kebekus/LineareAlgebra2
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Stefan Kebekus 2025-06-30 08:40:53 +02:00
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.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
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@ -63,3 +63,4 @@
{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QTrivialbeispiel: Es folgt direkt aus der Bilinearität von der Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass für jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichheit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEntsprechend der universellen Eigenschaft erhalten wir also eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q univ. Eigenschaft \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann gilt für die darstellenden Matrizen die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Keine Lust mehr.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBevor wir richtig „multi“ werden, diskutiere ich erst noch einmal bilineare Abbildungen und Funktionen.\\E$"}

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13-multiLinear.tex
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@ -18,18 +18,18 @@ kennen Sie schon.
Die folgende Definition sollte jetzt keine Überraschung mehr sein.
\begin{defn}[Bilineare Abbildungen]
Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume. Eine
\emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung
Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume.
Eine \emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung
$s: U ⨯ V → W$, sodass Folgendes gilt.
\begin{description}
\item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle
$\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U, \vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
\item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle $\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U,
\vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
\[
s(\vec{u}_1 + λ·\vec{u}_2, \vec{v}) = s(\vec{u}_1, \vec{v}) +
λ·s(\vec{u}_2, \vec{v}).
\]
\item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle
$\vec{u} ∈ U, \vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
\item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle $\vec{u} ∈ U, \vec{v}_1,
\vec{v}_2 ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
\[
s(\vec{u}, \vec{v}_1 + λ \vec{v}_2) = s(\vec{u}, \vec{v}_1) + λ
s(\vec{u}, \vec{v}_2).
@ -67,8 +67,8 @@ Beispiele für bilineare Abbildungen kennen wir in Hülle und Fülle.
\subsection*{Multilineare Abbildungen}
Sie können es sich sicher schon denken: multilineare Abbildungen sind
Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, sodass …. Ich habe vom Tippen
schon wunde Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst
Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, sodass …. Ich habe vom Tippen schon wunde
Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst
zusammenbekommen. Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel.
\begin{bsp}[$n$-lineare Funktion]
@ -77,12 +77,12 @@ zusammenbekommen. Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel.
\det : \Mat(n ⨯ n, k) → k.
\]
Indem wir Matrizen als Folge von Spaltenvektoren schreiben, können wir den
Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum
$V ⨯ ⋯ ⨯ V$ identifizieren. Wir erhalten also eine Abbildung
Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum $k^n ⨯ ⋯ ⨯ k^n$
identifizieren. Wir erhalten also eine Abbildung
\[
\det : \underbrace{V ⨯ ⋯ ⨯ V}_{n ⨯} → k.
\det : \underbrace{k^n ⨯ ⋯ ⨯ k^n}_{n ⨯} → k.
\]
Aus dem ersten Semester wissen wir: diese Abbildung ist in jeder Komponente
Aus dem ersten Semester wissen wir: Diese Abbildung ist in jeder Komponente
linear.
\end{bsp}