kebekus/LineareAlgebra2
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@ -36,3 +36,8 @@ abstandserhaltende
Definitheit Definitheit
ONB ONB
Kronecker-Delta Kronecker-Delta
semidefinit
Bytestrings
Bilinearität
Semilinearität
Sesquilinearlinearform

16
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
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@ -17,3 +17,19 @@
{"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Pythagoras \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist abstandserhaltend \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"KOMMA_ZWISCHEN_HAUPT_UND_NEBENSATZ","sentence":"^\\QDann gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Pythagoras \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist abstandserhaltend \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKpte.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QKpte.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität im zweiten Argument] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
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{"rule":"UNPAIRED_BRACKETS","sentence":"^\\Q“Velociraptoren” sind etwas ganz anderes als “romantische Gefühle”, auch wenn beide Menschen verzehren.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, so dass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDidaktisch ist das eine Katastrophe – wir haben in der Vorlesung „Lineare Algebra I“ jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Bilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dann gibt es genau eine Bilinearform \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt, dass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q ist.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QGenauer: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\QBilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q-Matrizen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qsymm.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBilinearformen \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Qsymm.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QLesson learned: Matrizen können sowohl lineare Abbildungen (insbesondere: Endomorphismen) als auch bilineare Abbildungen zu beschreiben.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDie wesentliche Eigenschaft von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q war zusammengefasst in der Kommutativität des folgenden Diagramms, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q In einer Zeile: \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QSesqui = Eineinhalb\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Linearität in der ersten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\Q[Semilinearität in der zweiten Komponente] Für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"KOMMA_VOR_ERLAEUTERUNG","sentence":"^\\QBeachten Sie, dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in Paris) war ein französischer Mathematiker.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWill ich das wirklich wissen?.\\E$"}

248
06-Produkte.tex
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@ -8,26 +8,26 @@
\section{Bilinearformen und Skalarprodukte} \section{Bilinearformen und Skalarprodukte}
\label{sec:skalar} \label{sec:skalar}
\sideremark{Vorlesung 8}Der Name ``Standardskalarprodukt'' sagt es schon: es \sideremark{Vorlesung 8}Der Name „Standardskalarprodukt“ sagt es schon: Es gibt
gibt noch andere Skalarprodukte. Das Ziel dieses Abschnittes ist es, noch andere Skalarprodukte. Das Ziel dieses Abschnittes ist es, Skalarprodukte
Skalarprodukte (und später auch Hermitesche Produkte) ganz allgemein einzuführen (und später auch Hermitesche Produkte) ganz allgemein einzuführen und zu
und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen. diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
\begin{defn}[Bilinearformen]\label{def:6-1-1} \begin{defn}[Bilinearformen]\label{def:6-1-1}
Es sei $k$ ein Körper und $V$ ein $k$-Vektorraum. Eine Abbildung Es sei $k$ ein Körper und $V$ ein $k$-Vektorraum. Eine Abbildung
$b: V ⨯ V → k$ heißt \emph{bilinear}\index{bilineare Abbildung} oder $b: V⨯V → k$ heißt \emph{bilinear}\index{bilineare Abbildung} oder
\emph{Bilinearform}\index{Bilinearform}, falls Folgendes gilt. \emph{Bilinearform}\index{Bilinearform}, falls Folgendes gilt.
\begin{description} \begin{description}
\item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}
$\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V $ und für alle $λ ∈ k$ gilt ∈ V $ und für alle $λ ∈ k$ gilt
\[ \[
b(\vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z}) = b(\vec{x}, \vec{z}) + b(\vec{x} + λ·\vec{y}, \vec{z}) = b(\vec{x}, \vec{z}) +
λ·b(\vec{y}, \vec{z}). λ·b(\vec{y}, \vec{z}).
\] \]
\item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle \item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle $\vec{x}, \vec{y},
$\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
\[ \[
b(\vec{x}, \vec{y} + λ \vec{z}) = b(\vec{x}, \vec{y}) + b(\vec{x}, \vec{y} + λ \vec{z}) = b(\vec{x}, \vec{y}) +
λ·b(\vec{x}, \vec{z}) . λ·b(\vec{x}, \vec{z}) .
@ -35,47 +35,45 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
\end{description} \end{description}
\end{defn} \end{defn}
\begin{beobachtung}[Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-2} \begin{beobachtung}[Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-2}%
Wenn ich eine Bilinearform mit einem Skalar multipliziere, erhalte ich eine Wenn ich eine Bilinearform mit einem Skalar multipliziere, erhalte ich eine
neue Bilinearform. Ebenso kann ich zwei Bilinearformen zu einer neuen neue Bilinearform. Ebenso kann ich zwei Bilinearformen zu einer neuen
Bilinearform addieren. Die Menge der bilinearen Abbildungen bildet mit diesen Bilinearform addieren. Die Menge der bilinearen Abbildungen bildet mit diesen
Verknüpfungen einen $k$-Vektorraum. Verknüpfungen einen $k$-Vektorraum.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{bsp}[Matrizen geben bilineare Abbildungen]\label{bsp:mgba} \begin{bsp}[Matrizen geben bilineare Abbildungen]\label{bsp:mgba}%
Betrachte den Vektorraum $V = k^n$ und wähle eine beliebige Betrachte den Vektorraum $V = k^n$ und wähle eine beliebige $n⨯n$-Matrix $B$.
$n ⨯ n$-Matrix $B$. Dann ist die Abbildung Dann ist die Abbildung
\[ \[
b : k^n ⨯ k^n → k, \quad (\vec{v},\vec{w}) ↦ b : k^n ⨯ k^n → k, \quad (\vec{v},\vec{w}) ↦
\vec{v}^{\:t}·B·\vec{w} \vec{v}^{\:t}·B·\vec{w}
\] \]
bilinear, wobei $•^t$ die Transponierte von $•$ ist\footnote{Ich bilinear, wobei $•^t$ die Transponierte von $•$ ist\footnote{Ich bin nicht
bin nicht mehr sicher, ob ich in der Vorlesung LA1 $•^t$ oder mehr sicher, ob ich in der Vorlesung LA1 $•^t$ oder $^t•$ geschrieben habe.
$^t•$ geschrieben habe. Beim Tippen schaut $•^t$ viel besser Beim Tippen schaut $•^t$ viel besser aus.}. Beachte dazu, dass $\vec{w}$ und
aus.}. Beachte dazu, dass $\vec{w}$ und $B·\vec{w}$ Spaltenvektoren sind, $B·\vec{w}$ Spaltenvektoren sind, und dass $\vec{v}^t$ ein Zeilenvektor ist.
und dass $\vec{v}^t$ ein Zeilenvektor ist. Das Produkt von einem Zeilenvektor Das Produkt von einem Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor ist eine $1⨯
mit einem Spaltenvektor ist eine $1⨯ 1$-Matrix; die Definition von $b$ 1$-Matrix; die Definition von $b$ ist so zu verstehen, dass wir $1⨯
ist so zu verstehen, dass wir $1⨯ 1$-Matrizen mit den Skalaren 1$-Matrizen mit den Skalaren identifizieren.
identifizieren.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{defn}[Symmetrische Bilinearform] \begin{defn}[Symmetrische Bilinearform]
Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-1-1}. Eine Bilinearform Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-1-1}. Eine Bilinearform $b : V⨯V → k$
$b : V ⨯ V → k$ heißt heißt \emph{symmetrisch}\index{Bilinearform!symmetrisch}, falls für alle
\emph{symmetrisch}\index{Bilinearform!symmetrisch}, falls für alle $\vec{x}$, $\vec{x}$, $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x}, \vec{y}) = b(\vec{y},
$\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x}, \vec{y}) = b(\vec{y}, \vec{x})$ \vec{x})$ gilt.
gilt.
\end{defn} \end{defn}
\begin{beobachtung}[Symmetrische Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-4} \begin{beobachtung}[Symmetrische Bilinearformen bilden einen $k$-Vektorraum]\label{bem:6-1-4}%
Ganz wie in Bemerkung~\ref{bem:6-1-4} bildet die Menge der symmetrischen Ganz wie in Bemerkung~\ref{bem:6-1-4} bildet die Menge der symmetrischen
Bilinearformen einen Untervektorraum des Vektorraumes aller Bilinearformen. Bilinearformen einen Untervektorraum des Vektorraumes aller Bilinearformen.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{bsp}[Symmetrische Matrizen geben symmetrische bilineare Abbildungen]\label{bsp:smgsA} \begin{bsp}[Symmetrische Matrizen geben symmetrische bilineare Abbildungen]\label{bsp:smgsA}%
Erinnern Sie sich an die Rechenregeln für ``transponieren'' und Erinnern Sie sich an die Rechenregeln für „transponieren“ und „Matrixprodukt“.
``Matrixprodukt''. Wenn eine $n⨯ n$-Matrix $B$ die Gleichung $B^t=B$ Wenn eine $n⨯n$-Matrix $B$ die Gleichung $B^t=B$ erfüllt, dann gilt für alle
erfüllt, dann gilt für alle Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aus $k^n$, dass Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ aus $k^n$, dass
\[ \[
\Bigl(\vec{v}^{\:t}·B·\vec{w}\Bigr)^t = \vec{w}^{\:t}·B^t·\vec{v}^{\:tt} = \Bigl(\vec{v}^{\:t}·B·\vec{w}\Bigr)^t = \vec{w}^{\:t}·B^t·\vec{v}^{\:tt} =
\vec{w}^{\:t}·B^t·\vec{v}. \vec{w}^{\:t}·B^t·\vec{v}.
@ -86,21 +84,21 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
\emph{symmetrisch}\index{Matrix!symmetrisch}\index{symmetrische Matrix}. \emph{symmetrisch}\index{Matrix!symmetrisch}\index{symmetrische Matrix}.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-1-5} \begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-1-5}%
Es sei $k=ℝ$ oder $k=ℚ$ und $V$ ein $k$-Vektorraum. Weiter sei $b$ eine Es sei $k=ℝ$ oder $k=ℚ$ und $V$ ein $k$-Vektorraum. Weiter sei $b$ eine
symmetrische Bilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv symmetrische Bilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv
semidefinit}\index{Bilinearform!positiv semidefinit}\index{positiv semidefinit}\index{Bilinearform!positiv semidefinit}\index{positiv
semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x})
$b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv definit}\index{Bilinearform!positiv
definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls definit}\index{positiv definit} falls zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt:
zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt:
$b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$. $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$.
\end{defn} \end{defn}
\begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearformen gibt es nur über $ℚ$ und $ℝ$] \begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearformen gibt es nur über $ℚ$ und $ℝ$]
Die Begriffe ``positiv semidefinit'' und ``positiv definit'' sind nur für Die Begriffe „positiv semidefinit“ und „positiv definit“ sind nur für $k = ℝ$
$k = ℝ$ und $k = ℚ$ sinnvoll (und für andere Körper zwischen $ℚ$ und $ℝ$)! Bei anderen Körpern (etwa $k = ℂ$) ist und $k = ℚ$ sinnvoll (und für andere Körper zwischen $ℚ$ und $ℝ$)! Bei
gar nicht klar, was die Aussage ``$b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$'' bedeuten soll. anderen Körpern (etwa $k = ℂ$) ist gar nicht klar, was die Aussage
„$b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$“ bedeuten soll.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearform bilden keinen Vektorraum] \begin{beobachtung}[Positive (semi)definite Bilinearform bilden keinen Vektorraum]
@ -124,10 +122,10 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
\end{pmatrix}, \quad \end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
π & -e \\ \frac{-256}{257} & 2 π & -e \\ \frac{-256}{257} & 2
\end{pmatrix} \end{pmatrix}.
\] \]
Die entsprechenden Bilinearformen sind ``nicht positiv semidefinit'', Die entsprechenden Bilinearformen sind „nicht positiv semidefinit“, „positiv
``positiv semidefinit'', ``positiv definit'' und … ? semidefinit“, „positiv definit“ und … ?
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{defn}[Skalarprodukt auf reellem Vektorraum] \begin{defn}[Skalarprodukt auf reellem Vektorraum]
@ -138,17 +136,17 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
\begin{bsp}[Standardskalarprodukt, Einschränkung] \begin{bsp}[Standardskalarprodukt, Einschränkung]
Das Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ ist ein Skalarprodukt. Es sei $V$ ein Das Standardskalarprodukt auf dem $ℝ^n$ ist ein Skalarprodukt. Es sei $V$ ein
reeller Vektorraum und $\langle •, • \rangle$ sei ein reeller Vektorraum und $\langle •, • \rangle$ sei ein Skalarprodukt. Wenn $W
Skalarprodukt. Wenn $W ⊂ V$ ein Untervektorraum ist, dann ist ⊂ V$ ein Untervektorraum ist, dann ist $\langle •, • \rangle|_{W⨯ W}$ wieder
$\langle •, • \rangle|_{W⨯ W}$ wieder ein Skalarprodukt. ein Skalarprodukt.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}[Integration]\label{bsp:Integration} \begin{bsp}[Integration]\label{bsp:Integration}%
Es sei $k = ℝ$ und es sei $V = \cC⁰([0,1], ℝ)$ der Vektorraum der Es sei $k = ℝ$ und es sei $V = \cC⁰([0,1], ℝ)$ der Vektorraum der
reellwertigen stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1] ⊂ ℝ$, wie reellwertigen stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1] ⊂ ℝ$, wie
in der Vorlesung ``Analysis 1'' diskutiert. Die Abbildung in der Vorlesung „Analysis 1“ diskutiert. Die Abbildung
\[ \[
\langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 f(t) · g(t) dt. \langle •, • \rangle : V⨯V → ℝ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 f(t) · g(t) dt
\] \]
ist ein Skalarprodukt. ist ein Skalarprodukt.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -156,46 +154,46 @@ und zu diskutieren. Hier kommen alle relevanten Definitionen.
\subsection{Beschreibung von Bilinearformen durch Matrizen} \subsection{Beschreibung von Bilinearformen durch Matrizen}
Die Überschrift sagt schon, worum es geht: wir wollen in diesem Abschnitt Die Überschrift sagt schon, worum es geht: Wir wollen in diesem Abschnitt
Bilinearformen beschreiben, indem wir jeder Form eine Matrix zuordnen. Bilinearformen beschreiben, indem wir jeder Form eine Matrix zuordnen.
Didaktisch ist das eine Katastrophe -- wir haben in der Vorlesung ``Lineare Didaktisch ist das eine Katastrophe -- wir haben in der Vorlesung „Lineare
Algebra I'' jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet. Und jetzt machen Algebra I“ jeder linearen Abbildung eine Matrix zugeordnet. Und jetzt machen
wir das mit Bilinearformen? Kurz gesagt: ``Ja!'' wir das mit Bilinearformen? Kurz gesagt: „Ja!“
Lassen Sie sich nicht verwirren. Wir haben zwei völlig unterschiedliche Arten Lassen Sie sich nicht verwirren. Wir haben zwei völlig unterschiedliche Arten
von Objekten (``Lineare Abbildung'', ``Bilinearformen''), die gar nichts von Objekten („Lineare Abbildung“, „Bilinearformen“), die gar nichts miteinander
miteinander zu tun haben. Dennoch lassen sich beide Objekte durch Matrizen zu tun haben. Dennoch lassen sich beide Objekte durch Matrizen beschreiben.
beschreiben. Das gibt es im Leben öfter. Das gibt es im Leben öfter.
\begin{quote} \begin{quote}
``Velociraptoren'' sind etwas ganz anderes als ``romantische Gefühle'', auch „Velociraptoren“ sind etwas ganz anderes als „romantische Gefühle“, auch wenn
wenn beide Menschen verzehren. Dennoch lassen sich sowohl ``Velociraptoren'' beide Menschen verzehren. Dennoch lassen sich sowohl „Velociraptoren“ als
als auch ``romantische Gefühle'' recht gut durch Bytestrings beschreiben auch „romantische Gefühle“ recht gut durch Bytestrings beschreiben (vergleiche
(vergleiche etwa \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Velociraptor}{hier} und etwa \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Velociraptor}{hier} und
\href{https://www.youtube.com/watch?v=7h3q9-FcoOM}{hier}). \href{https://www.youtube.com/watch?v=7h3q9-FcoOM}{hier}).
\end{quote} \end{quote}
Wir betrachten die folgende Situation. Wir betrachten die folgende Situation.
\begin{situation}\label{sit:6-3-1} \begin{situation}\label{sit:6-3-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum, Es sei $k$ ein Körper und es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $k$-Vektorraum,
mit angeordneter Basis $B := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$. Die zugehörende mit angeordneter Basis $B := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$. Die zugehörende
Koordinatenabbildung bezeichnen wir wie immer mit $φ_B : V → k^n$. Koordinatenabbildung bezeichnen wir wie immer mit $φ_B : V → k^n$.
\end{situation} \end{situation}
\begin{konstruktion}[Bilinearformen zu Matrizen]\label{cons:6-3-2} \begin{konstruktion}[Bilinearformen zu Matrizen]\label{cons:6-3-2}%
In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$ In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ gegeben.
gegeben. Dann betrachte die $n⨯n$-Matrix Dann betrachte die $n⨯n$-Matrix
\[ \[
\Mat_B(b) := \bigl( b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) \bigr)_{1 ≤ i,j ≤ n} \Mat_B(b) := \bigl( b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) \bigr)_{1 ≤ i,j ≤ n}
\] \]
\end{konstruktion} \end{konstruktion}
\begin{konstruktion}[Matrizen zu Bilinearformen]\label{cons:6-3-3} \begin{konstruktion}[Matrizen zu Bilinearformen]\label{cons:6-3-3}%
In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben. Dann betrachte In Situation~\ref{sit:6-3-1} sei eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben. Dann
die Bilinearform betrachte die Bilinearform
\[ \[
s_B(A) : V ⨯ V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦ s_B(A) : V⨯V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦
φ_B(\vec{v})^t·A·φ_B(\vec{w}) φ_B(\vec{v})^t·A·φ_B(\vec{w})
\] \]
\end{konstruktion} \end{konstruktion}
@ -210,9 +208,9 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] \]
Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen $a_{ij}$, dann gibt Damit beweisen Sie unter anderem folgendes: gegeben Zahlen $a_{ij}$, dann gibt
es genau eine Bilinearform $b$, so dass für alle $i,j$ gilt, dass es genau eine Bilinearform $b$, sodass für alle $i,j$ gilt, dass $b(\vec{v}_i,
$b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) = a_{ij}$ ist. So eine Rechnung hatten wir schon, \vec{v}_j) = a_{ij}$ ist. So eine Rechnung hatten wir schon, als es darum
als es darum ging, jeder linearen Abbildung eine Matrix zuzuordnen. ging, jeder linearen Abbildung eine Matrix zuzuordnen.
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
@ -221,8 +219,8 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
symmetrischen Bilinearformen. Wir erkennen insbesondere, dass die Räume der symmetrischen Bilinearformen. Wir erkennen insbesondere, dass die Räume der
Bilinearformen endlich-dimensional sind. Genauer: Bilinearformen endlich-dimensional sind. Genauer:
\begin{align*} \begin{align*}
\dim_k (\text{Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{$n⨯ n$-Matrizen}) = n² \\ \dim_k (\text{Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{$n⨯n$-Matrizen}) = n² \\
\dim_k (\text{symm.~Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{symm.~$n⨯ n$-Matrizen}) = \frac{n(n+1)}{2} \dim_k (\text{symm.~Bilinearformen}) &= \dim_k (\text{symm.~$n⨯n$-Matrizen}) = \frac{n(n+1)}{2}
\end{align*} \end{align*}
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
@ -231,7 +229,7 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
angeordneten Basis $B := \{ 1, x, x²\}$. Wieder betrachten wir die angeordneten Basis $B := \{ 1, x, x²\}$. Wieder betrachten wir die
Bilinearform Bilinearform
\[ \[
b : V ⨯ V → ℝ, \quad (p,q) ↦ \int_{-1}¹ p(t)·q(t)·dt b : V⨯V → ℝ, \quad (p,q) ↦ \int_{-1}¹ p(t)·q(t)·dt.
\] \]
Dann ist Dann ist
\[ \[
@ -248,8 +246,8 @@ Wir betrachten die folgende Situation.
\subsection{Basiswechsel} \subsection{Basiswechsel}
Wir kennen das Problem: gegeben ist ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum $V$, Wir kennen das Problem: gegeben ist ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum $V$,
eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und $B_2$.
$B_2$. Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$? Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$?
\begin{erinnerung} \begin{erinnerung}
Die Koordinatenwechselmatrix wird mit Sicherheit eine Rolle spielen. Wir Die Koordinatenwechselmatrix wird mit Sicherheit eine Rolle spielen. Wir
@ -267,9 +265,9 @@ $B_2$. Wie unterscheiden sich $\Mat_{B_1}(b)$ und $\Mat_{B_2}(b)$?
\begin{satz}[Basiswechselformel für Matrizen von Bilinearformen] \begin{satz}[Basiswechselformel für Matrizen von Bilinearformen]
Gegeben sei eine natürliche Zahl $n$, ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum Gegeben sei eine natürliche Zahl $n$, ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum
$V$, eine Bilinearform $b : V ⨯ V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und $V$, eine Bilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen, $B_1$ und
$B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$. Weiter sei $B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$. Weiter sei $M_•
$M_{•} := \Mat_{B_{•}}(b)$. Dann ist := \Mat_{B_{•}}(b)$. Dann ist
\[ \[
M_1 = S^t·M_2·S. M_1 = S^t·M_2·S.
\] \]
@ -282,27 +280,27 @@ Lesson learned: Matrizen können sowohl lineare Abbildungen (insbesondere:
Endomorphismen) als auch bilineare Abbildungen zu beschreiben. Diese beiden Endomorphismen) als auch bilineare Abbildungen zu beschreiben. Diese beiden
Funktionen haben nichts gemein. Deshalb soll es jetzt auch nicht verwundern, Funktionen haben nichts gemein. Deshalb soll es jetzt auch nicht verwundern,
dass sich die Basiswechsel-Formeln in beiden Fällen unterscheiden. Ein Trost dass sich die Basiswechsel-Formeln in beiden Fällen unterscheiden. Ein Trost
für alle, die immer noch verwirrt sind: die Basiswechsel-Formel für für alle, die immer noch verwirrt sind: Die Basiswechsel-Formel für
Bilinearformen ist viel einfacher, weil man statt der inversen Matrix $S^{-1}$ Bilinearformen ist viel einfacher, weil man statt der inversen Matrix $S^{-1}$
nur die Transponierte $S^t$ ausrechnen muss. nur die Transponierte $S^t$ ausrechnen muss.
\section{Sesquilinearformen und Hermitesche Produkte} \section{Sesquilinearformen und Hermitesche Produkte}
\sideremark{Vorlesung 9}So etwas schönes wie ein Skalarprodukt möchte man \sideremark{Vorlesung 9}So etwas Schönes wie ein Skalarprodukt möchte man
natürlich auch für komplexe Vektorräume haben, leider funktionieren die natürlich auch für komplexe Vektorräume haben, leider funktionieren die
Definition aus Abschnitt~\ref{sec:skalar} aber im Komplexen nicht. Die Lösung: Definition aus Abschnitt~\ref{sec:skalar} aber im Komplexen nicht. Die Lösung:
man muss die Definition von ``Bilinearität'' abändern, um sicherzustellen, dass man muss die Definition von „Bilinearität“ abändern, um sicherzustellen, dass
die Zahlen $b(\vec{x}, \vec{x})$ stets reell sind (denn dann kann ich sinnvoll die Zahlen $b(\vec{x}, \vec{x})$ stets reell sind (denn dann kann ich sinnvoll
sagen, ob die Zahl positiv ist oder nicht). Vielleicht finden Sie es sagen, ob die Zahl positiv ist oder nicht). Vielleicht finden Sie es
überraschend, dass man an der Definition von ``bilinear'' dreht, und nicht an überraschend, dass man an der Definition von „bilinear“ dreht, und nicht an der
der Definition von ``positiv definit''. Der praktische Erfolg der folgenden Definition von „positiv definit“. Der praktische Erfolg der folgenden
Definitionen gibt der Sache aber recht. Definitionen gibt der Sache aber recht.
\begin{defn}[Sesquilinearform]\label{def:6-2-1} \begin{defn}[Sesquilinearform]\label{def:6-2-1} Es sei $V$ ein Vektorraum über
Es sei $V$ ein Vektorraum über den komplexen Zahlen. Eine den komplexen Zahlen. Eine
\emph{Sesquilinearform}\index{Sesquilinearform}\footnote{Sesqui = Eineinhalb} \emph{Sesquilinearform}\index{Sesquilinearform}\footnote{Sesqui = Eineinhalb}
ist eine Abbildung $b: V ⨯ V → ℂ$, so dass Folgendes gilt. ist eine Abbildung $b: V⨯V → ℂ$, sodass Folgendes gilt.
\begin{description} \begin{description}
\item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle
$\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ ℂ$ gilt $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z} ∈ V$ und für alle $λ ∈ ℂ$ gilt
@ -324,18 +322,18 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
$x+i·y ↦ x - i·y$. $x+i·y ↦ x - i·y$.
\end{defn} \end{defn}
\begin{beobachtung}[Sesquilinearformen bilden einen komplexen Vektorraum]\label{bem:6-2-2} \begin{beobachtung}[Sesquilinearformen bilden einen komplexen Vektorraum]\label{bem:6-2-2}%
Wenn ich eine Sesquilinearform mit einer komplexen Zahl multipliziere, erhalte Wenn ich eine Sesquilinearform mit einer komplexen Zahl multipliziere, erhalte
ich eine neue Sesquilinearform. Ebenso kann ich zwei Sesquilinearformen zu ich eine neue Sesquilinearform. Ebenso kann ich zwei Sesquilinearformen zu
einer neuen Sesquilinearform addieren. Die Menge der Sesquilinearformen einer neuen Sesquilinearform addieren. Die Menge der Sesquilinearformen bildet
bildet mit diesen Verknüpfungen einen komplexen Vektorraum. Beachten Sie, mit diesen Verknüpfungen einen komplexen Vektorraum. Beachten Sie, dass jeder
dass jeder komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also komplexe Vektorraum immer auch ein reeller Vektorraum ist, also bildet die
bildet die Menge der Sesquilinearformen insbesondere einen reellen Vektorraum. Menge der Sesquilinearformen einen reellen Vektorraum.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{bsp}[Matrizen geben sesquilineare Abbildungen]\label{bsp:mgbaC} \begin{bsp}[Matrizen geben sesquilineare Abbildungen]\label{bsp:mgbaC}%
Betrachte den Vektorraum $V = ℂ^n$ und wähle eine beliebige Betrachte den Vektorraum $V = ℂ^n$ und wähle eine beliebige $n⨯n$-Matrix $B$.
$n ⨯ n$-Matrix $B$. Dann ist die Abbildung Dann ist die Abbildung
\[ \[
b : ℂ^n ⨯ ℂ^n → k, \quad (\vec{v},\vec{w}) ↦ b : ℂ^n ⨯ ℂ^n → k, \quad (\vec{v},\vec{w}) ↦
\vec{v}^{\:t}·B·\overline{\vec{w}} \vec{v}^{\:t}·B·\overline{\vec{w}}
@ -360,24 +358,24 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{defn}[Hermitesche Sesquilinearform] \begin{defn}[Hermitesche Sesquilinearform]
Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-2-1}. Eine Sesquilinearform Annahmen wie in Definition~\ref{def:6-2-1}. Eine Sesquilinearform $b : V⨯V →
$b : V ⨯ V → ℂ$ heißt ℂ$ heißt
\emph{Hermitesch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Charles_Hermite}{Charles \emph{Hermitesch}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Charles_Hermite}{Charles
Hermite} (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in Hermite} (* 24. Dezember 1822 in Dieuze, Lothringen; † 14. Januar 1901 in
Paris) war ein französischer Paris) war ein französischer
Mathematiker.}\index{Sesquilinearform!Hermitesch}, falls für alle $\vec{x}$, Mathematiker.}\index{Sesquilinearform!Hermitesch}, falls für alle $\vec{x}$,
$\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $\vec{y} ∈ V$ die Gleichung $b(\vec{x},\vec{y}) =
$b(\vec{x},\vec{y}) = \overline{b(\vec{y},\vec{x})}$ gilt. \overline{b(\vec{y},\vec{x})}$ gilt.
\end{defn} \end{defn}
\begin{beobachtung}[Reelle Werte von Hermiteschen Sesquilinearformen]\label{beo:rwvhs} \begin{beobachtung}[Reelle Werte von Hermiteschen Sesquilinearformen]\label{beo:rwvhs}%
Es sei $b : V ⨯ V → ℂ$ eine Hermitesche Sesquilinearform. Dann gilt Es sei $b : V⨯V → ℂ$ eine Hermitesche Sesquilinearform. Dann gilt
für jeden Vektor $x ∈ V$ die Gleichung $b(x,x) = \overline{b(x,x)}$. Es für jeden Vektor $x ∈ V$ die Gleichung $b(x,x) = \overline{b(x,x)}$. Es
folgt, dass $b(x,x) = \overline{b(x,x)}$ eine reelle Zahl ist, da der folgt, dass $b(x,x) = \overline{b(x,x)}$ eine reelle Zahl ist, da der
imaginäre Anteil verschwinden muss. imaginäre Anteil verschwinden muss.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden einen reellen Vektorraum]\label{beob:6-2-4} \begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden einen reellen Vektorraum]\label{beob:6-2-4}%
Wenn ich eine Hermitesche Sesquilinearform mit einer reellen Zahl Wenn ich eine Hermitesche Sesquilinearform mit einer reellen Zahl
multipliziere, erhalte ich eine neue Hermitesche Sesquilinearform. Ebenso multipliziere, erhalte ich eine neue Hermitesche Sesquilinearform. Ebenso
kann ich zwei Hermitesche Sesquilinearformen zu einer neuen Hermitesche kann ich zwei Hermitesche Sesquilinearformen zu einer neuen Hermitesche
@ -386,12 +384,12 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
Vektorraumes der Sesquilinearformen bildet. Vektorraumes der Sesquilinearformen bildet.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden keinen komplexen Vektorraum]\label{beob:6-2-5} \begin{beobachtung}[Hermitesche Sesquilinearformen bilden keinen komplexen Vektorraum]\label{beob:6-2-5}%
Wenn ich eine Hermitesche Sesquilinearform (die nicht die Nullform ist) mit Wenn ich eine Hermitesche Sesquilinearform (die nicht die Nullform ist) mit
einer komplexen Zahl multipliziere, die nicht reell ist, dann ist die einer komplexen Zahl multipliziere, die nicht reell ist, dann ist die
entstehende Sesquilinearform niemals Hermitesch\footnote{Hausaufgabe: entstehende Sesquilinearform niemals Hermitesch\footnote{Hausaufgabe: Wieso?}.
Wieso?!}. Die Menge der Hermiteschen Sesquilinearformen ist deshalb Die Menge der Hermiteschen Sesquilinearformen ist deshalb \emph{kein}
\emph{kein} komplexer Vektorraum. komplexer Vektorraum.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{bsp}[Hermitesche Matrizen geben bilineare Abbildungen] \begin{bsp}[Hermitesche Matrizen geben bilineare Abbildungen]
@ -400,23 +398,23 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
ist, wenn die Gleichung $B^t = \overline{B}$ gilt, wobei der Querstrich wieder ist, wenn die Gleichung $B^t = \overline{B}$ gilt, wobei der Querstrich wieder
die komponentenweise Konjugation bezeichnet. Matrizen mit dieser Eigenschaft die komponentenweise Konjugation bezeichnet. Matrizen mit dieser Eigenschaft
nennt man \emph{Hermitesch}\index{Matrix!Hermitesch}\index{Hermitesche nennt man \emph{Hermitesch}\index{Matrix!Hermitesch}\index{Hermitesche
Matrix}. Interessant: bei Hermiteschen Matrizen sind alle Einträge auf der Matrix}. Interessant: bei Hermiteschen Matrizen sind alle Einträge auf der
Diagonalen notwendigerweise reell. Hat das mit Beobachtung~\ref{beo:rwvhs} zu Diagonalen notwendigerweise reell. Hat das mit Beobachtung~\ref{beo:rwvhs} zu
tun? tun?
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-2-5} \begin{defn}[Positive (semi)definite symmetrische Bilinearform]\label{defn:6-2-5}%
Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Weiter sei $b$ eine Hermitesche Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Weiter sei $b$ eine Hermitesche
Sesquilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv Sesquilinearform auf $V$. Nenne $b$ \emph{positiv
semidefinit}\index{Hermitesche Sesquilinearform!positiv semidefinit}\index{Hermitesche Sesquilinearform!positiv
semidefinit}\index{positiv semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die semidefinit}\index{positiv semidefinit} falls für alle $\vec{x} ∈ V$ die
Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv Ungleichung $b(\vec{x}, \vec{x}) ≥ 0$ gilt. Nenne $b$ \emph{positiv
definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls definit}\index{Bilinearform!positiv definit}\index{positiv definit} falls
zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: zusätzlich für alle $\vec{x} ∈ V$ gilt: $b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} =
$b(\vec{x}, \vec{x}) = 0 ⇔ \vec{x} = \vec{0}$. \vec{0}$.
\end{defn} \end{defn}
\begin{defn}[Skalarprodukt auf komplexem Vektorraum]\label{def:6-2-8} \begin{defn}[Skalarprodukt auf komplexem Vektorraum]\label{def:6-2-8}%
Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Ein Es sei $V$ ein komplexer Vektorraum. Ein
Skalarprodukt\index{Skalarprodukt!für komplexe Vektorräume} auf $V$ ist eine Skalarprodukt\index{Skalarprodukt!für komplexe Vektorräume} auf $V$ ist eine
positiv definite, Hermitesche Sesquilinearform. positiv definite, Hermitesche Sesquilinearform.
@ -454,8 +452,8 @@ Definitionen gibt der Sache aber recht.
Sei $V = \cC⁰([0,1];ℂ)$ der komplexe Vektorraum der komplexwertigen stetigen Sei $V = \cC⁰([0,1];ℂ)$ der komplexe Vektorraum der komplexwertigen stetigen
Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1] ⊂ ℝ$. Die Abbildung Funktionen auf dem Einheitsintervall $[0,1] ⊂ ℝ$. Die Abbildung
\[ \[
\langle •, • \rangle : V ⨯ V → ℂ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0 \langle •, • \rangle : V⨯V → ℂ, \quad (f, g) ↦ \int¹_0
f(t)·\overline{g(t)} dt. f(t)·\overline{g(t)} dt
\] \]
ist ein Skalarprodukt. ist ein Skalarprodukt.
\end{bsp} \end{bsp}
@ -488,11 +486,11 @@ Sesquilinearformen durch Matrizen beschreiben. Weil alle Argument ganz analog
gehen, geben wir nur die Ergebnisse an. gehen, geben wir nur die Ergebnisse an.
\begin{konstruktion}[Sesquilinearformen zu Matrizen] \begin{konstruktion}[Sesquilinearformen zu Matrizen]
Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $ℂ$-Vektorraum, mit angeordneter Basis Es sei $V$ ein endlich-dimensionaler $ℂ$-Vektorraum, mit angeordneter Basis $B
$B := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$. Die zugehörende Koordinatenabbildung := \{\vec{v}_1, …, \vec{v}_n\}$. Die zugehörende Koordinatenabbildung
bezeichnen wir wie immer mit $φ_B : V → k^n$. bezeichnen wir wie immer mit $φ_B : V → k^n$.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Gegeben eine Sesquilinearform $b : V ⨯ V → k$, dann betrachte die \item Gegeben eine Sesquilinearform $b : V⨯V → k$, dann betrachte die
$n⨯n$-Matrix $n⨯n$-Matrix
\[ \[
\Mat_B(b) := \bigl( b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) \bigr) \Mat_B(b) := \bigl( b(\vec{v}_i, \vec{v}_j) \bigr)
@ -501,7 +499,7 @@ gehen, geben wir nur die Ergebnisse an.
\item Gegeben eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben. Dann betrachte die \item Gegeben eine $n⨯n$-Matrix $A$ gegeben. Dann betrachte die
Sesquilinearlinearform Sesquilinearlinearform
\[ \[
s_B(A) : V ⨯ V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦ s_B(A) : V⨯V → k,\quad (\vec{v}, \vec{w}) ↦
φ_B(\vec{v})^t·A·\overline{φ_B(\vec{w})} φ_B(\vec{v})^t·A·\overline{φ_B(\vec{w})}
\] \]
\end{itemize} \end{itemize}
@ -514,12 +512,12 @@ $ℂ$-Vektorräumen erhalten,
\text{$n⨯n$-Matrizen} \arrow[r, bend left, "s_B"] & \text{Sesquilinearformen,} \arrow[l, bend left, "\Mat_B"] \text{$n⨯n$-Matrizen} \arrow[r, bend left, "s_B"] & \text{Sesquilinearformen,} \arrow[l, bend left, "\Mat_B"]
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] \]
die die Hermiteschen Formen mit den Hermiteschen Matrizen identifizieren. welche die Hermiteschen Formen mit den Hermiteschen Matrizen identifizieren.
Außerdem gilt folgender Satz. Außerdem gilt folgender Satz.
\begin{satz}[Basiswechselformel für Matrizen von Sesquilinearformen] \begin{satz}[Basiswechselformel für Matrizen von Sesquilinearformen]
Gegeben sei eine natürliche Zahl $n$, ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum Gegeben sei eine natürliche Zahl $n$, ein $n$-dimensionaler $k$-Vektorraum
$V$, eine Sesquilinearform $b : V ⨯ V → k$ und zwei angeordnete Basen, $V$, eine Sesquilinearform $b : V⨯V → k$ und zwei angeordnete Basen,
$B_1$ und $B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$. Weiter sei $M_{•} := \Mat_{B_{•}}(b)$. Dann $B_1$ und $B_2$, mit Basiswechselmatrix $S := \Mat^{B_1}_{B_2}(\Id_V)$. Weiter sei $M_{•} := \Mat_{B_{•}}(b)$. Dann
ist ist
\[ \[