kebekus/LineareAlgebra2
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Stefan Kebekus 2025-06-30 08:40:53 +02:00
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.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored
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@ -63,3 +63,4 @@
{"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QTrivialbeispiel: Es folgt direkt aus der Bilinearität von der Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass für jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichheit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"} {"rule":"DE_AGREEMENT","sentence":"^\\QTrivialbeispiel: Es folgt direkt aus der Bilinearität von der Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, dass für jedes Skalar \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q die Gleichheit \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEntsprechend der universellen Eigenschaft erhalten wir also eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q univ. Eigenschaft \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QEntsprechend der universellen Eigenschaft erhalten wir also eine lineare Abbildung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass für alle \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gilt \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q univ. Eigenschaft \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Definition von \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann gilt für die darstellenden Matrizen die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Keine Lust mehr.\\E$"} {"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QDann gilt für die darstellenden Matrizen die Gleichung \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Keine Lust mehr.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QBevor wir richtig „multi“ werden, diskutiere ich erst noch einmal bilineare Abbildungen und Funktionen.\\E$"}

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13-multiLinear.tex
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@ -18,18 +18,18 @@ kennen Sie schon.
Die folgende Definition sollte jetzt keine Überraschung mehr sein. Die folgende Definition sollte jetzt keine Überraschung mehr sein.
\begin{defn}[Bilineare Abbildungen] \begin{defn}[Bilineare Abbildungen]
Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume. Eine Es sei $k$ ein Körper und es seien $U$, $V$ und $W$ drei $k$-Vektorräume.
\emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung Eine \emph{bilineare Abbildung}\index{bilineare Abbildung} ist eine Abbildung
$s: U ⨯ V → W$, sodass Folgendes gilt. $s: U ⨯ V → W$, sodass Folgendes gilt.
\begin{description} \begin{description}
\item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle \item[Linearität in der ersten Komponente] Für alle $\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U,
$\vec{u}_1, \vec{u}_2 ∈ U, \vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt \vec{v} ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
\[ \[
s(\vec{u}_1 + λ·\vec{u}_2, \vec{v}) = s(\vec{u}_1, \vec{v}) + s(\vec{u}_1 + λ·\vec{u}_2, \vec{v}) = s(\vec{u}_1, \vec{v}) +
λ·s(\vec{u}_2, \vec{v}). λ·s(\vec{u}_2, \vec{v}).
\] \]
\item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle \item[Linearität in der zweiten Komponente] Für alle $\vec{u} ∈ U, \vec{v}_1,
$\vec{u} ∈ U, \vec{v}_1, \vec{v}_2 ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt \vec{v}_2 ∈ V$ und für alle $λ ∈ k$ gilt
\[ \[
s(\vec{u}, \vec{v}_1 + λ \vec{v}_2) = s(\vec{u}, \vec{v}_1) + λ s(\vec{u}, \vec{v}_1 + λ \vec{v}_2) = s(\vec{u}, \vec{v}_1) + λ
s(\vec{u}, \vec{v}_2). s(\vec{u}, \vec{v}_2).
@ -67,8 +67,8 @@ Beispiele für bilineare Abbildungen kennen wir in Hülle und Fülle.
\subsection*{Multilineare Abbildungen} \subsection*{Multilineare Abbildungen}
Sie können es sich sicher schon denken: multilineare Abbildungen sind Sie können es sich sicher schon denken: multilineare Abbildungen sind
Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, sodass …. Ich habe vom Tippen Abbildungen $V_1 ⨯ ⋯ ⨯ V_n → W$, sodass …. Ich habe vom Tippen schon wunde
schon wunde Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst Finger und verlasse mich darauf, dass Sie die Definition selbst
zusammenbekommen. Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel. zusammenbekommen. Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel.
\begin{bsp}[$n$-lineare Funktion] \begin{bsp}[$n$-lineare Funktion]
@ -77,12 +77,12 @@ zusammenbekommen. Auch hier kennen wir schon mindestens ein Beispiel.
\det : \Mat(n ⨯ n, k) → k. \det : \Mat(n ⨯ n, k) → k.
\] \]
Indem wir Matrizen als Folge von Spaltenvektoren schreiben, können wir den Indem wir Matrizen als Folge von Spaltenvektoren schreiben, können wir den
Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum Vektorraum der $n ⨯ n$-Matrizen mit dem Vektorraum $k^n ⨯ ⋯ ⨯ k^n$
$V ⨯ ⋯ ⨯ V$ identifizieren. Wir erhalten also eine Abbildung identifizieren. Wir erhalten also eine Abbildung
\[ \[
\det : \underbrace{V ⨯ ⋯ ⨯ V}_{n ⨯} → k. \det : \underbrace{k^n ⨯ ⋯ ⨯ k^n}_{n ⨯} → k.
\] \]
Aus dem ersten Semester wissen wir: diese Abbildung ist in jeder Komponente Aus dem ersten Semester wissen wir: Diese Abbildung ist in jeder Komponente
linear. linear.
\end{bsp} \end{bsp}