diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 15d5299..24b1c4d 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -1 +1,20 @@ Diagonalgestalt +Vielfachheit +Diagonalisierbarkeit +Vielfachheiten +Jordansche +Camille +Jordanblock +Jordanblöcke +Jordanbasis +Nilpotenzindex +Multiplizitäten +nilpotent +Schlausprech +Quotientenvektorräumen +Dimensionsformel +.ten +Quotientenvektorraums +.te +Erzeugendensystem +Quotientenvektorräume diff --git a/.vscode/ltex.disabledRules.de-DE.txt b/.vscode/ltex.disabledRules.de-DE.txt new file mode 100644 index 0000000..78bb38f --- /dev/null +++ b/.vscode/ltex.disabledRules.de-DE.txt @@ -0,0 +1 @@ +KARDINALZAHLEN diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt new file mode 100644 index 0000000..1060cd7 --- /dev/null +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -0,0 +1,6 @@ +{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qdenn dann hat auch \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Jordansche Normalform)\\E$"} +{"rule":"DE_SENTENCE_WHITESPACE","sentence":"^\\QVorlesung 4 Allerdings ist die Partition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q noch nicht die, von der in Beobachtung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Rede war: Wir müssen erst zur „dualen Partition“ übergehen.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QNämlich so: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Das Diagramm soll die Eigenschaft haben, dass für jeden Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Folgendes gilt.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSchritt 2, Lineare Unabhängigkeit.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QNummeriere die Elemente des Diagramms jetzt wie folgt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Dann ist klar, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, …, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, … und insgesamt ergibt sich, dass die Matrix von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bezüglich dieser angeordneten Basis die Form \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hat.\\E$"} +{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\QFür jeden Index \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q bestimme den Hauptraum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zum Eigenwert \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q — Punkt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q („Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität” ) sagt, wie das geht: der Hauptraum ist gegeben als \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} diff --git a/01-Wiederholung.tex b/01-Wiederholung.tex index 6ae280b..1eaa717 100644 --- a/01-Wiederholung.tex +++ b/01-Wiederholung.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \section{Endomorphismen, Eigenwerte, Eigenvektoren} -\sideremark{Vorlesung 1}Am Ende der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' hatten wir +\sideremark{Vorlesung 1}Am Ende der Vorlesung „Lineare Algebra I“ hatten wir folgende Situation betrachtet. \begin{situation}\label{sit:LA1}% @@ -29,17 +29,17 @@ Einen entsprechenden Begriff hatten wir auch für Matrizen definiert. \begin{defn}[Diagonalisierbare Matrix] Es sei $k$ ein Körper und $n ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine $n ⨯ n$-Matrix $A$ heißt \emph{diagonalisierbar}\index{diagonalisierbar!Matrix}, falls sie einer - Diagonalmatrix ähnlich ist, d. h. $∃S ∈ Gl_n(k)$, so dass $SAS^{-1}$ eine + Diagonalmatrix ähnlich ist, d. h. $∃S ∈ Gl_n(k)$, sodass $SAS^{-1}$ eine Diagonalmatrix ist. \end{defn} -Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren ``Eigenwert'', -``Eigenvektor'' und ``Eigenraum''. +Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren „Eigenwert“, „Eigenvektor“ +und „Eigenraum“. \begin{defn}[Eigenwert] Situation wie in \ref{sit:LA1}. Ein Skalar $λ ∈ k$ heißt \emph{Eigenwert von $f$}\index{Eigenwert}, wenn es einen Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$ - gibt, so dass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist. + gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist. \end{defn} \begin{defn}[Eigenraum] @@ -53,12 +53,12 @@ Die zentralen Begriffe in diesem Zusammenhang waren ``Eigenwert'', \begin{defn}[Eigenvektor] Situation wie in \ref{sit:LA1}. Ein Vektor $\vec{v} ∈ V ∖ \{\vec{0}\}$ heißt \emph{Eigenvektor von $f$}\index{Eigenvektor}, wenn es ein Skalar $λ ∈ k$ - gibt, so dass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist. + gibt, sodass $f(\vec{v}) = λ\vec{v}$ ist. \end{defn} -Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. -In der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte -auszurechnen: die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des +Ich erinnere daran, dass der Eigenraum immer ein Untervektorraum von $V$ ist. In +der Vorlesung hatten wir ein Verfahren betrachtet, um die Eigenwerte +auszurechnen: Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \[ χ_f(t) := \det \bigl( f - t \Id_V \bigr). @@ -93,14 +93,14 @@ Punkte abgezogen wurden.}. \section{Algebraische und geometrische Vielfachheit} Zurück zur Situation~\ref{sit:LA1}. Wenn ich nun ein Skalar $λ ∈ k$ gegeben -habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich +habe, kann ich die folgenden zwei Zahlen betrachten. \begin{itemize} \item Die \emph{algebraische Vielfachheit von - $λ$}\index{Vielfachheit!algebraische} ist die Vielfachheit von $λ$ als + $λ$}\index{Vielfachheit!algebraische} ist die Vielfachheit von $λ$ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms. \item Die \emph{geometrische Vielfachheit von - $λ$}\index{Vielfachheit!geometrische} ist die Dimension des Vektorraumes + $λ$}\index{Vielfachheit!geometrische} ist die Dimension des Vektorraumes $V_{λ}$. \end{itemize} @@ -110,13 +110,13 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich $$ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. $$ Dann ist $χ_f(t) = (2 - t)²$. Wir betrachten das Skalar $λ = 2$. Dies ist eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und die algebraische Vielfachheit von $λ$ ist zwei. Auf der anderen Seite ist $$ - V_2 = ℂ · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + V_2 = ℂ · \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. $$ Also ist die geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich eins. \end{bsp} @@ -130,7 +130,7 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich \begin{proof} Sei ein Skalar $λ$ gegeben. Falls geometrische Vielfachheit von $λ$ gleich Null ist, ist nichts zu zeigen. Sei also die geometrische Vielfachheit $d$ - größer als Null. Das bedeutet: es gibt eine lineare unabhängige (angeordnete) + größer als Null. Das bedeutet: Es gibt eine lineare unabhängige (angeordnete) Teilmenge $\{ \vec{v}_1, … , \vec{v}_d \} ⊂ V$, die ich zu einer (angeordneten) Basis $B$ von $V$ ergänzen kann. Dann ist die zugehörige Matrix von der Form @@ -142,12 +142,12 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich & & λ \\ \hline & 0 & & * - \end{array}\right) + \end{array}\right). $$ Als Konsequenz ergibt sich, dass das charakteristische Polynom $χ_f$ von $f$ die folgende Form hat, $$ - χ_f (t) = (t - λ)^d · \text{(weiteres, unbekanntes Polynom)} + χ_f (t) = (t - λ)^d · \text{(weiteres, unbekanntes Polynom)}. $$ Also ist die algebraische Vielfachheit von $λ$ ist mindestens gleich $d$. \end{proof} @@ -158,12 +158,12 @@ habe, kann ich zwei Zahlen betrachten, nämlich Wie hängen Diagonalisierbarkeit und die algebraischen/geometrischen Vielfachheiten zusammen? Der folgende Satz gibt eine erste Antwort, zumindest über den komplexen Zahlen. Im folgenden Kapitel werden wir eine bessere Antwort -kennen lernen. +kennenlernen. \begin{satz}[Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten]\label{satz:1.1} In Situation~\ref{sit:LA1} sind die folgenden Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} - \item Der Endormorphismus $f$ ist diagonalisierbar. + \item Der Endomorphismus $f$ ist diagonalisierbar. \item Das charakteristische Polynom $χ_f(t)$ zerfällt in Linearfaktoren und für jeden Eigenwert $λ$ stimmen geometrische und algebraische Vielfachheit @@ -175,10 +175,10 @@ Als direkte Anwendung von Satz~\ref{satz:1.1} ergibt sich, dass die Matrix aus Beispiel~\ref{bsp:1.1} nicht diagonalisierbar ist. Der Beweis von Satz~\ref{satz:1.1} verwendet folgendes Lemma. -\begin{lemma}\label{lem:1.1} +\begin{lemma}\label{lem:1.1}% In Situation~\ref{sit:LA1} seien $λ_1, …, λ_d$ unterschiedliche Eigenwerte von - $f$ und $\vec{v}_1, …, \vec{v}_d$ seien zugehörige Eigenvektoren. Dann ist - die Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_d \}$ linear unabhängig. \qed + $f$. Weiter seien $\vec{v}_1, …, \vec{v}_d$ seien zugehörige Eigenvektoren. + Dann ist die Menge $\{\vec{v}_1, …, \vec{v}_d \}$ linear unabhängig. \qed \end{lemma} Sie sollten versuchen, Satz~\ref{satz:1.1} und Lemma~\ref{lem:1.1} selbst zu diff --git a/02-Jordan.tex b/02-Jordan.tex index 59d3857..4fd2494 100644 --- a/02-Jordan.tex +++ b/02-Jordan.tex @@ -9,13 +9,13 @@ \sideremark{Vorlesung 2}Wir hatten im letzten Kapitel ein Beispiel~\ref{bsp:1.1} für einen Endomorphismus gesehen, der nicht diagonalisierbar ist. Aus der Traum. In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass es aber stets eine Basis gibt, -so dass die zugehörende Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest, +sodass die zugehörende Matrix eine besonders einfache Gestalt hat -- zumindest, solange wir über den komplexen Zahlen arbeiten. Genauer gesagt: wir werden -zeigen, dass es eine Basis gibt, so dass die Matrix ``Jordansche Normalform'' +zeigen, dass es eine Basis gibt, sodass die Matrix „Jordansche Normalform“ hat\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Camille_Jordan}{Marie Ennemond - Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5. Januar 1838 in Lyon; † - 21. Januar 1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}, also ``fast'' -eine Diagonalmatrix ist. +Camille Jordan}, genannt Camille Jordan, (* 5.~Januar 1838 in Lyon; † 21.~Januar +1922 in Paris) war ein französischer Mathematiker.}, also „fast“ eine +Diagonalmatrix ist. Vielleicht schauen Sie auch einmal in den entsprechenden Eintrag in der \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform}{Wikipedia}. Es gibt @@ -32,7 +32,7 @@ auch eine Menge Videos auf \begin{cases} λ & \text{falls } j=i \\ 1 & \text{falls } j=i+1 \\ - 0 & \text{sonst} + 0 & \text{sonst.} \end{cases} $$ Der $(n ⨯ n)$-Jordanblock mit Wert $λ$ auf der Diagonalen wird oft mit @@ -110,15 +110,15 @@ Das Ziel dieses Kapitels ist jetzt, den folgenden Satz zu beweisen. \begin{satz}[Jordansche Normalform]\label{satz:JNF} Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und - es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus. Dann gibt es eine angeordnete Basis - $\mathcal{B}$ von $V$, so dass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ + es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Dann gibt es eine angeordnete Basis + $\mathcal{B}$ von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform hat. \end{satz} \begin{notation} Situation wie in Satz~\ref{satz:JNF}. Eine \emph{Jordanbasis}\index{Jordanbasis} ist eine angeordnete Basis $\mathcal{B}$ - von $V$, so dass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform + von $V$, sodass die darstellende Matrix $\Mat^B_B(f)$ Jordansche Normalform hat. \end{notation} @@ -126,9 +126,9 @@ Wir beweisen Satz~\ref{satz:JNF} nach einigen Vorbereitungen im Abschnitt~\vref{ssec:pjnf}. Wir betrachten für den Rest des Kapitels meistens die folgende Situation. -\begin{situation}\label{sit:2-1-6} - Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, - $n := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus. +\begin{situation}\label{sit:2-1-6}% + Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, $n + := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. \end{situation} @@ -137,20 +137,20 @@ die folgende Situation. Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. -\begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd} +\begin{defn}[Nilpotente Endomorphismen]\label{def:NEnd}% Es sei $k$ ein Körper, es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum und - es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$ + es sei $f ∈ \End(V)$. Nenne den Endomorphismus $f$ \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Endomorphismus}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ - existiert, so dass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist. Die kleinste + existiert, sodass $f^m = f ◦ ⋯ ◦ f$ die Nullabbildung ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von - $f$}\index{Nilpotenzindex!Endomorphismus}. + $f$}\index{Nilpotenzindex!Endomorphismus}. \end{defn} \begin{defn}[Nilpotente Matrizen] Es sei $k$ ein Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl und $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix mit Werten in $k$. Nenne die Matrix $A$ \emph{nilpotent}\index{nilpotent!Matrix}, falls seine Zahl $m ∈ ℕ$ existiert, - so dass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt + sodass $A^m = A ⋯ A$ die Nullmatrix ist. Die kleinste solche Zahl $m$ heißt \emph{Nilpotenzindex von $A$}\index{Nilpotenzindex!Matrix}. \end{defn} @@ -166,12 +166,12 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. \begin{beobachtung} Matrizen, die ähnlich zu einer nilpotenten Matrix sind, sind selbst nilpotent. - Genauer: Sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, so dass - $N := SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$. Dann ist + Genauer: Sei $A$ eine $(n⨯ n)$-Matrix und sei $S ∈ Gl(n, k)$, sodass $N := + SAS^{-1}$ nilpotent ist mit Index $m$. Dann ist $$ - 0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1} + 0 = N^m = SAS^{-1} · SAS^{-1} · ⋯ · SAS^{-1} = SA^mS^{-1}. $$ - Also $A^m = S^{-1}·0·S = 0$. + Also ist $A^m = S^{-1}·0·S = 0$. \end{beobachtung} \begin{bsp} @@ -210,18 +210,18 @@ Warum die folgenden Definitionen? Schauen Sie sich \video{2-1} an. \begin{beobachtung} In der Situation von Definition~\ref{def:2-2-6} sei ein Vektor $\vec{v} ∈ V$ - gegeben. Falls es eine Zahl $n ∈ ℕ$ gibt, so dass - $(f - λ · \Id_V )^n(\vec{v}) = \vec{0}$ ist, dann ist auch - $(f - λ · \Id_V )^{n+1}(\vec{v}) = \vec{0}$. Also ist + gegeben. Falls es eine Zahl $n ∈ ℕ$ gibt, sodass $(f - λ · \Id_V )^n(\vec{v}) + = \vec{0}$ ist, dann ist auch $(f - λ · \Id_V )^{n+1}(\vec{v}) = \vec{0}$. + Also ist $$ \ker(f - λ · \Id_V ) ⊆ \ker \Bigl( (f - λ · \Id_V )² \Bigr) ⊆ \ker \Bigl( (f - - λ · \Id_V )³ \Bigr) ⊆ ⋯ + λ · \Id_V )³ \Bigr) ⊆ ⋯. $$ Insbesondere folgt, dass $\Hau_f(λ)$ ein Untervektorraum von $V$ ist. \end{beobachtung} Haupträume und Eigenräume hängen eng zusammen. Die folgende Beobachtung -rechtfertigt den Namen ``verallgemeinerter Eigenraum''. +rechtfertigt den Namen „verallgemeinerter Eigenraum“. \begin{beobachtung} In der Situation von Definition~\ref{def:2-2-6} gilt: @@ -235,15 +235,15 @@ rechtfertigt den Namen ``verallgemeinerter Eigenraum''. \end{beobachtung} Falls wir über den komplexen Zahlen arbeiten, ist der Zusammenhang von Hauptraum -und Eigenraum viel enger: der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der -``algebraischen Multiplizität''. +und Eigenraum viel enger: Der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der +„algebraischen Multiplizität“. -\begin{satz}[Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität]\label{satz:2-2-10} +\begin{satz}[Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität]\label{satz:2-2-10}% In Situation~\ref{sit:2-1-6} sei $λ ∈ ℂ$ ein Eigenwert von $f$ mit algebraischer Multiplizität $r$. Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} - \item\label{il:2-2-10-1} Der Hauptraum ist gegeben als - $\Hau_f(λ) = \ker \bigl( (f - λ·\Id)^r \bigr)$. + \item\label{il:2-2-10-1} Der Hauptraum ist gegeben als $\Hau_f(λ) = \ker + \bigl( (f - λ·\Id)^r \bigr)$. \item Die Dimension des Hauptraumes ist $\dim \Hau_f(λ) = r$. @@ -272,20 +272,19 @@ und Eigenraum viel enger: der Hauptraum erklärt die geometrische Bedeutung der \] \end{kor} \begin{proof} - \video{3-2} beweist ein vorbereitendes Lemma. Der Beweis des Korollares wird + \video{3-2} beweist ein vorbereitendes Lemma. Der Beweis des Korollars wird dann in \video{3-3} beendet. \end{proof} -\begin{kor}\label{kor:2-2-12} +\begin{kor}\label{kor:2-2-12}% In der Situation von Korollar~\ref{kor:2-2-11} sei \begin{align*} \vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1} & \quad \text{eine Basis von } W_1 \\ \vec{v}²_1, …, \vec{v}²_{r_2} & \quad \text{eine Basis von } W_2 \\ … \\ - \vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} & \quad \text{eine Basis von } W_k + \vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} & \quad \text{eine Basis von } W_k. \end{align*} - Dann ist - $\mathcal{B} := \{\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1}, \vec{v}²_1, …, + Dann ist $\mathcal{B} := \{\vec{v}¹_1, …, \vec{v}¹_{r_1}, \vec{v}²_1, …, \vec{v}²_{r_2}, …, \vec{v}^k_1, …, \vec{v}^k_{r_k} \}$ eine (angeordnete) Basis von $V$ und bezüglich dieser Basis ist die Matrix von $f$ von der Form $$ @@ -322,21 +321,21 @@ Jordansche Normalform zu zeigen. Die Korollare~\ref{kor:2-2-11} und \begin{enumerate} \item Um eine Basis zu finden, in der die Matrix von $f$ Jordansche Normalform hat, genügt es, die Haupträume $W_i$ einzeln zu betrachten und Basen - $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu betrachten, so dass die - Matrizen $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$ - Jordansche Normalform haben. Das Problem reduziert sich also auf den Fall, wo - den Endomorphismus $f$ nur einen einzigen Hauptraum besitzt. + $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu betrachten, sodass die Matrizen + $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$ Jordansche + Normalform haben. Das Problem reduziert sich also auf den Fall, wo den + Endomorphismus $f$ nur einen einzigen Hauptraum besitzt. -\item Um eine Basis $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu finden, so - dass die Matrix $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$ - Jordansche Normalform hat, genügt es, eine Basis zu finden, so dass die Matrix +\item Um eine Basis $\vec{v}ⁱ_1, …, \vec{v}ⁱ_{r_i}$ von $W_i$ zu finden, sodass + die Matrix $A_i$ der eingeschränkten Abbildungen $f|_{W_i} : W_i → W_i$ + Jordansche Normalform hat, genügt es, eine Basis zu finden, sodass die Matrix $N_i$ der nilpotenten Abbildung $f|_{W_i} - λ_i·\Id_{W_i}$ Jordansche Normalform hat (… denn dann hat auch $A_i = λ_i·\Id_{r_i} + N_i$ Jordansche Normalform) \end{enumerate} -Zusammenfassend stellen wir fest: wir können die Aufgabe ``finde eine Basis, so -dass die Matrix von $f$ Jordansche Normalform hat'' lösen, sobald wir wissen, +Zusammenfassend stellen wir fest: Wir können die Aufgabe „finde eine Basis, +sodass die Matrix von $f$ Jordansche Normalform hat“ lösen, sobald wir wissen, wie wir die Aufgabe für nilpotente Endomorphismen lösen. Das machen wir im nächsten Abschnitt. @@ -344,15 +343,15 @@ nächsten Abschnitt. \section{Klassifikation nilpotenter Matrizen} \label{sec:class} -Wir betrachten das Problem ``finde eine Basis, so dass die Matrix von $f$ -Jordansche Normalform hat'' jetzt also für nilpotente Endomorphismen. +Wir betrachten das Problem „finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$ +Jordansche Normalform hat“ jetzt also für nilpotente Endomorphismen. \begin{situation}\label{sit:2-3-1} Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, $n := \dim V$, und es sei $f ∈ \End(V)$ ein nilpotenter Endomorphismus. \end{situation} -Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, so dass +Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, sodass \begin{equation}\label{eq:gh} \Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} @@ -365,19 +364,19 @@ Das Ziel ist jetzt, eine Basis $\mathcal{B}$ zu finden, so dass ist. Falls das geht, kann ich durch geeignete Anordnung der Basis auch gleich erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist. -\begin{beobachtung}\label{rem:2-3-2} +\begin{beobachtung}\label{rem:2-3-2}% Wenn ich das Problem gelöst habe, dann ist $\sum_{i=1}^l n_i = \dim V$. In - Schlausprech sage ich ``$(n_1, n_2, …, n_l)$ ist eine - Partition\footnote{Erinnerung: ``Partition'' bedeutet: endliche, absteigende - Folge, so dass die Summer der Folgenglieder gleich $\dim V$ - ist.}\index{Partition} von $\dim V$''. Die Matrix in \eqref{eq:gh} ist + Schlausprech sage ich „$(n_1, n_2, …, n_l)$ ist eine + Partition\footnote{Erinnerung: „Partition“ bedeutet: endliche, absteigende + Folge, sodass die Summe der Folgenglieder gleich $\dim V$ + ist.}\index{Partition} von $\dim V$“. Die Matrix in \eqref{eq:gh} ist natürlich eindeutig durch die Partition festgelegt. Überlegen Sie sich jetzt - folgendes: das Ziel (``finde eine Basis, so dass die Matrix von $f$ Jordansche - Normalform hat'') lässt sich deshalb auch so ausdrücken: wir suchen eine + folgendes: das Ziel („finde eine Basis, sodass die Matrix von $f$ Jordansche + Normalform hat“) lässt sich deshalb auch so ausdrücken: Wir suchen eine Bijektion zwischen \begin{itemize} \item den Äquivalenzklassen nilpotenter Matrizen bezüglich der - Äquivalenzrelation ``ähnlich'', und + Äquivalenzrelation „ähnlich“, und \item den Partitionen von $\dim V$. \end{itemize} @@ -385,15 +384,16 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist. \begin{prop}\label{prop:2-3-4} In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$. Dann gilt - folgendes. + Folgendes. \begin{enumerate} \item Wir haben Inklusionen $\{\vec{0}\} ⊆ V¹ ⊆ V² ⊆ ⋯ ⊆ V^{\dim V} = V$ \item\label{il:2-3-4-2} Es gilt für alle $\vec{v} ∈ V$, dass $\vec{v} ∈ V^p ⇔ f(\vec{v}) ∈ V^{p-1}$. - \item\label{il:2-3-4-3} Setze $V⁰ = \{\vec{0}\}$. Dann gilt alle Indizes $p > 1$: die Abbildung - $f$ induziert eine injektive Abbildung zwischen den Quotientenvektorräumen, + \item\label{il:2-3-4-3} Setze $V⁰ = \{\vec{0}\}$. Dann gilt alle Indizes $p > + 1$: Die Abbildung $f$ induziert eine injektive Abbildung zwischen den + Quotientenvektorräumen, \[ \begin{tikzcd} \overline{f} : \factor{V^p}{V^{p-1}} \ar[r] & \factor{V^{p-1}}{V^{p-2}} @@ -403,13 +403,13 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist. \end{prop} \begin{beobachtung} - Eigenschaft~\ref{il:2-3-4-2} zeigt insbesondere, dass - $f (V^p ) ⊆ V^{p-1}$ und $f^{-1}( V^{p-1}) = V^p$ ist. + Eigenschaft~\ref{il:2-3-4-2} zeigt insbesondere, dass $f (V^p ) ⊆ V^{p-1}$ und + dass $f^{-1}( V^{p-1}) = V^p$ ist. \end{beobachtung} \begin{proof}[Beweis von Proposition~\ref{prop:2-3-4}] - \video{3-4}. Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$ auf - Repräsentantenniveau zu definieren. Was müssen Sie genau zeigen, um + \video{3-4}. Als Übung sollten Sie versuchen, die Abbildung $\overline{f}$ + auf Repräsentantenniveau zu definieren. Was müssen Sie genau zeigen, um Wohldefiniertheit zu erhalten. Wussten Sie schon, dass ich solche Fragen gern in Klausur und mündlichen Prüfungen stelle? \end{proof} @@ -422,11 +422,11 @@ erreichen, dass $n_1 ≥ n_2 ≥ ⋯ ≥ n_l$ ist. $(m_1, m_2, …)$ eine Partition von $\dim V$. \end{beobachtung} -Partitionen wurden schon in Beobachtung~\vref{rem:2-3-2} diskutiert. Jeder Leser -von Kriminalromanen erkennt sofort, dass das kein Zufall sein +Partitionen wurden schon in Beobachtung~\vref{rem:2-3-2} diskutiert. Jeder +Leser von Kriminalromanen erkennt sofort, dass das kein Zufall sein kann.\sideremark{Vorlesung 4} Allerdings ist die Partition $(m_1, m_2, …)$ noch -nicht die, von der in Beobachtung~\ref{rem:2-3-2} die Rede war: wir müssen erst -zur ``dualen Partition'' übergehen. +nicht die, von der in Beobachtung~\ref{rem:2-3-2} die Rede war: Wir müssen erst +zur „dualen Partition“ übergehen. \begin{defn}[Duale Partition]\label{def:dualePart} \index{Partition!duale}\index{duale Partition}Es sein $n ∈ ℕ$ eine Zahl @@ -469,13 +469,12 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen. Abbildung~\ref{fig:part} kann ihnen dabei helfen. \end{bemerkung} -\begin{prop}[Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen]\label{prop:JNF} - In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$ und - $m_p := \dim (V^p/V^{p-1})$. Es sei $P$ die Partition $P = (m_1, m_2, …)$ von - $\dim V$ und es sei $P^* := (n_1, n_2, …, n_l)$ die zu $P$ duale - Partition. Dann gibt es eine angeordnete Basis - $\mathcal{B} := \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, … \}$ eine (angeordnete) Basis von - $V$, so dass die Matrix von $f$ die folgende Form hat, +\begin{prop}[Jordansche Normalform für nilpotente Endomorphismen]\label{prop:JNF}% + In Situation~\ref{sit:2-3-1} schreibe $V^p := \ker (f^p)$ und $m_p := \dim + (V^p/V^{p-1})$. Es sei $P$ die Partition $P = (m_1, m_2, …)$ von $\dim V$ und + es sei $P^* := (n_1, n_2, …, n_l)$ die zu $P$ duale Partition. Dann gibt es + eine angeordnete Basis $\mathcal{B} := \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, … \}$ eine + (angeordnete) Basis von $V$, sodass die Matrix von $f$ die folgende Form hat, \begin{equation}\label{eq:sdfg} \Mat^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}(f) = \begin{pmatrix} @@ -483,25 +482,25 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen. & J(0, n_2) & \\ & & \ddots \\ 0 & & & J(0, n_l) - \end{pmatrix} + \end{pmatrix}. \end{equation} \end{prop} \begin{proof} Der Beweis ist von der Notation her ein wenig aufwändig. Daher werde ich den - Beweis nur im Spezialfall aufschreiben, wo die Partition $P$ die Form - $P = (5,5,4,2,2,1)$ hat. Der Beweis funktioniert natürlich für jede beliebige + Beweis nur im Spezialfall aufschreiben, wo die Partition $P$ die Form $P = + (5,5,4,2,2,1)$ hat. Der Beweis funktioniert natürlich für jede beliebige Partition. Ich habe den Beweis in mehrere Schritte unterteilt. \paragraph{Schritt 1, Konstruktion} - Es sei $q$ der Nilpotenzindex von $f$, so dass $V^q = V$ ist. + Es sei $q$ der Nilpotenzindex von $f$, sodass $V^q = V$ ist. Proposition~\ref{prop:2-3-4} liefert eine Kette von Abbildungen \[ - \factor{V^q}{V^{q-1}} \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V^{q-1}}{V^{q-2}} \xrightarrow{\overline{f}} ⋯ \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V¹}{V⁰} + \factor{V^q}{V^{q-1}} \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V^{q-1}}{V^{q-2}} \xrightarrow{\overline{f}} ⋯ \xrightarrow{\overline{f}} \factor{V¹}{V⁰}. \] - Jetzt wählen wir (auf relativ komplizierte Weise) für jeden Index $p$ genau $m_p$ Vektoren - aus $V$ und konstruieren damit ein Diagramm von - Vektoren, das ausschaut wie die graphische Darstellung der Partition aus + Jetzt wählen wir (auf relativ komplizierte Weise) für jeden Index $p$ genau + $m_p$ Vektoren aus $V$ und konstruieren damit ein Diagramm von Vektoren, das + ausschaut wie die grafische Darstellung der Partition aus Abbildung~\ref{fig:part}. Nämlich so: \[ \begin{array}{c|cccccc} @@ -520,16 +519,16 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen. \item Die Vektoren aus der $p$.ten Spalte kommen aus dem Vektorraum $V^p$. \item Die Restklassen der Vektoren aus der $p$.ten Spalte bilden eine Basis - des Quotientenvektorraumes $\factor{V^p}{V^{p-1}}$. + des Quotientenvektorraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$. \end{itemize} - Wir konstruieren das Diagram induktiv, Spalte für Spalte, wobei wir mit der + Wir konstruieren das Diagramm induktiv, Spalte für Spalte, wobei wir mit der rechten Spalte beginnen. \paragraph{Schritt 1.1, Induktionsstart, Konstruktion der rechten Spalte} - Wähle Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$, so dass die Restklassen - $[\vec v^q_1], …, [\vec v^q_{m_q}]$ eine Basis des Quotientenraumes + Wähle eine Folge von Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$, sodass die + Restklassen $[\vec v^q_1], …, [\vec v^q_{m_q}]$ eine Basis des Quotientenraums $\factor{V^q}{V^{q-1}}$ bilden. Die Vektoren $\vec v^q_1, …, \vec v^q_{m_q}$ bilden die rechte Spalte. Nach Konstruktion bilden die Restklassen dieser Vektoren eine Basis von $\factor{V^q}{V^{q-1}}$. @@ -543,16 +542,16 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen. \[ \overline{f} : \factor{V^{p+1}}{V^p} → \factor{V^p}{V^{p-1}} \] - injektiv ist. Insbesondere sind die Bilder - $\overline{f}([w_1]), …, \overline{f}([w_a])$ linear unabhängige Vektoren des - Quotientenraumes $\factor{V^p}{V^{p-1}}$. Nach dem Basisergänzungssatz können - wir jetzt aber Vektoren $\vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a}$ aus $V$ finden, so dass + injektiv ist. Insbesondere sind die Bilder $\overline{f}([w_1]), …, + \overline{f}([w_a])$ linear unabhängige Vektoren des Quotientenraums + $\factor{V^p}{V^{p-1}}$. Nach dem Basisergänzungssatz können wir jetzt aber + Vektoren $\vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a}$ aus $V$ finden, sodass \[ \overline{f}([\vec w_1]), …, \overline{f}([\vec w_a]), [\vec v^p_1], …, [\vec v^p_{m_p-a}] \] - eine Basis des Quotientenraumes $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden. Schreibe - jetzt die Vektoren + eine Basis des Quotientenraums $\factor{V^p}{V^{p-1}}$ bilden. Schreibe jetzt + die Vektoren \[ \overline{f}(\vec w_1), …, \overline{f}(\vec w_a), \vec v^p_1, …, \vec v^p_{m_p-a} @@ -592,7 +591,7 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen. \[ \dim W^p = \dim \factor{V^p}{V^{p-1}} + \dim \ker γ. \] - Außerdem ist per Induktionannahme $V^{p-1} ⊆ W^p$, also + Außerdem ist per Induktionsannahme $V^{p-1} ⊆ W^p$, also \[ \ker γ = V^{p-1} \quad \text{und} \quad \dim W^p = m_p + \dim V^{p-1} = \dim V^p. \] @@ -602,8 +601,8 @@ zur ``dualen Partition'' übergehen. \paragraph{Schritt 3, Ende des Beweises} - Nach Schritt 2 wissen wir, dass die Elemente des Diagrammes eine Basis von - $V^q=V$ bilden. Nummeriere die Elemente des Diagrammes jetzt wie folgt: + Nach Schritt 2 wissen wir, dass die Elemente des Diagramms eine Basis von + $V^q=V$ bilden. Nummeriere die Elemente des Diagramms jetzt wie folgt: \[ \begin{array}{c|cccccc} n_1 & \vec v_1 & \vec v_2 & \vec v_3 & \vec v_4 & \vec v_5 & \vec v_6 \\ @@ -626,23 +625,23 @@ Proposition~\ref{prop:JNF} den Beweis von Satz~\ref{satz:JNF}. Der nächste Abschnitt fasst den Beweis noch einmal zusammen. -\section{Beweis von Satz~\ref*{satz:JNF} (``Jordansche Normalform'')} +\section{Beweis von Satz~\ref*{satz:JNF} („Jordansche Normalform“)} \label{ssec:pjnf} Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und -es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus. Weiter seien $λ_1, …, λ_k$ die +es sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Weiter seien $λ_1, …, λ_k$ die Eigenwerte von $f$. Nach Korollar~\ref{kor:2-2-11} schreiben wir \begin{equation}\label{eq:dfgd} V = \bigoplus_{i=1}^k \Hau_f(λ_i). \end{equation} Für jeden Index $i$ betrachte \[ - g_i := \bigl(f-λ_i·\Id_V\bigr)|_{\Hau_f(λ_i)} : \Hau_f(λ_i) → V + g_i := \bigl(f-λ_i·\Id_V\bigr)|_{\Hau_f(λ_i)} : \Hau_f(λ_i) → V. \] Nach Punkt~\ref{il:2-2-10-3} von Satz~\ref{satz:2-2-10} wissen wir schon, dass $g_i$ den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ in den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ abbildet. Wir können $g_i$ also als Endomorphismus $g_i ∈ \End\bigl(\Hau_f(λ_i)\bigr)$ -auffassen. Per Definition von ``Hauptraum'' ist jeder Endomorphismus $g_i$ +auffassen. Per Definition von „Hauptraum“ ist jeder Endomorphismus $g_i$ nilpotent. Das erlaubt, Proposition~\ref{prop:JNF} anzuwenden; dies liefert uns für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis \[ @@ -663,7 +662,7 @@ handelt. Damit ist Satz~\ref{satz:JNF} bewiesen. \qed Der Beweis von Satz~\ref{satz:JNF} ist so konkret, dass sich daraus eine praktisch nützliche Methode zur Berechnung einer Jordanbasis ergibt. Es sei also $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und es -sei $f ∈ \End(V)$ ein Endormorphismus. Um eine Jordanbasis zu finden, gehe wie +sei $f ∈ \End(V)$ ein Endomorphismus. Um eine Jordanbasis zu finden, gehe wie folgt vor. \begin{enumerate} @@ -678,8 +677,8 @@ folgt vor. \item Für jeden Index $i$ bestimme den Hauptraum $\Hau_f(λ_i)$ von $f$ zum Eigenwert $λ_i$ --- Punkt~\ref{il:2-2-10-1} von Satz~\ref{satz:2-2-10} - (``Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität'') sagt, wie das - geht: der Hauptraum ist gegeben als + („Geometrische Bedeutung der algebraischen Multiplizität“) sagt, wie das geht: + Der Hauptraum ist gegeben als \[ \Hau_f(λ_i) = \ker \bigl( (f - λ_i·\Id)^{r_i} \bigr). \] @@ -693,14 +692,14 @@ folgt vor. \[ P^*_i = (n_{i,1}, n_{i,2}, …, n_{i,l_i}) \] - dazu muss man mit LA1-Methoden die Dimensionen der Räume - $W^p_i := \ker(g^p_i)$ ausrechnen und dann die Dimensionen der - Quotientenvektorräume bestimmen. Um die duale Partition auszurechnen, - empfiehlt es sich, ein Bild wie in Abbildung~\ref{fig:part} zu malen. + dazu muss man mit LA1-Methoden die Dimensionen der Räume $W^p_i := + \ker(g^p_i)$ ausrechnen und dann die Dimensionen der Quotientenvektorräume + bestimmen. Um die duale Partition auszurechnen, empfiehlt es sich, ein Bild + wie in Abbildung~\ref{fig:part} zu malen. \end{enumerate} Falls Sie nur daran interessiert sind, wie die Jordansche Normalform des -Endomorphismus $f$ aussieht, sind sie jetzt fertig: die Jordansche Normalform +Endomorphismus $f$ aussieht, sind sie jetzt fertig: Die Jordansche Normalform von $f$ hat Blockgestalt, \[ \begin{pmatrix} @@ -725,9 +724,8 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben. \begin{enumerate} \item Schauen Sie sich den Beweis von Proposition~\ref{prop:JNF} noch einmal an und erkennen Sie, dass Sie die Schritte dort konkret nachvollziehen können. - Finden Sie so für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis - $\mathcal{B}_i = \{ \vec{w}_{i,1}, …, \vec{w}_{i,r_i}\}$, so dass die Matrix - von $g_i$ die Form + Finden Sie so für jeden Index $i$ eine angeordnete Basis $\mathcal{B}_i = \{ + \vec{w}_{i,1}, …, \vec{w}_{i,r_i}\}$, sodass die Matrix von $g_i$ die Form \[ \begin{pmatrix} J(0, n_{i,1}) & & & 0 \\ @@ -739,10 +737,9 @@ bleibt noch die Aufgabe, eine Jordanbasis konkret anzugeben. hat. \end{enumerate} -Wie wir oben gesehen habe, ist -$\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, \vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, -\vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, \vec{w}_{k,r_k} \}$ dann eine -Jordanbasis. +Wie wir oben gesehen haben, ist $\mathcal{B} := \{ \vec{w}_{1,1}, …, +\vec{w}_{1,r_1}, \vec{w}_{2,1}, …, \vec{w}_{2,r_2}, …, \vec{w}_{k,1}, …, +\vec{w}_{k,r_k} \}$ dann eine Jordanbasis. \subsection{Beispiele}