kebekus/LineareAlgebra2
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Stefan Kebekus 2025-07-01 14:17:18 +02:00
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12-Anwendungen.tex
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@ -504,15 +504,15 @@ und $m$ aus $ℕ$ die folgenden Gleichungen gelten:
\bigl\langle \cos(n·x), \cos(m·x) \bigr\rangle = δ_{nm}, \quad \bigl\langle \cos(n·x), \cos(m·x) \bigr\rangle = δ_{nm}, \quad
\bigl\langle \sin(n·x), \cos(m·x) \bigr\rangle = 0. \bigl\langle \sin(n·x), \cos(m·x) \bigr\rangle = 0.
\] \]
Zusätzlich gilt für die konstante Funktion $\frac{1}{\sqrt{2}}$ noch Folgendes: Zusätzlich gilt für die konstante Funktion $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ noch Folgendes:
\[ \[
\left\langle \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle = 1, \quad \left\langle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle = 1, \quad
\left\langle \cos(n·x), \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle = 0, \quad \left\langle \cos(n·x), \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle = 0, \quad
\left\langle \sin(n·x), \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle = 0. \left\langle \sin(n·x), \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle = 0.
\] \]
Insgesamt sehen wir, dass die Menge Insgesamt sehen wir, dass die Menge
\[ \[
\mathcal{F} := \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin(x), \cos(x), \sin(2·x), \cos(2·x), … \right\} \mathcal{F} := \left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \sin(x), \cos(x), \sin(2·x), \cos(2·x), … \right\}
\] \]
eine orthonormale Teilmenge des Euklidischen Vektorraumes $\bigl( V, \langle •,• eine orthonormale Teilmenge des Euklidischen Vektorraumes $\bigl( V, \langle •,•
\rangle\bigr)$ ist. \rangle\bigr)$ ist.
@ -526,11 +526,11 @@ kann ich die Zahlen
\begin{equation}\label{eq:12-2-0-1} \begin{equation}\label{eq:12-2-0-1}
a_n := \left\langle f, \sin(n·x) \right\rangle, \quad a_n := \left\langle f, \sin(n·x) \right\rangle, \quad
b_n := \left\langle f, \cos(n·x) \right\rangle, \quad b_n := \left\langle f, \cos(n·x) \right\rangle, \quad
c := \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle c := \left\langle f, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \right\rangle
\end{equation} \end{equation}
ausrechnen und erhalte die Gleichung ausrechnen und erhalte die Gleichung
\begin{equation}\label{eq:12-2-0-2} \begin{equation}\label{eq:12-2-0-2}
f = \frac{c}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr). f = \frac{c}{\sqrt{2\pi}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr).
\end{equation} \end{equation}
Beachte dabei, dass nur endlich viele der Zahlen $a_n$, $b_n$ von Null Beachte dabei, dass nur endlich viele der Zahlen $a_n$, $b_n$ von Null
verschieden sind, sodass auf der rechten Seite der Gleichung~\eqref{eq:12-2-0-2} verschieden sind, sodass auf der rechten Seite der Gleichung~\eqref{eq:12-2-0-2}
@ -548,7 +548,7 @@ alle. Es gilt der folgende Satz der Analysis.
Definiere Zahlen $a_n$, $b_n$ und $c$ wie in \eqref{eq:12-2-0-1}. Dann Definiere Zahlen $a_n$, $b_n$ und $c$ wie in \eqref{eq:12-2-0-1}. Dann
konvergiert die Funktionenreihe konvergiert die Funktionenreihe
\begin{equation}\label{eq:12} \begin{equation}\label{eq:12}
\frac{c}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr) \frac{c}{\sqrt{2\pi}} + \sum_{n=1}^∞ \bigl( a_n·\sin(n·x) + b_n·\sin(n·x) \bigr)
\end{equation} \end{equation}
gleichmäßig (und damit punktweise) gegen $f$. gleichmäßig (und damit punktweise) gegen $f$.
\end{satz} \end{satz}
@ -606,7 +606,7 @@ Fourier-Koeffizienten
dann eine Fourier-Transformierte, die man sinnvollerweise in komplexen Zahlen dann eine Fourier-Transformierte, die man sinnvollerweise in komplexen Zahlen
schreibt schreibt
\[ \[
F(t) = \frac{1}{\sqrt{2π}}·\int_{-∞}^{∞} f(x)·e^{-itx}dx. F(t) = \int_{-∞}^{∞} f(x)·e^{-2\pi i·tx}dx.
\] \]
Aus der Reihendarstellung Aus der Reihendarstellung
\[ \[
@ -614,7 +614,7 @@ Aus der Reihendarstellung
\] \]
wird dann die Formel wird dann die Formel
\[ \[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}}·\int_{-∞}^{∞} F(t)·e^{-itx}dt. f(x) = \int_{-∞}^{∞} F(t)·e^{2\pi i·tx}dt.
\] \]
Die Funktion $F$ nennt man „Fourier-Transformierte“ oder „Spektrum“. Spektren Die Funktion $F$ nennt man „Fourier-Transformierte“ oder „Spektrum“. Spektren
spielen in der reellen Welt überall eine Rolle. Das Ohr ist ein spielen in der reellen Welt überall eine Rolle. Das Ohr ist ein