diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 52d9bef..5f78910 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -72,3 +72,16 @@ Quotientenring Quotientenkörper nullteilerfrei Bloomington +Homomorphiesatz +repräsentierbaren +reduzible +Rückzugsabbildung +Algebramorphismus +Algebrahomomorphismen +Varietätenmorphismus +funktoriell +Substitutionsabbildung +Grothendieck +Saint-Lizier +Saint-Girons +Ariège diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 56456c3..2486449 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -11,3 +11,4 @@ {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, geboren als Ascher Zaritsky, (* 24. April 1899, in Kobryn, Weißrussland; † 4. Juli 1986 in Brookline, Massachusetts, USA) war ein US-amerikanischer Mathematiker, der wichtige Beiträge zur Grundlegung der algebraischen Geometrie leistete.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer Mathematiker und theoretischer Physiker.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie Radikalideale algebraische Mengen maximale Ideale Punkte Primideale irreduzible Mengen Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Noether-Eigenschaft des Polynomrings Existenz von Zerlegungen\\E$"} +{"rule":"IDEN_IDEEN","sentence":"^\\QBeeinflusst durch politische Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück.\\E$"} diff --git a/07.tex b/07.tex index 95a9af1..781a430 100644 --- a/07.tex +++ b/07.tex @@ -10,21 +10,21 @@ Im nächsten Kapitel werden wir ernsthaft anfangen, zu rechnen. Vorher möchte ich in aller Kürze noch ein weiteres algebraisches Objekt einführen und dessen geometrische Bedeutung klären. Um zu erklären, worum es überhaupt geht, betrachte man ein Radikalideal $J ⊂ ℂ[x_1, …, x_n]$ mit zugehörender -algebraischer Menge $X := V(J) ⊂ 𝔸^n_{ℂ}$. Dann kann man den Restklassenring +algebraischer Menge $X := V(J) ⊂ 𝔸^n_ℂ$. Dann kann man den Restklassenring $ℂ[x_1, …, x_n] / J$ wie folgt interpretieren: \begin{itemize} \item Zuerst kann ich den Polynomring $ℂ[x_1, …, x_n]$ als Unterring des Rings - $\cC⁰(𝔸^n_{ℂ})$ der komplexwertigen stetigen Funktionen auffassen. + $\cC⁰(𝔸^n_ℂ)$ der komplexwertigen stetigen Funktionen auffassen. \item Analog betrachte ich den Ring $\cC⁰(X)$ der auf $X$ stetigen komplexwertigen Funktionen. -\item Als Nächstes betrachte ich die Einschränkungsabbildung - $\cC⁰(𝔸^n_{ℂ}) → \cC⁰(X)$ und erhalte eine Folge von Ringmorphismen +\item Als Nächstes betrachte ich die Einschränkungsabbildung $\cC⁰(𝔸^n_ℂ) → + \cC⁰(X)$ und erhalte eine Folge von Ringmorphismen \[ \begin{tikzcd}[column sep=2.2cm] - ℂ[x_1, …, x_n] \ar[r, hook] & \cC⁰(𝔸^n_{ℂ}) \ar[r, "\text{Einschränkung}"] & \cC⁰(X). + ℂ[x_1, …, x_n] \ar[r, hook] & \cC⁰(𝔸^n_ℂ) \ar[r, "\text{Einschränkung}"] & \cC⁰(X). \end{tikzcd} \] Die verkettete Abbildung bezeichne ich mit $φ : ℂ[x_1, …, x_n] → \cC⁰(X)$. @@ -36,7 +36,7 @@ Nach dem Homomorphiesatz ist der Quotientenring \] also der Unterring der durch Polynome repräsentierbaren komplexwertigen stetigen Funktionen auf $X$. Mit dieser Identifikation entsprechen die Funktionen -$φ(x_1), …, φ(x_n)$ den Koordinationenfunktionen auf $X$. Dies motiviert die +$φ(x_1), …, φ(x_n)$ den Koordinatenfunktionen auf $X$. Dies motiviert die folgende Definition. \begin{defn}[Affiner Koordinatenring]\label{def:7-0-1} @@ -74,16 +74,16 @@ Koordinatenring nullteilerfrei ist. Irreduzibilität ist nicht die einzige Eigenschaft einer algebraischen Menge, die man am affinen Koordinatenring ablesen kann. Um Ihnen die geometrische Bedeutung des Koordinatenringes genau zu erklären, muss ich aber erst einmal -sagen, was ein ``Morphismus von algebraischen Mengen'' eigentlich sein soll. -Die Sache ist eigentlich sehr einfach. +sagen, was ein „Morphismus von algebraischen Mengen“ eigentlich sein soll. Die +Sache ist eigentlich sehr einfach. \begin{defn}[Morphismus von algebraischen Mengen] Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische - Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten auf - dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$. Eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$ heißt - \emph{polynomiale Abbildung}\index{polynomiale Abbildung} oder + Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten + auf dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$. Eine Abbildung $f : X \rightarrow Y$ + heißt \emph{polynomiale Abbildung}\index{polynomiale Abbildung} oder \emph{Morphismus von algebraischen Mengen}\index{Morphismus von algebraischen - Mengen}, wenn es Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, sodass für + Mengen}, wenn es Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, sodass für jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung \[ f(\vec{x}) = @@ -96,13 +96,12 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach. gilt. \end{defn} -\begin{bsp}\label{bsp:7-1-2} - Es sei $k$ ein Körper. Die polynomiale Abbildung +\begin{bsp}\label{bsp:7-1-2} Es sei $k$ ein Körper. Die polynomiale Abbildung \[ f : 𝔸¹_k → 𝔸³_k, \quad t ↦ (t,t²,t³) \] - liefert einen Morphismus von $𝔸_k¹$ in die algebraische Menge - $V \bigl(y-x²,z-x³ \bigr) ⊆ 𝔸³_k$. + liefert einen Morphismus von $𝔸_k¹$ in die algebraische Menge $V + \bigl(y-x²,z-x³ \bigr) ⊆ 𝔸³_k$. \end{bsp} \begin{bsp}\label{bsp:7-1-3} @@ -110,13 +109,14 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach. \[ f : 𝔸¹_ℂ → 𝔸²_ℂ, \quad t ↦ (t²,t³) \] - liefert einen surjektiven Morphismus von $𝔸¹_ℂ$ in die algebraische Menge - $V \bigl(y²-x³ \bigr) ⊆ 𝔸²_ℂ$. Die Bildmenge $V \bigl(y²-x³ \bigr)$ heißt - ``Neilsche Parabel''. Zeichnen Sie ein reelles Bild dieser Menge. Finden Sie - heraus, welche Eigenschaft die Neilsche Parabel zu einer ganz besonderen Kurve - macht. Besorgen Sie sich die ungekürzte Originalausgabe des Romans ``Moby - Dick'' und finden Sie die Stelle, an der die Neilsche Parabel eine Rolle - spielt. Tipp: ein Stück Seife spielt auch eine Rolle. + liefert einen surjektiven Morphismus von $𝔸¹_ℂ$ in die algebraische Menge $V + \bigl(y²-x³ \bigr) ⊆ 𝔸²_ℂ$. Traditionell bezeichnet man die Bildmenge $V + \bigl(y²-x³ \bigr)$ als „Neilsche Parabel“. Zeichnen Sie ein reelles Bild + dieser Menge. Finden Sie heraus, welche Eigenschaft die Neilsche Parabel zu + einer ganz besonderen Kurve macht. Besorgen Sie sich die ungekürzte + Originalausgabe des Romans „Moby Dick“ und finden Sie die Stelle, an der die + Neilsche Parabel eine Rolle spielt. Tipp: ein Stück Seife spielt auch eine + Rolle. \end{bsp} \begin{bsp}\label{bsp:7-1-4} @@ -131,8 +131,8 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach. \begin{defn}[Isomorphismen] Es sei $k$ ein Körper und es seien $n$ und $m$ Zahlen gegeben. Zwei algebraische Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ heißen - \emph{isomorph}\index{isomorphe algebraische Mengen}, wenn es Morphismen - $f:V → W$ und $g:W → V$ gibt, sodass $g◦f = \Id_X$ und $f◦g = \Id_Y$ ist. In + \emph{isomorph}\index{isomorphe algebraische Mengen}, wenn es Morphismen $f:V + → W$ und $g:W → V$ gibt, sodass $g◦f = \Id_X$ und $f◦g = \Id_Y$ ist. In diesem Fall nennt man die Morphismen $g$ und $f$ \emph{Isomorphismen}\index{Isomorphismen von algebraischen Mengen}. \end{defn} @@ -157,10 +157,10 @@ Die Sache ist eigentlich sehr einfach. Was haben Koordinatenringe mit Morphismen zu tun? Um den Zusammenhang präzise zu klären, lege ich erst einmal die Notation für die kommende Diskussion fest. -\begin{situation}\label{sit:7-2-1} +\begin{situation}\label{sit:7-2-1}% Es sei $k$ ein Körper, es seien $n$ und $m$ Zahlen und es seien algebraische - Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten auf - dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$ und die Koordinaten auf dem $𝔸^m_k$ mit + Mengen $X ⊂ 𝔸^n_k$ und $Y ⊂ 𝔸^m_k$ gegeben; wir bezeichnen die Koordinaten + auf dem $𝔸^n_k$ mit $x_1, …, x_n$ und die Koordinaten auf dem $𝔸^m_k$ mit $y_1, …, y_m$. Die affinen Koordinatenringe sind dann \[ k[X] = \factor{k[x_1, …, x_n]}{I(X)} % @@ -174,8 +174,8 @@ zu klären, lege ich erst einmal die Notation für die kommende Diskussion fest. \label{sec:7-2-1} In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei ein Morphismus $f : X → Y$ von algebraischen -Mengen gegeben. Nach Definition gibt es also Polynome -$f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung +Mengen gegeben. Nach Definition gibt es also Polynome $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, +x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gleichung \[ f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} @@ -184,7 +184,7 @@ $f_1, …, f_m ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass jeden Punkt $\vec{x} ∈ X$ die Gle f_m(\vec{x}) \end{pmatrix} \] -gilt. Wir definieren damit die folgende ``Rückzugsabbildung'' +gilt. Wir definieren damit die folgende „Rückzugsabbildung“ \[ \begin{matrix} φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\ @@ -223,7 +223,7 @@ exakt das Bild der Restklasse $[y_i] ∈ k[Y]$ unter der Abbildung $f^*$ ist, \begin{equation}\label{eq:7-2-2-1} f^* \Bigl( [y_i] \Bigr) = [f_i]. \end{equation} -Als Nächstes definieren wir eine ``Rückzugsabbildung'', +Als Nächstes definieren wir eine „Rückzugsabbildung“, \[ \begin{matrix} φ^* & : & k[y_1, …, y_m] & → & k[x_1, …, x_n] \\ @@ -258,9 +258,9 @@ polynomiale Abbildung betrachten, \end{pmatrix}. \] Sei jetzt nämlich ein Punkt $\vec{x} ∈ X$ gegeben. Ich behaupte, dass -$φ(\vec{x}) ∈ Y$ liegt. Äquivalent: ich behaupte, dass jedes -$g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = 0$ ist für jedes $g ∈ I(Y)$. Sei also ein solches -$g$ gegeben. Dann ist nach Konstruktion der Abbildung $φ$ +$φ(\vec{x}) ∈ Y$ liegt. Äquivalent: ich behaupte, dass jedes $g\bigl( +φ(\vec{x}) \bigr) = 0$ ist für jedes $g ∈ I(Y)$. Sei also ein solches $g$ +gegeben. Dann ist nach Konstruktion der Abbildung $φ$ \[ g\bigl( φ(\vec{x}) \bigr) = \bigl( φ^*(g) \bigr)(\vec{x}), \] @@ -278,7 +278,7 @@ Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} sind zueinander invers. Ich lasse Ihnen den detaillierten Beweis als Hausaufgabe und halte das Ergebnis fest. -\begin{satz}[Koordinatenringe und Morphismen]\label{satz:7-3-3} +\begin{satz}[Koordinatenringe und Morphismen]\label{satz:7-3-3}% In Situation~\ref{sit:7-2-1} liefern die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und \ref{sec:7-2-2} zueinander inverse Bijektionen \[ @@ -287,39 +287,38 @@ fest. \] \end{satz} -Inbesondere ist klar, dass jede algebraische Eigenschaft der Ringmorphismen +Insbesondere ist klar, dass jede algebraische Eigenschaft der Ringmorphismen einer geometrischen Eigenschaft des Varietätenmorphismus entsprechen muss. Ich diskutiere hier nur das allererste Beispiel. \begin{prop}[Injektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-4} In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen und die - algebraischen Mengen $X$ und $Y$ seien irreduzibel. Weiter es sei - $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Dann sind folgende - Aussagen äquivalent. + algebraischen Mengen $X$ und $Y$ seien irreduzibel. Weiter es sei $f : X → Y$ + ein Morphismus von algebraischen Mengen. Dann sind folgende Aussagen + äquivalent. \begin{enumerate} \item Die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist injektiv. - \item Die Bildmenge $f(X) ⊂ Y$ ist dicht bezüglich der - Zariski-Topologie. Mit anderen Worten: jede algebraische Teilmenge - $Y' ⊆ Y$, die $f(X)$ enthält, ist gleich $Y$. + \item Die Bildmenge $f(X) ⊂ Y$ ist dicht bezüglich der Zariski-Topologie. Mit + anderen Worten: jede algebraische Teilmenge $Y' ⊆ Y$, die $f(X)$ enthält, + ist gleich $Y$. \end{enumerate} \end{prop} \begin{proof} Angenommen, die Abbildung $f^* : k[Y] → k[X]$ ist nicht injektiv. Dann gibt - es eine Element $g ∈ k[Y] ∖ \{0\}$, sodass $0 = f^*(g) = g◦ f$ - ist. Dann ist aber die Bildmenge $f(X)$ in der algebraischen Teilmenge - $\{g=0\} ⊊ Y$ enthalten. + es eine Element $g ∈ k[Y] ∖ \{0\}$, sodass $0 = f^*(g) = g◦ f$ ist. Dann ist + aber die Bildmenge $f(X)$ in der algebraischen Teilmenge $\{g=0\} ⊊ Y$ + enthalten. Angenommen, die Bildmenge $f(X)$ sei in einer echten algebraischen Teilmenge - $Y' ⊊ Y$ enthalten. Sei $g ∈ k[Y]$ eine nicht-triviale Funktion, - die auf $Y'$ verschwindet. Dann ist $0 = g◦ f = f^*(g)$, also ist $f^*$ - nicht injektiv. + $Y' ⊊ Y$ enthalten. Sei $g ∈ k[Y]$ eine nicht-triviale Funktion, die auf $Y'$ + verschwindet. Dann ist $0 = g◦f = f^*(g)$, also ist $f^*$ nicht injektiv. \end{proof} -\begin{prop}[Surjektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-5} +\begin{prop}[Surjektive Abbildungen zwischen Koordinatenringen]\label{prop:7-3-5}% In Situation~\ref{sit:7-2-1} sei $k$ algebraisch abgeschlossen. Weiter es sei - $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Falls die Abbildung - $f^* : k[Y] → k[X]$ surjektiv ist, dann ist die Abbildung $f$ injektiv. + $f : X → Y$ ein Morphismus von algebraischen Mengen. Falls die Abbildung $f^* + : k[Y] → k[X]$ surjektiv ist, dann ist die Abbildung $f$ injektiv. \end{prop} \begin{proof} Hausaufgabe! @@ -327,9 +326,9 @@ diskutiere hier nur das allererste Beispiel. \begin{frage} - Wo habe ich im Beweis von Proposition~\ref{prop:7-3-4} die Annahme ``$k$ - algebraisch abgeschlossen'' verwendet. Ist der Satz vielleicht auch ohne - diese Annahme richtig? + Wo habe ich im Beweis von Proposition~\ref{prop:7-3-4} die Annahme „$k$ + algebraisch abgeschlossen“ verwendet. Ist der Satz vielleicht auch ohne diese + Annahme richtig? \end{frage} Es gilt sogar mehr: Die Konstruktionen aus den Abschnitten~\ref{sec:7-2-1} und @@ -341,14 +340,14 @@ gegeben ist, X \ar[r, "f"] & Y \ar[r, "g"] & Z, \end{tikzcd} \] -dann ist $g^* ◦ f^* = (g◦ f)^*$. Anders herum: wenn eine Kette von Morphismen -von $k$-Algebren gegeben ist, +dann ist $g^*◦f^* = (g◦f)^*$. Anders herum: wenn eine Kette von Morphismen von +$k$-Algebren gegeben ist, \[ \begin{tikzcd} k[Z] \ar[r, "g^*"] & k[Y] \ar[r, "f^*"] & k[X], \end{tikzcd} \] -mit zugehörenden Abbildungen und $f : X → Z$ und $g: Y → Z$, dann ist $g◦f$ die +mit zugehörenden Abbildungen und $f: X → Z$ und $g: Y → Z$, dann ist $g◦f$ die zu $f^*◦g^*$ gehörende Abbildung. Insbesondere sehen wir: zwei algebraischen Mengen $X$ und $Y$ sind genau dann isomorph, wenn die affinen Koordinatenringe $k[X]$ und $k[Y]$ isomorphe $k$-Algebren sind. Der affine Koordinatenring legt @@ -371,8 +370,8 @@ Eigenschaften haben.\CounterStep \begin{definition}[Nilpotente Elemente] Es sei $R$ ein Ring und es sei $f ∈ R$. Man nennt $f$ - \emph{nilpotent}\index{nilpotent}, wenn es ein Element $n ∈ ℕ$ gibt, so - dass $f^n = 0$ ist. + \emph{nilpotent}\index{nilpotent}, wenn es ein Element $n ∈ ℕ$ gibt, sodass + $f^n = 0$ ist. \end{definition} \begin{notation}[Reduzierte Ringe] @@ -380,7 +379,7 @@ Eigenschaften haben.\CounterStep werden auch als \emph{reduzierte Ringe}\index{reduzierter Ring} bezeichnet. \end{notation} -\begin{beobachtung}\label{beob:7-3-9} +\begin{beobachtung}\label{beob:7-3-9}% Es sei $k$ ein Körper und es sei $R$ eine endliche erzeugte $k$-Algebra ohne nilpotente Elemente. Dann ist $R$ isomorph zum affinen Koordinatenring einer Varietät. Wenn nämlich $e_1, …, e_n ∈ R$ Erzeuger sind, dann betrachte die @@ -402,35 +401,35 @@ reduzierten Ringen. \subsubsection{Diskussion} -In der Geometrie unterscheidet man klassischerweise zwischen ``extrinsischen'' -und ``intrinsischen'' Eigenschaften. Wenn ich zum Beispiel ``Flächen im Raum'' +In der Geometrie unterscheidet man klassischerweise zwischen „extrinsischen“ und +„intrinsischen“ Eigenschaften. Wenn ich zum Beispiel „Flächen im Raum“ diskutiere, dann sind extrinsische Eigenschaften solche, die davon abhängen, wie -die Fläche in den Raum eingebettet ist (``Enthält die Fläche Geraden?''). Im +die Fläche in den Raum eingebettet ist („Enthält die Fläche Geraden?“). Im Gegensatz dazu hängen intrinsische Eigenschaften der Fläche nicht von der Wahl -einer speziellen Einbettung in den Raum ab (``Was ist die Krümmung? Wie sieht -die Symmetriegruppe aus?''). +einer speziellen Einbettung in den Raum ab („Was ist die Krümmung? Wie sieht +die Symmetriegruppe aus?“). -Wenn zwei algebraische Mengen isomorph sind, sagt uns die Anschauung ``Die +Wenn zwei algebraische Mengen isomorph sind, sagt uns die Anschauung „Die Varietäten sind gleich, nur auf unterschiedliche Art in affine Räume -eingebettet''. Der Diskussion aus dem letzten Abschnitt legt nahe, dass das +eingebettet“. Der Diskussion aus dem letzten Abschnitt legt nahe, dass das richtige algebraische Objekt, welches die intrinsische Geometrie von Varietäten beschreibt, der affine Koordinatenring ist. Dieser Standpunkt wurde von insbesondere von Alexander Grothendieck\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alexander_Grothendieck}{Alexander - Grothendieck} (* 28. März 1928 in Berlin; † 13. November 2014 in - Saint-Lizier in der Nähe von Saint-Girons, Département Ariège) war ein - deutsch-stämmiger französischer Mathematiker. Er war Begründer einer eigenen - Schule der algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren - maßgeblich beeinflusste. 1966 wurde ihm die als höchste Auszeichnung in der - Mathematik anerkannte Fields-Medaille verliehen. Beeinflusst durch politische - Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus - seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück. 1991 - verschwand er völlig aus der Öffentlichkeit; sein letzter Aufenthaltsort in - den Pyrenäen war nur wenigen Freunden bekannt.} vertreten und hat sich als -eine sehr einflussreich und weit führend herausgestellt. Hier ließe sich noch -sehr viel sagen und es ließen sich +Grothendieck} (* 28. März 1928 in Berlin; † 13. November 2014 in Saint-Lizier +in der Nähe von Saint-Girons, Département Ariège) war ein deutsch-stämmiger +französischer Mathematiker. Er war Begründer einer eigenen Schule der +algebraischen Geometrie, deren Entwicklung er in den 1960er Jahren maßgeblich +beeinflusste. 1966 wurde ihm die als höchste Auszeichnung in der Mathematik +anerkannte Fields-Medaille verliehen. Beeinflusst durch politische Ideen des +Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus seiner +zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück. 1991 verschwand er +völlig aus der Öffentlichkeit; sein letzter Aufenthaltsort in den Pyrenäen war +nur wenigen Freunden bekannt.} vertreten und hat sich als eine sehr +einflussreich und weit führend herausgestellt. Hier ließe sich noch sehr viel +sagen und es ließen sich \href{https://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf}{viele - Geschichten} erzählen, aber vielleicht ist jetzt noch nicht der richtige +Geschichten} erzählen, aber vielleicht ist jetzt noch nicht der richtige Zeitpunkt dafür …