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\selectlanguage{german}
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\chapter{Algebraische Mengen}
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\section{Beispiele}
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Bevor es richtig losgeht, brauchen wir Beispiele und interessanten polynomialen
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Gleichungssysteme und zugehörigen Lösungsmengen. Der algebraische Geometer
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spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von „algebraischen Mengen“.
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Klingt besser.
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\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}%
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Teilmenge $A ⊆ k^m$
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heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische Teilmenge des $k^m$},
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falls es Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass
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\[
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A = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0
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\Bigr\}
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\]
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ist.
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\end{defn}
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\begin{bemerkung}
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In der Literatur werden algebraische Mengen manchmal als \emph{affine
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Varietäten}\index{affine Varietäten}\index{Varietät!affin} bezeichnet; die
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meisten Autoren reservieren das Wort „Varietät“ aber für algebraische
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Mengen, die mit einer gewissen Topologie versehen wurden. Andere fordern
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zusätzlich noch, dass man einen Begriff von „algebraischen Funktionen“
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definiert.
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\end{bemerkung}
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\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}%
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Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien $f_1, …, f_n ∈
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k[x_1, …, x_m]$ Polynome. Die zugehörende algebraische Menge wird oft mit
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\[
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V(f_1, …, f_n) = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ =
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f_n(\vec{x}) = 0 \Bigr\}
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\]
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bezeichnet.
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\end{notation}
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\begin{bsp}[Der gesamte Raum]
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Es sei $k$ ein Körper. Der gesamte Raum $k^m$ ist eine algebraische Menge
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(nehme für $f_•$ das Nullpolynom). Wenn ich von $k^m$ als algebraischer Menge
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spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum}\index{affiner Raum} und
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schreibe $𝔸^m$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Die leere Menge]
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Es sei $k$ ein Körper. Die leere Menge ist eine algebraische Menge (nehme für
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$f_•$ das Einspolynom).
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Graph einer Funktion]
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k[x]$ ein Polynom. Dann ist der Graph
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der zugehörenden Abbildung $f : k → k$,
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\[
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A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y-f(x) = 0 \Bigr\},
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\]
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eine algebraische Menge, die typischerweise mit $Γ_f$ bezeichnet wird.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Graph einer rationalen Funktion]
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion. Schreibe
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$f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde Polynome
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sind. Dann ist der Graph von $f$,
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\[
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||
A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y·b(x)-a(x) = 0 \Bigr\},
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||
\]
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||
eine algebraische Menge, die typischerweise mit $Γ_f$ bezeichnet wird.
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\end{bsp}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=10cm]{figures/02-graph.png}
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\caption{Graph einer rationalen Funktion}
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\label{fig:gerf}
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\end{figure}
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\begin{bsp}[Achsenkreuz]\label{bsp:2-1-8}
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Es sei $k$ ein Körper. Das Achsenkreuz
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\[
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\Bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: x·y = 0 \Bigr\}
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\]
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ist eine algebraische Menge. Das Achsenkreuz besteht aus zwei Achsen und das
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Polynom $f(x,y) = x·y$ ist reduzibel. Sehen Sie hier einen Zusammenhang?
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Einheitskreis]
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Der Einheitskreis in $ℝ²$,
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\[
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E := \Bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \::\: x²+y²-1 = 0 \Bigr\}
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\]
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ist eine algebraische Menge.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}%
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Öffnen Sie die
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\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{folgende
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Seite} in Ihrem Webbrowser und spielen Sie mit dem Programm
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\href{https://kebekus.gitlab.io/ellipticcurve/de/}{Elliptic Curve Plotter}, um
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Kurve}{elliptische
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Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen. Diese Kurven spielen in
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der Kryptografie eine wichtige Rolle. Sie verwenden elliptische Kurven
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täglich, wenn Sie Daten im Internet übertragen.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]\label{bsp:crk}
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Die algebraische Menge
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\[
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\Bigl\{ (x,y,z) ∈ ℝ³ \::\: y - x² = z-x³=0 \Bigr\}
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\]
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ist eine Kurve in $ℝ³$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Flächen im Raum]
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Schauen Sie sich auf
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\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{meiner Web-Seite} die
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\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Clebsch_surface}{Clebsche
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Diagonalfläche}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Clebsch}{Rudolf
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Friedrich Alfred Clebsch} (* 19.~Januar 1833 in Königsberg; † 7.~November 1872
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in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge zur
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algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die auch in
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Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist.
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\end{bsp}
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=5cm]{figures/02-clebschCubic.png}
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\[
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S := \bigl\{ (x:y:z) ∈ ℝ³ \::\: (x+y+z+1)³ = x³+y³+z³+1 \bigr\}.
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\]
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\caption{Diagonalfläche von Clebsch}
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\label{fig:cds}
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\end{figure}
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\begin{bsp}[Mehr Flächen im Raum]
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Auf der Seite \href{https://imaginary.org}{imaginary.org} finden Sie viel
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Material. Besonders schöne algebraische Mengen finden Sie
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\href{https://imaginary.org/gallery/surfer-gallery-by-bianca-violet}{hier},
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\href{https://imaginary.org/gallery/herwig-hauser-classic}{hier} und
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\href{https://imaginary.org/gallery/oliver-labs}{hier}. Holen Sie sich das
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Programm \href{https://imaginary.org/program/surfer}{surfer} und spielen Sie
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selbst!
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Eine komische Gleichung für den Punkt]
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Die Menge
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\[
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\Bigl\{ (x,y) ∈ ℝ² \mid x²+y² = 0 \Bigr\}
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\]
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ist ein Punkt. Das ist komisch. Wir betrachten den zwei-dimensionalen $ℝ²$
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und eine einzige Gleichung. Da erwarten wir doch, dass die Lösungsmenge
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ein-dimensional ist, also eine Kurve. Stattdessen bekommen wir einen Punkt!
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Beachte: über den komplexen Zahlen wäre und das nicht passiert!
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Mechanik]
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Betrachte einen banalen Roboter in der Ebene. Ein Arm der Länge 2 ist im
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Ursprung befestigt. An dessen freiem Ende $(x,y)$ ist ein Arm mit Länge 1
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befestigt. Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$. Die Menge der möglichen
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Zustände des Roboters ist dann die algebraische Menge
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\[
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\Bigl\{ (x,y,a,b) ∈ ℝ⁴ \::\: x² + y² -4 = (x-a)² + (y-b)² -1 = 0 \Bigr\}.
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\]
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Um den Roboter von Stellung $A$ in Stellung $B$ zu bringen, muss die
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Steuerungssoftware einen Weg auf dieser Menge finden, der einerseits möglichst
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kurz ist, andererseits noch etliche Nebenbedingungen erfüllen muss
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(mechanische Belastbarkeit der Gelenke, Kollisionsvermeidung, …). Bei
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Robotern mit mehreren Gelenken wird dies sehr schnell zu einer gigantischen
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Herausforderung! Für den allereinfachsten Fall googeln Sie mal nach den
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Worten „Gelenkviereck“ und „\foreignlanguage{english}{four bar linkage}“. Sie
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werden überrascht sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert
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die Mathematik wird.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Design]
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Wenn Sie schon einmal mit einem Zeichenprogramm gearbeitet haben, kennen Sie
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\emph{Bézierkurven}\index{Bézierkurve}. Gegeben seien Punkte $p_0, …, p_n ∈
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ℝ²$. Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$ zu $p_n$ zu
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zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft, aber
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zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft. Dazu konstruiert man
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Abbildungen $ℝ → ℝ²$,
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\begin{align*}
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B_{p_0, p_1}(t) & = (1-t)·p_0 + t·p_1\\
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||
\intertext{und dann weiter induktiv}
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||
B_{p_0,…,p_k}(t) & = (1-t)·B_{p_0,…,p_{k-1}}(t) + t·B_{p_1,…,p_k}(t).
|
||
\end{align*}
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||
Die Bézierkurve ist dann die eingeschränkte Abbildung
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\[
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||
B_{p_0,…,p_n} : [0, 1] → ℝ².
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\]
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Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist! Sie
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finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/B\%C3\%A9zierkurve}{Wikipedia}.
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\end{bsp}
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\section{Parametrisierungen}
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\sideremark{Vorlesung 2}In der Schule haben Sie die \emph{Gleichung} und
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\emph{Parametrisierungen} von Geraden im $ℝ²$ diskutiert, vermutlich bis zum
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Erbrechen. Beide Darstellungen haben Ihre Vor- und Nachteile:
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\begin{itemize}
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\item Wenn eine Gerade als Gleichung beschrieben ist, kann ich durch direktes
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Einsetzen prüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden liegt oder nicht.
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\item Die Parametrisierung ist sinnvoll, um die Gerade zu zeichnen. Das gilt
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besonders, wenn ich ein Computerprogramm schreiben soll, das die Gerade
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zeichnet.
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\end{itemize}
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Die Existenz von Parametrisierungen ist vielleicht eine der ersten Fragen, die
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man bezüglich algebraischer Mengen stellen kann. Wir diskutieren
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„Parametrisierungen durch rationale Funktionen“, wobei die rationalen Funktionen
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nicht überall definiert sein müssen. Die folgende Definition ist daher
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vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
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\begin{defn}[Rationale Parametrisierung]
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Es sei $k$ ein Körper und es sei $A⊆ k^n$ eine algebraische Menge. Eine
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\emph{rationale Parametrisierung}\index{Parametrisierung} von $A$ ist ein
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Tupel von rationalen Funktionen $f_1, …, f_n ∈ k(x_1, …, x_m)$, sodass
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Folgendes gilt.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:1.1.16.1} Falls $\vec{x} ∈ k^m$ ein Punkt ist, an dem alle
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$f_i$ definiert sind, dann ist
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\[
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\bigl(f_1(\vec{x}), …, f_n(\vec{x}) \bigr) ∈ A.
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\]
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||
\item Die Menge $A$ ist die kleinste algebraische Menge, für die
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Eigenschaft~\ref{il:1.1.16.1} gilt.
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\end{enumerate}
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\end{defn}
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\begin{bsp}[Affiner Raum und leere Menge]
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Der affine Raum ist rational parametrisierbar. Die leere Menge ist nicht
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rational parametrisierbar.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Graphen]
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Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational
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parametrisierbar.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}%
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Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch $α ↦ (\cos α,
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\sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist nicht sehr
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algebraisch. Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon, dass der
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Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt. Gegeben eine Zahl $t$, dann
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betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ --
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Abbildung~\ref{fig:rpk} zeigt den Fall $t = 0.8$. Diese Gerade schneidet den
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Kreis in $(-1,0)$ und in einem weiteren Punkt $p_t$, der von $t$ abhängt.
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Rechnen Sie die Koordinaten von $p_t$ sofort aus und stellen Sie fest, dass
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wir durch $t ↦ p_t$ eine Parametrisierung des Kreises durch rationale
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Funktionen erhalten, nämlich
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\[
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φ : ℝ → E, \quad t ↦ \Bigl(\frac{1-t²}{1+t²}, \frac{2t}{1+t²}\Bigr).
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\]
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||
Mit dieser Parametrisierung lässt sich die Frage beantworten, wie viele Punkte
|
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des Einheitskreises rationale Koordinaten haben („Wie viele \emph{rationale
|
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Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?“). Überlegen Sie sich, dass $φ(t) ∈
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ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist. Cool. Um zu sehen, wie cool genau,
|
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erinnern Sie sich: ein
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel}{\emph{Pythagoreisches
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Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, sodass
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$a² + b² = c²$ ist. Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas länger.
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Wikipedia schreibt:
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\begin{figure}
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\centering
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\includegraphics[width=10cm]{figures/02-kreis.png}
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\caption{Rationale Parametrisierung des Kreises}
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\label{fig:rpk}
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\end{figure}
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\begin{quote}
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Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die
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in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v.~Chr.).
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Die Keilschrifttafel „Plimpton 322“ enthält 15 verschiedene pythagoreische
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Tripel […], was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500
|
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Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten
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ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln […] aus einem
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demotischen Papyrus des 3.~Jahrhunderts v.~Chr.\ bekannt […]
|
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\end{quote}
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Beobachten Sie: ein Tripel $(a,b,c)$ ist genau dann pythagoreisch, wenn
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$(\frac{a}{c}, \frac{b}{c})$ ein rationaler Punkt des Einheitskreises $E$ ist.
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||
Also haben wir mit der rationalen Parametrisierung des Kreises alle
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pythagoreischen Tripel bestimmt.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Elliptische Kurven]
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Man kann beweisen, dass es im Gegensatz zum Einheitskreis \emph{keine
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algebraische Parametrisierung einer elliptischen Kurve geben kann}! Das ist
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gut so. Elliptische Kurven müssen kompliziert sein, sonst würde man sie in
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der Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können.
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||
\end{bsp}
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||
\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
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||
In Beispiel~\ref{bsp:crk} hatten wir die kubische Raumkurve kennengelernt.
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||
Diese Kurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert.
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||
\end{bsp}
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||
|
||
\begin{bsp}[Clebsche Diagonalfläche]
|
||
Die Clebsche Diagonalfläche kann rational parametrisiert werden, aber das ist
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||
vielleicht nicht sehr offensichtlich. Bei der Suche nach einer
|
||
Parametrisierung hilft Geometrie der 27 Geraden unheimlich!
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||
\end{bsp}
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||
\begin{bsp}[Bézier-Kurven]
|
||
Bézierkurven sind durch ihre Parametrisierung definiert.
|
||
\end{bsp}
|
||
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\section{Erste Fragen}
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Die Frage nach der Parametrisierbarkeit ist schwer, und schon für sehr einfache
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||
Gleichungen ist die Antwort oft unbekannt. Wir stellen in dieser Vorlesung
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zunächst eine viel einfachere Frage: gegeben sei ein Körper $k$ und Polynome
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||
$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$.
|
||
\begin{itemize}
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\item Ist $V(f_1, …, f_m)$ dann leer oder nicht?
|
||
|
||
\item Falls Lösungen existieren: Wie viele gibt es?
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||
|
||
\item Falls nur endlich viele Lösungen existieren: Wie viele gibt es genau?
|
||
|
||
\item Bei unendlich vielen: Was ist die Geometrie von $V$?
|
||
\end{itemize}
|
||
Das sind im Allgemeinen schwierige Fragen. Um den Grad der Schwierigkeit zu
|
||
illustrieren, erinnere ich an den berühmten
|
||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gro\%C3\%9Fer_Fermatscher_Satz}{Großen Satz
|
||
von
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||
Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de
|
||
Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, heute
|
||
im Département Tarn-et-Garonne; † 12.~Januar 1665 in Castres) war ein
|
||
französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner
|
||
Formulierung von
|
||
Wiles\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles}{Sir Andrew John
|
||
Wiles} KBE, FRS (* 11.~April 1953 in Cambridge) ist ein britischer Mathematiker.
|
||
Berühmt wurde er durch seinen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung für
|
||
semistabile elliptische Kurven, woraus sich der Große Fermatsche Satz ergibt.}
|
||
bewiesen wurde. Wikipedia schreibt:
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||
\begin{quote}
|
||
Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden
|
||
dieser Geschichte haben [den großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der
|
||
Mathematiker hinaus populär gemacht.
|
||
\end{quote}
|
||
Kennen Sie das Buch
|
||
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat\%27s_Last_Theorem_(book)}{Fermat's
|
||
Last Theorem} von Simon Singh? Weihnachten ist zwar schon vorbei…
|
||
|
||
\begin{satz}[Fermat's großer Satz]
|
||
Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$. Dann erfüllt kein Tripel $(a, b,
|
||
c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung $a^{n}+b^{n}=c^{n}$. \qed
|
||
\end{satz}
|
||
|
||
\begin{beobachtung}[Zusammenhang zu algebraischen Mengen]
|
||
Fermat's großer Satz lässt sich auch so ausdrücken: Gegeben sei eine
|
||
natürliche Zahl $n > 2$. Dann hat die algebraische Menge
|
||
\[
|
||
A := \{ (x,y) ∈ ℚ² \::\: x^n+y^n=1 \}
|
||
\]
|
||
nur einige triviale Lösungen. Dazu beachte man, dass eine nicht-triviale
|
||
ganzzahlige Lösung $(a,b,c)$ der Gleichung $x^n+y^n=z^n$ einen rationalen
|
||
Punkt $(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}) ∈ A$ liefert. Umgekehrt liefert ein
|
||
rationaler Punkt $(\frac{a}{c}, \frac{b}{d}) ∈ A$ eine nicht-triviale,
|
||
ganzzahlige Lösung $(ad,cb,bd)$ der Fermat'schen Gleichung.
|
||
\end{beobachtung}
|
||
|
||
Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen nach
|
||
der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein. Auch die Frage nach der Anzahl
|
||
von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten
|
||
Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd
|
||
Faltings} (* 28.~Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker und
|
||
Träger der Fields-Medaille. Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für
|
||
Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen,
|
||
Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und
|
||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Mordell}{Mordell-Vermutung}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Louis_Mordell}{Louis
|
||
Joel Mordell} (* 28.~Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12.~März 1972 in
|
||
Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor allem
|
||
in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen
|
||
arbeitete.}.
|
||
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|
||
\section{Der Hilbertsche Nullstellensatz}
|
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|
||
Ich möchte den Punkt machen, dass die Frage nach der Lösbarkeit von
|
||
algebraischen Gleichungssystemen sehr viel einfacher wird, wenn wir uns auf
|
||
algebraisch abgeschlossene Körper beschränken. Unter dieser Annahme beantwortet
|
||
der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge $V
|
||
\bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten
|
||
Ideals.
|
||
|
||
\begin{erinnerung}[Ideale]
|
||
Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und
|
||
es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Das von den $f_•$ erzeugten Ideal
|
||
ist die Teilmenge
|
||
\[
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(f_1, …, f_n) = \bigl\{ a_1·f_1 + ⋯ a_n·f_n \::\: a_1, …, a_n ∈ k[x_1, …, x_m]
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\bigr\} ⊆ k[x_1, …, x_m].
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\]
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In der Algebraischen Geometrie ist statt $(f_1, …, f_n)$ auch die Notation
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$I(f_1, …, f_n)$ üblich.
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\end{erinnerung}
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\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}%
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Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und
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es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Falls $V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠
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∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$. Wäre nämlich die 1 in dem Ideal
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enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination
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\[
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1 = a_1·f_1 + ⋯ + a_n·f_n
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\]
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und demnach wäre $1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x})
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= 0$, Widerspruch!
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\end{beobachtung}
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Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende „schwache Version“ des
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Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist, die
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Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
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\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}%
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Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome $f_1,
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…, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen
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äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:2-4-3-1} Das Gleichungssystem $f_1 = ⋯ = f_n = 0$ hat eine
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Lösung in $k^m$.
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\item\label{il:2-4-3-2} Es ist $1 \notin (f_1, …, f_n)$.
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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Wir werden den Hilbertschen Nullstellensatz im ersten Teil dieser Vorlesung
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beweisen. Wir müssen uns vielleicht auch Gedanken darüber machen, wie man für
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gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal $(f_1, …,
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f_n)$ liegt.
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\begin{bemerkung}
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Die Aussage „die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$“ kann man auch anders
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formulieren. Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal $(f_1, …,
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f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist.
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\end{bemerkung}
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\begin{aufgabe}
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Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Folgerung des Hilbertschen
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Nullstellensatzes ohne die Annahme „algebraisch abgeschlossen“ grässlich
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falsch ist.
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\end{aufgabe}
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