diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index e26eb00..3c7d9a8 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -51,3 +51,8 @@ Cauchy-Schwarzsche Cauchy Sceaux Amandus +Orthonormalität +Identifikationen +semi-linear +Quotientenräume +Rückzugsabbildung diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index bc68eec..25599ac 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -41,3 +41,12 @@ {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ergibt sich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem Folgendes: Gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung „Lineare Algebra I“ bereits einen Begriff von „orthogonalen Unterraum“.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir werden in Abschnitt sec:dual sehen, wie die Begriffe zusammenhängen.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QVorlesung 12Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare Algebra I“ ist der des “Dualraum”.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QVorlesung 12Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare Algebra I“ ist der des „Dualraum“.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn Bemerkung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ und dem “orthogonalen Komplement” aus Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu klären.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn Bemerkung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ und dem „orthogonalen Komplement“ aus Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu klären.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWir hatten in letzten Abschnitt das orthogonale Komplement eines Untervektorraumes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q in kanonischer Weise mit dem Raum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q identifiziert, der uns aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ vertraut war.\\E$"} +{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QZu jeder linearen Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q haben wir in der Vorlesung „Lineare Algebra I“ eine „Rückzugsabbildung“ zwischen den Dualräumen definiert, nämlich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QBetrachte das folgende Diagramm: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, isomorph \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, isomorph \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, Rückzugsabbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Beim Betrachten des Diagramms \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q fällt auf, dass die Abbildungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von der Wahl der Skalarprodukte abhängen.\\E$"} diff --git a/07-Euclidian-Unitary.tex b/07-Euclidian-Unitary.tex index 2566e0f..756178a 100644 --- a/07-Euclidian-Unitary.tex +++ b/07-Euclidian-Unitary.tex @@ -78,16 +78,6 @@ unmittelbar aus der Definition folgen. Also ist $\| \vec{x} \| ≥ 0$ für alle $\vec{x} ∈ V$. \end{bemerkung} -\begin{bemerkung}[Satz des Pythagoras] - \index{Pythagoras!für Euklidische und unitäre Vektorräume}In der Situation von - Definition~\ref{def:norm} gilt der Satz des Pythagoras: gegeben Vektoren - $\vec{x}$ und $\vec{y}$ aus $V$, dann gilt - \[ - \| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·Re\langle - \vec{x}, \vec{y} \rangle + \| \vec{y} \|². - \] -\end{bemerkung} - \subsection{Beispiele: Normen, die von Skalarprodukten kommen} @@ -176,6 +166,16 @@ sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen. Satz~\ref{satz:sin} bewiesen. \end{proof} +\begin{bemerkung}[Satz des Pythagoras] + \index{Pythagoras!für Euklidische und unitäre Vektorräume}In der Situation von + Satz~\ref{satz:sin} gilt der Satz des Pythagoras: gegeben Vektoren $\vec{x}$ + und $\vec{y}$ aus $V$, dann gilt + \[ + \| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·Re\langle + \vec{x}, \vec{y} \rangle + \| \vec{y} \|². + \] +\end{bemerkung} + \subsection{Beispiele: Normen, die von Normen kommen} diff --git a/08-Orthogonal.tex b/08-Orthogonal.tex index 615cc53..a933dd1 100644 --- a/08-Orthogonal.tex +++ b/08-Orthogonal.tex @@ -3,36 +3,34 @@ \chapter{Orthogonale Projektion} -In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ stets ein -euklidischer oder unitärer Vektorraum. Wenn keine Verwechselungsgefahr besteht, -werden wir die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$ -bezeichnen. +In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ stets ein euklidischer +oder unitärer Vektorraum. Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, werden wir +die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$ bezeichnen. \section{Orthogonalität und Orthonormalität} -Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist ``orthogonal'', also -``steht senkrecht aufeinander''. Wir definieren ``orthogonal'' mit Hilfe des -Skalarproduktes. +Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist „orthogonal“, also „steht senkrecht +aufeinander“. Wir definieren „orthogonal“ mithilfe des Skalarproduktes. -\begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth} +\begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth}% Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein Euklidischer oder unitärer Vektorraum. \begin{enumerate} \item Es seien $\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ zwei Vektoren. Man sagt, \emph{$\vec{x}$ und $\vec{y}$ sind orthogonal - zueinander}\index{orthogonal!Vektoren} (oder \emph{$x$ steht senkrecht auf - $y$})\index{senkrecht}, falls $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = 0$ gilt. + zueinander}\index{orthogonal!Vektoren} (oder \emph{$x$ steht senkrecht auf + $y$})\index{senkrecht}, falls $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = 0$ gilt. Als Kurzschreibweise: $\vec{x} \perp \vec{y}$. \item Es seien $U$, $W ⊂ V$ Untervektorräume. Dann heißen $U$ und $W$ \emph{orthogonal zueinander}\index{orthogonal!Untervektorräume}, falls für - alle $\vec{u} ∈ U$ und alle $\vec{w} ∈ W$ die Gleichung - $\langle \vec{u}, \vec{w} \rangle = 0$ gilt. + alle $\vec{u} ∈ U$ und alle $\vec{w} ∈ W$ die Gleichung $\langle \vec{u}, + \vec{w} \rangle = 0$ gilt. - \item\label{il:8-1-1-3} Es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann - definieren wir das \emph{orthogonale Komplement von $U$}\index{orthogonales - Komplement} als + \item\label{il:8-1-1-3} Es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann definieren + wir das \emph{orthogonale Komplement von $U$}\index{orthogonales Komplement} + als \[ U^\perp := \{ \vec{v} ∈ V : \vec{v} \perp \vec{u} \text{ für alle } \vec{u} ∈ U \}. @@ -45,10 +43,10 @@ Skalarproduktes. \langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = 0. \] Eine orthogonale Familie heißt \emph{orthonormal}\index{orthonormale Familie - von Vektoren}, falls zusätzlich für alle Indizes $i ∈ I$ die Gleichung - $\| \vec{v}_i \| = 1$ gilt. Eine orthonormale Familie heißt - \emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis} (kurz: ``ONB''), falls sie - zusätzlich eine Basis ist. + von Vektoren}, falls zusätzlich für alle Indizes $i ∈ I$ die Gleichung $\| + \vec{v}_i \| = 1$ gilt. Falls eine orthonormale Familie zusätzlich eine + Basis ist, dann nenne die Familie + \emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis} und schreibe kurz: „ONB“. \end{enumerate} \end{defn} @@ -60,15 +58,15 @@ Skalarproduktes. \begin{beobachtung} In der Situation von Definition~\ref{def:orth}, Punkt~\ref{il:8-1-1-3} gilt folgendes: Wenn $(u_i)_{i ∈ I}$ eine Basis von $U$ ist und $\vec{v} ∈ V$ - irgendein Vektor, dann ist $\vec{v} ∈ U^\perp$ genau dann, wenn - $\vec{v} \perp \vec{u}_i$ ist für alle Indizes $i ∈ I$. + irgendein Vektor, dann ist $\vec{v} ∈ U^\perp$ genau dann, wenn $\vec{v} \perp + \vec{u}_i$ ist für alle Indizes $i ∈ I$. \end{beobachtung} -\begin{rem}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{rem:8-1-4} - Wir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' bereits einen - Begriff von ``orthogonalen Unterraum''. Die Situation war die, dass es einen - $k$-Vektorraum $V$ gab und einen Untervektorraum $W ⊆ V$. In dieser - Situation war der ``orthogonale Unterraum'' der Raum +\begin{rem}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{rem:8-1-4}% + Wir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung „Lineare Algebra I“ bereits einen + Begriff von „orthogonalen Unterraum“. Die Situation war die, dass es einen + $k$-Vektorraum $V$ gab und einen Untervektorraum $W ⊆ V$. In dieser Situation + war der „orthogonale Unterraum“ der Raum \[ W⁰ := \{ f ∈ V^* \::\: W ⊆ \ker (f) \}. \] @@ -78,11 +76,10 @@ Skalarproduktes. \begin{bsp}[Der Standardraum $ℝ^n$] Betrachten den Vektorraum $ℝ^n$ mit dem Standardskalarprodukt. Dann ist die - Die Standardbasis eine Orthonormalbasis. Die Untervektorräume - $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2 \rangle$ und - $\langle \vec{e}_3, \vec{e}_4 \rangle$ sind orthogonal. Das orthogonale - Komplement des Unterraumes $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2 \rangle$ ist - $\langle \vec{e}_3, …, \vec{e}_n \rangle$. + Standardbasis eine Orthonormalbasis. Die Untervektorräume $\langle \vec{e}_1, + \vec{e}_2 \rangle$ und $\langle \vec{e}_3, \vec{e}_4 \rangle$ sind orthogonal. + Das orthogonale Komplement des Unterraumes $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2 + \rangle$ ist $\langle \vec{e}_3, …, \vec{e}_n \rangle$. \end{bsp} @@ -100,19 +97,18 @@ kann. Dieses Beispiel ist für den ganzen Abschnitt zentral. \rangle}{\langle \vec{v}_1, \vec{v}_1 \rangle}·\vec{v}_1. \] Dann gilt $\vec{v}_1 \perp \vec{v}\,'_2$. Zusätzlich gilt: wenn die Menge - $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ linear unabhängig ist, dann auch - $\{\vec{v}_1, \vec{v}\,'_2\}$. + $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ linear unabhängig ist, dann auch $\{\vec{v}_1, + \vec{v}\,'_2\}$. \end{bsp} -Wir bauen das ``Rezept, um Vektoren orthogonal machen'' ein wenig aus und -erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''. +Wir bauen das „Rezept, um Vektoren orthogonal machen“ ein wenig aus und erhalten +einen „Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen“. -\begin{satz}[Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen]\label{satz:8-2-2} - Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei - $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jede Orthonormalbasis +\begin{satz}[Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen]\label{satz:8-2-2}% + Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und + sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jede Orthonormalbasis $\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m\}$ von $U$ zu einer Orthonormalbasis - $\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m,\vec{u}_{m+1},…,\vec{u}_n\}$ von $V$ - ergänzen. + $\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m,\vec{u}_{m+1},…,\vec{u}_n\}$ von $V$ ergänzen. \end{satz} \begin{proof} \video{11-1} @@ -126,38 +122,35 @@ erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''. \begin{beobachtung}[Gram-Schmidt Verfahren] Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum. Der Beweis des Basisergänzungssatzes~\ref{satz:8-2-2} für Orthonormalbasen liefert - ein effektives, induktives Verfahren um aus einer gegebenen Basis - $\{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ von $V$ eine ONB - $\{ \vec{u}_1, …, \vec{u}_n \}$ zu konstruieren. Man startet so: + ein effektives, induktives Verfahren um aus einer gegebenen Basis $\{ + \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ von $V$ eine ONB $\{ \vec{u}_1, …, \vec{u}_n \}$ + zu konstruieren. Man startet so: \begin{itemize} \item Normiere. $\vec{u}_1 := \frac{1}{\| \vec{v}_1 \|}·\vec{v}_1$. - \item Definiere. - $\vec{u}\,'_2 := \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2, \vec{u}_1 \rangle· - \vec{u}_1$. + \item Definiere. $\vec{u}\,'_2 := \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2, \vec{u}_1 + \rangle· \vec{u}_1$. \item Normiere. $\vec{u}_2 := \frac{1}{\| \vec{u}\,'_2 \|}·\vec{u}\,'_2$. \end{itemize} Falls uns $\vec{u}_1, …, \vec{u}_k$ schon gegeben sind, gehe induktiv wie folgt vor: \begin{itemize} - \item Definiere. - $\vec{u}\,'_{k+1} := \vec{v}_{k+1} - \sum_{j=1}^{k} \langle \vec{v}_{k+1}, - \vec{u}_j \rangle·\vec{u}_j$. + \item Definiere. $\vec{u}\,'_{k+1} := \vec{v}_{k+1} - \sum_{j=1}^{k} \langle + \vec{v}_{k+1}, \vec{u}_j \rangle·\vec{u}_j$. \item Normiere. $\vec{u}_{k+1} := \frac{1}{\| \vec{u}\,'_{k+1} \|}·\vec{u}\,'_{k+1}$. \end{itemize} - Am Ende ist $\{\vec{u}_1, …, \vec{u}_n\}$ eine ONB. Zusätzlich gilt für - alle Indizes $i=1, …, n$ die Gleichheit von Untervektorräumen - $\langle \vec{u}_1, …, \vec{u}_i \rangle = \langle \vec{v}_1, …, - \vec{v}_i \rangle$. + Am Ende ist $\{\vec{u}_1, …, \vec{u}_n\}$ eine ONB. Zusätzlich gilt für alle + Indizes $i=1, …, n$ die Gleichheit von Untervektorräumen $\langle \vec{u}_1, + …, \vec{u}_i \rangle = \langle \vec{v}_1, …, \vec{v}_i \rangle$. \end{beobachtung} -\begin{satz}[Orthogonale Zerlegung]\label{satz:8-2-5} +\begin{satz}[Orthogonale Zerlegung]\label{satz:8-2-5}% Es sei $V$ ein endlich-dimensionale euklidischer oder unitärer Vektorraum. - Weiter sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jeder Vektor - $\vec{v} ∈ V$ eindeutig schreiben als + Weiter sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann lässt sich jeder Vektor $\vec{v} + ∈ V$ eindeutig schreiben als \[ \vec{v} = p(\vec{v}) + r(\vec{v}), \] @@ -169,24 +162,24 @@ erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''. Der Beweis von Satz~\ref{satz:8-2-5} liefert noch eine ganze Reihe von Zusatzinformationen, die wir hier festhalten. Das allerwichtigste ist die -Einsicht, dass $p$ eine lineare Abbildung liefert, die wir als ``orthogonale -Projektion'' bezeichnen. +Einsicht, dass $p$ eine lineare Abbildung liefert, die wir als „orthogonale +Projektion“ bezeichnen. \begin{beobachtung}[Orthogonale Projektion] In der Situation von Satz~\ref{satz:8-2-5} können wir die $p(\vec{v})$ wie folgt ausrechnen. Wenn eine ONB $(\vec{u}_i)_i$ von $U$ gegeben ist, dann ist \[ - p(\vec{v}) = \sum_i \langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle·\vec{u}_i + p(\vec{v}) = \sum_i \langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle·\vec{u}_i. \] - Insbesondere ist $p : V → U$ eine lineare Abbildung und es ist - $\ker p = U^\perp$. Man nennt $p$ die \emph{orthogonale Projektion auf den - Unterraum $U$}\index{orthogonale Projektion}. + Insbesondere ist $p : V → U$ eine lineare Abbildung und es ist $\ker p = + U^\perp$. Man nennt $p$ die \emph{orthogonale Projektion auf den Unterraum + $U$}\index{orthogonale Projektion}. \end{beobachtung} \begin{beobachtung}[Orthogonale Projektion minimiert Abstand zu Untervektorraum] In der Situation von Satz~\ref{satz:8-2-5} ist $p(\vec{v})$ genau derjenige - Punkt aus $U$, der den kleinsten Abstand zu $\vec{v}$ hat. Denn: Für - $\vec{w} ∈ U$, $\vec{w} ≠ 0$ gilt mit Pythagoras die folgende Ungleichung + Punkt aus $U$, der den kleinsten Abstand zu $\vec{v}$ hat. Denn: Für $\vec{w} + ∈ U$, $\vec{w} ≠ 0$ gilt mit Pythagoras die folgende Ungleichung \begin{align*} \| (p(\vec{v}) + \vec{w}) - \vec{v} \|² & = \| p(\vec{v})-\vec{v} \|² + \| \vec{w} \|² + \underbrace{\langle p(\vec{v})-\vec{v}, \vec{w} \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle \vec{w}, p(\vec{v})-\vec{v} \rangle}_{=0} \\ & ≥ \| p(\vec{v})-\vec{v} \|². @@ -199,13 +192,13 @@ Projektion'' bezeichnen. \subsection{Der Dualraum} \label{sec:dual} -\sideremark{Vorlesung 12}Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung ``Lineare -Algebra I'' ist der des ``Dualraum''. Alle Studenten lieben das. Ich erinnere: +\sideremark{Vorlesung 12}Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare +Algebra I“ ist der des „Dualraum“. Alle Studenten lieben das. Ich erinnere: wenn $k$ ein Körper ist und $V$ ein $k$-Vektorraum, dann ist der Dualraum $V^*$ genau der Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $k$. In Symbolen: $V^* := \Hom(V,k)$. Falls $V$ endlich-dimensional ist, haben wir bewiesen, dass $V$ und $V^*$ isomorph zueinander sind. Um einen konkreten Isomorphismus zu -finden wählte man erst einmal eine Basis $B = \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ und +finden, wählte man erst einmal eine Basis $B = \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ und betrachtet dann die duale Basis $B^* = \{\vec{v}^{\:*}_1, …, \vec{v}^{\:*}_n\}$ von $V^*$. Dabei waren die $\vec{v}^{\:*}_i : V → k$ diejenigen linearen Abbildungen, die die Gleichungen @@ -228,9 +221,9 @@ war. Die zentrale Einsicht in dieser Vorlesung folgende: wenn ich auf $V$ ein Skalarprodukt festlege, dann gibt es eine kanonische Identifikation von $V$ und $V^*$. -\begin{satz}\label{satz:8-3-1} - Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein - endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum. Dann ist die Abbildung +\begin{satz}\label{satz:8-3-1}% + Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler + euklidischer Vektorraum. Dann ist die Abbildung \[ s: V → V^*, \quad \vec{v} ↦ \langle • ,\vec{v} \rangle \] @@ -244,20 +237,20 @@ $V^*$. \end{proof} In Bemerkung~\ref{rem:8-1-4} hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang -zwischen den ``orthogonalen Unterräumen'' aus der Vorlesung ``Lineare Algebra -I'' und dem ``orthogonalen Komplement'' aus Definition~\ref{def:orth} zu klären. -Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein. +zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ +und dem „orthogonalen Komplement“ aus Definition~\ref{def:orth} zu klären. Der +folgende Satz löst dieses Versprechen ein. -\begin{satz}[Orthogonales Komplement und orthogonale Unterräume]\label{satz:8-3-3} - Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein - endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein +\begin{satz}[Orthogonales Komplement und orthogonale + Unterräume]\label{satz:8-3-3} Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ + ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Weiter sei $s : V → V^*$ der kanonische Isomorphismus aus - Satz~\ref{satz:8-3-1}. Dann gilt folgendes. + Satz~\ref{satz:8-3-1}. Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} \item\label{il:8-3-1-1} Es ist $s(U^\perp) = U⁰$. Insbesondere liefert die - Einschränkung $s|_{U^\perp} : U^\perp → U⁰$ einen Isomorphismus zwischen - den Vektorräumen $U^\perp$ und $U⁰$ und insbesondere ist - $\dim U^\perp = \dim U⁰$ (…nämlich gleich $\dim V - \dim U$). + Einschränkung $s|_{U^\perp} : U^\perp → U⁰$ einen Isomorphismus zwischen den + Vektorräumen $U^\perp$ und $U⁰$ und insbesondere ist $\dim U^\perp = \dim + U⁰$ (…nämlich gleich $\dim V - \dim U$). \item\label{il:8-3-1-2} Es existiert eine Zerlegung von $V$ in eine direkte Summe $V = U ⊕ U^\perp$. @@ -267,19 +260,19 @@ Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein. \video{12-3} \end{proof} -\begin{kor}\label{kro:8-3-3} - In der Situation von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt die Gleichheit - $\bigl( U^\perp \bigr)^\perp = U$. +\begin{kor}\label{kro:8-3-3}% + In der Situation von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt die Gleichheit $\bigl( U^\perp + \bigr)^\perp = U$. \end{kor} \begin{proof} Es genügt, die Inklusion $U ⊂ \bigl( U^\perp \bigr)^\perp$ zu zeigen; die - Gleichheit folgt mit Hilfe der Dimensionsformel~\ref{il:8-3-1-2} dann aus der + Gleichheit folgt mithilfe der Dimensionsformel~\ref{il:8-3-1-2} dann aus der Gleichheit der Dimensionen. Dazu verwende ich wieder meinen Textbaustein: Sei - ein beliebiger Vektor $\vec{u} ∈ U$ gegeben. Die Aussage - ``$\vec{u} ∈ \bigl( U^\perp \bigr)^\perp$ ist dann per Definition äquivalent - dazu, ist zu zeigen, dass gilt: + ein beliebiger Vektor $\vec{u} ∈ U$ gegeben. Die Aussage „$\vec{u} ∈ \bigl( + U^\perp \bigr)^\perp$“ ist dann per Definition äquivalent dazu, ist zu zeigen, + dass gilt: \[ - s(\vec{u}, \vec{v}) = 0, \quad \text{für alle }\vec{v} ∈ U^\perp + s(\vec{u}, \vec{v}) = 0, \quad \text{für alle }\vec{v} ∈ U^\perp. \] Das ist aber klar nach Definition von $U^\perp$. \end{proof} @@ -293,15 +286,14 @@ Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein. \subsubsection{Unitäre Vektorräume} Die Aussage von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt in leicht abgewandelter Form auch für -den Fall von unitären Vektorräumen. Falls -$\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler -unitärer Vektorraum ist, dann ist die Abbildung $s$ bijektiv und -\emph{semi-linear}\index{semi-lineare Abbildung}. Dabei bedeutet -``semi-linear'', dass für alle Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ V$ und alle -Skalare $λ ∈ ℂ$ die Gleichungen +den Fall von unitären Vektorräumen. Falls $\bigl(V, \langle •, • \rangle +\bigr)$ ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum ist, dann ist die +Abbildung $s$ bijektiv und \emph{semi-linear}\index{semi-lineare Abbildung}. +Dabei bedeutet „semi-linear“, dass für alle Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ V$ +und alle Skalare $λ ∈ ℂ$ die Gleichungen \[ f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \quad\text{und}\quad - f(λ·\vec{x}) = \overline{λ}·f(\vec{x}). + f(λ·\vec{x}) = \overline{λ}·f(\vec{x}) \] gelten. @@ -326,17 +318,16 @@ gelten. \subsection{Quotientenräume} Wir hatten in letzten Abschnitt das orthogonale Komplement eines -Untervektorraumes $U ⊂ V$ in kanonischer Weise mit dem Raum $U⁰$ -identifiziert, der uns aus der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' vertraut war. Es -gibt noch eine andere kanonische Identifikation des orthogonale Komplements mit -einem bekannten Vektorraum. +Untervektorraumes $U ⊂ V$ in kanonischer Weise mit dem Raum $U⁰$ identifiziert, +der uns aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ vertraut war. Es gibt noch eine +andere kanonische Identifikation des orthogonalen Komplements mit einem +bekannten Vektorraum. -\begin{satz}\label{satz:8-3-6} - Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein - endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein - Untervektorraum. Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem - Vektorraumquotienten $\factor{V}{U}$ und dem orthogonalen Komplement - $U^\perp$. +\begin{satz}\label{satz:8-3-6}% + Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler + euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum. Dann gibt es + einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem Vektorraumquotienten + $\factor{V}{U}$ und dem orthogonalen Komplement $U^\perp$. \end{satz} \begin{proof} \video{12-4} @@ -355,34 +346,33 @@ einem bekannten Vektorraum. Wir betrachten in diesem Abschnitt Abbildungen von euklidischen Vektorräumen und schauen, wie sich die kanonischen Identifikationen aus dem letzten Abschnitt unter Abbildungen verhalten --- das wird später noch sehr wichtig werden, wenn -wir ``selbstadjungierte Abbildungen'' diskutieren. Zuallererst legen wir die +wir „selbstadjungierte Abbildungen“ diskutieren. Zuallererst legen wir die Situation fest, die wir in diesem Abschnitt genau betrachten. -\begin{situation}[Mehrere euklidische Vektorräume]\label{sit:8-5-1} - Es seien $\bigl(V, \langle •, • \rangle_V \bigr)$ und - $\bigl(W, \langle •, • \rangle_W \bigr)$ zwei endlich-dimensional - euklidische Vektorräume. Die kanonischen Identifikationen der Räume mit ihren - Dualräumen bezeichnen wir mit +\begin{situation}[Mehrere euklidische Vektorräume]\label{sit:8-5-1}% + Es seien $\bigl(V, \langle •, • \rangle_V \bigr)$ und $\bigl(W, \langle •, • + \rangle_W \bigr)$ zwei endlich-dimensional euklidische Vektorräume. Die + kanonischen Identifikationen der Räume mit ihren Dualräumen bezeichnen wir mit \[ s_V: V → V^* \quad\text{und}\quad s_W: W → W^*. \] \end{situation} \begin{erinnerung} - Zu jeder linearen Abbildung $f: V → W$ haben wir in der Vorlesung ``Lineare - Algebra I'' eine ``Rückzugsabbildung'' zwischen den Dualräumen definiert, nämlich + Zu jeder linearen Abbildung $f: V → W$ haben wir in der Vorlesung „Lineare + Algebra I“ eine „Rückzugsabbildung“ zwischen den Dualräumen definiert, nämlich \[ f^* : W^* → V^*, \quad φ ↦ φ◦f. \] \end{erinnerung} -\begin{beobachtung}[Kanonische Identifikationen und Rückzugsabbildung]\label{beob:8-5-3} +\begin{beobachtung}[Kanonische Identifikationen und Rückzugsabbildung]\label{beob:8-5-3}% In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben. Betrachte das folgende Diagramm: \begin{equation}\label{eq:8-5-3-1} \begin{tikzcd}[column sep=3cm] V \arrow[r, "f"] \arrow[d, "s_V\text{, isomorph}"'] & W \arrow[d, "s_W\text{, isomorph}"]\\ - V^* & W^* \arrow[l, "f^*\text{, Rückzugsabbildung}"] + V^* & W^*. \arrow[l, "f^*\text{, Rückzugsabbildung}"] \end{tikzcd} \end{equation} Beim Betrachten des Diagramms~\eqref{eq:8-5-3-1} fällt auf, dass die @@ -390,26 +380,26 @@ Situation fest, die wir in diesem Abschnitt genau betrachten. Abbildungen $f$ und $f^*$ hängen nicht von der Wahl der Skalarprodukte ab. Daher können wir im Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass das Diagramm~\eqref{eq:8-5-3-1} kommutiert. Mit anderen Worten, wir können im - Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass die Abbildungen $s_V$ und - $f^*◦ s_W ◦ f$ besteht. Wir interessieren uns aber für Bedingungen, - die Gleichheit der Abbildungen sicherstellen! Dazu beobachten wir, dass die - Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W ◦ f$ gleich sind, falls für alle - $\vec{v} ∈ V$ die folgende Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt, + Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W ◦ + f$ besteht. Wir interessieren uns aber für Bedingungen, die Gleichheit der + Abbildungen sicherstellen! Dazu beobachten wir, dass die Abbildungen $s_V$ + und $f^*◦ s_W ◦ f$ gleich sind, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die folgende + Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt, \begin{equation}\label{eq:8-5-3-2} - s_V(\vec{v}) = \bigl(f^*◦ s_W ◦ f\bigr)(\vec{v}) + s_V(\vec{v}) = \bigl(f^*◦ s_W ◦ f\bigr)(\vec{v}). \end{equation} - Das lässt sich expliziter hinschreiben, indem ich die Definitionen von $s_V$, - $s_W$ und $f^*$ einsetze. Dann erhalte ich: die Abbildungen $s_V$ und - $f^*◦ s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die - folgende Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt, + Das lässt sich explizit hinschreiben, indem ich die Definitionen von $s_V$, + $s_W$ und $f^*$ einsetze. Dann erhalte ich: Die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ + s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die folgende Gleichheit von + Elementen im Dualraum $V^*$ gilt, \begin{align*} \langle •, \vec{v} \rangle_V % = f^* ◦ \bigl\langle •, f(\vec{v}) \bigr\rangle_W % = \bigl\langle f(•), f(\vec{v}) \bigr\rangle_W. \end{align*} - Das lässt sich noch einfacher formulieren: die Abbildungen $s_V$ und - $f^*◦ s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle - $\vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ die folgende Gleichheit von Skalaren gilt, + Das lässt sich noch einfacher formulieren: Die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W + ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ die folgende + Gleichheit von Skalaren gilt, \begin{align*} \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \rangle_V % = \bigl\langle f(\vec{v}_1), f(\vec{v}_2) \bigr\rangle_W. @@ -431,9 +421,9 @@ Die folgende Definition hilft, Beobachtung~\ref{beob:8-5-3} zu formalisieren. wird mit dem Symbol $f^{\ad}$ bezeichnet. \end{defn} -\begin{satz}[Einfache Eigenschaften der adjungierten Abbildung]\label{satz:8-4-5} +\begin{satz}[Einfache Eigenschaften der adjungierten Abbildung]\label{satz:8-4-5}% In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben. - Dann gilt folgendes. + Dann gilt Folgendes. \begin{enumerate} \item Die Abbildung $f^{\ad} : W → V$ ist linear. @@ -449,7 +439,7 @@ Die folgende Definition hilft, Beobachtung~\ref{beob:8-5-3} zu formalisieren. \sideremark{Vorlesung 13}\video{13-1} \end{proof} -\begin{prop}\label{prop:8-4-6} +\begin{prop}\label{prop:8-4-6}% In der Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben. Dann ist $f^{\ad} : W → V$ die einzige lineare Abbildung $W → V$, die Eigenschaft~\ref{il:8-5-4-2} erfüllt. @@ -473,7 +463,7 @@ Die Aussagen dieses Abschnittes gelten in leicht abgewandelter Form auch für unitäre Vektorräume. \begin{aufgabe}[Adjungierte Abbildung für unitäre Vektorräume] - Finden sie heraus, welche Aussagen genau gelten und schreiben Sie + Finden Sie heraus, welche Aussagen genau gelten und schreiben Sie schulbuchmäßige Beweise dieser Aussagen auf. \end{aufgabe}