Fix errors

00.tex

@@ -9,12 +9,12 @@ auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
 hat.  Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt, was ungefähr der Länge eines
 Sommersemesters entspricht.
 
-Dieses Skript wird ständig weiter geschrieben. Um schnell zu erkennen, ob der
+Dieses Skript wird ständig weiter geschrieben.  Um schnell zu erkennen, ob der
 Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde finden Sie unten auf jeder Seite
-die aktuelle Revisionsnummer und das Datum der letzten Änderung. Vermutlich
+die aktuelle Revisionsnummer und das Datum der letzten Änderung.  Vermutlich
 lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei auf Ihrem Computer zu speichern: holen
 Sie sich einfach immer die neueste Version aus der Cloud, dann sind sie stets
-auf dem aktuellen Stand.  
+auf dem aktuellen Stand.
 
 Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen.  Falls Sie
 ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
@@ -55,7 +55,7 @@ verwenden.  Wikipedia ist auch noch da.
 
 \item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
   Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
-  \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}. Sein
+  \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}.  Sein
   Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
   Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bisschen lang, aber ein
   absolutes Muss.  Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen

02.tex

@@ -62,7 +62,7 @@ Klingt besser.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Graph einer rationalen Funktion]
-  Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion. Schreibe
+  Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion.  Schreibe
   $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde Polynome
   sind.  Dann ist der Graph von $f$,
   \[
@@ -195,7 +195,7 @@ Klingt besser.
   \[
     B_{p_0,…,p_n} : [0, 1] → ℝ².
   \]
-  Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist! Sie
+  Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist!  Sie
   finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/B\%C3\%A9zierkurve}{Wikipedia}.
 \end{bsp}

03.tex

@@ -19,8 +19,8 @@ Multiplikation.
 \begin{notation}
   In dieser Vorlesung ist mit dem Wort „Ring“ immer ein kommutativer Ring mit 1
   gemeint.  Ein Ringmorphiums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme die
-  Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$.  Sind $A$ und $B$ Ringe und $A ⊆ B$, so nennen
-  wir das eine \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung}.
+  Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$.  Eine
+  \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung} $A ⊆ B$ ist das, was Sie denken.
 \end{notation}
 
 
@@ -51,7 +51,7 @@ Polynoms.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}%
-  Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$
+  Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.  Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$
   gegeben.  Definiere dann den Unterring
   \[
     A[M] := \bigcap_{R ∈ א} R,
@@ -154,8 +154,7 @@ mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
   \item\label{il:3-2-9-2} Der Ring $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt.
   
   \item\label{il:3-2-9-3} Es gibt einen Zwischenring $A[b] ⊆ M ⊆ B$, der als
-    $A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass $\{
-    b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
+    $A$-Modul endlich erzeugt ist.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 
@@ -178,10 +177,61 @@ auch für Matrizen über Ringen gilt.
   gilt, wobei $E$ die $(n⨯n)$-Einheitsmatrix ist.  \qed
 \end{satz}
 
-\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}]
-  \video{2-1}.  Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich $\{ b·m \::\:
-  m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$.  Ich bitte, diese Panne zu
-  entschuldigen.
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-1} $⇒$ \ref{il:3-2-9-2}]
+  Es sei $b$ ganz über $A$ mit Ganzheitsgleichung
+  \[
+    b^n + a_{n-1}·b^{n-1} + ⋯ + a_1·b + a_0 = 0.
+  \]
+  Dann ist
+  \begin{equation}\label{eq:3-3-2-1}
+    b^n = -(a_{n-1}·b^{n-1} + ⋯ + a_1·b + a_0).
+  \end{equation}
+  Wir wissen: jedes Element des Ringes $A[b]$ kann als Polynom $\sum_i
+  α_i·b_i$ geschrieben werden, wobei die $α_i ∈ A$ geeignete
+  Elemente sind.  Mit \eqref{eq:3-3-2-1} folgt: die Element $1, b, b², …,
+  b^{n-1}$ erzeugen daher $A[b]$ als $A$-Modul.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-2} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1}]
+  Setze $M := A[b]$, fertig.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}, Folgerung \ref{il:3-2-9-3} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1}]
+  Wähle ein endliches Erzeugendensystem  $m_1, …, m_n$ des Ringes $M$ als
+  $A$-Modul. Wir können also jedes Element von $M$ als $A$-Linear\-kombination
+  der $m_•$ schreiben. Machen wir das.
+  \begin{align*}
+    1_M & = a_1·m_1 + ⋯ + a_n·m_n \\
+    b·m_1 &= a_{11}·m_1 + ⋯ + a_{1n}·m_n \\
+    \vdots \\
+    b·m_n &= a_{n1}·m_1 + ⋯ + a_{nn}·m_n
+  \end{align*}
+  Wir fassen die letzten Zeilen zu einer Matrix zusammen und betrachten
+  \[
+    Δ := (b·δ_{ij} + a_{ij})_{ij} ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; B)
+  \]
+  Dann ist
+  \[
+    Δ · \begin{pmatrix} m_1 \\ \vdots \\ m_n \end{pmatrix} = \vec{0} ∈ B^n.
+  \]
+  Wir würden gern folgern, dass $\det Δ = 0_M$ ist, dazu ist aber etwas
+  Argumentation nötig --- beachten Sie, dass $B$ ein Ring ist, der vielleicht
+  Nullteiler enthält!  Dazu kommt jetzt die Cramersche Regel ins Spiel: wenn
+  $Δ^*$ die adjungierte Matrix bezeichnet, dann gilt nämlich auf jeden Fall
+  \[
+    (\det Δ) · \begin{pmatrix} m_1 \\ \vdots \\ m_n \end{pmatrix} =
+    Δ^* Δ · \begin{pmatrix} m_1 \\ \vdots \\ m_n \end{pmatrix} = Δ^*·\vec{0} = \vec{0} ∈ B^n.
+  \]
+  Also gilt für jeden Index $i$ die Gleichung $(\det Δ)·m_i = 0_M$.  Dann ist
+  aber auch
+  \[
+    \det Δ = (\det Δ)·1_M = (\det Δ)·(a_1·m_1 + ⋯ + a_n·m_n) = 0_M.
+  \]
+  Mit $\det Δ = 0_M$ folgt aber, dass $b ∈ B$ Nullstelle des normierten Polynoms
+  \[
+    \det (x·δ_{ij}-a_{ij}) ∈ A[x]
+  \]
+  ist.  Wir haben also eine Ganzheitsgleichung für $b$ gefunden.
 \end{proof}
 
 \sideremark{Vorlesung 3}Die Charakterisierung von Ganzheit aus