Der Beweis verwendet die folgende wichtige Ungleichung, ziemliche Rechnerei. Der Beweis verwendet die folgende wichtige
die sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen. „Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Baron
Augustin-Louis Cauchy} (* 21.~August 1789 in Paris; † 23.~Mai 1857 in Sceaux)
war ein französischer
Mathematiker.}-Schwarzsche\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hermann_Amandus_Schwarz}{Karl
Hermann Amandus Schwarz} (* 25.~Januar 1843 in Hermsdorf, Provinz Schlesien; †
30.~November 1921 in Berlin) war ein deutscher Mathematiker. } Ungleichung“, die
sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen.
\begin{satz}[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung] \begin{satz}[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]
Sei V unitär oder euklidisch. Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ Sei V unitär oder euklidisch. Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$
@ -153,7 +159,7 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen.
Damit ist die absolute Homogenität gezeigt. Damit ist die absolute Homogenität gezeigt.
\bigskip\noindent\emph{Dreiecksungleichung.} Es seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ \bigskip\noindent\emph{Dreiecksungleichung.} Es seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$
beliebige Vektoren. Dann folgt mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung beliebige Vektoren. Dann folgt mithilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
folgendes. folgendes.
\begin{align*} \begin{align*}
\| \vec{x} + \vec{y} \|² &= \langle \vec{x}+\vec{y}, \vec{x}+\vec{y} \rangle\\ \| \vec{x} + \vec{y} \|² &= \langle \vec{x}+\vec{y}, \vec{x}+\vec{y} \rangle\\

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08-Orthogonal.tex
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@ -3,7 +3,7 @@
\chapter{Orthogonale Projektion} \chapter{Orthogonale Projektion}
In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ stets ein In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ stets ein
euklidischer oder unitärer Vektorraum. Wenn keine Verwechselungsgefahr besteht, euklidischer oder unitärer Vektorraum. Wenn keine Verwechselungsgefahr besteht,
werden wir die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$ werden wir die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$
bezeichnen. bezeichnen.
@ -16,7 +16,7 @@ Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist ``orthogonal'', also
Skalarproduktes. Skalarproduktes.
\begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth} \begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth}
Es sei $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ ein Euklidischer oder unitärer Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein Euklidischer oder unitärer
Vektorraum. Vektorraum.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Es seien $\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ zwei Vektoren. Man sagt, \item Es seien $\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ zwei Vektoren. Man sagt,
@ -92,7 +92,7 @@ Das folgende Beispiel zeigt, wie man zwei beliebige Vektoren orthogonal machen
kann. Dieses Beispiel ist für den ganzen Abschnitt zentral. kann. Dieses Beispiel ist für den ganzen Abschnitt zentral.
\begin{bsp}[Rezept, um Vektoren orthogonal machen] \begin{bsp}[Rezept, um Vektoren orthogonal machen]
Es sei $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ ein euklidischer oder unitärer Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein euklidischer oder unitärer
Vektorraum und es seien $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ V$ zwei Vektoren mit Vektorraum und es seien $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ V$ zwei Vektoren mit
$\vec{v}_1 \ne \vec{0}$. Setze $\vec{v}_1 \ne \vec{0}$. Setze
\[ \[

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LineareAlgebra2.tex
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@ -28,7 +28,7 @@
%\DeclareTOCStyleEntries[indent=0pt,dynnumwidth,numsep=1em]{default}{figure,table} %\DeclareTOCStyleEntries[indent=0pt,dynnumwidth,numsep=1em]{default}{figure,table}
\title{Lineare Algebra 2} \title{Lineare Algebra 2}
\author{Prof. Dr. Stefan Kebekus} \author{Prof.~Dr.~Stefan Kebekus}
\DeclareMathOperator{\ad}{ad} \DeclareMathOperator{\ad}{ad}
\DeclareMathOperator{\Bij}{Bij} \DeclareMathOperator{\Bij}{Bij}
@ -93,7 +93,6 @@
\begin{document} \begin{document}
% spell checker language % spell checker language
\selectlanguage{german} \selectlanguage{german}

6
stdPreamble.tex
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@ -7,6 +7,7 @@
\usepackage{enumitem} \usepackage{enumitem}
\usepackage{hyperref} \usepackage{hyperref}
\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{newunicodechar} \usepackage{newunicodechar}
\usepackage{mathtools} \usepackage{mathtools}
\usepackage{varioref} \usepackage{varioref}
@ -362,10 +363,7 @@
% HYPENTATION % HYPENTATION
% %
\hyphenation{com-po-nents} \hyphenation{uni-tärer}
\hyphenation{pos-i-tive}
\hyphenation{Theo-rem}
\hyphenation{Vojta}
% %