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12-Anwendungen.tex

@@ -504,15 +504,15 @@ und $m$ aus $ℕ$ die folgenden Gleichungen gelten:
   \bigl\langle \cos(n·x), \cos(m·x) \bigr\rangle = δ_{nm}, \quad
   \bigl\langle \sin(n·x), \cos(m·x) \bigr\rangle = 0.
 \]
-Zusätzlich gilt für die konstante Funktion $\frac{1}{\sqrt{2}}$ noch Folgendes:
+Zusätzlich gilt für die konstante Funktion $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ noch Folgendes:
 \[
-  \left\langle \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle = 1, \quad
-  \left\langle \cos(n·x), \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle = 0, \quad
-  \left\langle \sin(n·x), \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle = 0.
+  \left\langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle = 1, \quad
+  \left\langle \cos(n·x), \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle = 0, \quad
+  \left\langle \sin(n·x), \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle = 0.
 \]
 Insgesamt sehen wir, dass die Menge
 \[
-  \mathcal{F} := \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin(x), \cos(x), \sin(2·x), \cos(2·x), … \right\}
+  \mathcal{F} := \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \sin(x), \cos(x), \sin(2·x), \cos(2·x), … \right\}
 \]
 eine orthonormale Teilmenge des Euklidischen Vektorraumes $\bigl( V, \langle •,•
 \rangle\bigr)$ ist.
@@ -526,11 +526,11 @@ kann ich die Zahlen
 \begin{equation}\label{eq:12-2-0-1}
   a_n := \left\langle f, \sin(n·x) \right\rangle, \quad
   b_n := \left\langle f, \cos(n·x) \right\rangle, \quad
-  c := \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle
+  c := \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle
 \end{equation}
 ausrechnen und erhalte die Gleichung
 \begin{equation}\label{eq:12-2-0-2}
-  f = \frac{c}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr).
+  f = \frac{c}{\sqrt{2\pi}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr).
 \end{equation}
 Beachte dabei, dass nur endlich viele der Zahlen $a_n$, $b_n$ von Null
 verschieden sind, sodass auf der rechten Seite der Gleichung~\eqref{eq:12-2-0-2}
@@ -548,7 +548,7 @@ alle.  Es gilt der folgende Satz der Analysis.
   Definiere Zahlen $a_n$, $b_n$ und $c$ wie in \eqref{eq:12-2-0-1}.  Dann
   konvergiert die Funktionenreihe
   \begin{equation}\label{eq:12}
-    \frac{c}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr)
+    \frac{c}{\sqrt{2\pi}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr)
   \end{equation}
   gleichmäßig (und damit punktweise) gegen $f$.
 \end{satz}
@@ -606,7 +606,7 @@ Fourier-Koeffizienten
 dann eine Fourier-Transformierte, die man sinnvollerweise in komplexen Zahlen
 schreibt
 \[
-  F(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}}·\int_{-∞}^{∞} f(x)·e^{-itx}dx.
+  F(t) = \int_{-∞}^{∞} f(x)·e^{-2\pi i·tx}dx.
 \]
 Aus der Reihendarstellung
 \[
@@ -614,7 +614,7 @@ Aus der Reihendarstellung
 \]
 wird dann die Formel
 \[
-  f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}·\int_{-∞}^{∞} F(t)·e^{-itx}dt.
+  f(x) = \int_{-∞}^{∞} F(t)·e^{2\pi i·tx}dt.
 \]
 Die Funktion $F$ nennt man „Fourier-Transformierte“ oder „Spektrum“.  Spektren
 spielen in der reellen Welt überall eine Rolle.  Das Ohr ist ein