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5
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@ -51,3 +51,8 @@ Cauchy-Schwarzsche
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Cauchy
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Sceaux
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Amandus
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Orthonormalität
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Identifikationen
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semi-linear
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Quotientenräume
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Rückzugsabbildung
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9
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
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9
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt
vendored
@ -41,3 +41,12 @@
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ergibt sich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem Folgendes: Gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung „Lineare Algebra I“ bereits einen Begriff von „orthogonalen Unterraum“.\\E$"}
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir werden in Abschnitt sec:dual sehen, wie die Begriffe zusammenhängen.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QVorlesung 12Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare Algebra I“ ist der des “Dualraum”.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QVorlesung 12Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare Algebra I“ ist der des „Dualraum“.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn Bemerkung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ und dem “orthogonalen Komplement” aus Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu klären.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn Bemerkung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ und dem „orthogonalen Komplement“ aus Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu klären.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWir hatten in letzten Abschnitt das orthogonale Komplement eines Untervektorraumes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q in kanonischer Weise mit dem Raum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q identifiziert, der uns aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ vertraut war.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QZu jeder linearen Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q haben wir in der Vorlesung „Lineare Algebra I“ eine „Rückzugsabbildung“ zwischen den Dualräumen definiert, nämlich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QBetrachte das folgende Diagramm: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, isomorph \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, isomorph \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, Rückzugsabbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Beim Betrachten des Diagramms \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q fällt auf, dass die Abbildungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von der Wahl der Skalarprodukte abhängen.\\E$"}
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@ -78,16 +78,6 @@ unmittelbar aus der Definition folgen.
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Also ist $\| \vec{x} \| ≥ 0$ für alle $\vec{x} ∈ V$.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}[Satz des Pythagoras]
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\index{Pythagoras!für Euklidische und unitäre Vektorräume}In der Situation von
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Definition~\ref{def:norm} gilt der Satz des Pythagoras: gegeben Vektoren
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||||
$\vec{x}$ und $\vec{y}$ aus $V$, dann gilt
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\[
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||||
\| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·Re\langle
|
||||
\vec{x}, \vec{y} \rangle + \| \vec{y} \|².
|
||||
\]
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\end{bemerkung}
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\subsection{Beispiele: Normen, die von Skalarprodukten kommen}
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@ -176,6 +166,16 @@ sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen.
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Satz~\ref{satz:sin} bewiesen.
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\end{proof}
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\begin{bemerkung}[Satz des Pythagoras]
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||||
\index{Pythagoras!für Euklidische und unitäre Vektorräume}In der Situation von
|
||||
Satz~\ref{satz:sin} gilt der Satz des Pythagoras: gegeben Vektoren $\vec{x}$
|
||||
und $\vec{y}$ aus $V$, dann gilt
|
||||
\[
|
||||
\| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·Re\langle
|
||||
\vec{x}, \vec{y} \rangle + \| \vec{y} \|².
|
||||
\]
|
||||
\end{bemerkung}
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\subsection{Beispiele: Normen, die von Normen kommen}
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@ -3,19 +3,17 @@
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\chapter{Orthogonale Projektion}
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In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ stets ein
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euklidischer oder unitärer Vektorraum. Wenn keine Verwechselungsgefahr besteht,
|
||||
werden wir die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$
|
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bezeichnen.
|
||||
In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ stets ein euklidischer
|
||||
oder unitärer Vektorraum. Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, werden wir
|
||||
die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$ bezeichnen.
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\section{Orthogonalität und Orthonormalität}
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Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist ``orthogonal'', also
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``steht senkrecht aufeinander''. Wir definieren ``orthogonal'' mit Hilfe des
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Skalarproduktes.
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||||
Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist „orthogonal“, also „steht senkrecht
|
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aufeinander“. Wir definieren „orthogonal“ mithilfe des Skalarproduktes.
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\begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth}
|
||||
\begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth}%
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||||
Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein Euklidischer oder unitärer
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Vektorraum.
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\begin{enumerate}
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@ -27,12 +25,12 @@ Skalarproduktes.
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\item Es seien $U$, $W ⊂ V$ Untervektorräume. Dann heißen $U$ und $W$
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\emph{orthogonal zueinander}\index{orthogonal!Untervektorräume}, falls für
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alle $\vec{u} ∈ U$ und alle $\vec{w} ∈ W$ die Gleichung
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||||
$\langle \vec{u}, \vec{w} \rangle = 0$ gilt.
|
||||
alle $\vec{u} ∈ U$ und alle $\vec{w} ∈ W$ die Gleichung $\langle \vec{u},
|
||||
\vec{w} \rangle = 0$ gilt.
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||||
|
||||
\item\label{il:8-1-1-3} Es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann
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||||
definieren wir das \emph{orthogonale Komplement von $U$}\index{orthogonales
|
||||
Komplement} als
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||||
\item\label{il:8-1-1-3} Es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann definieren
|
||||
wir das \emph{orthogonale Komplement von $U$}\index{orthogonales Komplement}
|
||||
als
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||||
\[
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||||
U^\perp := \{ \vec{v} ∈ V : \vec{v} \perp \vec{u} \text{ für alle }
|
||||
\vec{u} ∈ U \}.
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||||
@ -45,10 +43,10 @@ Skalarproduktes.
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||||
\langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = 0.
|
||||
\]
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||||
Eine orthogonale Familie heißt \emph{orthonormal}\index{orthonormale Familie
|
||||
von Vektoren}, falls zusätzlich für alle Indizes $i ∈ I$ die Gleichung
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||||
$\| \vec{v}_i \| = 1$ gilt. Eine orthonormale Familie heißt
|
||||
\emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis} (kurz: ``ONB''), falls sie
|
||||
zusätzlich eine Basis ist.
|
||||
von Vektoren}, falls zusätzlich für alle Indizes $i ∈ I$ die Gleichung $\|
|
||||
\vec{v}_i \| = 1$ gilt. Falls eine orthonormale Familie zusätzlich eine
|
||||
Basis ist, dann nenne die Familie
|
||||
\emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis} und schreibe kurz: „ONB“.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defn}
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||||
@ -60,15 +58,15 @@ Skalarproduktes.
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||||
\begin{beobachtung}
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||||
In der Situation von Definition~\ref{def:orth}, Punkt~\ref{il:8-1-1-3} gilt
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||||
folgendes: Wenn $(u_i)_{i ∈ I}$ eine Basis von $U$ ist und $\vec{v} ∈ V$
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||||
irgendein Vektor, dann ist $\vec{v} ∈ U^\perp$ genau dann, wenn
|
||||
$\vec{v} \perp \vec{u}_i$ ist für alle Indizes $i ∈ I$.
|
||||
irgendein Vektor, dann ist $\vec{v} ∈ U^\perp$ genau dann, wenn $\vec{v} \perp
|
||||
\vec{u}_i$ ist für alle Indizes $i ∈ I$.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{rem}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{rem:8-1-4}
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||||
Wir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' bereits einen
|
||||
Begriff von ``orthogonalen Unterraum''. Die Situation war die, dass es einen
|
||||
$k$-Vektorraum $V$ gab und einen Untervektorraum $W ⊆ V$. In dieser
|
||||
Situation war der ``orthogonale Unterraum'' der Raum
|
||||
\begin{rem}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{rem:8-1-4}%
|
||||
Wir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung „Lineare Algebra I“ bereits einen
|
||||
Begriff von „orthogonalen Unterraum“. Die Situation war die, dass es einen
|
||||
$k$-Vektorraum $V$ gab und einen Untervektorraum $W ⊆ V$. In dieser Situation
|
||||
war der „orthogonale Unterraum“ der Raum
|
||||
\[
|
||||
W⁰ := \{ f ∈ V^* \::\: W ⊆ \ker (f) \}.
|
||||
\]
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||||
@ -78,11 +76,10 @@ Skalarproduktes.
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||||
\begin{bsp}[Der Standardraum $ℝ^n$]
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Betrachten den Vektorraum $ℝ^n$ mit dem Standardskalarprodukt. Dann ist die
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||||
Die Standardbasis eine Orthonormalbasis. Die Untervektorräume
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||||
$\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2 \rangle$ und
|
||||
$\langle \vec{e}_3, \vec{e}_4 \rangle$ sind orthogonal. Das orthogonale
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||||
Komplement des Unterraumes $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2 \rangle$ ist
|
||||
$\langle \vec{e}_3, …, \vec{e}_n \rangle$.
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||||
Standardbasis eine Orthonormalbasis. Die Untervektorräume $\langle \vec{e}_1,
|
||||
\vec{e}_2 \rangle$ und $\langle \vec{e}_3, \vec{e}_4 \rangle$ sind orthogonal.
|
||||
Das orthogonale Komplement des Unterraumes $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2
|
||||
\rangle$ ist $\langle \vec{e}_3, …, \vec{e}_n \rangle$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
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||||
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@ -100,19 +97,18 @@ kann. Dieses Beispiel ist für den ganzen Abschnitt zentral.
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||||
\rangle}{\langle \vec{v}_1, \vec{v}_1 \rangle}·\vec{v}_1.
|
||||
\]
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||||
Dann gilt $\vec{v}_1 \perp \vec{v}\,'_2$. Zusätzlich gilt: wenn die Menge
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||||
$\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ linear unabhängig ist, dann auch
|
||||
$\{\vec{v}_1, \vec{v}\,'_2\}$.
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||||
$\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ linear unabhängig ist, dann auch $\{\vec{v}_1,
|
||||
\vec{v}\,'_2\}$.
|
||||
\end{bsp}
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||||
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||||
Wir bauen das ``Rezept, um Vektoren orthogonal machen'' ein wenig aus und
|
||||
erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''.
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||||
Wir bauen das „Rezept, um Vektoren orthogonal machen“ ein wenig aus und erhalten
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||||
einen „Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen“.
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||||
\begin{satz}[Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen]\label{satz:8-2-2}
|
||||
Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei
|
||||
$U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jede Orthonormalbasis
|
||||
\begin{satz}[Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen]\label{satz:8-2-2}%
|
||||
Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und
|
||||
sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jede Orthonormalbasis
|
||||
$\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m\}$ von $U$ zu einer Orthonormalbasis
|
||||
$\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m,\vec{u}_{m+1},…,\vec{u}_n\}$ von $V$
|
||||
ergänzen.
|
||||
$\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m,\vec{u}_{m+1},…,\vec{u}_n\}$ von $V$ ergänzen.
|
||||
\end{satz}
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||||
\begin{proof}
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\video{11-1}
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||||
@ -126,38 +122,35 @@ erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''.
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||||
\begin{beobachtung}[Gram-Schmidt Verfahren]
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||||
Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum. Der
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||||
Beweis des Basisergänzungssatzes~\ref{satz:8-2-2} für Orthonormalbasen liefert
|
||||
ein effektives, induktives Verfahren um aus einer gegebenen Basis
|
||||
$\{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ von $V$ eine ONB
|
||||
$\{ \vec{u}_1, …, \vec{u}_n \}$ zu konstruieren. Man startet so:
|
||||
ein effektives, induktives Verfahren um aus einer gegebenen Basis $\{
|
||||
\vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ von $V$ eine ONB $\{ \vec{u}_1, …, \vec{u}_n \}$
|
||||
zu konstruieren. Man startet so:
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Normiere. $\vec{u}_1 := \frac{1}{\| \vec{v}_1 \|}·\vec{v}_1$.
|
||||
|
||||
\item Definiere.
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||||
$\vec{u}\,'_2 := \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2, \vec{u}_1 \rangle·
|
||||
\vec{u}_1$.
|
||||
\item Definiere. $\vec{u}\,'_2 := \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2, \vec{u}_1
|
||||
\rangle· \vec{u}_1$.
|
||||
|
||||
\item Normiere. $\vec{u}_2 := \frac{1}{\| \vec{u}\,'_2 \|}·\vec{u}\,'_2$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Falls uns $\vec{u}_1, …, \vec{u}_k$ schon gegeben sind, gehe induktiv wie
|
||||
folgt vor:
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Definiere.
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||||
$\vec{u}\,'_{k+1} := \vec{v}_{k+1} - \sum_{j=1}^{k} \langle \vec{v}_{k+1},
|
||||
\vec{u}_j \rangle·\vec{u}_j$.
|
||||
\item Definiere. $\vec{u}\,'_{k+1} := \vec{v}_{k+1} - \sum_{j=1}^{k} \langle
|
||||
\vec{v}_{k+1}, \vec{u}_j \rangle·\vec{u}_j$.
|
||||
|
||||
\item Normiere.
|
||||
$\vec{u}_{k+1} := \frac{1}{\| \vec{u}\,'_{k+1} \|}·\vec{u}\,'_{k+1}$.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
Am Ende ist $\{\vec{u}_1, …, \vec{u}_n\}$ eine ONB. Zusätzlich gilt für
|
||||
alle Indizes $i=1, …, n$ die Gleichheit von Untervektorräumen
|
||||
$\langle \vec{u}_1, …, \vec{u}_i \rangle = \langle \vec{v}_1, …,
|
||||
\vec{v}_i \rangle$.
|
||||
Am Ende ist $\{\vec{u}_1, …, \vec{u}_n\}$ eine ONB. Zusätzlich gilt für alle
|
||||
Indizes $i=1, …, n$ die Gleichheit von Untervektorräumen $\langle \vec{u}_1,
|
||||
…, \vec{u}_i \rangle = \langle \vec{v}_1, …, \vec{v}_i \rangle$.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Orthogonale Zerlegung]\label{satz:8-2-5}
|
||||
\begin{satz}[Orthogonale Zerlegung]\label{satz:8-2-5}%
|
||||
Es sei $V$ ein endlich-dimensionale euklidischer oder unitärer Vektorraum.
|
||||
Weiter sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jeder Vektor
|
||||
$\vec{v} ∈ V$ eindeutig schreiben als
|
||||
Weiter sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jeder Vektor $\vec{v}
|
||||
∈ V$ eindeutig schreiben als
|
||||
\[
|
||||
\vec{v} = p(\vec{v}) + r(\vec{v}),
|
||||
\]
|
||||
@ -169,24 +162,24 @@ erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''.
|
||||
|
||||
Der Beweis von Satz~\ref{satz:8-2-5} liefert noch eine ganze Reihe von
|
||||
Zusatzinformationen, die wir hier festhalten. Das allerwichtigste ist die
|
||||
Einsicht, dass $p$ eine lineare Abbildung liefert, die wir als ``orthogonale
|
||||
Projektion'' bezeichnen.
|
||||
Einsicht, dass $p$ eine lineare Abbildung liefert, die wir als „orthogonale
|
||||
Projektion“ bezeichnen.
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Orthogonale Projektion]
|
||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:8-2-5} können wir die $p(\vec{v})$ wie
|
||||
folgt ausrechnen. Wenn eine ONB $(\vec{u}_i)_i$ von $U$ gegeben ist, dann ist
|
||||
\[
|
||||
p(\vec{v}) = \sum_i \langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle·\vec{u}_i
|
||||
p(\vec{v}) = \sum_i \langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle·\vec{u}_i.
|
||||
\]
|
||||
Insbesondere ist $p : V → U$ eine lineare Abbildung und es ist
|
||||
$\ker p = U^\perp$. Man nennt $p$ die \emph{orthogonale Projektion auf den
|
||||
Unterraum $U$}\index{orthogonale Projektion}.
|
||||
Insbesondere ist $p : V → U$ eine lineare Abbildung und es ist $\ker p =
|
||||
U^\perp$. Man nennt $p$ die \emph{orthogonale Projektion auf den Unterraum
|
||||
$U$}\index{orthogonale Projektion}.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Orthogonale Projektion minimiert Abstand zu Untervektorraum]
|
||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:8-2-5} ist $p(\vec{v})$ genau derjenige
|
||||
Punkt aus $U$, der den kleinsten Abstand zu $\vec{v}$ hat. Denn: Für
|
||||
$\vec{w} ∈ U$, $\vec{w} ≠ 0$ gilt mit Pythagoras die folgende Ungleichung
|
||||
Punkt aus $U$, der den kleinsten Abstand zu $\vec{v}$ hat. Denn: Für $\vec{w}
|
||||
∈ U$, $\vec{w} ≠ 0$ gilt mit Pythagoras die folgende Ungleichung
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\| (p(\vec{v}) + \vec{w}) - \vec{v} \|² & = \| p(\vec{v})-\vec{v} \|² + \| \vec{w} \|² + \underbrace{\langle p(\vec{v})-\vec{v}, \vec{w} \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle \vec{w}, p(\vec{v})-\vec{v} \rangle}_{=0} \\
|
||||
& ≥ \| p(\vec{v})-\vec{v} \|².
|
||||
@ -199,13 +192,13 @@ Projektion'' bezeichnen.
|
||||
\subsection{Der Dualraum}
|
||||
\label{sec:dual}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 12}Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung ``Lineare
|
||||
Algebra I'' ist der des ``Dualraum''. Alle Studenten lieben das. Ich erinnere:
|
||||
\sideremark{Vorlesung 12}Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare
|
||||
Algebra I“ ist der des „Dualraum“. Alle Studenten lieben das. Ich erinnere:
|
||||
wenn $k$ ein Körper ist und $V$ ein $k$-Vektorraum, dann ist der Dualraum $V^*$
|
||||
genau der Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $k$. In Symbolen:
|
||||
$V^* := \Hom(V,k)$. Falls $V$ endlich-dimensional ist, haben wir bewiesen, dass
|
||||
$V$ und $V^*$ isomorph zueinander sind. Um einen konkreten Isomorphismus zu
|
||||
finden wählte man erst einmal eine Basis $B = \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ und
|
||||
finden, wählte man erst einmal eine Basis $B = \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ und
|
||||
betrachtet dann die duale Basis $B^* = \{\vec{v}^{\:*}_1, …, \vec{v}^{\:*}_n\}$
|
||||
von $V^*$. Dabei waren die $\vec{v}^{\:*}_i : V → k$ diejenigen linearen
|
||||
Abbildungen, die die Gleichungen
|
||||
@ -228,9 +221,9 @@ war. Die zentrale Einsicht in dieser Vorlesung folgende: wenn ich auf $V$ ein
|
||||
Skalarprodukt festlege, dann gibt es eine kanonische Identifikation von $V$ und
|
||||
$V^*$.
|
||||
|
||||
\begin{satz}\label{satz:8-3-1}
|
||||
Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein
|
||||
endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Dann ist die Abbildung
|
||||
\begin{satz}\label{satz:8-3-1}%
|
||||
Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
|
||||
euklidischer Vektorraum. Dann ist die Abbildung
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\[
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||||
s: V → V^*, \quad \vec{v} ↦ \langle • ,\vec{v} \rangle
|
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\]
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@ -244,20 +237,20 @@ $V^*$.
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||||
\end{proof}
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In Bemerkung~\ref{rem:8-1-4} hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang
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||||
zwischen den ``orthogonalen Unterräumen'' aus der Vorlesung ``Lineare Algebra
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||||
I'' und dem ``orthogonalen Komplement'' aus Definition~\ref{def:orth} zu klären.
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||||
Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
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||||
zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“
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||||
und dem „orthogonalen Komplement“ aus Definition~\ref{def:orth} zu klären. Der
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||||
folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
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\begin{satz}[Orthogonales Komplement und orthogonale Unterräume]\label{satz:8-3-3}
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||||
Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein
|
||||
endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein
|
||||
\begin{satz}[Orthogonales Komplement und orthogonale
|
||||
Unterräume]\label{satz:8-3-3} Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$
|
||||
ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein
|
||||
Untervektorraum. Weiter sei $s : V → V^*$ der kanonische Isomorphismus aus
|
||||
Satz~\ref{satz:8-3-1}. Dann gilt folgendes.
|
||||
Satz~\ref{satz:8-3-1}. Dann gilt Folgendes.
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\begin{enumerate}
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||||
\item\label{il:8-3-1-1} Es ist $s(U^\perp) = U⁰$. Insbesondere liefert die
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||||
Einschränkung $s|_{U^\perp} : U^\perp → U⁰$ einen Isomorphismus zwischen
|
||||
den Vektorräumen $U^\perp$ und $U⁰$ und insbesondere ist
|
||||
$\dim U^\perp = \dim U⁰$ (…nämlich gleich $\dim V - \dim U$).
|
||||
Einschränkung $s|_{U^\perp} : U^\perp → U⁰$ einen Isomorphismus zwischen den
|
||||
Vektorräumen $U^\perp$ und $U⁰$ und insbesondere ist $\dim U^\perp = \dim
|
||||
U⁰$ (…nämlich gleich $\dim V - \dim U$).
|
||||
|
||||
\item\label{il:8-3-1-2} Es existiert eine Zerlegung von $V$ in eine direkte
|
||||
Summe $V = U ⊕ U^\perp$.
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||||
@ -267,19 +260,19 @@ Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
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\video{12-3}
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||||
\end{proof}
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\begin{kor}\label{kro:8-3-3}
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||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt die Gleichheit
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||||
$\bigl( U^\perp \bigr)^\perp = U$.
|
||||
\begin{kor}\label{kro:8-3-3}%
|
||||
In der Situation von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt die Gleichheit $\bigl( U^\perp
|
||||
\bigr)^\perp = U$.
|
||||
\end{kor}
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||||
\begin{proof}
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||||
Es genügt, die Inklusion $U ⊂ \bigl( U^\perp \bigr)^\perp$ zu zeigen; die
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||||
Gleichheit folgt mit Hilfe der Dimensionsformel~\ref{il:8-3-1-2} dann aus der
|
||||
Gleichheit folgt mithilfe der Dimensionsformel~\ref{il:8-3-1-2} dann aus der
|
||||
Gleichheit der Dimensionen. Dazu verwende ich wieder meinen Textbaustein: Sei
|
||||
ein beliebiger Vektor $\vec{u} ∈ U$ gegeben. Die Aussage
|
||||
``$\vec{u} ∈ \bigl( U^\perp \bigr)^\perp$ ist dann per Definition äquivalent
|
||||
dazu, ist zu zeigen, dass gilt:
|
||||
ein beliebiger Vektor $\vec{u} ∈ U$ gegeben. Die Aussage „$\vec{u} ∈ \bigl(
|
||||
U^\perp \bigr)^\perp$“ ist dann per Definition äquivalent dazu, ist zu zeigen,
|
||||
dass gilt:
|
||||
\[
|
||||
s(\vec{u}, \vec{v}) = 0, \quad \text{für alle }\vec{v} ∈ U^\perp
|
||||
s(\vec{u}, \vec{v}) = 0, \quad \text{für alle }\vec{v} ∈ U^\perp.
|
||||
\]
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||||
Das ist aber klar nach Definition von $U^\perp$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
@ -293,15 +286,14 @@ Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
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||||
\subsubsection{Unitäre Vektorräume}
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||||
Die Aussage von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt in leicht abgewandelter Form auch für
|
||||
den Fall von unitären Vektorräumen. Falls
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||||
$\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
|
||||
unitärer Vektorraum ist, dann ist die Abbildung $s$ bijektiv und
|
||||
\emph{semi-linear}\index{semi-lineare Abbildung}. Dabei bedeutet
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||||
``semi-linear'', dass für alle Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ V$ und alle
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||||
Skalare $λ ∈ ℂ$ die Gleichungen
|
||||
den Fall von unitären Vektorräumen. Falls $\bigl(V, \langle •, • \rangle
|
||||
\bigr)$ ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum ist, dann ist die
|
||||
Abbildung $s$ bijektiv und \emph{semi-linear}\index{semi-lineare Abbildung}.
|
||||
Dabei bedeutet „semi-linear“, dass für alle Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ V$
|
||||
und alle Skalare $λ ∈ ℂ$ die Gleichungen
|
||||
\[
|
||||
f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \quad\text{und}\quad
|
||||
f(λ·\vec{x}) = \overline{λ}·f(\vec{x}).
|
||||
f(λ·\vec{x}) = \overline{λ}·f(\vec{x})
|
||||
\]
|
||||
gelten.
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||||
|
||||
@ -326,17 +318,16 @@ gelten.
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||||
\subsection{Quotientenräume}
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||||
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Wir hatten in letzten Abschnitt das orthogonale Komplement eines
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||||
Untervektorraumes $U ⊂ V$ in kanonischer Weise mit dem Raum $U⁰$
|
||||
identifiziert, der uns aus der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' vertraut war. Es
|
||||
gibt noch eine andere kanonische Identifikation des orthogonale Komplements mit
|
||||
einem bekannten Vektorraum.
|
||||
Untervektorraumes $U ⊂ V$ in kanonischer Weise mit dem Raum $U⁰$ identifiziert,
|
||||
der uns aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ vertraut war. Es gibt noch eine
|
||||
andere kanonische Identifikation des orthogonalen Komplements mit einem
|
||||
bekannten Vektorraum.
|
||||
|
||||
\begin{satz}\label{satz:8-3-6}
|
||||
Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein
|
||||
endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein
|
||||
Untervektorraum. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem
|
||||
Vektorraumquotienten $\factor{V}{U}$ und dem orthogonalen Komplement
|
||||
$U^\perp$.
|
||||
\begin{satz}\label{satz:8-3-6}%
|
||||
Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
|
||||
euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann gibt es
|
||||
einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem Vektorraumquotienten
|
||||
$\factor{V}{U}$ und dem orthogonalen Komplement $U^\perp$.
|
||||
\end{satz}
|
||||
\begin{proof}
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||||
\video{12-4}
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||||
@ -355,34 +346,33 @@ einem bekannten Vektorraum.
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||||
Wir betrachten in diesem Abschnitt Abbildungen von euklidischen Vektorräumen und
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||||
schauen, wie sich die kanonischen Identifikationen aus dem letzten Abschnitt
|
||||
unter Abbildungen verhalten --- das wird später noch sehr wichtig werden, wenn
|
||||
wir ``selbstadjungierte Abbildungen'' diskutieren. Zuallererst legen wir die
|
||||
wir „selbstadjungierte Abbildungen“ diskutieren. Zuallererst legen wir die
|
||||
Situation fest, die wir in diesem Abschnitt genau betrachten.
|
||||
|
||||
\begin{situation}[Mehrere euklidische Vektorräume]\label{sit:8-5-1}
|
||||
Es seien $\bigl(V, \langle •, • \rangle_V \bigr)$ und
|
||||
$\bigl(W, \langle •, • \rangle_W \bigr)$ zwei endlich-dimensional
|
||||
euklidische Vektorräume. Die kanonischen Identifikationen der Räume mit ihren
|
||||
Dualräumen bezeichnen wir mit
|
||||
\begin{situation}[Mehrere euklidische Vektorräume]\label{sit:8-5-1}%
|
||||
Es seien $\bigl(V, \langle •, • \rangle_V \bigr)$ und $\bigl(W, \langle •, •
|
||||
\rangle_W \bigr)$ zwei endlich-dimensional euklidische Vektorräume. Die
|
||||
kanonischen Identifikationen der Räume mit ihren Dualräumen bezeichnen wir mit
|
||||
\[
|
||||
s_V: V → V^* \quad\text{und}\quad s_W: W → W^*.
|
||||
\]
|
||||
\end{situation}
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}
|
||||
Zu jeder linearen Abbildung $f: V → W$ haben wir in der Vorlesung ``Lineare
|
||||
Algebra I'' eine ``Rückzugsabbildung'' zwischen den Dualräumen definiert, nämlich
|
||||
Zu jeder linearen Abbildung $f: V → W$ haben wir in der Vorlesung „Lineare
|
||||
Algebra I“ eine „Rückzugsabbildung“ zwischen den Dualräumen definiert, nämlich
|
||||
\[
|
||||
f^* : W^* → V^*, \quad φ ↦ φ◦f.
|
||||
\]
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Kanonische Identifikationen und Rückzugsabbildung]\label{beob:8-5-3}
|
||||
\begin{beobachtung}[Kanonische Identifikationen und Rückzugsabbildung]\label{beob:8-5-3}%
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben.
|
||||
Betrachte das folgende Diagramm:
|
||||
\begin{equation}\label{eq:8-5-3-1}
|
||||
\begin{tikzcd}[column sep=3cm]
|
||||
V \arrow[r, "f"] \arrow[d, "s_V\text{, isomorph}"'] & W \arrow[d, "s_W\text{, isomorph}"]\\
|
||||
V^* & W^* \arrow[l, "f^*\text{, Rückzugsabbildung}"]
|
||||
V^* & W^*. \arrow[l, "f^*\text{, Rückzugsabbildung}"]
|
||||
\end{tikzcd}
|
||||
\end{equation}
|
||||
Beim Betrachten des Diagramms~\eqref{eq:8-5-3-1} fällt auf, dass die
|
||||
@ -390,26 +380,26 @@ Situation fest, die wir in diesem Abschnitt genau betrachten.
|
||||
Abbildungen $f$ und $f^*$ hängen nicht von der Wahl der Skalarprodukte ab.
|
||||
Daher können wir im Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass das
|
||||
Diagramm~\eqref{eq:8-5-3-1} kommutiert. Mit anderen Worten, wir können im
|
||||
Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass die Abbildungen $s_V$ und
|
||||
$f^*◦ s_W ◦ f$ besteht. Wir interessieren uns aber für Bedingungen,
|
||||
die Gleichheit der Abbildungen sicherstellen! Dazu beobachten wir, dass die
|
||||
Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W ◦ f$ gleich sind, falls für alle
|
||||
$\vec{v} ∈ V$ die folgende Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
|
||||
Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W ◦
|
||||
f$ besteht. Wir interessieren uns aber für Bedingungen, die Gleichheit der
|
||||
Abbildungen sicherstellen! Dazu beobachten wir, dass die Abbildungen $s_V$
|
||||
und $f^*◦ s_W ◦ f$ gleich sind, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die folgende
|
||||
Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
|
||||
\begin{equation}\label{eq:8-5-3-2}
|
||||
s_V(\vec{v}) = \bigl(f^*◦ s_W ◦ f\bigr)(\vec{v})
|
||||
s_V(\vec{v}) = \bigl(f^*◦ s_W ◦ f\bigr)(\vec{v}).
|
||||
\end{equation}
|
||||
Das lässt sich expliziter hinschreiben, indem ich die Definitionen von $s_V$,
|
||||
$s_W$ und $f^*$ einsetze. Dann erhalte ich: die Abbildungen $s_V$ und
|
||||
$f^*◦ s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die
|
||||
folgende Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
|
||||
Das lässt sich explizit hinschreiben, indem ich die Definitionen von $s_V$,
|
||||
$s_W$ und $f^*$ einsetze. Dann erhalte ich: Die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦
|
||||
s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die folgende Gleichheit von
|
||||
Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\langle •, \vec{v} \rangle_V %
|
||||
= f^* ◦ \bigl\langle •, f(\vec{v}) \bigr\rangle_W %
|
||||
= \bigl\langle f(•), f(\vec{v}) \bigr\rangle_W.
|
||||
\end{align*}
|
||||
Das lässt sich noch einfacher formulieren: die Abbildungen $s_V$ und
|
||||
$f^*◦ s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle
|
||||
$\vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ die folgende Gleichheit von Skalaren gilt,
|
||||
Das lässt sich noch einfacher formulieren: Die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W
|
||||
◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ die folgende
|
||||
Gleichheit von Skalaren gilt,
|
||||
\begin{align*}
|
||||
\langle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \rangle_V %
|
||||
= \bigl\langle f(\vec{v}_1), f(\vec{v}_2) \bigr\rangle_W.
|
||||
@ -431,9 +421,9 @@ Die folgende Definition hilft, Beobachtung~\ref{beob:8-5-3} zu formalisieren.
|
||||
wird mit dem Symbol $f^{\ad}$ bezeichnet.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Einfache Eigenschaften der adjungierten Abbildung]\label{satz:8-4-5}
|
||||
\begin{satz}[Einfache Eigenschaften der adjungierten Abbildung]\label{satz:8-4-5}%
|
||||
In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben.
|
||||
Dann gilt folgendes.
|
||||
Dann gilt Folgendes.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Die Abbildung $f^{\ad} : W → V$ ist linear.
|
||||
|
||||
@ -449,7 +439,7 @@ Die folgende Definition hilft, Beobachtung~\ref{beob:8-5-3} zu formalisieren.
|
||||
\sideremark{Vorlesung 13}\video{13-1}
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{prop}\label{prop:8-4-6}
|
||||
\begin{prop}\label{prop:8-4-6}%
|
||||
In der Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$
|
||||
gegeben. Dann ist $f^{\ad} : W → V$ die einzige lineare Abbildung $W → V$,
|
||||
die Eigenschaft~\ref{il:8-5-4-2} erfüllt.
|
||||
@ -473,7 +463,7 @@ Die Aussagen dieses Abschnittes gelten in leicht abgewandelter Form auch für
|
||||
unitäre Vektorräume.
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}[Adjungierte Abbildung für unitäre Vektorräume]
|
||||
Finden sie heraus, welche Aussagen genau gelten und schreiben Sie
|
||||
Finden Sie heraus, welche Aussagen genau gelten und schreiben Sie
|
||||
schulbuchmäßige Beweise dieser Aussagen auf.
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
|
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