Clean up first lectures

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@@ -1 +1,20 @@
 Diagonalgestalt
+Vielfachheit
+Diagonalisierbarkeit
+Vielfachheiten
+Jordansche
+Camille
+Jordanblock
+Jordanblöcke
+Jordanbasis
+Nilpotenzindex
+Multiplizitäten
+nilpotent
+Schlausprech
+Quotientenvektorräumen
+Dimensionsformel
+.ten
+Quotientenvektorraums
+.te
+Erzeugendensystem
+Quotientenvektorräume

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@@ -0,0 +1 @@
+KARDINALZAHLEN

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -0,0 +1,6 @@
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qdenn dann hat auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Jordansche Normalform)\\E$"}
+{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 4 Allerdings ist die Partition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q noch nicht die, von der in Beobachtung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Rede war: Wir müssen erst zur „dualen Partition“ übergehen.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QNämlich so: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Das Diagramm soll die Eigenschaft haben, dass für jeden Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Folgendes gilt.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSchritt 2, Lineare Unabhängigkeit.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QNummeriere die Elemente des Diagramms jetzt wie folgt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Dann ist klar, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, …, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, … und insgesamt ergibt sich, dass die Matrix von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bezüglich dieser angeordneten Basis die Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat.\\E$"}
+{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QFür jeden Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bestimme den Hauptraum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zum Eigenwert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q — Punkt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität” ) sagt, wie das geht: der Hauptraum ist gegeben als \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}

01-Wiederholung.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
 
 \section{Endomorphismen, Eigenwerte, Eigenvektoren}
 
-\sideremark{Vorlesung 1}Am Ende der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' hatten wir
+\sideremark{Vorlesung 1}Am Ende der Vorlesung „Lineare Algebra I“ hatten wir
 folgende Situation betrachtet.
 
 \begin{situation}\label{sit:LA1}%
@@ -29,17 +29,17 @@ Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert.
 \begin{defn}[Diagonalisierbare Matrix]
   Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine $n ⨯ n$-Matrix $A$ heißt
   \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Matrix}, falls sie einer
-  Diagonalmatrix ähnlich ist, d.  h.  $∃S ∈ Gl_n(k)$, so dass $SAS^{-1}$ eine
+  Diagonalmatrix ähnlich ist, d.  h.  $∃S ∈ Gl_n(k)$, sodass $SAS^{-1}$ eine
   Diagonalmatrix ist.
 \end{defn}
 
-Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren ``Eigenwert'',
+Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren „Eigenwert“, „Eigenvektor“
-``Eigenvektor'' und ``Eigenraum''.
+und „Eigenraum“.
 
 \begin{defn}[Eigenwert]
   Situation wie in \ref{sit:LA1}.  Ein Skalar $λ ∈ k$ heißt \emph{Eigenwert von
     $f$}\index{Eigenwert}, wenn es einen Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$
-  gibt, so dass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
+  gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}[Eigenraum]
@@ -53,12 +53,12 @@ Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren ``Eigenwert'',
 \begin{defn}[Eigenvektor]
   Situation wie in \ref{sit:LA1}.  Ein Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$ heißt
   \emph{Eigenvektor von $f$}\index{Eigenvektor}, wenn es ein Skalar $λ ∈ k$
-  gibt, so dass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
+  gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist.
 \end{defn}
 
-Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist.
+Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. In
-In der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte
+der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte
-auszurechnen: die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des
+auszurechnen: Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des
 charakteristischen Polynoms
 \[
   χ_f(t) := \det \bigl( f - t \Id_V \bigr).
@@ -93,7 +93,7 @@ Punkte abgezogen wurden.}.
 \section{Algebraische und geometrische Vielfachheit}
 
 Zurück zur Situation~\ref{sit:LA1}.  Wenn ich nun ein Skalar $λ ∈ k$ gegeben
-habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich
+habe, kann ich die folgenden zwei Zahlen betrachten.
 \begin{itemize}
 \item Die \emph{algebraische Vielfachheit von
   $λ$}\index{Vielfachheit!algebraische} ist die Vielfachheit von $λ$ als
@@ -110,13 +110,13 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich
   $$
   \begin{pmatrix}
     2 & 3 \\ 0 & 2
-  \end{pmatrix}
+  \end{pmatrix}.
   $$
   Dann ist $χ_f(t) = (2 - t)²$.  Wir betrachten das Skalar $λ = 2$.  Dies ist
   eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und die algebraische
   Vielfachheit von $λ$ ist zwei.  Auf der anderen Seite ist
   $$
-  V_2 = ℂ · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
+  V_2 = ℂ · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.
   $$
   Also ist die geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich eins.
 \end{bsp}
@@ -130,7 +130,7 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich
 \begin{proof}
   Sei ein Skalar $λ$ gegeben.  Falls geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich
   Null ist, ist nichts zu zeigen.  Sei also die geometrische Vielfachheit $d$
-  größer als Null.  Das bedeutet: es gibt eine lineare unabhängige (angeordnete)
+  größer als Null.  Das bedeutet: Es gibt eine lineare unabhängige (angeordnete)
   Teilmenge $\{ \vec{v}_1, … , \vec{v}_d \} ⊂ V$, die ich zu einer
   (angeordneten) Basis $B$ von $V$ ergänzen kann.  Dann ist die zugehörige
   Matrix von der Form
@@ -142,12 +142,12 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich
         & & λ \\
       \hline
         & 0 & & *
-    \end{array}\right)
+    \end{array}\right).
   $$
   Als Konsequenz ergibt sich, dass das charakteristische Polynom $χ_f$ von $f$
   die folgende Form hat,
   $$
-  χ_f (t) = (t - λ)^d · \text{(weiteres, unbekanntes Polynom)}
+  χ_f (t) = (t - λ)^d · \text{(weiteres, unbekanntes Polynom)}.
   $$
   Also ist die algebraische Vielfachheit von $λ$ ist mindestens gleich $d$.
 \end{proof}
@@ -158,12 +158,12 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich
 Wie hängen Diagonalisierbarkeit und die algebraischen/geometrischen
 Vielfachheiten zusammen?  Der folgende Satz gibt eine erste Antwort, zumindest
 über den komplexen Zahlen.  Im folgenden Kapitel werden wir eine bessere Antwort
-kennen lernen.
+kennenlernen.
 
 \begin{satz}[Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten]\label{satz:1.1}
   In Situation~\ref{sit:LA1} sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
-  \item Der Endormorphismus $f$ ist diagonalisierbar.
+  \item Der Endomorphismus $f$ ist diagonalisierbar.
     
   \item Das charakteristische Polynom $χ_f(t)$ zerfällt in Linearfaktoren und
     für jeden Eigenwert $λ$ stimmen geometrische und algebraische Vielfachheit
@@ -175,10 +175,10 @@ Als direkte Anwendung von Satz~\ref{satz:1.1} ergibt sich, dass die Matrix aus
 Beispiel~\ref{bsp:1.1} nicht diagonalisierbar ist.  Der Beweis von
 Satz~\ref{satz:1.1} verwendet folgendes Lemma.
 
-\begin{lemma}\label{lem:1.1}
+\begin{lemma}\label{lem:1.1}%
   In Situation~\ref{sit:LA1} seien $λ_1, …, λ_d$ unterschiedliche Eigenwerte von
-  $f$ und $\vec{v}_1, …, \vec{v}_d$ seien zugehörige Eigenvektoren.  Dann ist
+  $f$.  Weiter seien $\vec{v}_1, …, \vec{v}_d$ seien zugehörige Eigenvektoren.
-  die Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_d \}$ linear unabhängig.  \qed
+  Dann ist die Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_d \}$ linear unabhängig.  \qed
 \end{lemma}
 
 Sie sollten versuchen, Satz~\ref{satz:1.1} und Lemma~\ref{lem:1.1} selbst zu

02-Jordan.tex

@@ -9,13 +9,13 @@
 \sideremark{Vorlesung 2}Wir hatten im letzten Kapitel ein Beispiel~\ref{bsp:1.1}
 für einen Endomorphismus gesehen, der nicht diagonalisierbar ist.  Aus der
 Traum.  In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass es aber stets eine Basis gibt,
-so dass die zugehörende Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest,
+sodass die zugehörende Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest,
 solange wir über den komplexen Zahlen arbeiten.  Genauer gesagt: wir werden
-zeigen, dass es eine Basis gibt, so dass die Matrix ``Jordansche Normalform''
+zeigen, dass es eine Basis gibt, sodass die Matrix „Jordansche Normalform“
 hat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie Ennemond
-    Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.  Januar 1838 in Lyon; †
+Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; † 21.~Januar
-  21.  Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}, also ``fast''
+1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}, also „fast“ eine
-eine Diagonalmatrix ist.
+Diagonalmatrix ist.
 
 Vielleicht schauen Sie auch einmal in den entsprechenden Eintrag in der
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform}{Wikipedia}.  Es gibt
@@ -32,7 +32,7 @@ auch eine Menge Videos auf
   \begin{cases}
     λ & \text{falls } j=i \\
     1 & \text{falls } j=i+1 \\
-    0 & \text{sonst}
+    0 & \text{sonst.}
   \end{cases}
   $$
   Der $(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der Diagonalen wird oft mit
@@ -110,15 +110,15 @@ Das Ziel dieses Kapitels ist jetzt, den folgenden Satz zu beweisen.
 
 \begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF}
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und
-  es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus.  Dann gibt es eine angeordnete Basis
+  es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus.  Dann gibt es eine angeordnete Basis
-  $\mathcal{B}$ von $V$, so dass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$
+  $\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$
   Jordansche Normalform hat.
 \end{satz}
 
 \begin{notation}
   Situation wie in Satz~\ref{satz:JNF}.  Eine
   \emph{Jordanbasis}\index{Jordanbasis} ist eine angeordnete Basis $\mathcal{B}$
-  von $V$, so dass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform
+  von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform
   hat.
 \end{notation}
 
@@ -126,9 +126,9 @@ Wir beweisen Satz~\ref{satz:JNF} nach einigen Vorbereitungen im
 Abschnitt~\vref{ssec:pjnf}.  Wir betrachten für den Rest des Kapitels meistens
 die folgende Situation.
 
-\begin{situation}\label{sit:2-1-6}
+\begin{situation}\label{sit:2-1-6}%
-  Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen,
+  Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, $n
-  $n := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus.
+  := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus.
 \end{situation}
 
 
@@ -137,11 +137,11 @@ die folgende Situation.
 
 Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
 
-\begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}
+\begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}%
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und
   es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$
   \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$
-  existiert, so dass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist.  Die kleinste
+  existiert, sodass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist.  Die kleinste
   solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von
   $f$}\index{Nilpotenzindex!Endomorphismus}.
 \end{defn}
@@ -150,7 +150,7 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
   Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix
   mit Werten in $k$.  Nenne die Matrix $A$
   \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert,
-  so dass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist.  Die kleinste solche Zahl $m$ heißt
+  sodass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist.  Die kleinste solche Zahl $m$ heißt
   \emph{Nilpotenzindex von $A$}\index{Nilpotenzindex!Matrix}.
 \end{defn}
 
@@ -166,12 +166,12 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
 
 \begin{beobachtung}
   Matrizen, die ähnlich zu einer nilpotenten Matrix sind, sind selbst nilpotent.
-  Genauer: Sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, so dass
+  Genauer: Sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N :=
-  $N := SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$.  Dann ist
+  SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$.  Dann ist
   $$
-  0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}
+  0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}.
   $$
-  Also $A^m = S^{-1}·0·S = 0$.
+  Also ist $A^m = S^{-1}·0·S = 0$.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{bsp}
@@ -210,18 +210,18 @@ Warum die folgenden Definitionen?  Schauen Sie sich \video{2-1} an.
 
 \begin{beobachtung}
   In der Situation von Definition~\ref{def:2-2-6} sei ein Vektor $\vec{v} ∈ V$
-  gegeben.  Falls es eine Zahl $n ∈ ℕ$ gibt, so dass
+  gegeben.  Falls es eine Zahl $n ∈ ℕ$ gibt, sodass $(f - λ · \Id_V )^n(\vec{v})
-  $(f - λ · \Id_V )^n(\vec{v}) = \vec{0}$ ist, dann ist auch
+  = \vec{0}$ ist, dann ist auch $(f - λ · \Id_V )^{n+1}(\vec{v}) = \vec{0}$.
-  $(f - λ · \Id_V )^{n+1}(\vec{v}) = \vec{0}$.  Also ist
+  Also ist
   $$
   \ker(f - λ · \Id_V ) ⊆ \ker \Bigl( (f - λ · \Id_V )² \Bigr) ⊆ \ker \Bigl( (f -
-  λ · \Id_V )³ \Bigr) ⊆ ⋯
+  λ · \Id_V )³ \Bigr) ⊆ ⋯.
   $$
   Insbesondere folgt, dass $\Hau_f(λ)$ ein Untervektorraum von $V$ ist.
 \end{beobachtung}
 
 Haupträume und Eigenräume hängen eng zusammen.  Die folgende Beobachtung
-rechtfertigt den Namen ``verallgemeinerter Eigenraum''.
+rechtfertigt den Namen „verallgemeinerter Eigenraum“.
 
 \begin{beobachtung}
   In der Situation von Definition~\ref{def:2-2-6} gilt:
@@ -235,15 +235,15 @@ rechtfertigt den Namen ``verallgemeinerter Eigenraum''.
 \end{beobachtung}
 
 Falls wir über den komplexen Zahlen arbeiten, ist der Zusammenhang von Hauptraum
-und Eigenraum viel enger: der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
+und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
-``algebraischen Multiplizität''.
+„algebraischen Multiplizität“.
 
-\begin{satz}[Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität]\label{satz:2-2-10}
+\begin{satz}[Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität]\label{satz:2-2-10}%
   In Situation~\ref{sit:2-1-6} sei $λ ∈ ℂ$ ein Eigenwert von $f$ mit
   algebraischer Multiplizität $r$.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
-  \item\label{il:2-2-10-1} Der Hauptraum ist gegeben als
+  \item\label{il:2-2-10-1} Der Hauptraum ist gegeben als $\Hau_f(λ) = \ker
-    $\Hau_f(λ) = \ker \bigl( (f - λ·\Id)^r \bigr)$.
+    \bigl( (f - λ·\Id)^r \bigr)$.
     
   \item Die Dimension des Hauptraumes ist $\dim \Hau_f(λ) = r$.
     
@@ -272,20 +272,19 @@ und Eigenraum viel enger: der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der
   \]
 \end{kor}
 \begin{proof}
-  \video{3-2} beweist ein vorbereitendes Lemma.  Der Beweis des Korollares wird
+  \video{3-2} beweist ein vorbereitendes Lemma.  Der Beweis des Korollars wird
   dann in \video{3-3} beendet.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}\label{kor:2-2-12}
+\begin{kor}\label{kor:2-2-12}%
   In der Situation von Korollar~\ref{kor:2-2-11} sei
   \begin{align*}
     \vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1} & \quad \text{eine Basis von } W_1 \\
     \vec{v}²_1, …, \vec{v}²_{r_2} & \quad \text{eine Basis von } W_2 \\
     … \\
-    \vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} & \quad \text{eine Basis von } W_k
+    \vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} & \quad \text{eine Basis von } W_k.
   \end{align*}
-  Dann ist
+  Dann ist $\mathcal{B} := \{\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1}, \vec{v}²_1, …,
-  $\mathcal{B} := \{\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1}, \vec{v}²_1, …,
   \vec{v}²_{r_2}, …, \vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} \}$ eine (angeordnete)
   Basis von $V$ und bezüglich dieser Basis ist die Matrix von $f$ von der Form
   $$
@@ -322,21 +321,21 @@ Jordansche Normalform zu zeigen.  Die Korollare~\ref{kor:2-2-11} und
 \begin{enumerate}
 \item Um eine Basis zu finden, in der die Matrix von $f$ Jordansche Normalform
   hat, genügt es, die Haupträume $W_i$ einzeln zu betrachten und Basen
-  $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu betrachten, so dass die
+  $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu betrachten, sodass die Matrizen
-  Matrizen $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$
+  $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$ Jordansche
-  Jordansche Normalform haben.  Das Problem reduziert sich also auf den Fall, wo
+  Normalform haben.  Das Problem reduziert sich also auf den Fall, wo den
-  den Endomorphismus $f$ nur einen einzigen Hauptraum besitzt.
+  Endomorphismus $f$ nur einen einzigen Hauptraum besitzt.
 
-\item Um eine Basis $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu finden, so
+\item Um eine Basis $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu finden, sodass
-  dass die Matrix $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$
+  die Matrix $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$
-  Jordansche Normalform hat, genügt es, eine Basis zu finden, so dass die Matrix
+  Jordansche Normalform hat, genügt es, eine Basis zu finden, sodass die Matrix
   $N_i$ der nilpotenten Abbildung $f|_{W_i} - λ_i·\Id_{W_i}$ Jordansche
   Normalform hat (… denn dann hat auch $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i$ Jordansche
   Normalform)
 \end{enumerate}
 
-Zusammenfassend stellen wir fest: wir können die Aufgabe ``finde eine Basis, so
+Zusammenfassend stellen wir fest: Wir können die Aufgabe „finde eine Basis,
-dass die Matrix von $f$ Jordansche Normalform hat'' lösen, sobald wir wissen,
+sodass die Matrix von $f$ Jordansche Normalform hat“ lösen, sobald wir wissen,
 wie wir die Aufgabe für nilpotente Endomorphismen lösen.  Das machen wir im
 nächsten Abschnitt.
 
@@ -344,15 +343,15 @@ nächsten Abschnitt.
 \section{Klassifikation nilpotenter Matrizen}
 \label{sec:class}
 
-Wir betrachten das Problem ``finde eine Basis, so dass die Matrix von $f$
+Wir betrachten das Problem „finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$
-Jordansche Normalform hat'' jetzt also für nilpotente Endomorphismen.
+Jordansche Normalform hat“ jetzt also für nilpotente Endomorphismen.
 
 \begin{situation}\label{sit:2-3-1}
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen,
   $n := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein nilpotenter Endomorphismus.
 \end{situation}
 
-Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, so dass
+Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, sodass
 \begin{equation}\label{eq:gh}
   \Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f) =
   \begin{pmatrix}
@@ -365,19 +364,19 @@ Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, so dass
 ist.  Falls das geht, kann ich durch geeignete Anordnung der Basis auch gleich
 erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
 
-\begin{beobachtung}\label{rem:2-3-2}
+\begin{beobachtung}\label{rem:2-3-2}%
   Wenn ich das Problem gelöst habe, dann ist $\sum_{i=1}^l n_i = \dim V$.  In
-  Schlausprech sage ich ``$(n_1, n_2, …, n_l)$ ist eine
+  Schlausprech sage ich „$(n_1, n_2, …, n_l)$ ist eine
-  Partition\footnote{Erinnerung: ``Partition'' bedeutet: endliche, absteigende
+  Partition\footnote{Erinnerung: „Partition“ bedeutet: endliche, absteigende
-    Folge, so dass die Summer der Folgenglieder gleich $\dim V$
+  Folge, sodass die Summe der Folgenglieder gleich $\dim V$
-    ist.}\index{Partition} von $\dim V$''.  Die Matrix in \eqref{eq:gh} ist
+  ist.}\index{Partition} von $\dim V$“.  Die Matrix in \eqref{eq:gh} ist
   natürlich eindeutig durch die Partition festgelegt.  Überlegen Sie sich jetzt
-  folgendes: das Ziel (``finde eine Basis, so dass die Matrix von $f$ Jordansche
+  folgendes: das Ziel („finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$ Jordansche
-  Normalform hat'') lässt sich deshalb auch so ausdrücken: wir suchen eine
+  Normalform hat“) lässt sich deshalb auch so ausdrücken: Wir suchen eine
   Bijektion zwischen
   \begin{itemize}
   \item den Äquivalenzklassen nilpotenter Matrizen bezüglich der
-    Äquivalenzrelation ``ähnlich'', und
+    Äquivalenzrelation „ähnlich“, und
     
   \item den Partitionen von $\dim V$.
   \end{itemize}
@@ -385,15 +384,16 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
 
 \begin{prop}\label{prop:2-3-4}
   In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$.  Dann gilt
-  folgendes.
+  Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$
     
   \item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass
     $\vec{v} ∈ V^p ⇔ f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$.
 
-  \item\label{il:2-3-4-3} Setze $V⁰ = \{\vec{0}\}$.  Dann gilt alle Indizes $p > 1$: die Abbildung
+  \item\label{il:2-3-4-3} Setze $V⁰ = \{\vec{0}\}$.  Dann gilt alle Indizes $p >
-    $f$ induziert eine injektive Abbildung zwischen den Quotientenvektorräumen,
+    1$: Die Abbildung $f$ induziert eine injektive Abbildung zwischen den
+    Quotientenvektorräumen,
     \[
       \begin{tikzcd}
         \overline{f} : \factor{V^p}{V^{p-1}} \ar[r] & \factor{V^{p-1}}{V^{p-2}}
@@ -403,13 +403,13 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
 \end{prop}
 
 \begin{beobachtung}
-  Eigenschaft~\ref{il:2-3-4-2} zeigt insbesondere, dass
+  Eigenschaft~\ref{il:2-3-4-2} zeigt insbesondere, dass $f (V^p ) ⊆ V^{p-1}$ und
-  $f (V^p ) ⊆ V^{p-1}$ und $f^{-1}( V^{p-1}) = V^p$ ist.
+  dass $f^{-1}( V^{p-1}) = V^p$ ist.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:2-3-4}]
-  \video{3-4}.  Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$ auf
+  \video{3-4}.  Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$
-  Repräsentantenniveau zu definieren.  Was müssen Sie genau zeigen, um
+  auf Repräsentantenniveau zu definieren.  Was müssen Sie genau zeigen, um
   Wohldefiniertheit zu erhalten.  Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern
   in Klausur und mündlichen Prüfungen stelle?
 \end{proof}
@@ -422,11 +422,11 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist.
   $(m_1, m_2, …)$ eine Partition von $\dim V$.
 \end{beobachtung}
 
-Partitionen wurden schon in Beobachtung~\vref{rem:2-3-2} diskutiert.  Jeder Leser
+Partitionen wurden schon in Beobachtung~\vref{rem:2-3-2} diskutiert.  Jeder
-von Kriminalromanen erkennt sofort, dass das kein Zufall sein
+Leser von Kriminalromanen erkennt sofort, dass das kein Zufall sein
 kann.\sideremark{Vorlesung 4} Allerdings ist die Partition $(m_1, m_2, …)$ noch
-nicht die, von der in Beobachtung~\ref{rem:2-3-2} die Rede war: wir müssen erst
+nicht die, von der in Beobachtung~\ref{rem:2-3-2} die Rede war: Wir müssen erst
-zur ``dualen Partition'' übergehen.
+zur „dualen Partition“ übergehen.
 
 \begin{defn}[Duale Partition]\label{def:dualePart}
   \index{Partition!duale}\index{duale Partition}Es sein $n ∈ ℕ$ eine Zahl
@@ -469,13 +469,12 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
   Abbildung~\ref{fig:part} kann ihnen dabei helfen.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{prop}[Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen]\label{prop:JNF}
+\begin{prop}[Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen]\label{prop:JNF}%
-  In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$ und
+  In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$ und $m_p := \dim
-  $m_p := \dim (V^p/V^{p-1})$.  Es sei $P$ die Partition $P = (m_1, m_2, …)$ von
+  (V^p/V^{p-1})$.  Es sei $P$ die Partition $P = (m_1, m_2, …)$ von $\dim V$ und
-  $\dim V$ und es sei $P^* := (n_1, n_2, …, n_l)$ die zu $P$ duale
+  es sei $P^* := (n_1, n_2, …, n_l)$ die zu $P$ duale Partition.  Dann gibt es
-  Partition.  Dann gibt es eine angeordnete Basis
+  eine angeordnete Basis $\mathcal{B} := \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, … \}$ eine
-  $\mathcal{B} := \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, … \}$ eine (angeordnete) Basis von
+  (angeordnete) Basis von $V$, sodass die Matrix von $f$ die folgende Form hat,
-  $V$, so dass die Matrix von $f$ die folgende Form hat,
   \begin{equation}\label{eq:sdfg}
     \Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f) =
     \begin{pmatrix}
@@ -483,25 +482,25 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
       & J(0, n_2) & \\
       & & \ddots \\
       0 & & & J(0, n_l)
-    \end{pmatrix}
+    \end{pmatrix}.
   \end{equation}
 \end{prop}
 \begin{proof}
   Der Beweis ist von der Notation her ein wenig aufwändig.  Daher werde ich den
-  Beweis nur im Spezialfall aufschreiben, wo die Partition $P$ die Form
+  Beweis nur im Spezialfall aufschreiben, wo die Partition $P$ die Form $P =
-  $P = (5,5,4,2,2,1)$ hat.  Der Beweis funktioniert natürlich für jede beliebige
+  (5,5,4,2,2,1)$ hat.  Der Beweis funktioniert natürlich für jede beliebige
   Partition.  Ich habe den Beweis in mehrere Schritte unterteilt.
   
   \paragraph{Schritt 1, Konstruktion}
   
-  Es sei $q$ der Nilpotenzindex von $f$, so dass $V^q = V$ ist.
+  Es sei $q$ der Nilpotenzindex von $f$, sodass $V^q = V$ ist.
   Proposition~\ref{prop:2-3-4} liefert eine Kette von Abbildungen
   \[
-    \factor{V^q}{V^{q-1}} \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V^{q-1}}{V^{q-2}} \xrightarrow{\overline{f}} ⋯ \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V¹}{V⁰}
+    \factor{V^q}{V^{q-1}} \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V^{q-1}}{V^{q-2}} \xrightarrow{\overline{f}} ⋯ \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V¹}{V⁰}.
   \]
-  Jetzt wählen wir (auf relativ komplizierte Weise) für jeden Index $p$ genau $m_p$ Vektoren
+  Jetzt wählen wir (auf relativ komplizierte Weise) für jeden Index $p$ genau
-  aus $V$ und konstruieren damit ein Diagramm von
+  $m_p$ Vektoren aus $V$ und konstruieren damit ein Diagramm von Vektoren, das
-  Vektoren, das ausschaut wie die graphische Darstellung der Partition aus
+  ausschaut wie die grafische Darstellung der Partition aus
   Abbildung~\ref{fig:part}.  Nämlich so:
   \[
     \begin{array}{c|cccccc}
@@ -520,16 +519,16 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
   \item Die Vektoren aus der $p$.ten Spalte kommen aus dem Vektorraum $V^p$.
 
   \item Die Restklassen der Vektoren aus der $p$.ten Spalte bilden eine Basis
-    des Quotientenvektorraumes $\factor{V^p}{V^{p-1}}$.
+    des Quotientenvektorraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$.
   \end{itemize}
-  Wir konstruieren das Diagram induktiv, Spalte für Spalte, wobei wir mit der
+  Wir konstruieren das Diagramm induktiv, Spalte für Spalte, wobei wir mit der
   rechten Spalte beginnen.
   
 
   \paragraph{Schritt 1.1, Induktionsstart, Konstruktion der rechten Spalte}
 
-  Wähle Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$, so dass die Restklassen
+  Wähle eine Folge von Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$, sodass die
-  $[\vec v^q_1], …, [\vec v^q_{m_q}]$ eine Basis des Quotientenraumes
+  Restklassen $[\vec v^q_1], …, [\vec v^q_{m_q}]$ eine Basis des Quotientenraums
   $\factor{V^q}{V^{q-1}}$ bilden.  Die Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$
   bilden die rechte Spalte.  Nach Konstruktion bilden die Restklassen dieser
   Vektoren eine Basis von $\factor{V^q}{V^{q-1}}$.
@@ -543,16 +542,16 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
   \[
     \overline{f} : \factor{V^{p+1}}{V^p} → \factor{V^p}{V^{p-1}}
   \]
-  injektiv ist.  Insbesondere sind die Bilder
+  injektiv ist.  Insbesondere sind die Bilder $\overline{f}([w_1]), …,
-  $\overline{f}([w_1]), …, \overline{f}([w_a])$ linear unabhängige Vektoren des
+  \overline{f}([w_a])$ linear unabhängige Vektoren des Quotientenraums
-  Quotientenraumes $\factor{V^p}{V^{p-1}}$.  Nach dem Basisergänzungssatz können
+  $\factor{V^p}{V^{p-1}}$.  Nach dem Basisergänzungssatz können wir jetzt aber
-  wir jetzt aber Vektoren $\vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a}$ aus $V$ finden, so dass
+  Vektoren $\vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a}$ aus $V$ finden, sodass
   \[
     \overline{f}([\vec w_1]), …, \overline{f}([\vec w_a]), [\vec v^p_1], …,
     [\vec v^p_{m_p-a}]
   \]
-  eine Basis des Quotientenraumes $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden.  Schreibe
+  eine Basis des Quotientenraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden.  Schreibe jetzt
-  jetzt die Vektoren
+  die Vektoren
   \[
     \overline{f}(\vec w_1), …, \overline{f}(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec
     v^p_{m_p-a}
@@ -592,7 +591,7 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
   \[
     \dim W^p = \dim \factor{V^p}{V^{p-1}} + \dim \ker γ.
   \]
-  Außerdem ist per Induktionannahme $V^{p-1} ⊆ W^p$, also
+  Außerdem ist per Induktionsannahme $V^{p-1} ⊆ W^p$, also
   \[
     \ker γ = V^{p-1} \quad \text{und} \quad \dim W^p = m_p + \dim V^{p-1} = \dim V^p.
   \]
@@ -602,8 +601,8 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen.
 
   \paragraph{Schritt 3, Ende des Beweises}
 
-  Nach Schritt 2 wissen wir, dass die Elemente des Diagrammes eine Basis von
+  Nach Schritt 2 wissen wir, dass die Elemente des Diagramms eine Basis von
-  $V^q=V$ bilden.  Nummeriere die Elemente des Diagrammes jetzt wie folgt:
+  $V^q=V$ bilden.  Nummeriere die Elemente des Diagramms jetzt wie folgt:
   \[
     \begin{array}{c|cccccc}
       n_1 & \vec v_1 & \vec v_2 & \vec v_3 & \vec v_4 & \vec v_5 & \vec v_6 \\
@@ -626,23 +625,23 @@ Proposition~\ref{prop:JNF} den Beweis von Satz~\ref{satz:JNF}.  Der nächste
 Abschnitt fasst den Beweis noch einmal zusammen.
 
 
-\section{Beweis von Satz~\ref*{satz:JNF} (``Jordansche Normalform'')}
+\section{Beweis von Satz~\ref*{satz:JNF} („Jordansche Normalform“)}
 \label{ssec:pjnf}
 
 Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und
-es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus.  Weiter seien $λ_1, …, λ_k$ die
+es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus.  Weiter seien $λ_1, …, λ_k$ die
 Eigenwerte von $f$.  Nach Korollar~\ref{kor:2-2-11} schreiben wir
 \begin{equation}\label{eq:dfgd}
   V = \bigoplus_{i=1}^k \Hau_f(λ_i).
 \end{equation}
 Für jeden Index $i$ betrachte
 \[
-  g_i := \bigl(f-λ_i·\Id_V\bigr)|_{\Hau_f(λ_i)} : \Hau_f(λ_i) → V
+  g_i := \bigl(f-λ_i·\Id_V\bigr)|_{\Hau_f(λ_i)} : \Hau_f(λ_i) → V.
 \]
 Nach Punkt~\ref{il:2-2-10-3} von Satz~\ref{satz:2-2-10} wissen wir schon, dass
 $g_i$ den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ in den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ abbildet.  Wir
 können $g_i$ also als Endomorphismus $g_i ∈ \End\bigl(\Hau_f(λ_i)\bigr)$
-auffassen.  Per Definition von ``Hauptraum'' ist jeder Endomorphismus $g_i$
+auffassen.  Per Definition von „Hauptraum“ ist jeder Endomorphismus $g_i$
 nilpotent.  Das erlaubt, Proposition~\ref{prop:JNF} anzuwenden; dies liefert uns
 für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis
 \[
@@ -663,7 +662,7 @@ handelt.  Damit ist Satz~\ref{satz:JNF} bewiesen.  \qed
 Der Beweis von Satz~\ref{satz:JNF} ist so konkret, dass sich daraus eine
 praktisch nützliche Methode zur Berechnung einer Jordanbasis ergibt.  Es sei
 also $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und es
-sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus.  Um eine Jordanbasis zu finden, gehe wie
+sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus.  Um eine Jordanbasis zu finden, gehe wie
 folgt vor.
 
 \begin{enumerate}
@@ -678,8 +677,8 @@ folgt vor.
 
 \item Für jeden Index $i$ bestimme den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ von $f$ zum
   Eigenwert $λ_i$ --- Punkt~\ref{il:2-2-10-1} von Satz~\ref{satz:2-2-10}
-  (``Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität'') sagt, wie das
+  („Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität“) sagt, wie das geht:
-  geht: der Hauptraum ist gegeben als
+  Der Hauptraum ist gegeben als
   \[
     \Hau_f(λ_i) = \ker \bigl( (f - λ_i·\Id)^{r_i} \bigr).
   \]
@@ -693,14 +692,14 @@ folgt vor.
   \[
     P^*_i = (n_{i,1}, n_{i,2}, …, n_{i,l_i})
   \]
-  dazu muss man mit LA1-Methoden die Dimensionen der Räume
+  dazu muss man mit LA1-Methoden die Dimensionen der Räume $W^p_i :=
-  $W^p_i := \ker(g^p_i)$ ausrechnen und dann die Dimensionen der
+  \ker(g^p_i)$ ausrechnen und dann die Dimensionen der Quotientenvektorräume
-  Quotientenvektorräume bestimmen.  Um die duale Partition auszurechnen,
+  bestimmen.  Um die duale Partition auszurechnen, empfiehlt es sich, ein Bild
-  empfiehlt es sich, ein Bild wie in Abbildung~\ref{fig:part} zu malen.
+  wie in Abbildung~\ref{fig:part} zu malen.
 \end{enumerate}
 
 Falls Sie nur daran interessiert sind, wie die Jordansche Normalform des
-Endomorphismus $f$ aussieht, sind sie jetzt fertig: die Jordansche Normalform
+Endomorphismus $f$ aussieht, sind sie jetzt fertig: Die Jordansche Normalform
 von $f$ hat Blockgestalt,
 \[
   \begin{pmatrix}
@@ -725,9 +724,8 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben.
 \begin{enumerate}
 \item Schauen Sie sich den Beweis von Proposition~\ref{prop:JNF} noch einmal an
   und erkennen Sie, dass Sie die Schritte dort konkret nachvollziehen können.
-  Finden Sie so für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis
+  Finden Sie so für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis $\mathcal{B}_i = \{
-  $\mathcal{B}_i = \{ \vec{w}_{i,1}, …, \vec{w}_{i,r_i}\}$, so dass die Matrix
+  \vec{w}_{i,1}, …, \vec{w}_{i,r_i}\}$, sodass die Matrix von $g_i$ die Form
-  von $g_i$ die Form
   \[
     \begin{pmatrix}
       J(0, n_{i,1}) & & & 0 \\
@@ -739,10 +737,9 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben.
   hat.
 \end{enumerate}
 
-Wie wir oben gesehen habe, ist
+Wie wir oben gesehen haben, ist $\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …,
-$\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, \vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …,
+\vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …,
-\vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, \vec{w}_{k,r_k} \}$ dann eine
+\vec{w}_{k,r_k} \}$ dann eine Jordanbasis.
-Jordanbasis.
 
 
 \subsection{Beispiele}