kebekus/KommutativeAlgebra
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Spellchecking in Sect. 7

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Stefan Kebekus
2023-05-04 13:29:05 +02:00
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@@ -72,3 +72,16 @@ Quotientenring
Quotientenkörper Quotientenkörper
nullteilerfrei nullteilerfrei
Bloomington Bloomington
Homomorphiesatz
repräsentierbaren
reduzible
Rückzugsabbildung
Algebramorphismus
Algebrahomomorphismen
Varietätenmorphismus
funktoriell
Substitutionsabbildung
Grothendieck
Saint-Lizier
Saint-Girons
Ariège

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@@ -11,3 +11,4 @@
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn, Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der algebraischen Geometrie leistete.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn, Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der algebraischen Geometrie leistete.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer Mathematiker und theoretischer Physiker.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer Mathematiker und theoretischer Physiker.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie Radikalideale algebraische Mengen maximale Ideale Punkte Primideale irreduzible Mengen Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Noether-Eigenschaft des Polynomrings Existenz von Zerlegungen\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie Radikalideale algebraische Mengen maximale Ideale Punkte Primideale irreduzible Mengen Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Noether-Eigenschaft des Polynomrings Existenz von Zerlegungen\\E$"}
{"rule":"IDEN_IDEEN","sentence":"^\\QBeeinflusst durch politische Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück.\\E$"}

161
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@@ -10,21 +10,21 @@ Im nächsten Kapitel werden wir ernsthaft anfangen, zu rechnen. Vorher möchte
ich in aller Kürze noch ein weiteres algebraisches Objekt einführen und dessen ich in aller Kürze noch ein weiteres algebraisches Objekt einführen und dessen
geometrische Bedeutung klären. Um zu erklären, worum es überhaupt geht, geometrische Bedeutung klären. Um zu erklären, worum es überhaupt geht,
betrachte man ein Radikalideal $J ⊂ ℂ[x_1, …, x_n]$ mit zugehörender betrachte man ein Radikalideal $J ⊂ ℂ[x_1, …, x_n]$ mit zugehörender
algebraischer Menge $X := V(J) ⊂ 𝔸^n_{ℂ}$. Dann kann man den Restklassenring algebraischer Menge $X := V(J) ⊂ 𝔸^n_ℂ$. Dann kann man den Restklassenring
$ℂ[x_1, …, x_n] / J$ wie folgt interpretieren: $ℂ[x_1, …, x_n] / J$ wie folgt interpretieren:
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Zuerst kann ich den Polynomring $ℂ[x_1, …, x_n]$ als Unterring des Rings \item Zuerst kann ich den Polynomring $ℂ[x_1, …, x_n]$ als Unterring des Rings
$\cC⁰(𝔸^n_{ℂ})$ der komplexwertigen stetigen Funktionen auffassen. $\cC⁰(𝔸^n_ℂ)$ der komplexwertigen stetigen Funktionen auffassen.
\item Analog betrachte ich den Ring $\cC⁰(X)$ der auf $X$ stetigen \item Analog betrachte ich den Ring $\cC⁰(X)$ der auf $X$ stetigen
komplexwertigen Funktionen. komplexwertigen Funktionen.
\item Als Nächstes betrachte ich die Einschränkungsabbildung \item Als Nächstes betrachte ich die Einschränkungsabbildung $\cC⁰(𝔸^n_ℂ) →
$\cC⁰(𝔸^n_{ℂ}) → \cC⁰(X)$ und erhalte eine Folge von Ringmorphismen \cC⁰(X)$ und erhalte eine Folge von Ringmorphismen
\[ \[
\begin{tikzcd}[column sep=2.2cm] \begin{tikzcd}[column sep=2.2cm]
ℂ[x_1, …, x_n] \ar[r, hook] & \cC⁰(𝔸^n_{ℂ}) \ar[r, "\text{Einschränkung}"] & \cC⁰(X). ℂ[x_1, …, x_n] \ar[r, hook] & \cC⁰(𝔸^n_ℂ) \ar[r, "\text{Einschränkung}"] & \cC⁰(X).
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] \]
Die verkettete Abbildung bezeichne ich mit $φ : ℂ[x_1, …, x_n] → \cC⁰(X)$. Die verkettete Abbildung bezeichne ich mit $φ : ℂ[x_1, …, x_n] → \cC⁰(X)$.
@@ -36,7 +36,7 @@ Nach dem Homomorphiesatz ist der Quotientenring
\] \]
also der Unterring der durch Polynome repräsentierbaren komplexwertigen stetigen also der Unterring der durch Polynome repräsentierbaren komplexwertigen stetigen
Funktionen auf $X$. Mit dieser Identifikation entsprechen die Funktionen Funktionen auf $X$. Mit dieser Identifikation entsprechen die Funktionen
$φ(x_1), …, φ(x_n)$ den Koordinationenfunktionen auf $X$. Dies motiviert die $φ(x_1), …, φ(x_n)$ den Koordinatenfunktionen auf $X$. Dies motiviert die
folgende Definition. folgende Definition.
\begin{defn}[Affiner Koordinatenring]\label{def:7-0-1} \begin{defn}[Affiner Koordinatenring]\label{def:7-0-1}
@@ -74,16 +74,16 @@ Koordinatenring nullteilerfrei ist.
Irreduzibilität ist nicht die einzige Eigenschaft einer algebraischen Menge, die Irreduzibilität ist nicht die einzige Eigenschaft einer algebraischen Menge, die
man am affinen Koordinatenring ablesen kann. Um Ihnen die geometrische man am affinen Koordinatenring ablesen kann. Um Ihnen die geometrische
Bedeutung des Koordinatenringes genau zu erklären, muss ich aber erst einmal Bedeutung des Koordinatenringes genau zu erklären, muss ich aber erst einmal
sagen, was ein ``Morphismus von algebraischen Mengen'' eigentlich sein soll. sagen, was ein „Morphismus von algebraischen Mengen“ eigentlich sein soll. Die
Die Sache ist eigentlich sehr einfach. Sache ist eigentlich sehr einfach.
\begin{defn}[Morphismus von algebraischen Mengen] \begin{defn}[Morphismus von algebraischen Mengen]
Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische
Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten auf Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten
dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$. Eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$ heißt auf dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$. Eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$
\emph{polynomiale Abbildung}\index{polynomiale Abbildung} oder heißt \emph{polynomiale Abbildung}\index{polynomiale Abbildung} oder
\emph{Morphismus von algebraischen Mengen}\index{Morphismus von algebraischen \emph{Morphismus von algebraischen Mengen}\index{Morphismus von algebraischen
Mengen}, wenn es Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, sodass für Mengen}, wenn es Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, sodass für
jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung
\[ \[
f(\vec{x}) = f(\vec{x}) =
@@ -96,13 +96,12 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach.
gilt. gilt.
\end{defn} \end{defn}
\begin{bsp}\label{bsp:7-1-2} \begin{bsp}\label{bsp:7-1-2} Es sei $k$ ein Körper. Die polynomiale Abbildung
Es sei $k$ ein Körper. Die polynomiale Abbildung
\[ \[
f : 𝔸¹_k → 𝔸³_k, \quad t ↦ (t,t²,t³) f : 𝔸¹_k → 𝔸³_k, \quad t ↦ (t,t²,t³)
\] \]
liefert einen Morphismus von $𝔸_k¹$ in die algebraische Menge liefert einen Morphismus von $𝔸_k¹$ in die algebraische Menge $V
$V \bigl(y-x²,z-x³ \bigr) ⊆ 𝔸³_k$. \bigl(y-x²,z-x³ \bigr) ⊆ 𝔸³_k$.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}\label{bsp:7-1-3} \begin{bsp}\label{bsp:7-1-3}
@@ -110,13 +109,14 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach.
\[ \[
f : 𝔸¹_ℂ → 𝔸²_ℂ, \quad t ↦ (t²,t³) f : 𝔸¹_ℂ → 𝔸²_ℂ, \quad t ↦ (t²,t³)
\] \]
liefert einen surjektiven Morphismus von $𝔸¹_ℂ$ in die algebraische Menge liefert einen surjektiven Morphismus von $𝔸¹_ℂ$ in die algebraische Menge $V
$V \bigl(y²-x³ \bigr) ⊆ 𝔸²_ℂ$. Die Bildmenge $V \bigl(y²-x³ \bigr)$ heißt \bigl(y²-x³ \bigr) ⊆ 𝔸²_ℂ$. Traditionell bezeichnet man die Bildmenge $V
``Neilsche Parabel''. Zeichnen Sie ein reelles Bild dieser Menge. Finden Sie \bigl(y²-x³ \bigr)$ als „Neilsche Parabel“. Zeichnen Sie ein reelles Bild
heraus, welche Eigenschaft die Neilsche Parabel zu einer ganz besonderen Kurve dieser Menge. Finden Sie heraus, welche Eigenschaft die Neilsche Parabel zu
macht. Besorgen Sie sich die ungekürzte Originalausgabe des Romans ``Moby einer ganz besonderen Kurve macht. Besorgen Sie sich die ungekürzte
Dick'' und finden Sie die Stelle, an der die Neilsche Parabel eine Rolle Originalausgabe des Romans „Moby Dick“ und finden Sie die Stelle, an der die
spielt. Tipp: ein Stück Seife spielt auch eine Rolle. Neilsche Parabel eine Rolle spielt. Tipp: ein Stück Seife spielt auch eine
Rolle.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}\label{bsp:7-1-4} \begin{bsp}\label{bsp:7-1-4}
@@ -131,8 +131,8 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach.
\begin{defn}[Isomorphismen] \begin{defn}[Isomorphismen]
Es sei $k$ ein Körper und es seien $n$ und $m$ Zahlen gegeben. Zwei Es sei $k$ ein Körper und es seien $n$ und $m$ Zahlen gegeben. Zwei
algebraische Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ heißen algebraische Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ heißen
\emph{isomorph}\index{isomorphe algebraische Mengen}, wenn es Morphismen \emph{isomorph}\index{isomorphe algebraische Mengen}, wenn es Morphismen $f:V
$f:V → W$ und $g:W → V$ gibt, sodass $g◦f = \Id_X$ und $f◦g = \Id_Y$ ist. In → W$ und $g:W → V$ gibt, sodass $g◦f = \Id_X$ und $f◦g = \Id_Y$ ist. In
diesem Fall nennt man die Morphismen $g$ und $f$ diesem Fall nennt man die Morphismen $g$ und $f$
\emph{Isomorphismen}\index{Isomorphismen von algebraischen Mengen}. \emph{Isomorphismen}\index{Isomorphismen von algebraischen Mengen}.
\end{defn} \end{defn}
@@ -157,10 +157,10 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach.
Was haben Koordinatenringe mit Morphismen zu tun? Um den Zusammenhang präzise Was haben Koordinatenringe mit Morphismen zu tun? Um den Zusammenhang präzise
zu klären, lege ich erst einmal die Notation für die kommende Diskussion fest. zu klären, lege ich erst einmal die Notation für die kommende Diskussion fest.
\begin{situation}\label{sit:7-2-1} \begin{situation}\label{sit:7-2-1}%
Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische
Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten auf Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten
dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$ und die Koordinaten auf dem $𝔸^m_k$ mit auf dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$ und die Koordinaten auf dem $𝔸^m_k$ mit
$y_1, …, y_m$. Die affinen Koordinatenringe sind dann $y_1, …, y_m$. Die affinen Koordinatenringe sind dann
\[ \[
k[X] = \factor{k[x_1, …, x_n]}{I(X)} % k[X] = \factor{k[x_1, …, x_n]}{I(X)} %
@@ -174,8 +174,8 @@ zu klären, lege ich erst einmal die Notation für die kommende Diskussion fest.
\label{sec:7-2-1} \label{sec:7-2-1}
In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei ein Morphismus $f : X → Y$ von algebraischen In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei ein Morphismus $f : X → Y$ von algebraischen
Mengen gegeben. Nach Definition gibt es also Polynome Mengen gegeben. Nach Definition gibt es also Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …,
$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung
\[ \[
f(\vec{x}) = f(\vec{x}) =
\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}
@@ -184,7 +184,7 @@ $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gle
f_m(\vec{x}) f_m(\vec{x})
\end{pmatrix} \end{pmatrix}
\] \]
gilt. Wir definieren damit die folgende ``Rückzugsabbildung'' gilt. Wir definieren damit die folgende „Rückzugsabbildung“
\[ \[
\begin{matrix} \begin{matrix}
φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\ φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\
@@ -223,7 +223,7 @@ exakt das Bild der Restklasse $[y_i] ∈ k[Y]$ unter der Abbildung $f^*$ ist,
\begin{equation}\label{eq:7-2-2-1} \begin{equation}\label{eq:7-2-2-1}
f^* \Bigl( [y_i] \Bigr) = [f_i]. f^* \Bigl( [y_i] \Bigr) = [f_i].
\end{equation} \end{equation}
Als Nächstes definieren wir eine ``Rückzugsabbildung'', Als Nächstes definieren wir eine „Rückzugsabbildung“,
\[ \[
\begin{matrix} \begin{matrix}
φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\ φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\
@@ -258,9 +258,9 @@ polynomiale Abbildung betrachten,
\end{pmatrix}. \end{pmatrix}.
\] \]
Sei jetzt nämlich ein Punkt $\vec{x} ∈ X$ gegeben. Ich behaupte, dass Sei jetzt nämlich ein Punkt $\vec{x} ∈ X$ gegeben. Ich behaupte, dass
$φ(\vec{x}) ∈ Y$ liegt. Äquivalent: ich behaupte, dass jedes $φ(\vec{x}) ∈ Y$ liegt. Äquivalent: ich behaupte, dass jedes $g\bigl(
$g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = 0$ ist für jedes $g ∈ I(Y)$. Sei also ein solches φ(\vec{x}) \bigr) = 0$ ist für jedes $g ∈ I(Y)$. Sei also ein solches $g$
$g$ gegeben. Dann ist nach Konstruktion der Abbildung $φ$ gegeben. Dann ist nach Konstruktion der Abbildung $φ$
\[ \[
g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = \bigl( φ^*(g) \bigr)(\vec{x}), g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = \bigl( φ^*(g) \bigr)(\vec{x}),
\] \]
@@ -278,7 +278,7 @@ Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} sind zueinander invers. Ich
lasse Ihnen den detaillierten Beweis als Hausaufgabe und halte das Ergebnis lasse Ihnen den detaillierten Beweis als Hausaufgabe und halte das Ergebnis
fest. fest.
\begin{satz}[Koordinatenringe und Morphismen]\label{satz:7-3-3} \begin{satz}[Koordinatenringe und Morphismen]\label{satz:7-3-3}%
In Situation~\ref{sit:7-2-1} liefern die Konstruktionen aus den In Situation~\ref{sit:7-2-1} liefern die Konstruktionen aus den
Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} zueinander inverse Bijektionen Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} zueinander inverse Bijektionen
\[ \[
@@ -287,39 +287,38 @@ fest.
\] \]
\end{satz} \end{satz}
Inbesondere ist klar, dass jede algebraische Eigenschaft der Ringmorphismen Insbesondere ist klar, dass jede algebraische Eigenschaft der Ringmorphismen
einer geometrischen Eigenschaft des Varietätenmorphismus entsprechen muss. Ich einer geometrischen Eigenschaft des Varietätenmorphismus entsprechen muss. Ich
diskutiere hier nur das allererste Beispiel. diskutiere hier nur das allererste Beispiel.
\begin{prop}[Injektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-4} \begin{prop}[Injektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-4}
In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen und die In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen und die
algebraischen Mengen $X$ und $Y$ seien irreduzibel. Weiter es sei algebraischen Mengen $X$ und $Y$ seien irreduzibel. Weiter es sei $f : X → Y$
$f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Dann sind folgende ein Morphismus von algebraischen Mengen. Dann sind folgende Aussagen
Aussagen äquivalent. äquivalent.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist injektiv. \item Die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist injektiv.
\item Die Bildmenge $f(X) ⊂ Y$ ist dicht bezüglich der \item Die Bildmenge $f(X) ⊂ Y$ ist dicht bezüglich der Zariski-Topologie. Mit
Zariski-Topologie. Mit anderen Worten: jede algebraische Teilmenge anderen Worten: jede algebraische Teilmenge $Y' ⊆ Y$, die $f(X)$ enthält,
$Y' ⊆ Y$, die $f(X)$ enthält, ist gleich $Y$. ist gleich $Y$.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{prop} \end{prop}
\begin{proof} \begin{proof}
Angenommen, die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist nicht injektiv. Dann gibt Angenommen, die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist nicht injektiv. Dann gibt
es eine Element $g ∈ k[Y] ∖ \{0\}$, sodass $0 = f^*(g) = g◦ f$ es eine Element $g ∈ k[Y] ∖ \{0\}$, sodass $0 = f^*(g) = g◦ f$ ist. Dann ist
ist. Dann ist aber die Bildmenge $f(X)$ in der algebraischen Teilmenge aber die Bildmenge $f(X)$ in der algebraischen Teilmenge $\{g=0\} ⊊ Y$
$\{g=0\} ⊊ Y$ enthalten. enthalten.
Angenommen, die Bildmenge $f(X)$ sei in einer echten algebraischen Teilmenge Angenommen, die Bildmenge $f(X)$ sei in einer echten algebraischen Teilmenge
$Y' ⊊ Y$ enthalten. Sei $g ∈ k[Y]$ eine nicht-triviale Funktion, $Y' ⊊ Y$ enthalten. Sei $g ∈ k[Y]$ eine nicht-triviale Funktion, die auf $Y'$
die auf $Y'$ verschwindet. Dann ist $0 = g◦ f = f^*(g)$, also ist $f^*$ verschwindet. Dann ist $0 = g◦f = f^*(g)$, also ist $f^*$ nicht injektiv.
nicht injektiv.
\end{proof} \end{proof}
\begin{prop}[Surjektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-5} \begin{prop}[Surjektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-5}%
In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen. Weiter es sei In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen. Weiter es sei
$f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Falls die Abbildung $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Falls die Abbildung $f^*
$f^* : k[Y] → k[X]$ surjektiv ist, dann ist die Abbildung $f$ injektiv. : k[Y] → k[X]$ surjektiv ist, dann ist die Abbildung $f$ injektiv.
\end{prop} \end{prop}
\begin{proof} \begin{proof}
Hausaufgabe! Hausaufgabe!
@@ -327,9 +326,9 @@ diskutiere hier nur das allererste Beispiel.
\begin{frage} \begin{frage}
Wo habe ich im Beweis von Proposition~\ref{prop:7-3-4} die Annahme ``$k$ Wo habe ich im Beweis von Proposition~\ref{prop:7-3-4} die Annahme „$k$
algebraisch abgeschlossen'' verwendet. Ist der Satz vielleicht auch ohne algebraisch abgeschlossen“ verwendet. Ist der Satz vielleicht auch ohne diese
diese Annahme richtig? Annahme richtig?
\end{frage} \end{frage}
Es gilt sogar mehr: Die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und Es gilt sogar mehr: Die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und
@@ -341,14 +340,14 @@ gegeben ist,
X \ar[r, "f"] & Y \ar[r, "g"] & Z, X \ar[r, "f"] & Y \ar[r, "g"] & Z,
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] \]
dann ist $g^* ◦ f^* = (g◦ f)^*$. Anders herum: wenn eine Kette von Morphismen dann ist $g^*◦f^* = (g◦f)^*$. Anders herum: wenn eine Kette von Morphismen von
von $k$-Algebren gegeben ist, $k$-Algebren gegeben ist,
\[ \[
\begin{tikzcd} \begin{tikzcd}
k[Z] \ar[r, "g^*"] & k[Y] \ar[r, "f^*"] & k[X], k[Z] \ar[r, "g^*"] & k[Y] \ar[r, "f^*"] & k[X],
\end{tikzcd} \end{tikzcd}
\] \]
mit zugehörenden Abbildungen und $f : X → Z$ und $g: Y → Z$, dann ist $g◦f$ die mit zugehörenden Abbildungen und $f: X → Z$ und $g: Y → Z$, dann ist $g◦f$ die
zu $f^*◦g^*$ gehörende Abbildung. Insbesondere sehen wir: zwei algebraischen zu $f^*◦g^*$ gehörende Abbildung. Insbesondere sehen wir: zwei algebraischen
Mengen $X$ und $Y$ sind genau dann isomorph, wenn die affinen Koordinatenringe Mengen $X$ und $Y$ sind genau dann isomorph, wenn die affinen Koordinatenringe
$k[X]$ und $k[Y]$ isomorphe $k$-Algebren sind. Der affine Koordinatenring legt $k[X]$ und $k[Y]$ isomorphe $k$-Algebren sind. Der affine Koordinatenring legt
@@ -371,8 +370,8 @@ Eigenschaften haben.\CounterStep
\begin{definition}[Nilpotente Elemente] \begin{definition}[Nilpotente Elemente]
Es sei $R$ ein Ring und es sei $f ∈ R$. Man nennt $f$ Es sei $R$ ein Ring und es sei $f ∈ R$. Man nennt $f$
\emph{nilpotent}\index{nilpotent}, wenn es ein Element $n ∈ ℕ$ gibt, so \emph{nilpotent}\index{nilpotent}, wenn es ein Element $n ∈ ℕ$ gibt, sodass
dass $f^n = 0$ ist. $f^n = 0$ ist.
\end{definition} \end{definition}
\begin{notation}[Reduzierte Ringe] \begin{notation}[Reduzierte Ringe]
@@ -380,7 +379,7 @@ Eigenschaften haben.\CounterStep
werden auch als \emph{reduzierte Ringe}\index{reduzierter Ring} bezeichnet. werden auch als \emph{reduzierte Ringe}\index{reduzierter Ring} bezeichnet.
\end{notation} \end{notation}
\begin{beobachtung}\label{beob:7-3-9} \begin{beobachtung}\label{beob:7-3-9}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $R$ eine endliche erzeugte $k$-Algebra ohne Es sei $k$ ein Körper und es sei $R$ eine endliche erzeugte $k$-Algebra ohne
nilpotente Elemente. Dann ist $R$ isomorph zum affinen Koordinatenring einer nilpotente Elemente. Dann ist $R$ isomorph zum affinen Koordinatenring einer
Varietät. Wenn nämlich $e_1, …, e_n ∈ R$ Erzeuger sind, dann betrachte die Varietät. Wenn nämlich $e_1, …, e_n ∈ R$ Erzeuger sind, dann betrachte die
@@ -402,35 +401,35 @@ reduzierten Ringen.
\subsubsection{Diskussion} \subsubsection{Diskussion}
In der Geometrie unterscheidet man klassischerweise zwischen ``extrinsischen'' In der Geometrie unterscheidet man klassischerweise zwischen „extrinsischen“ und
und ``intrinsischen'' Eigenschaften. Wenn ich zum Beispiel ``Flächen im Raum'' „intrinsischen“ Eigenschaften. Wenn ich zum Beispiel „Flächen im Raum“
diskutiere, dann sind extrinsische Eigenschaften solche, die davon abhängen, wie diskutiere, dann sind extrinsische Eigenschaften solche, die davon abhängen, wie
die Fläche in den Raum eingebettet ist (``Enthält die Fläche Geraden?''). Im die Fläche in den Raum eingebettet ist („Enthält die Fläche Geraden?“). Im
Gegensatz dazu hängen intrinsische Eigenschaften der Fläche nicht von der Wahl Gegensatz dazu hängen intrinsische Eigenschaften der Fläche nicht von der Wahl
einer speziellen Einbettung in den Raum ab (``Was ist die Krümmung? Wie sieht einer speziellen Einbettung in den Raum ab („Was ist die Krümmung? Wie sieht
die Symmetriegruppe aus?''). die Symmetriegruppe aus?“).
Wenn zwei algebraische Mengen isomorph sind, sagt uns die Anschauung ``Die Wenn zwei algebraische Mengen isomorph sind, sagt uns die Anschauung „Die
Varietäten sind gleich, nur auf unterschiedliche Art in affine Räume Varietäten sind gleich, nur auf unterschiedliche Art in affine Räume
eingebettet''. Der Diskussion aus dem letzten Abschnitt legt nahe, dass das eingebettet“. Der Diskussion aus dem letzten Abschnitt legt nahe, dass das
richtige algebraische Objekt, welches die intrinsische Geometrie von Varietäten richtige algebraische Objekt, welches die intrinsische Geometrie von Varietäten
beschreibt, der affine Koordinatenring ist. Dieser Standpunkt wurde von beschreibt, der affine Koordinatenring ist. Dieser Standpunkt wurde von
insbesondere von Alexander insbesondere von Alexander
Grothendieck\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck}{Alexander Grothendieck\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck}{Alexander
Grothendieck} (* 28. März 1928 in Berlin; † 13. November 2014 in Grothendieck} (* 28. März 1928 in Berlin; † 13. November 2014 in Saint-Lizier
Saint-Lizier in der Nähe von Saint-Girons, Département Ariège) war ein in der Nähe von Saint-Girons, Département Ariège) war ein deutsch-stämmiger
deutsch-stämmiger französischer Mathematiker. Er war Begründer einer eigenen französischer Mathematiker. Er war Begründer einer eigenen Schule der
Schule der algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren maßgeblich
maßgeblich beeinflusste. 1966 wurde ihm die als höchste Auszeichnung in der beeinflusste. 1966 wurde ihm die als höchste Auszeichnung in der Mathematik
Mathematik anerkannte Fields-Medaille verliehen. Beeinflusst durch politische anerkannte Fields-Medaille verliehen. Beeinflusst durch politische Ideen des
Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus seiner
seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück. 1991 zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück. 1991 verschwand er
verschwand er völlig aus der Öffentlichkeit; sein letzter Aufenthaltsort in völlig aus der Öffentlichkeit; sein letzter Aufenthaltsort in den Pyrenäen war
den Pyrenäen war nur wenigen Freunden bekannt.} vertreten und hat sich als nur wenigen Freunden bekannt.} vertreten und hat sich als eine sehr
eine sehr einflussreich und weit führend herausgestellt. Hier ließe sich noch einflussreich und weit führend herausgestellt. Hier ließe sich noch sehr viel
sehr viel sagen und es ließen sich sagen und es ließen sich
\href{https://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf}{viele \href{https://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf}{viele
Geschichten} erzählen, aber vielleicht ist jetzt noch nicht der richtige Geschichten} erzählen, aber vielleicht ist jetzt noch nicht der richtige
Zeitpunkt dafür … Zeitpunkt dafür …