Verbesserungen

07-Euclidian-Unitary.tex

@@ -244,7 +244,7 @@ Beispiele.
 
 \begin{bsp}[Einschränkungen von Normen]
   Es sei $\bigl( V, \|•\|_V\bigr)$ ein normierter Vektorraum und $U ⊆ V$ sei ein
-  Untervektorraum.  Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norma auf $W$.
+  Untervektorraum.  Dann ist die Einschränkung $\|•\|_V|_W$ eine Norm auf $W$.
 \end{bsp}
 
 

08-Orthogonal.tex

@@ -62,7 +62,7 @@ aufeinander“.  Wir definieren „orthogonal“ mithilfe des Skalarproduktes.
   \vec{u}_i$ ist für alle Indizes $i ∈ I$.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{rem}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{rem:8-1-4}%
+\begin{bemerkung}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{bem:8-1-4}%
   Wir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung „Lineare Algebra I“ bereits einen
   Begriff von „orthogonalen Unterraum“.  Die Situation war die, dass es einen
   $k$-Vektorraum $V$ gab und einen Untervektorraum $W ⊆ V$.  In dieser Situation
@@ -72,7 +72,7 @@ aufeinander“.  Wir definieren „orthogonal“ mithilfe des Skalarproduktes.
   \]
   Manchmal hatte ich auch $W^\perp$ statt $W⁰$ geschrieben.  Wir werden in
   Abschnitt~\vref{sec:dual} sehen, wie die Begriffe zusammenhängen.
-\end{rem}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}[Der Standardraum $ℝ^n$]
   Betrachten den Vektorraum $ℝ^n$ mit dem Standardskalarprodukt.  Dann ist die
@@ -236,7 +236,7 @@ $V^*$.
   \video{12-2}
 \end{proof}
 
-In Bemerkung~\ref{rem:8-1-4} hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang
+In Bemerkung~\ref{bem:8-1-4} hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang
 zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“
 und dem „orthogonalen Komplement“ aus Definition~\ref{def:orth} zu klären. Der
 folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
@@ -277,10 +277,10 @@ folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
   Das ist aber klar nach Definition von $U^\perp$.
 \end{proof}
 
-\begin{rem}
+\begin{bemerkung}
   In unendlich-dimensionalen Vektorräumen ist die Aussage von
   Korollar~\ref{kro:8-3-3} im Allgemeinen falsch!
-\end{rem}
+\end{bemerkung}
 
 
 \subsubsection{Unitäre Vektorräume}

09-Orthogonal-Unitary.tex

@@ -80,14 +80,14 @@ folgende Situation.
   \video{13-3}
 \end{proof}
 
-\begin{rem}[Die Determinante]\label{rem:9-1-7}%
+\begin{bemerkung}[Die Determinante]\label{bem:9-1-7}%
   Erinnern Sie sich daran, dass die Determinante eines Endomorphismus das
   Produkt der Eigenwerte ist (mit algebraischer Vielfachheit!).  In der
   Situation von Proposition~\ref{prop:9-1-6} folgt deshalb aus Punkt
   \ref{il:9-1-7-2}, dass $|\det f|=1$ ist.  Im Fall einer orthogonalen Abbildung
   ist die Determinante reell, also kommen für $\det f$ nur die Zahlen $± 1$
   infrage.
-\end{rem}
+\end{bemerkung}
 
 \begin{aufgabe}[Es reicht nicht, Orthogonalität zu erhalten]
   Situation wie in \ref{sit:9-1-1}.  Ein Blick auf Punkt~\ref{il:9-1-7-3} könnte
@@ -209,7 +209,7 @@ erweitern.
 \section{Normalformen unitärer Endomorphismen}
 
 Wir haben orthogonale und unitäre Endomorphismen und Matrizen diskutiert, haben
-aber im Moment vermutlich noch eine Idee, wie wir uns die Endomorphismen
+aber im Moment vermutlich noch keine Idee, wie wir uns die Endomorphismen
 vorstellen sollen.  In diesem Abschnitt diskutiere ich unitäre Endomorphismen;
 im nächsten Abschnitt diskutieren wir dann den orthogonalen Fall.  Wie immer
 zeigt sich, dass die Situation über den komplexen Zahlen relativ einfach ist und
@@ -246,7 +246,7 @@ Ich hatte oben schon geschrieben, dass die orthogonaler Endomorphismen
 schwieriger zu beschreiben sind als unitäre; dieser Abschnitt ist
 dementsprechend auch länger als der Vorhergehende.  Ich fange damit an, dass ich
 die orthogonalen $2⨯2$-Matrizen beschreibe.  Um die Fallunterscheidung zu
-verstehen, erinnern sie sich bitte an Bemerkung~\vref{rem:9-1-7}, die
+verstehen, erinnern sie sich bitte an Bemerkung~\vref{bem:9-1-7}, die
 sicherstellt, dass die Determinante einer orthogonalen Matrix stets $± 1$ ist.
 
 \begin{satz}[Normalform von Matrizen aus $\mathcal{O}_2$]\label{satz:9-2-7}%

12-Anwendungen.tex

@@ -818,15 +818,44 @@ und Sportwissenschaft“.  Wikipedia nennt unter anderem noch folgende Beispiele
   neuronalen Netzen.  Dort dient die PCA zur Merkmals-Trennung im Rahmen der
   automatischen Klassifizierung bzw.  in der Mustererkennung.
 
-\item \foreignlanguage{english}{In quantitative finance, principal component
+\item Wikipedia schreibt: \foreignlanguage{english}{In quantitative finance, PCA
-  analysis can be directly applied to the risk management of interest rate
+is used in financial risk management, and has been applied to other problems
-  derivative portfolios.  Trading multiple swap instruments which are usually a
+such as portfolio optimization.
-  function of 30-500 other market quotable swap instruments is sought to be
+
-  reduced to usually 3 or 4 principal components, representing the path of
+PCA is commonly used in problems involving fixed income securities and
-  interest rates on a macro basis.  Converting risks to be represented as those
+portfolios, and interest rate derivatives. Valuations here depend on the entire
-  to factor loadings (or multipliers) provides assessments and understanding
+yield curve, comprising numerous highly correlated instruments, and PCA is used
-  beyond that available to simply collectively viewing risks to individual
+to define a set of components or factors that explain rate movements, thereby
-  30-500 buckets.}
+facilitating the modelling. One common risk management application is to
+calculating value at risk, VaR, applying PCA to the Monte Carlo simulation.
+Here, for each simulation-sample, the components are stressed, and rates, and in
+turn option values, are then reconstructed; with VaR calculated, finally, over
+the entire run. PCA is also used in hedging exposure to interest rate risk,
+given partial durations and other sensitivities. Under both, the first three,
+typically, principal components of the system are of interest (representing
+"shift", "twist", and "curvature"). These principal components are derived from
+an eigen-decomposition of the covariance matrix of yield at predefined
+maturities; and where the variance of each component is its eigenvalue (and as
+the components are orthogonal, no correlation need be incorporated in subsequent
+modelling).
+
+For equity, an optimal portfolio is one where the expected return is maximized
+for a given level of risk, or alternatively, where risk is minimized for a given
+return; see Markowitz model for discussion. Thus, one approach is to reduce
+portfolio risk, where allocation strategies are applied to the "principal
+portfolios" instead of the underlying stocks. A second approach is to enhance
+portfolio return, using the principal components to select companies' stocks
+with upside potential. PCA has also been used to understand relationships
+between international equity markets, and within markets between groups of
+companies in industries or sectors.
+
+PCA may also be applied to stress testing, essentially an analysis of a bank's
+ability to endure a hypothetical adverse economic scenario. Its utility is in
+"distilling the information contained in [several] macroeconomic variables into
+a more manageable data set, which can then [be used] for analysis." Here, the
+resulting factors are linked to e.g. interest rates – based on the largest
+elements of the factor's eigenvector – and it is then observed how a "shock" to
+each of the factors affects the implied assets of each of the banks.}
 \end{itemize}
 
 % !TEX root = LineareAlgebra2

15-tensor.tex

@@ -123,7 +123,7 @@ wissen, ob sie Null sind oder nicht.
 \end{aufgabe}
 
 In Tensorprodukten sind im Allgemeinen nicht alle Tensoren rein.  Es gilt aber
-die Tatsache, dass jeder Tensor eine Linearkombination von reinen Tensoren sind.
+die Tatsache, dass jeder Tensor eine Linearkombination von reinen Tensoren ist.
 Das ist beruhigend, denn das bedeutet zumindest, dass wir alle Tensoren
 hinschreiben können.
 
@@ -335,7 +335,7 @@ Matrizen diskutieren.
   \[
     \varphi_{A_1} : k^{b_1} → k^{a_1},\quad %
     \varphi_{A_2} : k^{b_2} → k^{a_2} \quad\text{und}\quad %
-    \varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1} : k^{b_1}⊗ k^{b_1} → k^{a_1}⊗ k^{a_2}.
+    \varphi_{A_1}⊗\varphi_{A_1} : k^{b_1}⊗ k^{b_2} → k^{a_1}⊗ k^{a_2}.
   \]
   Wir statten die Räume $k^{a_1}$, $k^{a_2}$, $k^{b_1}$ und $k^{b_2}$ jeweils
   mit den kanonischen Standardbasen aus, wählen die lexikografisch angeordneten
@@ -404,7 +404,7 @@ Folge der universellen Eigenschaften.
   \]
   ist bilinear.  Also gibt es gemäß der universellen Eigenschaft des
   Tensorprodukts genau eine lineare Abbildung $η$, sodass das folgende Diagramm
-  kommutiert,
+  kommutiert:
    \[
     \begin{tikzcd}
       k⨯V \ar[d, equals] \ar[r, "τ"] & k⊗V \ar[d, "∃!  η"]\\

16-tensoralgebra.tex

@@ -45,7 +45,7 @@ Tensorprodukte von mehr als zwei Vektorräumen definieren.
   V_n$}\index{Tensorprodukt!von mehreren Vektorräumen} ist ein Vektorraum $T$
   zusammen mit einer multilinearen Abbildung $τ: V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → T$, sodass für
   alle multilinearen Abbildungen $s: V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$ genau eine lineare
-  Abbildung $η: T → W$ existiert, sodass das folgende Diagramm kommutiert
+  Abbildung $η: T → W$ existiert, sodass das folgende Diagramm kommutiert:
   \[
     \begin{tikzcd}[column sep=2cm]
       V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n \ar[r, "τ\text{, multilin.}"] \ar[d, equal] & T \ar[d, "∃!  η\text{, linear}"]\\

17-wedge.tex

@@ -32,8 +32,8 @@ beschränken, die alternierend sind.
     s(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n) = \vec{0}_W
   \end{equation}
   für jedes Tupel $(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ von Vektoren gilt, in dem ein
-  Vektor mehr als ein mal auftritt.  Formell: die multilineare Abbildung $s$
+  Vektor mehrmals auftritt.  Formell: die multilineare Abbildung $s$ heißt
-  heißt alternierend, falls die Gleichung~\eqref{eq:dfjgh} für jedes Tupel
+  alternierend, falls die Gleichung~\eqref{eq:dfjgh} für jedes Tupel
   $(\vec{v}_1, …, \vec{v}_n)$ von Vektoren gilt, für das es zwei
   unterschiedliche Indizes $i \ne j$ gibt mit $\vec{v}_i = \vec{v}_j$.
 \end{defn}
@@ -246,9 +246,9 @@ und
     & (λ,ν) & ↦ & λ·ν.
   \end{matrix}
 \]
-Diese „Definitionen“ verwenden die analog die schreckliche
+Diese „Definitionen“ verwenden analog die schreckliche Notation~\ref{15-2-7}.
-Notation~\ref{15-2-7}.  Rechnen Sie als Hausaufgabe nach, dass die Abbildung
+Rechnen Sie als Hausaufgabe nach, dass die Abbildung wohldefiniert ist!  Jetzt
-wohldefiniert ist!  Jetzt definieren wir die äußere Algebra.
+definieren wir die äußere Algebra.
 
 \begin{konstruktion}[Äußere Algebra]
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $V$ ein $k$-Vektorraum.  Betrachte den
@@ -287,7 +287,7 @@ eine Abbildung zwischen den Dachprodukten induziert.
 \begin{satz}[Dachprodukte von Abbildungen]\label{satz:dpva}%
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $V$ ein $k$-Vektorraum.  Weiter sei eine Zahl
   $n ∈ ℕ$ gegeben.  Dann gibt es zu jedem Endomorphismus $f : V → V$ genau einen
-  Endomorphismus $η : Λ^n V → Λ^n V$, sodass das folgende Diagramm kommutiert,
+  Endomorphismus $η : Λ^n V → Λ^n V$, sodass das folgende Diagramm kommutiert:
   \[
     \begin{tikzcd}[column sep=2cm]
       V^{⨯ n} \ar[d, "τ"'] \ar[r, "f ⨯ ⋯ ⨯ f"] & V^{⨯ n} \ar[d, "τ"] \\

LineareAlgebra2.tex

@@ -118,7 +118,8 @@ Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen.  Falls Sie
 ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
 Mitarbeiter an oder melden Sie sich bitte direkt per E-Mail bei
 \href{mailto:stefan.kebekus@math.uni-freiburg.de}{Stefan Kebekus}.  Wir
-korrigieren schnellstmöglich!
+korrigieren schnellstmöglich! Ich bedanke mich bei Simon Schneider für besonders
+sorgfältige Rückmeldung und Fehlerkorrekturen!
 
 Es gibt im Internet eine große Zahl von guten Quellen, Erklärvideos und anderem.
 Wenn Sie eine gute Quelle finden, melden Sie sich bitte.  Wir fügen gerne einen