Cleanup

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -51,3 +51,8 @@ Cauchy-Schwarzsche
 Cauchy
 Sceaux
 Amandus
+Orthonormalität
+Identifikationen
+semi-linear
+Quotientenräume
+Rückzugsabbildung

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -41,3 +41,12 @@
 {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QDann ergibt sich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, womit der Beweis der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung beendet ist.\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Positive Definitheit] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
 {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem Folgendes: Gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung „Lineare Algebra I“ bereits einen Begriff von „orthogonalen Unterraum“.\\E$"}
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWir werden in Abschnitt sec:dual sehen, wie die Begriffe zusammenhängen.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QVorlesung 12Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare Algebra I“ ist der des “Dualraum”.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QVorlesung 12Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare Algebra I“ ist der des „Dualraum“.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn Bemerkung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ und dem “orthogonalen Komplement” aus Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu klären.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QIn Bemerkung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ und dem „orthogonalen Komplement“ aus Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q zu klären.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QWir hatten in letzten Abschnitt das orthogonale Komplement eines Untervektorraumes \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q in kanonischer Weise mit dem Raum \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q identifiziert, der uns aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ vertraut war.\\E$"}
+{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QZu jeder linearen Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q haben wir in der Vorlesung „Lineare Algebra I“ eine „Rückzugsabbildung“ zwischen den Dualräumen definiert, nämlich \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QBetrachte das folgende Diagramm: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, isomorph \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, isomorph \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, Rückzugsabbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Beim Betrachten des Diagramms \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q fällt auf, dass die Abbildungen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q von der Wahl der Skalarprodukte abhängen.\\E$"}

07-Euclidian-Unitary.tex

@@ -78,16 +78,6 @@ unmittelbar aus der Definition folgen.
   Also ist $\| \vec{x} \| ≥ 0$ für alle $\vec{x} ∈ V$.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{bemerkung}[Satz des Pythagoras]
-  \index{Pythagoras!für Euklidische und unitäre Vektorräume}In der Situation von
-  Definition~\ref{def:norm} gilt der Satz des Pythagoras: gegeben Vektoren
-  $\vec{x}$ und $\vec{y}$ aus $V$, dann gilt
-  \[
-    \| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·Re\langle
-    \vec{x}, \vec{y} \rangle + \| \vec{y} \|².
-  \]
-\end{bemerkung}
-
 
 \subsection{Beispiele: Normen, die von Skalarprodukten kommen}
 
@@ -176,6 +166,16 @@ sie vielleicht aus der Vorlesung „Analysis“ schon kennen.
   Satz~\ref{satz:sin} bewiesen.
 \end{proof}
 
+\begin{bemerkung}[Satz des Pythagoras]
+  \index{Pythagoras!für Euklidische und unitäre Vektorräume}In der Situation von
+  Satz~\ref{satz:sin} gilt der Satz des Pythagoras: gegeben Vektoren $\vec{x}$
+  und $\vec{y}$ aus $V$, dann gilt
+  \[
+    \| \vec{x} + \vec{y} \|² = \| \vec{x} \|² + 2·Re\langle
+    \vec{x}, \vec{y} \rangle + \| \vec{y} \|².
+  \]
+\end{bemerkung}
+
 
 \subsection{Beispiele: Normen, die von Normen kommen}
 

08-Orthogonal.tex

@@ -3,36 +3,34 @@
 
 \chapter{Orthogonale Projektion}
 
-In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ stets ein
+In diesem Kapitel sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ stets ein euklidischer
-euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Wenn keine Verwechselungsgefahr besteht,
+oder unitärer Vektorraum.  Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, werden wir
-werden wir die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$
+die durch das Skalarprodukt induzierte Norm einfach mit $\|•\|$ bezeichnen.
-bezeichnen.
 
 
 \section{Orthogonalität und Orthonormalität}
 
-Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist ``orthogonal'', also
+Der zentrale Begriff in diesem Kapitel ist „orthogonal“, also „steht senkrecht
-``steht senkrecht aufeinander''.  Wir definieren ``orthogonal'' mit Hilfe des
+aufeinander“.  Wir definieren „orthogonal“ mithilfe des Skalarproduktes.
-Skalarproduktes.
 
-\begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth}
+\begin{defn}[Orthogonal]\label{def:orth}%
   Es sei $\bigl( V, \langle•,•\rangle\bigr)$ ein Euklidischer oder unitärer
   Vektorraum.
   \begin{enumerate}
   \item Es seien $\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ zwei Vektoren.  Man sagt,
     \emph{$\vec{x}$ und $\vec{y}$ sind orthogonal
-      zueinander}\index{orthogonal!Vektoren} (oder \emph{$x$ steht senkrecht auf
+    zueinander}\index{orthogonal!Vektoren} (oder \emph{$x$ steht senkrecht auf
-      $y$})\index{senkrecht}, falls $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = 0$ gilt.
+    $y$})\index{senkrecht}, falls $\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle = 0$ gilt.
     Als Kurzschreibweise: $\vec{x} \perp \vec{y}$.
     
   \item Es seien $U$, $W ⊂ V$ Untervektorräume.  Dann heißen $U$ und $W$
     \emph{orthogonal zueinander}\index{orthogonal!Untervektorräume}, falls für
-    alle $\vec{u} ∈ U$ und alle $\vec{w} ∈ W$ die Gleichung
+    alle $\vec{u} ∈ U$ und alle $\vec{w} ∈ W$ die Gleichung $\langle \vec{u},
-    $\langle \vec{u}, \vec{w} \rangle = 0$ gilt.
+    \vec{w} \rangle = 0$ gilt.
     
-  \item\label{il:8-1-1-3} Es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann
+  \item\label{il:8-1-1-3} Es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann definieren
-    definieren wir das \emph{orthogonale Komplement von $U$}\index{orthogonales
+    wir das \emph{orthogonale Komplement von $U$}\index{orthogonales Komplement}
-      Komplement} als
+    als
     \[
       U^\perp := \{ \vec{v} ∈ V : \vec{v} \perp \vec{u} \text{ für alle }
       \vec{u} ∈ U \}.
@@ -45,10 +43,10 @@ Skalarproduktes.
       \langle \vec{v}_i, \vec{v}_j \rangle = 0.
     \]
     Eine orthogonale Familie heißt \emph{orthonormal}\index{orthonormale Familie
-      von Vektoren}, falls zusätzlich für alle Indizes $i ∈ I$ die Gleichung
+    von Vektoren}, falls zusätzlich für alle Indizes $i ∈ I$ die Gleichung $\|
-    $\| \vec{v}_i \| = 1$ gilt.  Eine orthonormale Familie heißt
+    \vec{v}_i \| = 1$ gilt.  Falls eine orthonormale Familie zusätzlich eine
-    \emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis} (kurz: ``ONB''), falls sie
+    Basis ist, dann nenne die Familie
-    zusätzlich eine Basis ist.
+    \emph{Orthonormalbasis}\index{Orthonormalbasis} und schreibe kurz: „ONB“.
   \end{enumerate}
 \end{defn}
 
@@ -60,15 +58,15 @@ Skalarproduktes.
 \begin{beobachtung}
   In der Situation von Definition~\ref{def:orth}, Punkt~\ref{il:8-1-1-3} gilt
   folgendes: Wenn $(u_i)_{i ∈ I}$ eine Basis von $U$ ist und $\vec{v} ∈ V$
-  irgendein Vektor, dann ist $\vec{v} ∈ U^\perp$ genau dann, wenn
+  irgendein Vektor, dann ist $\vec{v} ∈ U^\perp$ genau dann, wenn $\vec{v} \perp
-  $\vec{v} \perp \vec{u}_i$ ist für alle Indizes $i ∈ I$.
+  \vec{u}_i$ ist für alle Indizes $i ∈ I$.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{rem}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{rem:8-1-4}
+\begin{rem}[Orthogonale Unterräume in LA1 - Dualraum]\label{rem:8-1-4}%
-  Wir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' bereits einen
+  Wir hatten in Kapitel 12 der Vorlesung „Lineare Algebra I“ bereits einen
-  Begriff von ``orthogonalen Unterraum''.  Die Situation war die, dass es einen
+  Begriff von „orthogonalen Unterraum“.  Die Situation war die, dass es einen
-  $k$-Vektorraum $V$ gab und einen Untervektorraum $W ⊆ V$.  In dieser
+  $k$-Vektorraum $V$ gab und einen Untervektorraum $W ⊆ V$.  In dieser Situation
-  Situation war der ``orthogonale Unterraum'' der Raum
+  war der „orthogonale Unterraum“ der Raum
   \[
     W⁰ := \{ f ∈ V^* \::\: W ⊆ \ker (f) \}.
   \]
@@ -78,11 +76,10 @@ Skalarproduktes.
 
 \begin{bsp}[Der Standardraum $ℝ^n$]
   Betrachten den Vektorraum $ℝ^n$ mit dem Standardskalarprodukt.  Dann ist die
-  Die Standardbasis eine Orthonormalbasis.  Die Untervektorräume
+  Standardbasis eine Orthonormalbasis.  Die Untervektorräume $\langle \vec{e}_1,
-  $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2 \rangle$ und
+  \vec{e}_2 \rangle$ und $\langle \vec{e}_3, \vec{e}_4 \rangle$ sind orthogonal.
-  $\langle \vec{e}_3, \vec{e}_4 \rangle$ sind orthogonal.  Das orthogonale
+  Das orthogonale Komplement des Unterraumes $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2
-  Komplement des Unterraumes $\langle \vec{e}_1, \vec{e}_2 \rangle$ ist
+  \rangle$ ist $\langle \vec{e}_3, …, \vec{e}_n \rangle$.
-  $\langle \vec{e}_3, …, \vec{e}_n \rangle$.
 \end{bsp}
 
 
@@ -100,19 +97,18 @@ kann.  Dieses Beispiel ist für den ganzen Abschnitt zentral.
       \rangle}{\langle \vec{v}_1, \vec{v}_1 \rangle}·\vec{v}_1.
   \]
   Dann gilt $\vec{v}_1 \perp \vec{v}\,'_2$.  Zusätzlich gilt: wenn die Menge
-  $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ linear unabhängig ist, dann auch
+  $\{\vec{v}_1, \vec{v}_2\}$ linear unabhängig ist, dann auch $\{\vec{v}_1,
-  $\{\vec{v}_1, \vec{v}\,'_2\}$.
+  \vec{v}\,'_2\}$.
 \end{bsp}
 
-Wir bauen das ``Rezept, um Vektoren orthogonal machen'' ein wenig aus und
+Wir bauen das „Rezept, um Vektoren orthogonal machen“ ein wenig aus und erhalten
-erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''.
+einen „Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen“.
 
-\begin{satz}[Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen]\label{satz:8-2-2}
+\begin{satz}[Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen]\label{satz:8-2-2}%
-  Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und sei
+  Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum und
-  $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann lässt sich jede Orthonormalbasis
+  sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann lässt sich jede Orthonormalbasis
   $\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m\}$ von $U$ zu einer Orthonormalbasis
-  $\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m,\vec{u}_{m+1},…,\vec{u}_n\}$ von $V$
+  $\{\vec{u}_1,…,\vec{u}_m,\vec{u}_{m+1},…,\vec{u}_n\}$ von $V$ ergänzen.
-  ergänzen.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   \video{11-1}
@@ -126,38 +122,35 @@ erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''.
 \begin{beobachtung}[Gram-Schmidt Verfahren]
   Sei $V$ ein endlich-dimensionaler euklidischer oder unitärer Vektorraum.  Der
   Beweis des Basisergänzungssatzes~\ref{satz:8-2-2} für Orthonormalbasen liefert
-  ein effektives, induktives Verfahren um aus einer gegebenen Basis
+  ein effektives, induktives Verfahren um aus einer gegebenen Basis $\{
-  $\{ \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ von $V$ eine ONB
+  \vec{v}_1, …, \vec{v}_n \}$ von $V$ eine ONB $\{ \vec{u}_1, …, \vec{u}_n \}$
-  $\{ \vec{u}_1, …, \vec{u}_n \}$ zu konstruieren.  Man startet so:
+  zu konstruieren.  Man startet so:
   \begin{itemize}
   \item Normiere.  $\vec{u}_1 := \frac{1}{\| \vec{v}_1 \|}·\vec{v}_1$.
     
-  \item Definiere.
+  \item Definiere. $\vec{u}\,'_2 := \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2, \vec{u}_1
-    $\vec{u}\,'_2 := \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2, \vec{u}_1 \rangle·
+    \rangle· \vec{u}_1$.
-    \vec{u}_1$.
     
   \item Normiere.  $\vec{u}_2 := \frac{1}{\| \vec{u}\,'_2 \|}·\vec{u}\,'_2$.
   \end{itemize}
   Falls uns $\vec{u}_1, …, \vec{u}_k$ schon gegeben sind, gehe induktiv wie
   folgt vor:
   \begin{itemize}
-  \item Definiere.
+  \item Definiere. $\vec{u}\,'_{k+1} := \vec{v}_{k+1} - \sum_{j=1}^{k} \langle
-    $\vec{u}\,'_{k+1} := \vec{v}_{k+1} - \sum_{j=1}^{k} \langle \vec{v}_{k+1},
+    \vec{v}_{k+1}, \vec{u}_j \rangle·\vec{u}_j$.
-      \vec{u}_j \rangle·\vec{u}_j$.
   
     \item Normiere.
       $\vec{u}_{k+1} := \frac{1}{\| \vec{u}\,'_{k+1} \|}·\vec{u}\,'_{k+1}$.
   \end{itemize}
-  Am Ende ist $\{\vec{u}_1, …, \vec{u}_n\}$ eine ONB.  Zusätzlich gilt für
+  Am Ende ist $\{\vec{u}_1, …, \vec{u}_n\}$ eine ONB.  Zusätzlich gilt für alle
-  alle Indizes $i=1, …, n$ die Gleichheit von Untervektorräumen
+  Indizes $i=1, …, n$ die Gleichheit von Untervektorräumen $\langle \vec{u}_1,
-  $\langle \vec{u}_1, …, \vec{u}_i \rangle = \langle \vec{v}_1, …,
+  …, \vec{u}_i \rangle = \langle \vec{v}_1, …, \vec{v}_i \rangle$.
-  \vec{v}_i \rangle$.
 \end{beobachtung}
 
-\begin{satz}[Orthogonale Zerlegung]\label{satz:8-2-5}
+\begin{satz}[Orthogonale Zerlegung]\label{satz:8-2-5}%
   Es sei $V$ ein endlich-dimensionale euklidischer oder unitärer Vektorraum.
-  Weiter sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann lässt sich jeder Vektor
+  Weiter sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann lässt sich jeder Vektor $\vec{v}
-  $\vec{v} ∈ V$ eindeutig schreiben als
+  ∈ V$ eindeutig schreiben als
   \[
     \vec{v} = p(\vec{v}) + r(\vec{v}),
   \]
@@ -169,24 +162,24 @@ erhalten einen ``Basisergänzungssatz für Orthonormalbasen''.
 
 Der Beweis von Satz~\ref{satz:8-2-5} liefert noch eine ganze Reihe von
 Zusatzinformationen, die wir hier festhalten.  Das allerwichtigste ist die
-Einsicht, dass $p$ eine lineare Abbildung liefert, die wir als ``orthogonale
+Einsicht, dass $p$ eine lineare Abbildung liefert, die wir als „orthogonale
-Projektion'' bezeichnen.
+Projektion“ bezeichnen.
 
 \begin{beobachtung}[Orthogonale Projektion]
   In der Situation von Satz~\ref{satz:8-2-5} können wir die $p(\vec{v})$ wie
   folgt ausrechnen.  Wenn eine ONB $(\vec{u}_i)_i$ von $U$ gegeben ist, dann ist
   \[
-    p(\vec{v}) = \sum_i \langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle·\vec{u}_i
+    p(\vec{v}) = \sum_i \langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle·\vec{u}_i.
   \]
-  Insbesondere ist $p : V → U$ eine lineare Abbildung und es ist
+  Insbesondere ist $p : V → U$ eine lineare Abbildung und es ist $\ker p =
-  $\ker p = U^\perp$.  Man nennt $p$ die \emph{orthogonale Projektion auf den
+  U^\perp$.  Man nennt $p$ die \emph{orthogonale Projektion auf den Unterraum
-    Unterraum $U$}\index{orthogonale Projektion}.
+  $U$}\index{orthogonale Projektion}.
 \end{beobachtung}
 
 \begin{beobachtung}[Orthogonale Projektion minimiert Abstand zu Untervektorraum]
   In der Situation von Satz~\ref{satz:8-2-5} ist $p(\vec{v})$ genau derjenige
-  Punkt aus $U$, der den kleinsten Abstand zu $\vec{v}$ hat.  Denn: Für
+  Punkt aus $U$, der den kleinsten Abstand zu $\vec{v}$ hat.  Denn: Für $\vec{w}
-  $\vec{w} ∈ U$, $\vec{w} ≠ 0$ gilt mit Pythagoras die folgende Ungleichung
+  ∈ U$, $\vec{w} ≠ 0$ gilt mit Pythagoras die folgende Ungleichung
   \begin{align*}
     \| (p(\vec{v}) + \vec{w}) - \vec{v} \|² & = \| p(\vec{v})-\vec{v} \|² + \| \vec{w} \|² + \underbrace{\langle p(\vec{v})-\vec{v}, \vec{w} \rangle}_{=0} + \underbrace{\langle \vec{w}, p(\vec{v})-\vec{v} \rangle}_{=0} \\
     & ≥ \| p(\vec{v})-\vec{v} \|².
@@ -199,13 +192,13 @@ Projektion'' bezeichnen.
 \subsection{Der Dualraum}
 \label{sec:dual}
 
-\sideremark{Vorlesung 12}Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung ``Lineare
+\sideremark{Vorlesung 12}Einer der beliebtesten Begriffe der Vorlesung „Lineare
-Algebra I'' ist der des ``Dualraum''.  Alle Studenten lieben das.  Ich erinnere:
+Algebra I“ ist der des „Dualraum“.  Alle Studenten lieben das.  Ich erinnere:
 wenn $k$ ein Körper ist und $V$ ein $k$-Vektorraum, dann ist der Dualraum $V^*$
 genau der Vektorraum der linearen Abbildungen von $V$ nach $k$.  In Symbolen:
 $V^* := \Hom(V,k)$.  Falls $V$ endlich-dimensional ist, haben wir bewiesen, dass
 $V$ und $V^*$ isomorph zueinander sind.  Um einen konkreten Isomorphismus zu
-finden wählte man erst einmal eine Basis $B = \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ und
+finden, wählte man erst einmal eine Basis $B = \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$ und
 betrachtet dann die duale Basis $B^* = \{\vec{v}^{\:*}_1, …, \vec{v}^{\:*}_n\}$
 von $V^*$.  Dabei waren die $\vec{v}^{\:*}_i : V → k$ diejenigen linearen
 Abbildungen, die die Gleichungen
@@ -228,9 +221,9 @@ war.  Die zentrale Einsicht in dieser Vorlesung folgende: wenn ich auf $V$ ein
 Skalarprodukt festlege, dann gibt es eine kanonische Identifikation von $V$ und
 $V^*$.
 
-\begin{satz}\label{satz:8-3-1}
+\begin{satz}\label{satz:8-3-1}%
-  Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein
+  Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
-  endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum.  Dann ist die Abbildung
+  euklidischer Vektorraum.  Dann ist die Abbildung
   \[
     s: V → V^*, \quad \vec{v} ↦ \langle • ,\vec{v} \rangle
   \]
@@ -244,20 +237,20 @@ $V^*$.
 \end{proof}
 
 In Bemerkung~\ref{rem:8-1-4} hatte ich schon versprochen, den Zusammenhang
-zwischen den ``orthogonalen Unterräumen'' aus der Vorlesung ``Lineare Algebra
+zwischen den „orthogonalen Unterräumen“ aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“
-I'' und dem ``orthogonalen Komplement'' aus Definition~\ref{def:orth} zu klären.
+und dem „orthogonalen Komplement“ aus Definition~\ref{def:orth} zu klären. Der
-Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
+folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
 
-\begin{satz}[Orthogonales Komplement und orthogonale Unterräume]\label{satz:8-3-3}
+\begin{satz}[Orthogonales Komplement und orthogonale
-  Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein
+  Unterräume]\label{satz:8-3-3} Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$
-  endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein
+  ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein
   Untervektorraum.  Weiter sei $s : V → V^*$ der kanonische Isomorphismus aus
-  Satz~\ref{satz:8-3-1}.  Dann gilt folgendes.
+  Satz~\ref{satz:8-3-1}.  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:8-3-1-1} Es ist $s(U^\perp) = U⁰$.  Insbesondere liefert die
-    Einschränkung $s|_{U^\perp} : U^\perp → U⁰$ einen Isomorphismus zwischen
+    Einschränkung $s|_{U^\perp} : U^\perp → U⁰$ einen Isomorphismus zwischen den
-    den Vektorräumen $U^\perp$ und $U⁰$ und insbesondere ist
+    Vektorräumen $U^\perp$ und $U⁰$ und insbesondere ist $\dim U^\perp = \dim
-    $\dim U^\perp = \dim U⁰$ (…nämlich gleich $\dim V - \dim U$).
+    U⁰$ (…nämlich gleich $\dim V - \dim U$).
     
   \item\label{il:8-3-1-2} Es existiert eine Zerlegung von $V$ in eine direkte
     Summe $V = U ⊕ U^\perp$.
@@ -267,19 +260,19 @@ Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
   \video{12-3}
 \end{proof}
 
-\begin{kor}\label{kro:8-3-3}
+\begin{kor}\label{kro:8-3-3}%
-  In der Situation von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt die Gleichheit
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt die Gleichheit $\bigl( U^\perp
-  $\bigl( U^\perp \bigr)^\perp = U$.
+  \bigr)^\perp = U$.
 \end{kor}
 \begin{proof}
   Es genügt, die Inklusion $U ⊂ \bigl( U^\perp \bigr)^\perp$ zu zeigen; die
-  Gleichheit folgt mit Hilfe der Dimensionsformel~\ref{il:8-3-1-2} dann aus der
+  Gleichheit folgt mithilfe der Dimensionsformel~\ref{il:8-3-1-2} dann aus der
   Gleichheit der Dimensionen.  Dazu verwende ich wieder meinen Textbaustein: Sei
-  ein beliebiger Vektor $\vec{u} ∈ U$ gegeben.  Die Aussage
+  ein beliebiger Vektor $\vec{u} ∈ U$ gegeben.  Die Aussage „$\vec{u} ∈ \bigl(
-  ``$\vec{u} ∈ \bigl( U^\perp \bigr)^\perp$ ist dann per Definition äquivalent
+  U^\perp \bigr)^\perp$“ ist dann per Definition äquivalent dazu, ist zu zeigen,
-  dazu, ist zu zeigen, dass gilt:
+  dass gilt:
   \[
-    s(\vec{u}, \vec{v}) = 0, \quad \text{für alle }\vec{v} ∈ U^\perp
+    s(\vec{u}, \vec{v}) = 0, \quad \text{für alle }\vec{v} ∈ U^\perp.
   \]
   Das ist aber klar nach Definition von $U^\perp$.
 \end{proof}
@@ -293,15 +286,14 @@ Der folgende Satz löst dieses Versprechen ein.
 \subsubsection{Unitäre Vektorräume}
 
 Die Aussage von Satz~\ref{satz:8-3-1} gilt in leicht abgewandelter Form auch für
-den Fall von unitären Vektorräumen.  Falls
+den Fall von unitären Vektorräumen.  Falls $\bigl(V, \langle •, • \rangle
-$\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
+\bigr)$ ein endlich-dimensionaler unitärer Vektorraum ist, dann ist die
-unitärer Vektorraum ist, dann ist die Abbildung $s$ bijektiv und
+Abbildung $s$ bijektiv und \emph{semi-linear}\index{semi-lineare Abbildung}.
-\emph{semi-linear}\index{semi-lineare Abbildung}.  Dabei bedeutet
+Dabei bedeutet „semi-linear“, dass für alle Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ V$
-``semi-linear'', dass für alle Vektoren $\vec{x}$ und $\vec{y} ∈ V$ und alle
+und alle Skalare $λ ∈ ℂ$ die Gleichungen
-Skalare $λ ∈ ℂ$ die Gleichungen
 \[
   f(\vec{x}+\vec{y}) = f(\vec{x}) + f(\vec{y}) \quad\text{und}\quad
-  f(λ·\vec{x}) = \overline{λ}·f(\vec{x}).
+  f(λ·\vec{x}) = \overline{λ}·f(\vec{x})
 \]
 gelten.
 
@@ -326,17 +318,16 @@ gelten.
 \subsection{Quotientenräume}
 
 Wir hatten in letzten Abschnitt das orthogonale Komplement eines
-Untervektorraumes $U ⊂ V$ in kanonischer Weise mit dem Raum $U⁰$
+Untervektorraumes $U ⊂ V$ in kanonischer Weise mit dem Raum $U⁰$ identifiziert,
-identifiziert, der uns aus der Vorlesung ``Lineare Algebra I'' vertraut war.  Es
+der uns aus der Vorlesung „Lineare Algebra I“ vertraut war.  Es gibt noch eine
-gibt noch eine andere kanonische Identifikation des orthogonale Komplements mit
+andere kanonische Identifikation des orthogonalen Komplements mit einem
-einem bekannten Vektorraum.
+bekannten Vektorraum.
 
-\begin{satz}\label{satz:8-3-6}
+\begin{satz}\label{satz:8-3-6}%
-  Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein
+  Es sei $\bigl(V, \langle •, • \rangle \bigr)$ ein endlich-dimensionaler
-  endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein
+  euklidischer Vektorraum und es sei $U ⊂ V$ ein Untervektorraum.  Dann gibt es
-  Untervektorraum.  Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem
+  einen kanonischen Isomorphismus zwischen dem Vektorraumquotienten
-  Vektorraumquotienten $\factor{V}{U}$ und dem orthogonalen Komplement
+  $\factor{V}{U}$ und dem orthogonalen Komplement $U^\perp$.
-  $U^\perp$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
   \video{12-4}
@@ -355,34 +346,33 @@ einem bekannten Vektorraum.
 Wir betrachten in diesem Abschnitt Abbildungen von euklidischen Vektorräumen und
 schauen, wie sich die kanonischen Identifikationen aus dem letzten Abschnitt
 unter Abbildungen verhalten --- das wird später noch sehr wichtig werden, wenn
-wir ``selbstadjungierte Abbildungen'' diskutieren.  Zuallererst legen wir die
+wir „selbstadjungierte Abbildungen“ diskutieren.  Zuallererst legen wir die
 Situation fest, die wir in diesem Abschnitt genau betrachten.
 
-\begin{situation}[Mehrere euklidische Vektorräume]\label{sit:8-5-1}
+\begin{situation}[Mehrere euklidische Vektorräume]\label{sit:8-5-1}%
-  Es seien $\bigl(V, \langle •, • \rangle_V \bigr)$ und
+  Es seien $\bigl(V, \langle •, • \rangle_V \bigr)$ und $\bigl(W, \langle •, •
-  $\bigl(W, \langle •, • \rangle_W \bigr)$ zwei endlich-dimensional
+  \rangle_W \bigr)$ zwei endlich-dimensional euklidische Vektorräume.  Die
-  euklidische Vektorräume.  Die kanonischen Identifikationen der Räume mit ihren
+  kanonischen Identifikationen der Räume mit ihren Dualräumen bezeichnen wir mit
-  Dualräumen bezeichnen wir mit
   \[
     s_V: V → V^* \quad\text{und}\quad s_W: W → W^*.
   \]
 \end{situation}
 
 \begin{erinnerung}
-  Zu jeder linearen Abbildung $f: V → W$ haben wir in der Vorlesung ``Lineare
+  Zu jeder linearen Abbildung $f: V → W$ haben wir in der Vorlesung „Lineare
-  Algebra I'' eine ``Rückzugsabbildung'' zwischen den Dualräumen definiert, nämlich
+  Algebra I“ eine „Rückzugsabbildung“ zwischen den Dualräumen definiert, nämlich
   \[
     f^* : W^* → V^*, \quad φ ↦ φ◦f.
   \]
 \end{erinnerung}
 
-\begin{beobachtung}[Kanonische Identifikationen und Rückzugsabbildung]\label{beob:8-5-3}
+\begin{beobachtung}[Kanonische Identifikationen und Rückzugsabbildung]\label{beob:8-5-3}%
   In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben.
   Betrachte das folgende Diagramm:
   \begin{equation}\label{eq:8-5-3-1}
     \begin{tikzcd}[column sep=3cm]
       V \arrow[r, "f"] \arrow[d, "s_V\text{, isomorph}"'] & W \arrow[d, "s_W\text{, isomorph}"]\\
-      V^* & W^* \arrow[l, "f^*\text{, Rückzugsabbildung}"]
+      V^* & W^*. \arrow[l, "f^*\text{, Rückzugsabbildung}"]
     \end{tikzcd}
   \end{equation}
   Beim Betrachten des Diagramms~\eqref{eq:8-5-3-1} fällt auf, dass die
@@ -390,26 +380,26 @@ Situation fest, die wir in diesem Abschnitt genau betrachten.
   Abbildungen $f$ und $f^*$ hängen nicht von der Wahl der Skalarprodukte ab.
   Daher können wir im Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass das
   Diagramm~\eqref{eq:8-5-3-1} kommutiert.  Mit anderen Worten, wir können im
-  Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass die Abbildungen $s_V$ und
+  Allgemeinen \emph{nicht} erwarten, dass die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W ◦
-  $f^*◦ s_W ◦ f$ besteht.  Wir interessieren uns aber für Bedingungen,
+  f$ besteht.  Wir interessieren uns aber für Bedingungen, die Gleichheit der
-  die Gleichheit der Abbildungen sicherstellen!  Dazu beobachten wir, dass die
+  Abbildungen sicherstellen!  Dazu beobachten wir, dass die Abbildungen $s_V$
-  Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W ◦ f$ gleich sind, falls für alle
+  und $f^*◦ s_W ◦ f$ gleich sind, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die folgende
-  $\vec{v} ∈ V$ die folgende Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
+  Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
   \begin{equation}\label{eq:8-5-3-2}
-    s_V(\vec{v}) = \bigl(f^*◦ s_W ◦ f\bigr)(\vec{v})
+    s_V(\vec{v}) = \bigl(f^*◦ s_W ◦ f\bigr)(\vec{v}).
   \end{equation}
-  Das lässt sich expliziter hinschreiben, indem ich die Definitionen von $s_V$,
+  Das lässt sich explizit hinschreiben, indem ich die Definitionen von $s_V$,
-  $s_W$ und $f^*$ einsetze.  Dann erhalte ich: die Abbildungen $s_V$ und
+  $s_W$ und $f^*$ einsetze.  Dann erhalte ich: Die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦
-  $f^*◦ s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die
+  s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v} ∈ V$ die folgende Gleichheit von
-  folgende Gleichheit von Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
+  Elementen im Dualraum $V^*$ gilt,
   \begin{align*}
     \langle •, \vec{v} \rangle_V %
     = f^* ◦ \bigl\langle •, f(\vec{v}) \bigr\rangle_W %
     = \bigl\langle f(•), f(\vec{v}) \bigr\rangle_W.
   \end{align*}
-  Das lässt sich noch einfacher formulieren: die Abbildungen $s_V$ und
+  Das lässt sich noch einfacher formulieren: Die Abbildungen $s_V$ und $f^*◦ s_W
-  $f^*◦ s_W ◦ f$ sind gleich, falls für alle
+  ◦ f$ sind gleich, falls für alle $\vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ die folgende
-  $\vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ die folgende Gleichheit von Skalaren gilt,
+  Gleichheit von Skalaren gilt,
   \begin{align*}
     \langle \vec{v}_1, \vec{v}_2 \rangle_V %
     = \bigl\langle f(\vec{v}_1), f(\vec{v}_2) \bigr\rangle_W.
@@ -431,9 +421,9 @@ Die folgende Definition hilft, Beobachtung~\ref{beob:8-5-3} zu formalisieren.
   wird mit dem Symbol $f^{\ad}$ bezeichnet.
 \end{defn}
 
-\begin{satz}[Einfache Eigenschaften der adjungierten Abbildung]\label{satz:8-4-5}
+\begin{satz}[Einfache Eigenschaften der adjungierten Abbildung]\label{satz:8-4-5}%
   In Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$ gegeben.
-  Dann gilt folgendes.
+  Dann gilt Folgendes.
   \begin{enumerate}
   \item Die Abbildung $f^{\ad} : W → V$ ist linear.
     
@@ -449,7 +439,7 @@ Die folgende Definition hilft, Beobachtung~\ref{beob:8-5-3} zu formalisieren.
   \sideremark{Vorlesung 13}\video{13-1}
 \end{proof}
 
-\begin{prop}\label{prop:8-4-6}
+\begin{prop}\label{prop:8-4-6}%
   In der Situation~\ref{sit:8-5-1} sei eine lineare Abbildung $f: V → W$
   gegeben.  Dann ist $f^{\ad} : W → V$ die einzige lineare Abbildung $W → V$,
   die Eigenschaft~\ref{il:8-5-4-2} erfüllt.
@@ -473,7 +463,7 @@ Die Aussagen dieses Abschnittes gelten in leicht abgewandelter Form auch für
 unitäre Vektorräume.
 
 \begin{aufgabe}[Adjungierte Abbildung für unitäre Vektorräume]
-  Finden sie heraus, welche Aussagen genau gelten und schreiben Sie
+  Finden Sie heraus, welche Aussagen genau gelten und schreiben Sie
   schulbuchmäßige Beweise dieser Aussagen auf.
 \end{aufgabe}