.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -1,43 +0,0 @@
-Stappen
-Meffle
-Gathmann
-Fulton
-Eisenbud
-Miles
-Reid
-CoCalc
-Macaulay
-Zerfällungskörper
-Galoisgruppe
-simplizialen
-Ricci-flache
-Zerfällungskörpern
-Galoisgruppen
-Gödelschen
-Einspolynom
-reduzibel
-Clebsch
-Hammurabi-Dynastie
-Plimpton
-Clebsche
-Parametrisierbarkeit
-Beaumont-de-Lomagne
-Castres
-Département
-Tarn-et-Garonne
-Wiles
-FRS
-Taniyama-Shimura-Vermutung
-Fermatsche
-Singh
-Faltings
-adischen
-Quotientenringe
-Einsetzungsmorphismus
-Syzygien
-Syzygienmodul
-wegheben
-Endlichkeitseigenschaften
-Bagnols-sur-Cèze
-Ganzheitsgleichung
-Erzeugendensystem

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q irreduzibel ist, dann werden wir den Output von „isIrreducible(\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q)“ aber nicht akzeptieren.\\E$"}
-{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in dieser Vorlesung?.\\E$"}
-{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"}
-{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.\\E$"}
-{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer Beweis von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q verwendet die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, die sie aus der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennen (sollten).\\E$"}

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.en-US.txt

@@ -1 +0,0 @@
-{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qfour bar linkage\\E$"}

00.tex

@@ -3,18 +3,23 @@
 
 \section*{Vorbemerkung}
 
-Dieses Skript zur Vorlesung „Kommutative Algebra und Einführung in die
+Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die
-Algebraische Geometrie“ baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
+Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
 auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
-hat.  Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt, was ungefähr der Länge eines
+hat.  Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter
-Sommersemesters entspricht.
+geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der
+\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}.
+Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
+finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
+Datum der letzten Änderung.  Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei
+auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste
+Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand.
 
-Dieses Skript wird ständig weiter geschrieben. Um schnell zu erkennen, ob der
+Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
-Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde finden Sie unten auf jeder Seite
+Vorlesung auf unserem
-die aktuelle Revisionsnummer und das Datum der letzten Änderung. Vermutlich
+\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}.
-lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei auf Ihrem Computer zu speichern: holen
+Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
-Sie sich einfach immer die neueste Version aus der Cloud, dann sind sie stets
+aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.
-auf dem aktuellen Stand.  
 
 Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen.  Falls Sie
 ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
@@ -55,13 +60,13 @@ verwenden.  Wikipedia ist auch noch da.
 
 \item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
   Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
-  \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}. Sein
+  \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}.
-  Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
+  Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
-  Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bisschen lang, aber ein
+    Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein
   absolutes Muss.  Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen
-  YouTube-Kanal
+  Youtube-Kanal
   \href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic
-  Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten „Pseudo-Vorlesungen“.
+    Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''.
 
 \item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext
   \cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf
@@ -77,10 +82,10 @@ verwenden.  Wikipedia ist auch noch da.
  
 \item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich
   \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz
-  kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den Einführungstexten
+    kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den
-  in die Algebraische Geometrie.  Das Buch behandelt viel, viel mehr Material
+  Einführungstexten in die Algebraische Geometrie.  Das Buch behandelt viel, viel
-  als wir in diesem Kurs diskutieren werden.  Aber schon allein das erste
+  mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden.  Aber schon allein
-  Kapitel lohnt sich…
+  das erste Kapitel lohnt sich…
 
 \item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls
   \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem
@@ -111,21 +116,21 @@ verwenden.  Wikipedia ist auch noch da.
 
 Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
 Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
-außerdem kann man schöne Bilder malen.  Wir akzeptieren für Hausaufgaben
+ausserdem kann man schöne Bilder malen.  Wir akzeptieren für Hausaufgaben
 Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
 dokumentiert sind.  Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
 vereinfachen von Polynomen hilfreich sein.  Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
 sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
-Output von „\texttt{isIrreducible($f$)}“ aber nicht akzeptieren.
+Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.
 
 
 \subsubsection*{Sage}
 
 Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
 durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
-herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc.
+herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
-Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, oder
+etc.  Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
-den Service CoCalc verwenden.
+oder den Service CoCals verwenden.
 
 
 \subsubsection*{CoCalc}
@@ -134,10 +139,15 @@ CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine
 Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können.  Leider ist der
 kostenlose Dienst manchmal etwas langsam.
 
+Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
+\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor.  Sie
+können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
+Server rechnen.
+
 
 \subsubsection*{Macaulay2}
 
 Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist
 \href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos
 herunterladen können.  Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht
-leicht zu benutzen.
+leicht zu benutzen.  Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen.

01.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 
 \chapter{Worum geht es in dieser Vorlesung?}
 
-\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ haben wir
+\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' haben wir
 im Wesentlichen einen Körper $k$ und ein Polynom in einer Variable mit
 Koeffizienten in $k$ betrachtet, $f ∈ k[x]$.  Wir interessierten uns zum
 Beispiel für den Zerfällungskörper von $f$ und die zugeordnete Galoisgruppe
@@ -38,49 +38,56 @@ vielleicht die folgenden Fragen stellen.
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf-Rinow#Geod\%C3\%A4tisch_vollst\%C3\%A4ndige_Mannigfaltigkeit}{geodätisch
     vollständig}?  Wie sehen die lokalen/globalen Symmetriegruppen aus?
   
-\item Analysis: Gibt es auf dem Raum $A$ spezielle Metriken?  Liefern uns die
+\item Analysis: Gibt es auf $A$ spezielle Metriken?  Liefern uns die Lösungen
-  Lösungen geeigneter
+  geeigneter
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Monge-Amp\%C3\%A8resche_Gleichung}{Monge-Ampère-Differentialgleichungen}
   vielleicht sogar eine Ricci-flache
   \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_manifold}{Kähler-Einstein-Metrik}?
 \end{itemize}
-Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie „Krümmung“ oder „Symmetrie“, die
+Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie ``Krümmung'' oder ``Symmetrie'' , die
 geometrischer Anschauung zugänglich sind.  Die algebraischen Eigenschaften der
 Gleichungen $f_1$, …, $f_m$ sind nicht sehr anschaulich, erlauben aber direkte
-Rechnungen.  Die „Algebraische Geometrie“ bringt diese Begriffe zusammen, wobei
+Rechnungen.  Die ``Algebraische Geometrie'' bringt diese Begriffe zusammen,
-für viele Mathematiker das Zusammenspiel von „geometrischer Anschauung“ und
+wobei für viele Mathematiker das Zusammenspiel von ``geometrischer Anschauung''
-„algebraischer Rechnung“ den Reiz des Gebietes ausmacht.
+und ``algebraischer Rechnung'' den Reiz des Gebietes ausmacht.
 
-Das Wort „Zusammenspiel“ klingt dabei vielleicht etwas vage.  Tatsächlich gibt
+Das Wort ``Zusammenspiel'' klingt dabei vielleicht etwas vage.  Tatsächlich gibt
-es aber sogar eine „Äquivalenz von Kategorien“.  Konsequenz: jedes Objekt der
+es aber sogar eine ``Äquivalenz von Kategorien''.  Konsequenz: jedes Objekt der
 Algebra und jeder Satz der Algebra ist ein Objekt oder Satz der Geometrie, und
 umgekehrt.  Natürlich ist es nicht immer so, dass besonders einfache Sätze der
 Algebra auch zu besonders einfachen (oder: besonders anschaulichen) Sätzen der
 Geometrie gehören!  Ich möchte mich in dieser Vorlesung nicht mit
-Kategorientheorie und der „Äquivalenz von Kategorien“ aufhalten.  Stattdessen
+Kategorientheorie und der ``Äquivalenz von Kategorien'' aufhalten.  Stattdessen
-verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch „Algebra $⇔$
+verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch ``Algebra
-Geometrie“ zu entwickeln.
+$⇔$ Geometrie'' zu entwickeln.
 
 \begin{bemerkung}
-  Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der Vorlesung
+  Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der
-  „Algebra und Zahlentheorie“ sind nur dann interessant, wenn der Körper $k$
+  Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' sind nur dann interessant, wenn der
-  \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist.  Im Gegensatz dazu werden wir uns
+  Körper $k$ \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist.  Im Gegensatz dazu
-  in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch abgeschlossenen Fall
+  werden wir uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch
-  interessieren.  Der
+  abgeschlossenen Fall interessieren.  Der
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Nullstellensatz}{Hilbertsche
     Nullstellensatz}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
-  Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen)
+      Hilbert} (* 23.  Januar 1862 in Königsberg; † 14.  Februar 1943 in
-  war ein deutscher Mathematiker.  Er gilt als einer der bedeutendsten
+    Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.  Er gilt als einer der
-  Mathematiker der Neuzeit.  Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik
+    bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit.  Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
-  und mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete.  Mit
+    der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
-  seinen Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische
+    Forschungsgebiete.  Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
-  Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische
+    bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
-  Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen
+    veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik
-  Beweises.  Diese Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der
+    und des mathematischen Beweises.  Diese Analysen führten zum Gödelschen
-  unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte
+    Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm,
-  vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden
+    die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
-  kann.  Hilberts programmatische Rede auf dem internationalen
+    gänzlich erfüllt werden kann.  Hilberts programmatische Rede auf dem
-  Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine Liste von 23
+    internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
-  mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung
+    Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
-  des 20.~Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum.
+    mathematische Forschung des 20.  Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum.
 \end{bemerkung}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "21-KA"
+%%% End:
+

02.tex

@@ -7,32 +7,33 @@
 
 Bevor es richtig losgeht, brauchen wir Beispiele und interessanten polynomialen
 Gleichungssysteme und zugehörigen Lösungsmengen.  Der algebraische Geometer
-spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von „algebraischen Mengen“.
+spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von ``algebraischen Mengen''.  Klingt
-Klingt besser.
+besser.
 
-\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}%
+\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}
-  Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine Teilmenge $A ⊆ k^m$
+  Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine Teilmenge
-  heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische Teilmenge des $k^m$},
+  $A ⊆ k^m$ heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische
-  falls es Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass
+    Teilmenge des $k^m$}, falls es Polynome
+  $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass
   \[
     A = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0
-    \Bigr\}
+    \Bigr\}.
   \]
   ist.
 \end{defn}
 
 \begin{bemerkung}
   In der Literatur werden algebraische Mengen manchmal als \emph{affine
-    Varietäten}\index{affine Varietäten}\index{Varietät!affin} bezeichnet; die
+    Varietäten} bezeichnet; die meisten Autoren reservieren das Wort
-    meisten Autoren reservieren das Wort „Varietät“ aber für algebraische
+  ``Varietät'' aber für algebraische Mengen, die mit einer gewissen Topologie
-    Mengen, die mit einer gewissen Topologie versehen wurden.  Andere fordern
+  versehen wurden.  Andere fordern zusätzlich noch, dass man einen Begriff von
-    zusätzlich noch, dass man einen Begriff von „algebraischen Funktionen“
+  ``algebraischen Funktionen'' definiert.
-    definiert.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}%
+\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien $f_1, …, f_n ∈
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien
-  k[x_1, …, x_m]$ Polynome.  Die zugehörende algebraische Menge wird oft mit
+  $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ Polynome.  Die zugehörende algebraische Menge
+  wird oft mit
   \[
     V(f_1, …, f_n) = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ =
     f_n(\vec{x}) = 0 \Bigr\}
@@ -42,8 +43,8 @@ Klingt besser.
 
 \begin{bsp}[Der gesamte Raum]
   Es sei $k$ ein Körper.  Der gesamte Raum $k^m$ ist eine algebraische Menge
-  (nehme für $f_•$ das Nullpolynom).  Wenn ich von $k^m$ als algebraischer Menge
+  (nehme für $f_{•}$ das Nullpolynom).  Wenn ich von $k^m$ als
-  spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum}\index{affiner Raum} und
+  algebraischer Menge spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum} und
   schreibe $𝔸^m$.
 \end{bsp}
 
@@ -62,9 +63,9 @@ Klingt besser.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Graph einer rationalen Funktion]
-  Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion. Schreibe
+  Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion.
-  $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde Polynome
+  Schreibe $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde
-  sind.  Dann ist der Graph von $f$,
+  Polynome sind.  Dann ist der Graph von $f$,
   \[
     A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y·b(x)-a(x) = 0 \Bigr\},
   \]
@@ -97,18 +98,18 @@ Klingt besser.
   ist eine algebraische Menge.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}%
+\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}
   Öffnen Sie die
   \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{folgende
-  Seite} in Ihrem Webbrowser und spielen Sie mit dem Programm
+    Seite} in Ihrem Web-Browser und spielen Sie mit dem Programm
   \href{https://kebekus.gitlab.io/ellipticcurve/de/}{Elliptic Curve Plotter}, um
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Kurve}{elliptische
-  Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen.  Diese Kurven spielen in
+    Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen.  Diese Kurven spielen
-  der Kryptografie eine wichtige Rolle.  Sie verwenden elliptische Kurven
+  in der Kryptografie eine wichtige Rolle.  Sie verwenden elliptische Kurven
   täglich, wenn Sie Daten im Internet übertragen.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]\label{bsp:crk}
+\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
   Die algebraische Menge
   \[
     \Bigl\{ (x,y,z) ∈ ℝ³ \::\: y - x² = z-x³=0 \Bigr\}
@@ -121,10 +122,10 @@ Klingt besser.
   \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{meiner Web-Seite} die
   \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Clebsch_surface}{Clebsche
     Diagonalfläche}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Clebsch}{Rudolf
-  Friedrich Alfred Clebsch} (* 19.~Januar 1833 in Königsberg; † 7.~November 1872
+      Friedrich Alfred Clebsch} (* 19.  Januar 1833 in Königsberg; † 7.  November
-  in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge zur
+    1872 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge
-  algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die auch in
+    zur algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die
-  Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist.
+  auch in Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist.
 \end{bsp}
 
 \begin{figure}
@@ -163,8 +164,8 @@ Klingt besser.
 \begin{bsp}[Mechanik]
   Betrachte einen banalen Roboter in der Ebene.  Ein Arm der Länge 2 ist im
   Ursprung befestigt.  An dessen freiem Ende $(x,y)$ ist ein Arm mit Länge 1
-  befestigt.  Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$.  Die Menge der möglichen
+  befestigt.  Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$.  Die Menge der möglichen Zustände
-  Zustände des Roboters ist dann die algebraische Menge
+  des Roboters ist dann die algebraische Menge
   \[
     \Bigl\{ (x,y,a,b) ∈ ℝ⁴ \::\: x² + y² -4 = (x-a)² + (y-b)² -1 = 0 \Bigr\}.
   \]
@@ -174,29 +175,29 @@ Klingt besser.
   (mechanische Belastbarkeit der Gelenke, Kollisionsvermeidung, …).  Bei
   Robotern mit mehreren Gelenken wird dies sehr schnell zu einer gigantischen
   Herausforderung!  Für den allereinfachsten Fall googeln Sie mal nach den
-  Worten „Gelenkviereck“ und „\foreignlanguage{english}{four bar linkage}“.  Sie
+  Worten ``Gelenkviereck'' und ``four-bar linkage''.  Sie werden überrascht
-  werden überrascht sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert
+  sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert die Mathematik
-  die Mathematik wird.
+  wird.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Design]
   Wenn Sie schon einmal mit einem Zeichenprogramm gearbeitet haben, kennen Sie
-  \emph{Bézierkurven}\index{Bézierkurve}.  Gegeben seien Punkte $p_0, …, p_n ∈
+  \emph{Bézier-Kurven}\index{Bézier-Kurve}.  Gegeben seien Punkte
-  ℝ²$.  Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$ zu $p_n$ zu
+  $p_0, …, p_n ∈ ℝ²$.  Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$
-  zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft, aber
+  zu $p_n$ zu zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft,
-  zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft.  Dazu konstruiert man
+  aber zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft.  Dazu konstruiert man
   Abbildungen $ℝ → ℝ²$,
   \begin{align*}
     B_{p_0, p_1}(t) & = (1-t)·p_0 + t·p_1\\
     \intertext{und dann weiter induktiv}
     B_{p_0,…,p_k}(t) & = (1-t)·B_{p_0,…,p_{k-1}}(t) + t·B_{p_1,…,p_k}(t).
   \end{align*}
-  Die Bézierkurve ist dann die eingeschränkte Abbildung
+  Die Bézier-Kurve ist dann die eingeschränkte Abbildung
   \[
     B_{p_0,…,p_n} : [0, 1] → ℝ².
   \]
-  Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist! Sie
+  Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist!
-  finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
+  Sie finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/B\%C3\%A9zierkurve}{Wikipedia}.
 \end{bsp}
 
@@ -216,9 +217,9 @@ Erbrechen.  Beide Darstellungen haben Ihre Vor- und Nachteile:
 \end{itemize}
 Die Existenz von Parametrisierungen ist vielleicht eine der ersten Fragen, die
 man bezüglich algebraischer Mengen stellen kann.  Wir diskutieren
-„Parametrisierungen durch rationale Funktionen“, wobei die rationalen Funktionen
+``Parametrisierungen durch rationale Funktionen'', wobei die rationalen
-nicht überall definiert sein müssen.  Die folgende Definition ist daher
+Funktionen nicht überall definiert sein müssen.  Die folgende Definition ist
-vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
+daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
 
 \begin{defn}[Rationale Parametrisierung]
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $A⊆ k^n$ eine algebraische Menge.  Eine
@@ -243,16 +244,15 @@ vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Graphen]
-  Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational
+  Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational parametrisierbar.
-  parametrisierbar.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}%
+\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}
-  Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch $α ↦ (\cos α,
+  Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch
-  \sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist nicht sehr
+  $α ↦ (\cos α, \sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist
-  algebraisch.  Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon, dass der
+  nicht sehr algebraisch.  Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon,
-  Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt.  Gegeben eine Zahl $t$, dann
+  dass der Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt.  Gegeben eine Zahl $t$,
-  betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ --
+  dann betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ --
   Abbildung~\ref{fig:rpk} zeigt den Fall $t = 0.8$.  Diese Gerade schneidet den
   Kreis in $(-1,0)$ und in einem weiteren Punkt $p_t$, der von $t$ abhängt.
   Rechnen Sie die Koordinaten von $p_t$ sofort aus und stellen Sie fest, dass
@@ -262,14 +262,14 @@ vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
     φ : ℝ → E, \quad t ↦ \Bigl(\frac{1-t²}{1+t²}, \frac{2t}{1+t²}\Bigr).
   \]
   Mit dieser Parametrisierung lässt sich die Frage beantworten, wie viele Punkte
-  des Einheitskreises rationale Koordinaten haben („Wie viele \emph{rationale
+  des Einheitskreises rationale Koordinaten haben (``Wie viele \emph{rationale
-  Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?“).  Überlegen Sie sich, dass $φ(t) ∈
+    Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?'').  Überlegen Sie sich, dass
-  ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist.  Cool.  Um zu sehen, wie cool genau,
+  $φ(t) ∈ ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist.  Cool.  Um zu sehen, wie cool
-  erinnern Sie sich: ein
+  genau, erinnern Sie sich: ein
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel}{\emph{Pythagoreisches
-  Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, sodass
+      Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, so
-  $a² + b² = c²$ ist.  Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas länger.
+  dass $a² + b² = c²$ ist.  Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas
-  Wikipedia schreibt:
+  länger.  Wikipedia schreibt:
   
   \begin{figure}
     \centering
@@ -284,7 +284,7 @@ vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
   \begin{quote}
     Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die
     in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v.~Chr.).
-    Die Keilschrifttafel „Plimpton 322“ enthält 15 verschiedene pythagoreische
+    Die Keilschrifttafel ``Plimpton 322'' enthält 15 verschiedene pythagoreische
     Tripel […], was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500
     Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war.  Für Ägypten
     ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln […] aus einem
@@ -300,23 +300,22 @@ vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
 \begin{bsp}[Elliptische Kurven]
   Man kann beweisen, dass es im Gegensatz zum Einheitskreis \emph{keine
     algebraische Parametrisierung einer elliptischen Kurve geben kann}!  Das ist
-    gut so.  Elliptische Kurven müssen kompliziert sein, sonst würde man sie in
+  gut so.  Die Kurven müssen auch kompliziert sein, sonst würde man sie in der
-    der Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können.
+  Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
-  In Beispiel~\ref{bsp:crk} hatten wir die kubische Raumkurve kennengelernt.
+  Die kubische Raumkurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert.
-  Diese Kurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Clebsche Diagonalfläche]
   Die Clebsche Diagonalfläche kann rational parametrisiert werden, aber das ist
-  vielleicht nicht sehr offensichtlich.  Bei der Suche nach einer
+  vielleicht nicht sehr offensichtlich.  Die Geometrie der 27 Geraden hilft
-  Parametrisierung hilft Geometrie der 27 Geraden unheimlich!
+  unheimlich!
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Bézier-Kurven]
-  Bézierkurven sind durch ihre Parametrisierung definiert.
+  Bézier-Kurven sind durch ihre Parametrisierung definiert.
 \end{bsp}
 
 
@@ -338,29 +337,30 @@ $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$.
 Das sind im Allgemeinen schwierige Fragen.  Um den Grad der Schwierigkeit zu
 illustrieren, erinnere ich an den berühmten
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gro\%C3\%9Fer_Fermatscher_Satz}{Großen Satz
-von
+  von
-Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de
+  Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre
-Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, heute
+    de Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne,
-im Département Tarn-et-Garonne; † 12.~Januar 1665 in Castres) war ein
+  heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12.  Januar 1665 in Castres) war ein
-französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner
+  französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner
 Formulierung von
 Wiles\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles}{Sir Andrew John
-Wiles} KBE, FRS (* 11.~April 1953 in Cambridge) ist ein britischer Mathematiker.
+    Wiles} KBE, FRS (* 11.  April 1953 in Cambridge) ist ein britischer
-Berühmt wurde er durch seinen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung für
+  Mathematiker.  Berühmt wurde er durch seinen Beweis der
-semistabile elliptische Kurven, woraus sich der Große Fermatsche Satz ergibt.}
+  Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven, woraus sich
-bewiesen wurde.  Wikipedia schreibt:
+  der Große Fermatsche Satz ergibt.} bewiesen wurde.  Wikipedia schreibt:
 \begin{quote}
-  Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden
+  Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische
-  dieser Geschichte haben [den großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der
+  Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den
-  Mathematiker hinaus populär gemacht.
+  Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.
 \end{quote}
 Kennen Sie das Buch
 \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat\%27s_Last_Theorem_(book)}{Fermat's
-Last Theorem} von Simon Singh?  Weihnachten ist zwar schon vorbei…
+  Last Theorem} von Simon Singh?  Weihnachten ist zwar schon vorbei…
 
 \begin{satz}[Fermat's großer Satz]
-  Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$.  Dann erfüllt kein Tripel $(a, b,
+  Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$.  Dann erfüllt kein Tripel
-  c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung $a^{n}+b^{n}=c^{n}$.  \qed
+  $(a, b, c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung
+  $a^{n}+b^{n}=c^{n}$.  \qed
 \end{satz}
 
 \begin{beobachtung}[Zusammenhang zu algebraischen Mengen]
@@ -376,19 +376,19 @@ Last Theorem} von Simon Singh?  Weihnachten ist zwar schon vorbei…
   ganzzahlige Lösung $(ad,cb,bd)$ der Fermat'schen Gleichung.
 \end{beobachtung}
 
-Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen nach
+Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen
-der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein.  Auch die Frage nach der Anzahl
+nach der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein.  Auch die Frage nach der
-von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten
+Anzahl von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten
 Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd
-Faltings} (* 28.~Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker und
+    Faltings} (* 28.  Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker
-Träger der Fields-Medaille.  Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für
+  und Träger der Fields-Medaille.  Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für
-Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen,
+  Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen,
-Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und
+  Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Mordell}{Mordell-Vermutung}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Louis_Mordell}{Louis
-Joel Mordell} (* 28.~Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12.~März 1972 in
+    Joel Mordell} (* 28.  Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12.  März 1972 in
-Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor allem
+  Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor
-in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen
+  allem in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen
-arbeitete.}.
+  arbeitete.}.
 
 
 \section{Der Hilbertsche Nullstellensatz}
@@ -396,8 +396,8 @@ arbeitete.}.
 Ich möchte den Punkt machen, dass die Frage nach der Lösbarkeit von
 algebraischen Gleichungssystemen sehr viel einfacher wird, wenn wir uns auf
 algebraisch abgeschlossene Körper beschränken.  Unter dieser Annahme beantwortet
-der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge $V
+der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge
-\bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten
+$V \bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten
 Ideals.
 
 \begin{erinnerung}[Ideale]
@@ -412,26 +412,26 @@ Ideals.
   $I(f_1, …, f_n)$ üblich.
 \end{erinnerung}
 
-\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}%
+\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}
   Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und
-  es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$.  Falls $V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠
+  es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$.  Falls
-  ∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$.  Wäre nämlich die 1 in dem Ideal
+  $V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠ ∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$.  Wäre
-  enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination
+  nämlich die 1 in dem Ideal enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination
   \[
     1 = a_1·f_1 + ⋯ + a_n·f_n
   \]
-  und demnach wäre $1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x})
+  und demnach wäre
-  = 0$, Widerspruch!
+  $1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x}) = 0$,
+  Widerspruch!
 \end{beobachtung}
 
-Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende „schwache Version“ des
+Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende ``schwache Version''
-Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist, die
+des Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist,
-Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
+die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
 
-\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}%
+\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome $f_1,
+  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome
-  …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben.  Dann sind die folgenden Aussagen
+  $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben.  Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
-  äquivalent.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:2-4-3-1} Das Gleichungssystem $f_1 = ⋯ = f_n = 0$ hat eine
     Lösung in $k^m$.
@@ -442,17 +442,23 @@ Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
 
 Wir werden den Hilbertschen Nullstellensatz im ersten Teil dieser Vorlesung
 beweisen.  Wir müssen uns vielleicht auch Gedanken darüber machen, wie man für
-gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal $(f_1, …,
+gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal
-f_n)$ liegt.
+$(f_1, …, f_n)$ liegt.
 
 \begin{bemerkung}
-  Die Aussage „die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$“ kann man auch anders
+  Die Aussage ``die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$'' kann man auch anders
-  formulieren.  Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal $(f_1, …,
+  formulieren.  Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal
-  f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist.
+  $(f_1, …, f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{aufgabe}
   Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Folgerung des Hilbertschen
-  Nullstellensatzes ohne die Annahme „algebraisch abgeschlossen“ grässlich
+  Nullstellensatzes ohne die Annahme ``algebraisch abgeschlossen'' grässlich
   falsch ist.
 \end{aufgabe}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "21-KA"
+%%% End:

03.tex

@@ -18,7 +18,7 @@ Multiplikation.
 
 \begin{notation}
   In dieser Vorlesung ist mit dem Wort ``Ring'' immer ein kommutativer Ring mit
-  1 gemeint.  Ein Ringmorphiums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme
+  1 gemeint.  Ein Ringmorphisums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme
   die Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$.  Sind $A$ und $B$ Ringe und $A ⊆ B$, so
   nennen wir das eine \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung}.
 \end{notation}
@@ -26,11 +26,11 @@ Multiplikation.
 
 \section{Elementare Definitionen}
 
-Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war „algebraisch“:
+Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war ``algebraisch'':
 gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und ein Element $z ∈ L$, dann nennen wir
 $z$ algebraisch über $K$, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, welches $z$ als
 Nullstelle hat.  Das Polynom $f$ kann man dann minimal wählen und normieren und
-erhält somit den Begriff des „Minimalpolynoms von $z$“.
+erhält somit den Begriff des ``Minimalpolynoms von $z$''.
 
 Das wollen wir auch für Ringe machen.  Bei Ringerweiterungen muss man aber
 aufpassen, denn man kann ein Polynom nicht immer normieren, indem man durch den
@@ -42,15 +42,15 @@ Polynoms.
   Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.
   \begin{enumerate}
   \item Ein Element $b ∈ B$ heißt \emph{ganz über $A$}\index{ganz!Element},
-    falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die Gleichung
+    falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die
-    $f(b) = 0$ gilt.
+    Gleichung $f(b) = 0$ gilt.
     
-  \item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterung}, wenn
+  \item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterungen},
-    alle $b ∈ B$ ganz über A sind.
+    wenn alle $b ∈ B$ ganz über A sind.
   \end{enumerate}
 \end{defn}
 
-\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}%
+\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}
   Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.  Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$
   gegeben.  Definiere dann den Unterring
   \[
@@ -63,27 +63,28 @@ Polynoms.
 \end{defn}
 
 \begin{bemerkung}
-  Genau wie in der Vorlesung „Algebra“ beweist man, dass $A[M]$ wieder ein Ring
+  Genau wie in der Vorlesung ``Algebra'' beweist man, dass $A[M]$ wieder ein
-  ist (= kommutativer Ring mit 1).  Genau wie in der Vorlesung „Algebra“ zeigt
+  Ring ist (= kommutativer Ring mit 1).  Genau wie in der Vorlesung ``Algebra''
-  man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$ enthält.
+  zeigt man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$
+  enthält.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}
-  Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist, $M = \{ b_1, …,
+  Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist,
-  b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben.  Man betrachte nämlich
+  $M = \{ b_1, …, b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben.  Man
-  den Einsetzungsmorphismus
+  betrachte nämlich den Einsetzungsmorphismus
   \[
     φ : A[x_1, …, x_n] → B, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n).
   \]
-  Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass $A[M] = \Image
+  Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass
-  φ$ ist.  Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der $b_1, …,
+  $A[M] = \Image φ$ ist.  Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der
-  b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder \emph{Syzygien}\index{Syzygien}.
+    $b_1, …, b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder
-  Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den
+  \emph{Syzygien}\index{Syzygien}.  Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den
   \emph{Syzygienmodul}\index{Syzygienmodul}.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}[Syzygien]
-  Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort „Syzygie“ in der Astronomie eine
+  Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort ``Syzygie'' in der Astronomie eine
   Konstellation von Himmelskörpern, bei der mehrere Körper in einer Reihe stehen
   ($→$
   \href{https://static.rogerebert.com/uploads/blog_post/primary_image/roger-ebert/2001-the-monolith-and-the-message/EB19680421COMMENTARY40312115AR.jpg}{2001:
@@ -91,13 +92,13 @@ Polynoms.
   Mondfinsternisse; eine genauere Erklärung finden Sie
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Syzygie_(Astronomie)}{hier}.  Vielleicht
   kommt die Verwendung des Wortes in der Mathematik daher, dass die Terme in
-  einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne „in
+  einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne ``in
-  einer Reihe stehen“.
+  einer Reihe stehen''.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bemerkung}[Syzygien]
-  Unter allen englischen Worten ist „\foreignlanguage{english}{syzygy}“ das Wort
+  Unter allen englischen Worten ist ``syzygy'' das Wort mit dem größten Anteil
-  mit dem größten Anteil von Ypsilons.
+  von Ypsilonen.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{defn}[Endlich und endlicher Typ]
@@ -128,8 +129,8 @@ dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.
 \begin{bsp}[Endlicher Typ, nicht endlich]
   Es sei $k$ Körper.  Setze $A := k$ und $B := k[x]$.  Dann ist als $A$-Algebra
   durch das Element $x$ erzeugt.  Aber $B$ ist kein endlich erzeugtes $A$-Modul,
-  denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber $\dim_k
+  denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber
-  B = ∞$.
+  $\dim_k B = ∞$.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Endlich und vom endlichen Typ]
@@ -141,11 +142,11 @@ dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.
 
 \section{Charakterisierung von Ganzheit}
 
-In der Vorlesung „Algebra“ hatten wir algebraische Elemente von
+In der Vorlesung ``Algebra'' hatten wir algebraische Elemente von
 Körpererweiterungen durch Endlichkeitseigenschaften charakterisiert.  Das geht
 mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
 
-\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9}%
+\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9}
   Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.  Weiter sei ein Element $b ∈ B$ gegeben.
   Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   \begin{enumerate}
@@ -154,24 +155,24 @@ mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
   \item\label{il:3-2-9-2} Der Ring $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt.
   
   \item\label{il:3-2-9-3} Es gibt einen Zwischenring $A[b] ⊆ M ⊆ B$, der als
-    $A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass $\{
+    $A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass
-    b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
+    $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
   \end{enumerate}
 \end{satz}
 
 Der Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9} verwendet die
 \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel}{Cramersche
-Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel
+  Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel
-Cramer} (* 31.~Juli 1704 in Genf; † 4.~Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze,
+    Cramer} (* 31.  Juli 1704 in Genf; † 4.  Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze,
-Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung „Lineare
+  Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung ``Lineare
-Algebra“ kennen (sollten).  Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für
+Algebra'' kennen (sollten).  Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für
 Matrizen mit Einträgen in einem Körper bewiesen.  Man prüfe, dass der Beweis
 auch für Matrizen über Ringen gilt.
 
-\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg}%
+\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg}
   Es sei $R$ ein Ring und es sei $Δ ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$ eine
-  $(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$.  Dann gibt es eine Matrix $Δ^* ∈
+  $(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$.  Dann gibt es eine Matrix
-  \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung
+  $Δ^* ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung
   \[
     Δ^*·Δ = \det(Δ)· E
   \]
@@ -179,16 +180,16 @@ auch für Matrizen über Ringen gilt.
 \end{satz}
 
 \begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}]
-  \video{2-1}.  Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich $\{ b·m \::\:
+  \video{2-1}.  Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich
-  m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$.  Ich bitte, diese Panne zu
+  $\{ b·m \::\: m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$.  Ich
-  entschuldigen.
+  bitte, diese Panne zu entschuldigen.
 \end{proof}
 
 \sideremark{Vorlesung 3}Die Charakterisierung von Ganzheit aus
 Satz~\ref{satz:3-2-9} hat einige Korollare, die sie in ähnlicher Form aus der
-Vorlesung „Algebra“ schon kennen (sollten).
+Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
 
-\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3}%
+\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3}
   Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.  Wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt
   ist, dann ist die Erweiterung sie ganz.
 \end{kor}
@@ -197,7 +198,7 @@ Vorlesung „Algebra“ schon kennen (sollten).
   \ref{il:3-2-9-3} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1} aus Satz~\ref{satz:3-2-9} an.
 \end{proof}
 
-\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4}%
+\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4}
   Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung und es $b_1, …, b_n$ Elemente von $B$, die
   ganz über $A$ sind.  Dann ist $A[b_1, …, b_n]$ endlich über $A$, also nach
   Korollar~\ref{kor:3-3-3} insbesondere ganz.
@@ -214,11 +215,11 @@ Vorlesung „Algebra“ schon kennen (sollten).
   erzeugt.
 \end{proof}
 
-Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung „Algebra“
+Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung ``Algebra''
 kennen.  Der Beweis ist mit dem bekannten Beweis identisch und deshalb hier nur
 knapp wiedergegeben.
 
-\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5}%
+\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5}
   Es seien $A ⊆ B$ und $B ⊆ C$ ganze Ringerweiterungen.  Dann ist auch die
   Ringerweiterung $A ⊆ C$ ganz.
 \end{kor}
@@ -226,7 +227,7 @@ knapp wiedergegeben.
   Sei ein Element $c ∈ C$ gegeben.  Nach Annahme erfüllt $c$ eine
   Ganzheitsgleichung über $B$,
   \[
-    c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0.
+    c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0
   \]
   Die Koeffizienten $b_1, …, b_n ∈ B$ sind nach Annahme ganz über $A$.  Also ist
   $A[b_1, …, b_n]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter
@@ -251,21 +252,21 @@ knapp wiedergegeben.
 
 \section{Der ganze Abschluss}
 
-Ganz analog zum „algebraischen Abschluss eines Unterkörpers“, den Sie aus der
+Ganz analog zum ``algebraischen Abschluss eines Unterkörpers'', den Sie aus der
-Vorlesung „Algebra“ kennen (sollten), definieren wir den „ganzen Abschluss eines
+Vorlesung ``Algebra'' kennen (sollten), definieren wir den ``ganzen Abschluss
-Unterringes“.
+eines Unterringes''.
 
-\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1}%
+\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1}
   Es sei $A ⊆ B$.  Die Menge
   \[
     \overline{A}= \bigl\{ b ∈ B \::\: b \text{ ganz über } A \bigr\} ⊆ B
   \]
-  wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss} genannt.
+  wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss}
-  Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung $A ⊆ B$
+  genannt.  Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung
-  \emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}.
+  $A ⊆ B$ \emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}.
 \end{defn}
 
-\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2}%
+\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2}
   In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} ist $\overline{A}$ ein
   Unterring von $B$.
 \end{prop}
@@ -281,9 +282,9 @@ Unterringes“.
   Unterring von $B$.  Also können wir den ganzen Abschluss
   $\overline{\overline{A}}$ von $\overline{A}$ in $B$ betrachten.
   Glücklicherweise müssen wir das nicht, denn Korollar~\ref{kor:3-3-5} über die
-  Transitivität der Ganzheit garantiert, dass $\overline{A} =
+  Transitivität der Ganzheit garantiert, dass
-  \overline{\overline{A}}$ ist.  Merke: „Der ganze Abschluss von $A$ in $B$ ist
+  $\overline{A} = \overline{\overline{A}}$ ist.  Merke: ``Der ganze Abschluss
-  ganz abgeschlossen in $B$.“
+  von $A$ in $B$ ist ganz abgeschlossen in $B$.''
 \end{bemerkung}
 
 \begin{bsp}
@@ -291,7 +292,7 @@ Unterringes“.
   Körpererweiterung $K/ℚ$.  Den ganzen Abschluss von $ℤ$ in $K$ nennt man den
   \emph{Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers $K$}\index{ganz!Zahlen eines
     Zahlkörpers}.  Dieser Ring wird meist mit $𝒪_K$ bezeichnet.  Das Studium des
-  Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie.
+  Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie
   \begin{itemize}
   \item Für $K = ℚ[i]$ ist $𝒪_K = ℤ[i]$.
     
@@ -307,3 +308,9 @@ Unterringes“.
       algebraischen Zahlen}.
   \end{itemize}
 \end{bsp}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "21-KA"
+%%% End:

KommutativeAlgebra.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german, DIV=12]{scrreprt}
+\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt}
 \KOMAoptions{paper=a4}
 
 %

gfx/paperVersion-working.tex

@@ -3,7 +3,19 @@
 %
 
 % sideremark
-\newcommand\sideremark[1]{\marginpar{\tiny \textsf #1}}
+\newcommand\sideremark[1]{\marginpar
+[
+\hskip .45in
+\begin{minipage}{1.25in}
+\tiny \sf #1
+\end{minipage}
+]
+{
+\hskip -.075in
+\begin{minipage}{1.25in}
+\tiny \sf #1
+\end{minipage}
+}}
 
 % questionSign
 \newcommand\questionSign[1]{\marginpar
@@ -90,5 +102,5 @@
 %
 % Macros to produce different text for different versions of the paper.
 %
-\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\textsf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}}
+\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\sf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}}
-\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\textsf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}}
+\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\sf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}}