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1b01ebcb92
...
543b5b514b
| Author | SHA1 | Date |
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Stefan Kebekus
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543b5b514b | |
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Stefan Kebekus
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8b71e79852 |
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@ -0,0 +1,43 @@
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Stappen
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Meffle
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Gathmann
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Fulton
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Eisenbud
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Miles
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Reid
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CoCalc
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Macaulay
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Zerfällungskörper
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Galoisgruppe
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simplizialen
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Ricci-flache
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Zerfällungskörpern
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Galoisgruppen
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Gödelschen
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Einspolynom
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reduzibel
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Clebsch
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Hammurabi-Dynastie
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Plimpton
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Clebsche
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Parametrisierbarkeit
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Beaumont-de-Lomagne
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Castres
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Département
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Tarn-et-Garonne
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Wiles
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FRS
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Taniyama-Shimura-Vermutung
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Fermatsche
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Singh
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Faltings
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adischen
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Quotientenringe
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Einsetzungsmorphismus
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Syzygien
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Syzygienmodul
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wegheben
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Endlichkeitseigenschaften
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Bagnols-sur-Cèze
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Ganzheitsgleichung
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Erzeugendensystem
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@ -0,0 +1,5 @@
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{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q irreduzibel ist, dann werden wir den Output von „isIrreducible(\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q)“ aber nicht akzeptieren.\\E$"}
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{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in dieser Vorlesung?.\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"}
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{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.\\E$"}
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{"rule":"KLEINSCHREIBUNG_KEIN_NAME","sentence":"^\\QDer Beweis von Satz \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q verwendet die \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, die sie aus der Vorlesung „Lineare Algebra“ kennen (sollten).\\E$"}
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@ -0,0 +1 @@
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{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qfour bar linkage\\E$"}
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60
00.tex
60
00.tex
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@ -3,23 +3,18 @@
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\section*{Vorbemerkung}
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Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die
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Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
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Dieses Skript zur Vorlesung „Kommutative Algebra und Einführung in die
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Algebraische Geometrie“ baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
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auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
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hat. Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter
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geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}.
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Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
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finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
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Datum der letzten Änderung. Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei
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auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste
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Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand.
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hat. Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt, was ungefähr der Länge eines
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Sommersemesters entspricht.
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Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
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Vorlesung auf unserem
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\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}.
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Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
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aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.
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Dieses Skript wird ständig weiter geschrieben. Um schnell zu erkennen, ob der
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Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde finden Sie unten auf jeder Seite
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die aktuelle Revisionsnummer und das Datum der letzten Änderung. Vermutlich
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lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei auf Ihrem Computer zu speichern: holen
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Sie sich einfach immer die neueste Version aus der Cloud, dann sind sie stets
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auf dem aktuellen Stand.
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Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie
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ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
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@ -60,13 +55,13 @@ verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
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\item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
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Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
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\href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}.
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Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
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Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein
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\href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}. Sein
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Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
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Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bisschen lang, aber ein
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absolutes Muss. Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen
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Youtube-Kanal
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YouTube-Kanal
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\href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic
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Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''.
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Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten „Pseudo-Vorlesungen“.
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\item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext
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\cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf
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@ -82,10 +77,10 @@ verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
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\item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz
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kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den
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||||
Einführungstexten in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel
|
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mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein
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das erste Kapitel lohnt sich…
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kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den Einführungstexten
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in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel mehr Material
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als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein das erste
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||||
Kapitel lohnt sich…
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||||
\item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls
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\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem
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@ -116,21 +111,21 @@ verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
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Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
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Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
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ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben
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außerdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben
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Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
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dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
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vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
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sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
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Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.
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Output von „\texttt{isIrreducible($f$)}“ aber nicht akzeptieren.
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\subsubsection*{Sage}
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Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
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durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
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herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
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etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
|
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oder den Service CoCals verwenden.
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||||
herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc.
|
||||
Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, oder
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den Service CoCalc verwenden.
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\subsubsection*{CoCalc}
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@ -139,15 +134,10 @@ CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine
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Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der
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kostenlose Dienst manchmal etwas langsam.
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Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
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\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie
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können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
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Server rechnen.
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\subsubsection*{Macaulay2}
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Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist
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\href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos
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herunterladen können. Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht
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leicht zu benutzen. Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen.
|
||||
leicht zu benutzen.
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69
01.tex
69
01.tex
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@ -3,7 +3,7 @@
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\chapter{Worum geht es in dieser Vorlesung?}
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||||
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\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' haben wir
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\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ haben wir
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im Wesentlichen einen Körper $k$ und ein Polynom in einer Variable mit
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||||
Koeffizienten in $k$ betrachtet, $f ∈ k[x]$. Wir interessierten uns zum
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||||
Beispiel für den Zerfällungskörper von $f$ und die zugeordnete Galoisgruppe
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@ -38,56 +38,49 @@ vielleicht die folgenden Fragen stellen.
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf-Rinow#Geod\%C3\%A4tisch_vollst\%C3\%A4ndige_Mannigfaltigkeit}{geodätisch
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vollständig}? Wie sehen die lokalen/globalen Symmetriegruppen aus?
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\item Analysis: Gibt es auf $A$ spezielle Metriken? Liefern uns die Lösungen
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geeigneter
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\item Analysis: Gibt es auf dem Raum $A$ spezielle Metriken? Liefern uns die
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Lösungen geeigneter
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\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Monge-Amp\%C3\%A8resche_Gleichung}{Monge-Ampère-Differentialgleichungen}
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vielleicht sogar eine Ricci-flache
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\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_manifold}{Kähler-Einstein-Metrik}?
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\end{itemize}
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Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie ``Krümmung'' oder ``Symmetrie'' , die
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||||
Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie „Krümmung“ oder „Symmetrie“, die
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geometrischer Anschauung zugänglich sind. Die algebraischen Eigenschaften der
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||||
Gleichungen $f_1$, …, $f_m$ sind nicht sehr anschaulich, erlauben aber direkte
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||||
Rechnungen. Die ``Algebraische Geometrie'' bringt diese Begriffe zusammen,
|
||||
wobei für viele Mathematiker das Zusammenspiel von ``geometrischer Anschauung''
|
||||
und ``algebraischer Rechnung'' den Reiz des Gebietes ausmacht.
|
||||
Rechnungen. Die „Algebraische Geometrie“ bringt diese Begriffe zusammen, wobei
|
||||
für viele Mathematiker das Zusammenspiel von „geometrischer Anschauung“ und
|
||||
„algebraischer Rechnung“ den Reiz des Gebietes ausmacht.
|
||||
|
||||
Das Wort ``Zusammenspiel'' klingt dabei vielleicht etwas vage. Tatsächlich gibt
|
||||
es aber sogar eine ``Äquivalenz von Kategorien''. Konsequenz: jedes Objekt der
|
||||
Das Wort „Zusammenspiel“ klingt dabei vielleicht etwas vage. Tatsächlich gibt
|
||||
es aber sogar eine „Äquivalenz von Kategorien“. Konsequenz: jedes Objekt der
|
||||
Algebra und jeder Satz der Algebra ist ein Objekt oder Satz der Geometrie, und
|
||||
umgekehrt. Natürlich ist es nicht immer so, dass besonders einfache Sätze der
|
||||
Algebra auch zu besonders einfachen (oder: besonders anschaulichen) Sätzen der
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||||
Geometrie gehören! Ich möchte mich in dieser Vorlesung nicht mit
|
||||
Kategorientheorie und der ``Äquivalenz von Kategorien'' aufhalten. Stattdessen
|
||||
verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch ``Algebra
|
||||
$⇔$ Geometrie'' zu entwickeln.
|
||||
Kategorientheorie und der „Äquivalenz von Kategorien“ aufhalten. Stattdessen
|
||||
verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch „Algebra $⇔$
|
||||
Geometrie“ zu entwickeln.
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der
|
||||
Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' sind nur dann interessant, wenn der
|
||||
Körper $k$ \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist. Im Gegensatz dazu
|
||||
werden wir uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch
|
||||
abgeschlossenen Fall interessieren. Der
|
||||
Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der Vorlesung
|
||||
„Algebra und Zahlentheorie“ sind nur dann interessant, wenn der Körper $k$
|
||||
\emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist. Im Gegensatz dazu werden wir uns
|
||||
in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch abgeschlossenen Fall
|
||||
interessieren. Der
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||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Nullstellensatz}{Hilbertsche
|
||||
Nullstellensatz}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
|
||||
Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in
|
||||
Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der
|
||||
bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
|
||||
der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
|
||||
Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
|
||||
bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
|
||||
veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik
|
||||
und des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen
|
||||
Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm,
|
||||
die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
|
||||
gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem
|
||||
internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
|
||||
Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
|
||||
mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum.
|
||||
Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen)
|
||||
war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten
|
||||
Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik
|
||||
und mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Mit
|
||||
seinen Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische
|
||||
Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische
|
||||
Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen
|
||||
Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der
|
||||
unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte
|
||||
vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden
|
||||
kann. Hilberts programmatische Rede auf dem internationalen
|
||||
Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine Liste von 23
|
||||
mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung
|
||||
des 20.~Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum.
|
||||
\end{bemerkung}
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%%% Local Variables:
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||||
%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "21-KA"
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||||
%%% End:
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||||
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||||
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|||
222
02.tex
222
02.tex
|
|
@ -7,33 +7,32 @@
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|||
|
||||
Bevor es richtig losgeht, brauchen wir Beispiele und interessanten polynomialen
|
||||
Gleichungssysteme und zugehörigen Lösungsmengen. Der algebraische Geometer
|
||||
spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von ``algebraischen Mengen''. Klingt
|
||||
besser.
|
||||
spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von „algebraischen Mengen“.
|
||||
Klingt besser.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Teilmenge
|
||||
$A ⊆ k^m$ heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische
|
||||
Teilmenge des $k^m$}, falls es Polynome
|
||||
$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass
|
||||
\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}%
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Teilmenge $A ⊆ k^m$
|
||||
heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische Teilmenge des $k^m$},
|
||||
falls es Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass
|
||||
\[
|
||||
A = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0
|
||||
\Bigr\}.
|
||||
\Bigr\}
|
||||
\]
|
||||
ist.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
In der Literatur werden algebraische Mengen manchmal als \emph{affine
|
||||
Varietäten} bezeichnet; die meisten Autoren reservieren das Wort
|
||||
``Varietät'' aber für algebraische Mengen, die mit einer gewissen Topologie
|
||||
versehen wurden. Andere fordern zusätzlich noch, dass man einen Begriff von
|
||||
``algebraischen Funktionen'' definiert.
|
||||
Varietäten}\index{affine Varietäten}\index{Varietät!affin} bezeichnet; die
|
||||
meisten Autoren reservieren das Wort „Varietät“ aber für algebraische
|
||||
Mengen, die mit einer gewissen Topologie versehen wurden. Andere fordern
|
||||
zusätzlich noch, dass man einen Begriff von „algebraischen Funktionen“
|
||||
definiert.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}
|
||||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien
|
||||
$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ Polynome. Die zugehörende algebraische Menge
|
||||
wird oft mit
|
||||
\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}%
|
||||
Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien $f_1, …, f_n ∈
|
||||
k[x_1, …, x_m]$ Polynome. Die zugehörende algebraische Menge wird oft mit
|
||||
\[
|
||||
V(f_1, …, f_n) = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ =
|
||||
f_n(\vec{x}) = 0 \Bigr\}
|
||||
|
|
@ -43,8 +42,8 @@ besser.
|
|||
|
||||
\begin{bsp}[Der gesamte Raum]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper. Der gesamte Raum $k^m$ ist eine algebraische Menge
|
||||
(nehme für $f_{•}$ das Nullpolynom). Wenn ich von $k^m$ als
|
||||
algebraischer Menge spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum} und
|
||||
(nehme für $f_•$ das Nullpolynom). Wenn ich von $k^m$ als algebraischer Menge
|
||||
spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum}\index{affiner Raum} und
|
||||
schreibe $𝔸^m$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
|
@ -63,9 +62,9 @@ besser.
|
|||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Graph einer rationalen Funktion]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion.
|
||||
Schreibe $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde
|
||||
Polynome sind. Dann ist der Graph von $f$,
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion. Schreibe
|
||||
$f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde Polynome
|
||||
sind. Dann ist der Graph von $f$,
|
||||
\[
|
||||
A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y·b(x)-a(x) = 0 \Bigr\},
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -98,18 +97,18 @@ besser.
|
|||
ist eine algebraische Menge.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}
|
||||
\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}%
|
||||
Öffnen Sie die
|
||||
\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{folgende
|
||||
Seite} in Ihrem Web-Browser und spielen Sie mit dem Programm
|
||||
Seite} in Ihrem Webbrowser und spielen Sie mit dem Programm
|
||||
\href{https://kebekus.gitlab.io/ellipticcurve/de/}{Elliptic Curve Plotter}, um
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Kurve}{elliptische
|
||||
Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen. Diese Kurven spielen
|
||||
in der Kryptografie eine wichtige Rolle. Sie verwenden elliptische Kurven
|
||||
Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen. Diese Kurven spielen in
|
||||
der Kryptografie eine wichtige Rolle. Sie verwenden elliptische Kurven
|
||||
täglich, wenn Sie Daten im Internet übertragen.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
|
||||
\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]\label{bsp:crk}
|
||||
Die algebraische Menge
|
||||
\[
|
||||
\Bigl\{ (x,y,z) ∈ ℝ³ \::\: y - x² = z-x³=0 \Bigr\}
|
||||
|
|
@ -122,10 +121,10 @@ besser.
|
|||
\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{meiner Web-Seite} die
|
||||
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Clebsch_surface}{Clebsche
|
||||
Diagonalfläche}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Clebsch}{Rudolf
|
||||
Friedrich Alfred Clebsch} (* 19. Januar 1833 in Königsberg; † 7. November
|
||||
1872 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge
|
||||
zur algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die
|
||||
auch in Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist.
|
||||
Friedrich Alfred Clebsch} (* 19.~Januar 1833 in Königsberg; † 7.~November 1872
|
||||
in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge zur
|
||||
algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die auch in
|
||||
Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
|
|
@ -164,8 +163,8 @@ besser.
|
|||
\begin{bsp}[Mechanik]
|
||||
Betrachte einen banalen Roboter in der Ebene. Ein Arm der Länge 2 ist im
|
||||
Ursprung befestigt. An dessen freiem Ende $(x,y)$ ist ein Arm mit Länge 1
|
||||
befestigt. Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$. Die Menge der möglichen Zustände
|
||||
des Roboters ist dann die algebraische Menge
|
||||
befestigt. Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$. Die Menge der möglichen
|
||||
Zustände des Roboters ist dann die algebraische Menge
|
||||
\[
|
||||
\Bigl\{ (x,y,a,b) ∈ ℝ⁴ \::\: x² + y² -4 = (x-a)² + (y-b)² -1 = 0 \Bigr\}.
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -175,29 +174,29 @@ besser.
|
|||
(mechanische Belastbarkeit der Gelenke, Kollisionsvermeidung, …). Bei
|
||||
Robotern mit mehreren Gelenken wird dies sehr schnell zu einer gigantischen
|
||||
Herausforderung! Für den allereinfachsten Fall googeln Sie mal nach den
|
||||
Worten ``Gelenkviereck'' und ``four-bar linkage''. Sie werden überrascht
|
||||
sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert die Mathematik
|
||||
wird.
|
||||
Worten „Gelenkviereck“ und „\foreignlanguage{english}{four bar linkage}“. Sie
|
||||
werden überrascht sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert
|
||||
die Mathematik wird.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Design]
|
||||
Wenn Sie schon einmal mit einem Zeichenprogramm gearbeitet haben, kennen Sie
|
||||
\emph{Bézier-Kurven}\index{Bézier-Kurve}. Gegeben seien Punkte
|
||||
$p_0, …, p_n ∈ ℝ²$. Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$
|
||||
zu $p_n$ zu zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft,
|
||||
aber zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft. Dazu konstruiert man
|
||||
\emph{Bézierkurven}\index{Bézierkurve}. Gegeben seien Punkte $p_0, …, p_n ∈
|
||||
ℝ²$. Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$ zu $p_n$ zu
|
||||
zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft, aber
|
||||
zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft. Dazu konstruiert man
|
||||
Abbildungen $ℝ → ℝ²$,
|
||||
\begin{align*}
|
||||
B_{p_0, p_1}(t) & = (1-t)·p_0 + t·p_1\\
|
||||
\intertext{und dann weiter induktiv}
|
||||
B_{p_0,…,p_k}(t) & = (1-t)·B_{p_0,…,p_{k-1}}(t) + t·B_{p_1,…,p_k}(t).
|
||||
\end{align*}
|
||||
Die Bézier-Kurve ist dann die eingeschränkte Abbildung
|
||||
Die Bézierkurve ist dann die eingeschränkte Abbildung
|
||||
\[
|
||||
B_{p_0,…,p_n} : [0, 1] → ℝ².
|
||||
\]
|
||||
Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist!
|
||||
Sie finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
|
||||
Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist! Sie
|
||||
finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/B\%C3\%A9zierkurve}{Wikipedia}.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
|
@ -217,9 +216,9 @@ Erbrechen. Beide Darstellungen haben Ihre Vor- und Nachteile:
|
|||
\end{itemize}
|
||||
Die Existenz von Parametrisierungen ist vielleicht eine der ersten Fragen, die
|
||||
man bezüglich algebraischer Mengen stellen kann. Wir diskutieren
|
||||
``Parametrisierungen durch rationale Funktionen'', wobei die rationalen
|
||||
Funktionen nicht überall definiert sein müssen. Die folgende Definition ist
|
||||
daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
|
||||
„Parametrisierungen durch rationale Funktionen“, wobei die rationalen Funktionen
|
||||
nicht überall definiert sein müssen. Die folgende Definition ist daher
|
||||
vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Rationale Parametrisierung]
|
||||
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A⊆ k^n$ eine algebraische Menge. Eine
|
||||
|
|
@ -244,15 +243,16 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
|
|||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Graphen]
|
||||
Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational parametrisierbar.
|
||||
Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational
|
||||
parametrisierbar.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}
|
||||
Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch
|
||||
$α ↦ (\cos α, \sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist
|
||||
nicht sehr algebraisch. Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon,
|
||||
dass der Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt. Gegeben eine Zahl $t$,
|
||||
dann betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ --
|
||||
\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}%
|
||||
Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch $α ↦ (\cos α,
|
||||
\sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist nicht sehr
|
||||
algebraisch. Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon, dass der
|
||||
Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt. Gegeben eine Zahl $t$, dann
|
||||
betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ --
|
||||
Abbildung~\ref{fig:rpk} zeigt den Fall $t = 0.8$. Diese Gerade schneidet den
|
||||
Kreis in $(-1,0)$ und in einem weiteren Punkt $p_t$, der von $t$ abhängt.
|
||||
Rechnen Sie die Koordinaten von $p_t$ sofort aus und stellen Sie fest, dass
|
||||
|
|
@ -262,14 +262,14 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
|
|||
φ : ℝ → E, \quad t ↦ \Bigl(\frac{1-t²}{1+t²}, \frac{2t}{1+t²}\Bigr).
|
||||
\]
|
||||
Mit dieser Parametrisierung lässt sich die Frage beantworten, wie viele Punkte
|
||||
des Einheitskreises rationale Koordinaten haben (``Wie viele \emph{rationale
|
||||
Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?''). Überlegen Sie sich, dass
|
||||
$φ(t) ∈ ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist. Cool. Um zu sehen, wie cool
|
||||
genau, erinnern Sie sich: ein
|
||||
des Einheitskreises rationale Koordinaten haben („Wie viele \emph{rationale
|
||||
Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?“). Überlegen Sie sich, dass $φ(t) ∈
|
||||
ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist. Cool. Um zu sehen, wie cool genau,
|
||||
erinnern Sie sich: ein
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel}{\emph{Pythagoreisches
|
||||
Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, so
|
||||
dass $a² + b² = c²$ ist. Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas
|
||||
länger. Wikipedia schreibt:
|
||||
Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, sodass
|
||||
$a² + b² = c²$ ist. Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas länger.
|
||||
Wikipedia schreibt:
|
||||
|
||||
\begin{figure}
|
||||
\centering
|
||||
|
|
@ -284,7 +284,7 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
|
|||
\begin{quote}
|
||||
Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die
|
||||
in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v.~Chr.).
|
||||
Die Keilschrifttafel ``Plimpton 322'' enthält 15 verschiedene pythagoreische
|
||||
Die Keilschrifttafel „Plimpton 322“ enthält 15 verschiedene pythagoreische
|
||||
Tripel […], was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500
|
||||
Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten
|
||||
ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln […] aus einem
|
||||
|
|
@ -300,22 +300,23 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
|
|||
\begin{bsp}[Elliptische Kurven]
|
||||
Man kann beweisen, dass es im Gegensatz zum Einheitskreis \emph{keine
|
||||
algebraische Parametrisierung einer elliptischen Kurve geben kann}! Das ist
|
||||
gut so. Die Kurven müssen auch kompliziert sein, sonst würde man sie in der
|
||||
Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können.
|
||||
gut so. Elliptische Kurven müssen kompliziert sein, sonst würde man sie in
|
||||
der Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
|
||||
Die kubische Raumkurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert.
|
||||
In Beispiel~\ref{bsp:crk} hatten wir die kubische Raumkurve kennengelernt.
|
||||
Diese Kurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Clebsche Diagonalfläche]
|
||||
Die Clebsche Diagonalfläche kann rational parametrisiert werden, aber das ist
|
||||
vielleicht nicht sehr offensichtlich. Die Geometrie der 27 Geraden hilft
|
||||
unheimlich!
|
||||
vielleicht nicht sehr offensichtlich. Bei der Suche nach einer
|
||||
Parametrisierung hilft Geometrie der 27 Geraden unheimlich!
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Bézier-Kurven]
|
||||
Bézier-Kurven sind durch ihre Parametrisierung definiert.
|
||||
Bézierkurven sind durch ihre Parametrisierung definiert.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -338,29 +339,28 @@ Das sind im Allgemeinen schwierige Fragen. Um den Grad der Schwierigkeit zu
|
|||
illustrieren, erinnere ich an den berühmten
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gro\%C3\%9Fer_Fermatscher_Satz}{Großen Satz
|
||||
von
|
||||
Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre
|
||||
de Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne,
|
||||
heute im Département Tarn-et-Garonne; † 12. Januar 1665 in Castres) war ein
|
||||
Fermat}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_de_Fermat}{Pierre de
|
||||
Fermat} (* in der zweiten Hälfte des Jahres 1607 in Beaumont-de-Lomagne, heute
|
||||
im Département Tarn-et-Garonne; † 12.~Januar 1665 in Castres) war ein
|
||||
französischer Mathematiker und Jurist.}, der erst 350 Jahre nach seiner
|
||||
Formulierung von
|
||||
Wiles\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Andrew_Wiles}{Sir Andrew John
|
||||
Wiles} KBE, FRS (* 11. April 1953 in Cambridge) ist ein britischer
|
||||
Mathematiker. Berühmt wurde er durch seinen Beweis der
|
||||
Taniyama-Shimura-Vermutung für semistabile elliptische Kurven, woraus sich
|
||||
der Große Fermatsche Satz ergibt.} bewiesen wurde. Wikipedia schreibt:
|
||||
Wiles} KBE, FRS (* 11.~April 1953 in Cambridge) ist ein britischer Mathematiker.
|
||||
Berühmt wurde er durch seinen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung für
|
||||
semistabile elliptische Kurven, woraus sich der Große Fermatsche Satz ergibt.}
|
||||
bewiesen wurde. Wikipedia schreibt:
|
||||
\begin{quote}
|
||||
Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische
|
||||
Episoden dieser Geschichte haben [den Großen Satz von Fermat] weit über den
|
||||
Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.
|
||||
Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden
|
||||
dieser Geschichte haben [den großen Satz von Fermat] weit über den Kreis der
|
||||
Mathematiker hinaus populär gemacht.
|
||||
\end{quote}
|
||||
Kennen Sie das Buch
|
||||
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat\%27s_Last_Theorem_(book)}{Fermat's
|
||||
Last Theorem} von Simon Singh? Weihnachten ist zwar schon vorbei…
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Fermat's großer Satz]
|
||||
Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$. Dann erfüllt kein Tripel
|
||||
$(a, b, c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung
|
||||
$a^{n}+b^{n}=c^{n}$. \qed
|
||||
Gegeben sei eine natürliche Zahl $n > 2$. Dann erfüllt kein Tripel $(a, b,
|
||||
c)$ von positiven natürlichen Zahlen die Gleichung $a^{n}+b^{n}=c^{n}$. \qed
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}[Zusammenhang zu algebraischen Mengen]
|
||||
|
|
@ -376,18 +376,18 @@ Kennen Sie das Buch
|
|||
ganzzahlige Lösung $(ad,cb,bd)$ der Fermat'schen Gleichung.
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen
|
||||
nach der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein. Auch die Frage nach der
|
||||
Anzahl von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten
|
||||
Als Ergebnis halten wir fest: zumindest über dem Körper $ℚ$ kann die Fragen nach
|
||||
der Existenz von Lösung kann nicht einfach sein. Auch die Frage nach der Anzahl
|
||||
von Lösungen ist nicht einfach – googeln Sie nach den Worten
|
||||
Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd
|
||||
Faltings} (* 28. Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker
|
||||
und Träger der Fields-Medaille. Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für
|
||||
Faltings} (* 28.~Juli 1954 in Gelsenkirchen) ist ein deutscher Mathematiker und
|
||||
Träger der Fields-Medaille. Er ist Direktor am Max-Planck-Institut für
|
||||
Mathematik und beschäftigt sich hauptsächlich mit diophantischen Gleichungen,
|
||||
Modulräumen und $p$-adischen Galois-Darstellungen.} und
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Vermutung_von_Mordell}{Mordell-Vermutung}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Louis_Mordell}{Louis
|
||||
Joel Mordell} (* 28. Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12. März 1972 in
|
||||
Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor
|
||||
allem in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen
|
||||
Joel Mordell} (* 28.~Januar 1888 in Philadelphia, USA; † 12.~März 1972 in
|
||||
Cambridge, England) war ein amerikanisch-britischer Mathematiker, der vor allem
|
||||
in der Zahlentheorie, speziell der Theorie diophantischer Gleichungen
|
||||
arbeitete.}.
|
||||
|
||||
|
||||
|
|
@ -396,8 +396,8 @@ Faltings\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gerd_Faltings}{Gerd
|
|||
Ich möchte den Punkt machen, dass die Frage nach der Lösbarkeit von
|
||||
algebraischen Gleichungssystemen sehr viel einfacher wird, wenn wir uns auf
|
||||
algebraisch abgeschlossene Körper beschränken. Unter dieser Annahme beantwortet
|
||||
der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge
|
||||
$V \bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten
|
||||
der Hilbertsche Nullstellensatz die Frage, ob eine algebraische Menge $V
|
||||
\bigl(f_1, …, f_n \bigr)$ leer ist, in Termen des von den $f_•$ erzeugten
|
||||
Ideals.
|
||||
|
||||
\begin{erinnerung}[Ideale]
|
||||
|
|
@ -412,26 +412,26 @@ Ideals.
|
|||
$I(f_1, …, f_n)$ üblich.
|
||||
\end{erinnerung}
|
||||
|
||||
\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}
|
||||
\begin{beobachtung}\label{beob:2-4-2}%
|
||||
Es sei $k$ ein Körper (der vielleicht nicht algebraisch abgeschlossen ist) und
|
||||
es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Falls
|
||||
$V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠ ∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$. Wäre
|
||||
nämlich die 1 in dem Ideal enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination
|
||||
es seien $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$. Falls $V \bigl(f_1, …, f_n \bigr) ≠
|
||||
∅$ ist, dann ist $1 \notin (f_1, …, f_m)$. Wäre nämlich die 1 in dem Ideal
|
||||
enthalten, dann gäbe es eine Linearkombination
|
||||
\[
|
||||
1 = a_1·f_1 + ⋯ + a_n·f_n
|
||||
\]
|
||||
und demnach wäre
|
||||
$1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x}) = 0$,
|
||||
Widerspruch!
|
||||
und demnach wäre $1 = a_1(\vec{x})·f_1(\vec{x}) + ⋯ a_n(\vec{x})·f_n(\vec{x})
|
||||
= 0$, Widerspruch!
|
||||
\end{beobachtung}
|
||||
|
||||
Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende ``schwache Version''
|
||||
des Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist,
|
||||
die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
|
||||
Für algebraisch abgeschlossene Körper zeigt die folgende „schwache Version“ des
|
||||
Hilbertschen Nullstellensatz, dass die Frage, ob $1 ∈ (f_1, …, f_m)$ ist, die
|
||||
Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome
|
||||
$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{satz}[Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz – Vorabversion]\label{satz:shn}%
|
||||
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es seien Polynome $f_1,
|
||||
…, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gegeben. Dann sind die folgenden Aussagen
|
||||
äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item\label{il:2-4-3-1} Das Gleichungssystem $f_1 = ⋯ = f_n = 0$ hat eine
|
||||
Lösung in $k^m$.
|
||||
|
|
@ -442,23 +442,17 @@ die Frage nach der Existenz von Lösungen bereits entscheidet.
|
|||
|
||||
Wir werden den Hilbertschen Nullstellensatz im ersten Teil dieser Vorlesung
|
||||
beweisen. Wir müssen uns vielleicht auch Gedanken darüber machen, wie man für
|
||||
gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal
|
||||
$(f_1, …, f_n)$ liegt.
|
||||
gegebene Polynome $f_•$ eigentlich entscheidet, ob die $1$ im Ideal $(f_1, …,
|
||||
f_n)$ liegt.
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Die Aussage ``die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$'' kann man auch anders
|
||||
formulieren. Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal
|
||||
$(f_1, …, f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist.
|
||||
Die Aussage „die $1$ liegt im Ideal $(f_1, …, f_n)$“ kann man auch anders
|
||||
formulieren. Überlegen Sie sich, dass die $1$ genau dann im Ideal $(f_1, …,
|
||||
f_n)$ liegt, wenn das Ideal bereits der ganz Ring ist.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{aufgabe}
|
||||
Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Folgerung des Hilbertschen
|
||||
Nullstellensatzes ohne die Annahme ``algebraisch abgeschlossen'' grässlich
|
||||
Nullstellensatzes ohne die Annahme „algebraisch abgeschlossen“ grässlich
|
||||
falsch ist.
|
||||
\end{aufgabe}
|
||||
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
|
|||
119
03.tex
119
03.tex
|
|
@ -18,7 +18,7 @@ Multiplikation.
|
|||
|
||||
\begin{notation}
|
||||
In dieser Vorlesung ist mit dem Wort ``Ring'' immer ein kommutativer Ring mit
|
||||
1 gemeint. Ein Ringmorphisums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme
|
||||
1 gemeint. Ein Ringmorphiums $\varphi: A \rightarrow B$ erfüllt per Annahme
|
||||
die Bedingung $\varphi(1_A) = 1_B$. Sind $A$ und $B$ Ringe und $A ⊆ B$, so
|
||||
nennen wir das eine \emph{Ringerweiterung}\index{Ringerweiterung}.
|
||||
\end{notation}
|
||||
|
|
@ -26,11 +26,11 @@ Multiplikation.
|
|||
|
||||
\section{Elementare Definitionen}
|
||||
|
||||
Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war ``algebraisch'':
|
||||
Der erste Begriff beim Studium von Körpererweiterungen war „algebraisch“:
|
||||
gegeben eine Körpererweiterung $L/K$ und ein Element $z ∈ L$, dann nennen wir
|
||||
$z$ algebraisch über $K$, wenn es ein Polynom $f ∈ K[x]$ gibt, welches $z$ als
|
||||
Nullstelle hat. Das Polynom $f$ kann man dann minimal wählen und normieren und
|
||||
erhält somit den Begriff des ``Minimalpolynoms von $z$''.
|
||||
erhält somit den Begriff des „Minimalpolynoms von $z$“.
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||||
|
||||
Das wollen wir auch für Ringe machen. Bei Ringerweiterungen muss man aber
|
||||
aufpassen, denn man kann ein Polynom nicht immer normieren, indem man durch den
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||||
|
|
@ -42,15 +42,15 @@ Polynoms.
|
|||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Ein Element $b ∈ B$ heißt \emph{ganz über $A$}\index{ganz!Element},
|
||||
falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die
|
||||
Gleichung $f(b) = 0$ gilt.
|
||||
falls es ein normiertes Polynom $f ∈ A[x]$ gibt, sodass in $B$ die Gleichung
|
||||
$f(b) = 0$ gilt.
|
||||
|
||||
\item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterungen},
|
||||
wenn alle $b ∈ B$ ganz über A sind.
|
||||
\item Die Ringerweiterung heißt \emph{ganz}\index{ganz!Ringerweiterung}, wenn
|
||||
alle $b ∈ B$ ganz über A sind.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}
|
||||
\begin{defn}[Ringadjunktion]\label{def:rad}%
|
||||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei eine Teilmenge $M ⊂ B$
|
||||
gegeben. Definiere dann den Unterring
|
||||
\[
|
||||
|
|
@ -63,28 +63,27 @@ Polynoms.
|
|||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Genau wie in der Vorlesung ``Algebra'' beweist man, dass $A[M]$ wieder ein
|
||||
Ring ist (= kommutativer Ring mit 1). Genau wie in der Vorlesung ``Algebra''
|
||||
zeigt man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$
|
||||
enthält.
|
||||
Genau wie in der Vorlesung „Algebra“ beweist man, dass $A[M]$ wieder ein Ring
|
||||
ist (= kommutativer Ring mit 1). Genau wie in der Vorlesung „Algebra“ zeigt
|
||||
man, dass $A[M]$ der kleinste Unterring von $B$ ist, der $A$ und $M$ enthält.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}
|
||||
Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist,
|
||||
$M = \{ b_1, …, b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben. Man
|
||||
betrachte nämlich den Einsetzungsmorphismus
|
||||
Wenn die Menge $M$ aus Definition~\ref{def:rad} endlich ist, $M = \{ b_1, …,
|
||||
b_n\}$, dann kann man $A[M]$ auch anders beschreiben. Man betrachte nämlich
|
||||
den Einsetzungsmorphismus
|
||||
\[
|
||||
φ : A[x_1, …, x_n] → B, \quad f(x_1, …, x_n) ↦ f(b_1, …, b_n).
|
||||
\]
|
||||
Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass
|
||||
$A[M] = \Image φ$ ist. Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der
|
||||
$b_1, …, b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder
|
||||
\emph{Syzygien}\index{Syzygien}. Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den
|
||||
Überlegen Sie sich, dass dies ein Ringmorphismus ist, und dass $A[M] = \Image
|
||||
φ$ ist. Die Elemente $f ∈ \ker φ$ heißen \emph{Relationen der $b_1, …,
|
||||
b_n$}\index{Relationen!@see Syzygien} oder \emph{Syzygien}\index{Syzygien}.
|
||||
Manchmal nennt man $\ker φ$ auch den
|
||||
\emph{Syzygienmodul}\index{Syzygienmodul}.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Syzygien]
|
||||
Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort ``Syzygie'' in der Astronomie eine
|
||||
Etwas vereinfachend bezeichnet das Wort „Syzygie“ in der Astronomie eine
|
||||
Konstellation von Himmelskörpern, bei der mehrere Körper in einer Reihe stehen
|
||||
($→$
|
||||
\href{https://static.rogerebert.com/uploads/blog_post/primary_image/roger-ebert/2001-the-monolith-and-the-message/EB19680421COMMENTARY40312115AR.jpg}{2001:
|
||||
|
|
@ -92,13 +91,13 @@ Polynoms.
|
|||
Mondfinsternisse; eine genauere Erklärung finden Sie
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Syzygie_(Astronomie)}{hier}. Vielleicht
|
||||
kommt die Verwendung des Wortes in der Mathematik daher, dass die Terme in
|
||||
einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne ``in
|
||||
einer Reihe stehen''.
|
||||
einer Relation, die sich ja gegenseitig wegheben, in irgendeinem Sinne „in
|
||||
einer Reihe stehen“.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bemerkung}[Syzygien]
|
||||
Unter allen englischen Worten ist ``syzygy'' das Wort mit dem größten Anteil
|
||||
von Ypsilonen.
|
||||
Unter allen englischen Worten ist „\foreignlanguage{english}{syzygy}“ das Wort
|
||||
mit dem größten Anteil von Ypsilons.
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Endlich und endlicher Typ]
|
||||
|
|
@ -129,8 +128,8 @@ dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.
|
|||
\begin{bsp}[Endlicher Typ, nicht endlich]
|
||||
Es sei $k$ Körper. Setze $A := k$ und $B := k[x]$. Dann ist als $A$-Algebra
|
||||
durch das Element $x$ erzeugt. Aber $B$ ist kein endlich erzeugtes $A$-Modul,
|
||||
denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber
|
||||
$\dim_k B = ∞$.
|
||||
denn ein $A$-Modul ist dasselbe wie ein $k$-Vektorraum und es ist aber $\dim_k
|
||||
B = ∞$.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Endlich und vom endlichen Typ]
|
||||
|
|
@ -142,11 +141,11 @@ dass die Umkehrung nicht unbedingt gilt.
|
|||
|
||||
\section{Charakterisierung von Ganzheit}
|
||||
|
||||
In der Vorlesung ``Algebra'' hatten wir algebraische Elemente von
|
||||
In der Vorlesung „Algebra“ hatten wir algebraische Elemente von
|
||||
Körpererweiterungen durch Endlichkeitseigenschaften charakterisiert. Das geht
|
||||
mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9}
|
||||
\begin{satz}[Charakterisierung von Ganzheit]\label{satz:3-2-9}%
|
||||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Weiter sei ein Element $b ∈ B$ gegeben.
|
||||
Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
|
|
@ -155,24 +154,24 @@ mit ganzen Elementen in Ringerweiterungen auch.
|
|||
\item\label{il:3-2-9-2} Der Ring $A[b]$ ist als $A$-Modul endlich erzeugt.
|
||||
|
||||
\item\label{il:3-2-9-3} Es gibt einen Zwischenring $A[b] ⊆ M ⊆ B$, der als
|
||||
$A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass
|
||||
$\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
|
||||
$A$-Modul endlich erzeugt ist und die zusätzliche Eigenschaft hat, dass $\{
|
||||
b·m \::\: m ∈ M \} = M$ ist.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{satz}
|
||||
|
||||
Der Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9} verwendet die
|
||||
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Cramersche_Regel}{Cramersche
|
||||
Regel}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriel_Cramer}{Gabriel
|
||||
Cramer} (* 31. Juli 1704 in Genf; † 4. Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze,
|
||||
Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung ``Lineare
|
||||
Algebra'' kennen (sollten). Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für
|
||||
Cramer} (* 31.~Juli 1704 in Genf; † 4.~Januar 1752 in Bagnols-sur-Cèze,
|
||||
Frankreich) war ein Genfer Mathematiker.}, die sie aus der Vorlesung „Lineare
|
||||
Algebra“ kennen (sollten). Dort wurde der folgende Satz vermutlich nur für
|
||||
Matrizen mit Einträgen in einem Körper bewiesen. Man prüfe, dass der Beweis
|
||||
auch für Matrizen über Ringen gilt.
|
||||
|
||||
\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg}
|
||||
\begin{satz}[Cramersche Regel]\label{satz:creg}%
|
||||
Es sei $R$ ein Ring und es sei $Δ ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$ eine
|
||||
$(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$. Dann gibt es eine Matrix
|
||||
$Δ^* ∈ \operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung
|
||||
$(n⨯n)$-Matrix mit Einträgen in $R$. Dann gibt es eine Matrix $Δ^* ∈
|
||||
\operatorname{Mat}(n⨯n; R)$, sodass die Gleichung
|
||||
\[
|
||||
Δ^*·Δ = \det(Δ)· E
|
||||
\]
|
||||
|
|
@ -180,16 +179,16 @@ auch für Matrizen über Ringen gilt.
|
|||
\end{satz}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:3-2-9}]
|
||||
\video{2-1}. Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich
|
||||
$\{ b·m \::\: m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$. Ich
|
||||
bitte, diese Panne zu entschuldigen.
|
||||
\video{2-1}. Hinweis: im Erklärvideo schreibe ich versehentlich $\{ b·m \::\:
|
||||
m ∈ M \} ⊆ M$ statt $\{ b·m \::\: m ∈ M \} = M$. Ich bitte, diese Panne zu
|
||||
entschuldigen.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\sideremark{Vorlesung 3}Die Charakterisierung von Ganzheit aus
|
||||
Satz~\ref{satz:3-2-9} hat einige Korollare, die sie in ähnlicher Form aus der
|
||||
Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
|
||||
Vorlesung „Algebra“ schon kennen (sollten).
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3}
|
||||
\begin{kor}[Ganzheit und Endlichkeit]\label{kor:3-3-3}%
|
||||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung. Wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt
|
||||
ist, dann ist die Erweiterung sie ganz.
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
|
@ -198,7 +197,7 @@ Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
|
|||
\ref{il:3-2-9-3} $⇒$ \ref{il:3-2-9-1} aus Satz~\ref{satz:3-2-9} an.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4}
|
||||
\begin{kor}[Adjunktion ganzer Elemente]\label{kor:3-3-4}%
|
||||
Es sei $A ⊆ B$ eine Ringerweiterung und es $b_1, …, b_n$ Elemente von $B$, die
|
||||
ganz über $A$ sind. Dann ist $A[b_1, …, b_n]$ endlich über $A$, also nach
|
||||
Korollar~\ref{kor:3-3-3} insbesondere ganz.
|
||||
|
|
@ -215,11 +214,11 @@ Vorlesung ``Algebra'' schon kennen (sollten).
|
|||
erzeugt.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung ``Algebra''
|
||||
Auch das folgende Korollar (sollten) sie schon aus der Vorlesung „Algebra“
|
||||
kennen. Der Beweis ist mit dem bekannten Beweis identisch und deshalb hier nur
|
||||
knapp wiedergegeben.
|
||||
|
||||
\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5}
|
||||
\begin{kor}[Transitivität der Ganzheit]\label{kor:3-3-5}%
|
||||
Es seien $A ⊆ B$ und $B ⊆ C$ ganze Ringerweiterungen. Dann ist auch die
|
||||
Ringerweiterung $A ⊆ C$ ganz.
|
||||
\end{kor}
|
||||
|
|
@ -227,7 +226,7 @@ knapp wiedergegeben.
|
|||
Sei ein Element $c ∈ C$ gegeben. Nach Annahme erfüllt $c$ eine
|
||||
Ganzheitsgleichung über $B$,
|
||||
\[
|
||||
c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0
|
||||
c^n + b_{n-1}·c^{n-1} + ⋯ + b_1c + b_0 = 0.
|
||||
\]
|
||||
Die Koeffizienten $b_1, …, b_n ∈ B$ sind nach Annahme ganz über $A$. Also ist
|
||||
$A[b_1, …, b_n]$ nach Korollar~\ref{kor:3-3-4} ein endlich erzeugter
|
||||
|
|
@ -252,21 +251,21 @@ knapp wiedergegeben.
|
|||
|
||||
\section{Der ganze Abschluss}
|
||||
|
||||
Ganz analog zum ``algebraischen Abschluss eines Unterkörpers'', den Sie aus der
|
||||
Vorlesung ``Algebra'' kennen (sollten), definieren wir den ``ganzen Abschluss
|
||||
eines Unterringes''.
|
||||
Ganz analog zum „algebraischen Abschluss eines Unterkörpers“, den Sie aus der
|
||||
Vorlesung „Algebra“ kennen (sollten), definieren wir den „ganzen Abschluss eines
|
||||
Unterringes“.
|
||||
|
||||
\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1}
|
||||
\begin{defn}[Ganzer Abschluss]\label{def:3-4-1}%
|
||||
Es sei $A ⊆ B$. Die Menge
|
||||
\[
|
||||
\overline{A}= \bigl\{ b ∈ B \::\: b \text{ ganz über } A \bigr\} ⊆ B
|
||||
\]
|
||||
wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss}
|
||||
genannt. Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung
|
||||
$A ⊆ B$ \emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}.
|
||||
wird der \emph{ganze Abschluss von $A$ in $B$}\index{ganz!Abschluss} genannt.
|
||||
Falls $\overline{A} = A$ ist, so nennen wir die Ringerweiterung $A ⊆ B$
|
||||
\emph{ganz abgeschlossen}\index{ganz!abgeschlossene Ringerweiterung}.
|
||||
\end{defn}
|
||||
|
||||
\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2}
|
||||
\begin{prop}[Ganzer Abschluss]\label{kor:3-4-2}%
|
||||
In der Situation von Definition~\ref{def:3-4-1} ist $\overline{A}$ ein
|
||||
Unterring von $B$.
|
||||
\end{prop}
|
||||
|
|
@ -282,9 +281,9 @@ eines Unterringes''.
|
|||
Unterring von $B$. Also können wir den ganzen Abschluss
|
||||
$\overline{\overline{A}}$ von $\overline{A}$ in $B$ betrachten.
|
||||
Glücklicherweise müssen wir das nicht, denn Korollar~\ref{kor:3-3-5} über die
|
||||
Transitivität der Ganzheit garantiert, dass
|
||||
$\overline{A} = \overline{\overline{A}}$ ist. Merke: ``Der ganze Abschluss
|
||||
von $A$ in $B$ ist ganz abgeschlossen in $B$.''
|
||||
Transitivität der Ganzheit garantiert, dass $\overline{A} =
|
||||
\overline{\overline{A}}$ ist. Merke: „Der ganze Abschluss von $A$ in $B$ ist
|
||||
ganz abgeschlossen in $B$.“
|
||||
\end{bemerkung}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
|
|
@ -292,7 +291,7 @@ eines Unterringes''.
|
|||
Körpererweiterung $K/ℚ$. Den ganzen Abschluss von $ℤ$ in $K$ nennt man den
|
||||
\emph{Ring der ganzen Zahlen des Zahlkörpers $K$}\index{ganz!Zahlen eines
|
||||
Zahlkörpers}. Dieser Ring wird meist mit $𝒪_K$ bezeichnet. Das Studium des
|
||||
Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie
|
||||
Ringes $𝒪_K$ ist Gegenstand der algebraischen Zahlentheorie.
|
||||
\begin{itemize}
|
||||
\item Für $K = ℚ[i]$ ist $𝒪_K = ℤ[i]$.
|
||||
|
||||
|
|
@ -308,9 +307,3 @@ eines Unterringes''.
|
|||
algebraischen Zahlen}.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
|
||||
%%% Local Variables:
|
||||
%%% mode: latex
|
||||
%%% TeX-master: "21-KA"
|
||||
%%% End:
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,4 +1,4 @@
|
|||
\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german]{scrreprt}
|
||||
\documentclass[enabledeprecatedfontcommands, german, DIV=12]{scrreprt}
|
||||
\KOMAoptions{paper=a4}
|
||||
|
||||
%
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -3,19 +3,7 @@
|
|||
%
|
||||
|
||||
% sideremark
|
||||
\newcommand\sideremark[1]{\marginpar
|
||||
[
|
||||
\hskip .45in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
]
|
||||
{
|
||||
\hskip -.075in
|
||||
\begin{minipage}{1.25in}
|
||||
\tiny \sf #1
|
||||
\end{minipage}
|
||||
}}
|
||||
\newcommand\sideremark[1]{\marginpar{\tiny \textsf #1}}
|
||||
|
||||
% questionSign
|
||||
\newcommand\questionSign[1]{\marginpar
|
||||
|
|
@ -102,5 +90,5 @@
|
|||
%
|
||||
% Macros to produce different text for different versions of the paper.
|
||||
%
|
||||
\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\sf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}}
|
||||
\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\sf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}}
|
||||
\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\textsf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}}
|
||||
\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\textsf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}}
|
||||
|
|
|
|||
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