From f89acb0147a317e682568eb0557e5b6f5b9fe938 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Wed, 21 May 2025 09:31:59 +0200 Subject: [PATCH] Cleanup --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 5 +++++ .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 1 + 06-Produkte.tex | 13 +++++++------ 07-Euclidian-Unitary.tex | 18 ++++++++++++------ 08-Orthogonal.tex | 6 +++--- LineareAlgebra2.tex | 3 +-- stdPreamble.tex | 6 ++---- 7 files changed, 31 insertions(+), 21 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 87c5040..e26eb00 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -46,3 +46,8 @@ Sequilinearform Dualräumen Hom-Räumen Maximumsnorm +Cauchy-Schwarzschen +Cauchy-Schwarzsche +Cauchy +Sceaux +Amandus diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index d4737fa..bc68eec 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -40,3 +40,4 @@ {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Dreiecksungleichung] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q [Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ergibt sich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem Folgendes: Gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"} diff --git a/06-Produkte.tex b/06-Produkte.tex index 28bdb65..3022b5c 100644 --- a/06-Produkte.tex +++ b/06-Produkte.tex @@ -88,10 +88,11 @@ diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen. Es sei $k=ℝ$ oder $k=ℚ$ und $V$ ein $k$-Vektorraum. Weiter sei $b$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv semidefinit}\index{Bilinearform!positiv semidefinit}\index{positiv - semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) - ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv definit}\index{Bilinearform!positiv - definit}\index{positiv definit} falls zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: - $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$. + semidefinit}, falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung $b(\vec{x}, + \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv + definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit}, falls + zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = + \vec{0}$. \end{defn} \begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearformen gibt es nur über $ℚ$ und $ℝ$] @@ -407,9 +408,9 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht. Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Weiter sei $b$ eine Hermitesche Sesquilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv semidefinit}\index{Hermitesche Sesquilinearform!positiv - semidefinit}\index{positiv semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die + semidefinit}\index{positiv semidefinit}, falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv - definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls + definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit}, falls zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$. \end{defn} diff --git a/07-Euclidian-Unitary.tex b/07-Euclidian-Unitary.tex index 7a6ca2a..2566e0f 100644 --- a/07-Euclidian-Unitary.tex +++ b/07-Euclidian-Unitary.tex @@ -96,9 +96,9 @@ Skalarprodukt auf einem Vektorraum eine Norm induziert. Also liefern die Skalarprodukte, die wir in Abschnitt~\ref{sec:skalar} kennengelernt haben, sofort Beispiele für Normen. -\begin{satz}[Skalarprodukt induziert Norm]\label{satz:sin} - Wenn $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ irgendein Euklidischer oder - unitärer Vektorraum ist, dann definiert die Abbildung +\begin{satz}[Skalarprodukt induziert Norm]\label{satz:sin}% + Wenn $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ irgendein Euklidischer oder unitärer + Vektorraum ist, dann definiert die Abbildung \[ \|•\| : V → ℝ, \quad \vec{x} ↦ \sqrt{\langle \vec{x}, \vec{x} \rangle} \] @@ -106,8 +106,14 @@ sofort Beispiele für Normen. \end{satz} Der Beweis des Satzes~\ref{satz:sin}, den wir weiter unten geben, ist eine -ziemliche Rechnerei. Der Beweis verwendet die folgende wichtige Ungleichung, -die sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen. +ziemliche Rechnerei. Der Beweis verwendet die folgende wichtige +„Cauchy\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchy}{Baron +Augustin-Louis Cauchy} (* 21.~August 1789 in Paris; † 23.~Mai 1857 in Sceaux) +war ein französischer +Mathematiker.}-Schwarzsche\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hermann_Amandus_Schwarz}{Karl +Hermann Amandus Schwarz} (* 25.~Januar 1843 in Hermsdorf, Provinz Schlesien; † +30.~November 1921 in Berlin) war ein deutscher Mathematiker. } Ungleichung“, die +sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen. \begin{satz}[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung] Sei V unitär oder euklidisch. Dann gilt für alle $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ @@ -153,7 +159,7 @@ die sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen. Damit ist die absolute Homogenität gezeigt. \bigskip\noindent\emph{Dreiecksungleichung.} Es seien $\vec{x}, \vec{y} ∈ V$ - beliebige Vektoren. Dann folgt mithilfe der Cauchy-Schwarz-Ungleichung + beliebige Vektoren. Dann folgt mithilfe der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung folgendes. \begin{align*} \| \vec{x} + \vec{y} \|² &= \langle \vec{x}+\vec{y}, \vec{x}+\vec{y} \rangle\\ diff --git a/08-Orthogonal.tex b/08-Orthogonal.tex index 862a4a9..615cc53 100644 --- a/08-Orthogonal.tex +++ b/08-Orthogonal.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \chapter{Orthogonale Projektion} -In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ stets ein +In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ stets ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Wenn keine Verwechselungsgefahr besteht, werden wir die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$ bezeichnen. @@ -16,7 +16,7 @@ Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist ``orthogonal'', also Skalarproduktes. \begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth} - Es sei $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ ein Euklidischer oder unitärer + Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein Euklidischer oder unitärer Vektorraum. \begin{enumerate} \item Es seien $\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ zwei Vektoren. Man sagt, @@ -92,7 +92,7 @@ Das folgende Beispiel zeigt, wie man zwei beliebige Vektoren orthogonal machen kann. Dieses Beispiel ist für den ganzen Abschnitt zentral. \begin{bsp}[Rezept, um Vektoren orthogonal machen] - Es sei $\bigl( V, \langle•\rangle\bigr)$ ein euklidischer oder unitärer + Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein euklidischer oder unitärer Vektorraum und es seien $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2 ∈ V$ zwei Vektoren mit $\vec{v}_1 \ne \vec{0}$. Setze \[ diff --git a/LineareAlgebra2.tex b/LineareAlgebra2.tex index 257fb82..a6e5d81 100644 --- a/LineareAlgebra2.tex +++ b/LineareAlgebra2.tex @@ -28,7 +28,7 @@ %\DeclareTOCStyleEntries[indent=0pt,dynnumwidth,numsep=1em]{default}{figure,table} \title{Lineare Algebra 2} -\author{Prof. Dr. Stefan Kebekus} +\author{Prof.~Dr.~Stefan Kebekus} \DeclareMathOperator{\ad}{ad} \DeclareMathOperator{\Bij}{Bij} @@ -93,7 +93,6 @@ - \begin{document} % spell checker language \selectlanguage{german} diff --git a/stdPreamble.tex b/stdPreamble.tex index ad4b8cf..dd58c7d 100644 --- a/stdPreamble.tex +++ b/stdPreamble.tex @@ -7,6 +7,7 @@ \usepackage{enumitem} \usepackage{hyperref} \usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{newunicodechar} \usepackage{mathtools} \usepackage{varioref} @@ -362,10 +363,7 @@ % HYPENTATION % -\hyphenation{com-po-nents} -\hyphenation{pos-i-tive} -\hyphenation{Theo-rem} -\hyphenation{Vojta} +\hyphenation{uni-tärer} %