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Stefan Kebekus 2023-05-09 11:13:56 +02:00
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@ -85,3 +85,32 @@ Grothendieck
Saint-Lizier Saint-Lizier
Saint-Girons Saint-Girons
Ariège Ariège
Gradabschätzungen
Monomiale
monomialen
Monom
Monome
Monomen
monomial
monomiale
Quotientenringes
Monomordnungen
vier-elementiges
Monomordnung
Initialterm
graduiert-rückwärtslexikografischen
rückwärtslexikografische
Rückwärtslexika
Eindeutigkeitsaussage
Gröbnerbasis
Gröbner
Gossensaß
Gröbner-Dualität
Heisuke
Hironaka
Yuu
Kuga-gun
Iwakuni
Yamaguchi
Teleskopsumme
graduiert-rückwärtslexikografische

5
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@ -12,3 +12,8 @@
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer Mathematiker und theoretischer Physiker.\\E$"} {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer Mathematiker und theoretischer Physiker.\\E$"}
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie Radikalideale algebraische Mengen maximale Ideale Punkte Primideale irreduzible Mengen Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Noether-Eigenschaft des Polynomrings Existenz von Zerlegungen\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie Radikalideale algebraische Mengen maximale Ideale Punkte Primideale irreduzible Mengen Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Noether-Eigenschaft des Polynomrings Existenz von Zerlegungen\\E$"}
{"rule":"IDEN_IDEEN","sentence":"^\\QBeeinflusst durch politische Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück.\\E$"} {"rule":"IDEN_IDEEN","sentence":"^\\QBeeinflusst durch politische Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QLiegt mein Element im Ideal?.\\E$"}
{"rule":"WHITESPACE_RULE","sentence":"^\\QSituation \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q–\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gelten Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, …, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Schwache Division mit Rest Statt eines abstrakten Existenzsatzes finden Sie in Algorithmus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine konkrete Vorschrift zur Berechnung der Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSituation \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q–\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gelten Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, …, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Schwache Division mit Rest Statt eines abstrakten Existenzsatzes finden Sie in Algorithmus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine konkrete Vorschrift zur Berechnung der Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"}
{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Implikation “\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q” ist der wesentliche Punkt des Beweises.\\E$"}
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306
08.tex
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@ -47,29 +47,29 @@ verwendet.
Gradabschätzungen für potenzielle Polynome $g_i$ gibt es. Sie wurden meines Gradabschätzungen für potenzielle Polynome $g_i$ gibt es. Sie wurden meines
Wissens nach zuerst 1926 von Grete Wissens nach zuerst 1926 von Grete
Hermann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Grete_Hermann}{Grete Hermann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Grete_Hermann}{Grete
Hermann} oder Grete Henry oder Grete Henry-Hermann (* 2. März 1901 in Hermann} oder Grete Henry oder Grete Henry-Hermann (* 2.~März 1901 in Bremen; †
Bremen; † 15. April 1984 in Bremen) war eine deutsche Mathematikerin, 15.~April 1984 in Bremen) war eine deutsche Mathematikerin, Physikerin,
Physikerin, Philosophin und Pädagogin, die mit Physikern wie Werner Heisenberg Philosophin und Pädagogin, die mit Physikern wie Werner Heisenberg und anderen
und anderen Wissenschaftlern ihrer Zeit in Diskussion über die Entwicklung vor Wissenschaftlern ihrer Zeit in Diskussion über die Entwicklung vor allem der
allem der modernen Quantenphysik stand.} bewiesen, die in Freiburg studierte, modernen Quantenphysik stand.} bewiesen, die in Freiburg studierte,
\cite{MR1512302}. Inzwischen wurden die Abschätzung zwar dramatisch verbessert, \cite{MR1512302}. Inzwischen wurden die Abschätzung zwar dramatisch verbessert,
\cite{MR944576}, liefern aber nach wie vor kein praktisch brauchbares Verfahren. \cite{MR944576}, liefern aber nach wie vor kein praktisch brauchbares Verfahren.
In dieser Vorlesung soll daher eine andere Methode vorgestellt werden, die sich In dieser Vorlesung soll daher eine andere Methode vorgestellt werden, die sich
gut für die Implementierung auf Computern eignet. Dazu ändere ich gut für die Implementierung auf Computern eignet. Dazu ändere ich die
Frage~\ref{frage:8-0-1} etwas ab. Frage~\ref{frage:8-0-1} etwas ab.
\begin{frage}\label{frage:8-1-3} \begin{frage}\label{frage:8-1-3}%
In der Situation aus Frage~\ref{frage:8-0-1}, kann ich für jedes Polynom In der Situation aus Frage~\ref{frage:8-0-1}, kann ich für jedes Polynom $f ∈
$f ∈ k[x_1, …, x_n]$ einen ``kanonischen Repräsentanten'' der Restklasse k[x_1, …, x_n]$ einen „kanonischen Repräsentanten“ der Restklasse
\[ \[
[f] ∈ \factor{k[x_1, …, x_n]}{I} [f] ∈ \factor{k[x_1, …, x_n]}{I}
\] \]
finden, der idealerweise in der Praxis auch noch gut berechenbar ist? finden, der idealerweise in der Praxis auch noch gut berechenbar ist?
\end{frage} \end{frage}
Falls ich Frage~\ref{frage:8-1-3} positiv beantworten kann, kann ich das Ideal Falls ich die Frage~\ref{frage:8-1-3} positiv beantworten kann, kann ich das
Membership Problem lösen. Gegeben ein Polynom $f$, dann berechne ich einfach Ideal Membership Problem lösen. Gegeben ein Polynom $f$, dann berechne ich
die kanonischen Repräsentanten für die Restklassen $[f]$ und $[0]$ und einfach die kanonischen Repräsentanten für die Restklassen $[f]$ und $[0]$ und
vergleiche diese. Dann gilt offenbar: Das Polynom $f$ ist genau dann in $I$, vergleiche diese. Dann gilt offenbar: Das Polynom $f$ ist genau dann in $I$,
wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind. So einfach ist das. wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind. So einfach ist das.
@ -77,8 +77,8 @@ wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind. So einfach ist das.
\section{Monomiale Ideale} \section{Monomiale Ideale}
Um nicht sofort ins kalte Wasser zu springen, beantworten wir Um nicht sofort ins kalte Wasser zu springen, beantworten wir
Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von ``monomialen Idealen''. Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von „monomialen Idealen“. Was
Was das sein soll, erkläre ich jetzt. das sein soll, erkläre ich jetzt.
\begin{definition}[Monome, Terme] \begin{definition}[Monome, Terme]
Es sei $k$ ein Körper. Ein \emph{Monom}\index{Monom!im Polynomring} ist ein Es sei $k$ ein Körper. Ein \emph{Monom}\index{Monom!im Polynomring} ist ein
@ -103,17 +103,17 @@ Was das sein soll, erkläre ich jetzt.
\begin{notation}[Multi-Index-Schreibweise] \begin{notation}[Multi-Index-Schreibweise]
Beim Umgang mit Monomen verwenden wir oft Multi-Index-Schreibweise: Statt Beim Umgang mit Monomen verwenden wir oft Multi-Index-Schreibweise: Statt
$x_1^{α_1}·x_2^{α_2}⋯ x_n^{α_m}$ schreibe ich kurz $x^A$. Dabei soll $x_1^{α_1}·x_2^{α_2}⋯ x_n^{α_m}$ schreibe ich kurz $x^A$. Dabei soll $A
$A =(α_1, …, α_m)$ und $x = (x_1, …, x_n)$ sein. Manchmal schreibe ich =(α_1, …, α_m)$ und $x = (x_1, …, x_n)$ sein. Manchmal schreibe ich
vielleicht auch $\vec{A}$ und $\vec{x}$. vielleicht auch $\vec{A}$ und $\vec{x}$.
\end{notation} \end{notation}
\begin{beobachtung} \begin{beobachtung}
Es sei $k$ ein Körper und es seien $A =(α_1, …, α_m)$ und Es sei $k$ ein Körper und es seien $A =(α_1, …, α_m)$ und $B =(β_1, …, β_m) ∈
$B =(β_1, …, β_m) ∈ ℕ^m$, mit zugehörigen Monomen $x^A$ und ℕ^m$, mit zugehörigen Monomen $x^A$ und $x^B ∈ k[x_1, …, x_n]$. Dann gilt
$x^B ∈ k[x_1, …, x_n]$. Dann gilt Folgendes. Folgendes.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Es ist $x^A · x^B = x^{A+B}$ \item Es ist $x^A · x^B = x^{A+B}$.
\item Das Monom $x^A$ teilt $x^B$ genau dann, wenn für alle Indizes $i$ die \item Das Monom $x^A$ teilt $x^B$ genau dann, wenn für alle Indizes $i$ die
Ungleichung $a_i ≤ b_i$ gilt. Ungleichung $a_i ≤ b_i$ gilt.
@ -125,15 +125,15 @@ Was das sein soll, erkläre ich jetzt.
\end{beobachtung} \end{beobachtung}
\begin{definition}[Monimiales Ideal] \begin{definition}[Monimiales Ideal]
Es sei $k$ ein Körper. Ein Ideal $J ⊂ k[x_1, …, x_n]$ heißt Wieder sei $k$ ein Körper. Ein Ideal $J ⊂ k[x_1, …, x_n]$ heißt
\emph{monomial}\index{monomiales Ideal}, wenn es Monome $M_1, …, M_a$ gibt, \emph{monomial}\index{monomiales Ideal}, wenn es Monome $M_1, …, M_a$ gibt,
sodass die Gleichheit $J = (M_1, …, M_a)$ gilt. sodass die Gleichheit $J = (M_1, …, M_a)$ gilt.
\end{definition} \end{definition}
Für monomiale Ideale mit gegebenem Satz von Erzeugern löst das folgende Lemma Für monomiale Ideale mit gegebenem Satz von Erzeugern löst das folgende Lemma
die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig. die Aufgabe „finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten“ vollständig.
\begin{lem}[Division mit Rest für monomiale Ideale]\label{lem:8-1-6} \begin{lem}[Division mit Rest für monomiale Ideale]\label{lem:8-1-6}%
In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien die $f_1, …, f_m$ Monome. Dann gibt es zu In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien die $f_1, …, f_m$ Monome. Dann gibt es zu
jedem Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ genau ein $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass jedem Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ genau ein $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass
Folgendes gilt. Folgendes gilt.
@ -141,8 +141,8 @@ die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig.
\item\label{il:8-1-6-1} Die Restklassen der Polynome $f$ und $h$ im \item\label{il:8-1-6-1} Die Restklassen der Polynome $f$ und $h$ im
Quotientenring $\factor{k[x_1, …, x_n]}{I}$ sind gleich. Quotientenring $\factor{k[x_1, …, x_n]}{I}$ sind gleich.
\item\label{il:8-1-6-2} Kein Term von $h$ wird von einem der Monome \item\label{il:8-1-6-2} Kein Term von $h$ wird von einem der Monome $f_•$
$f_•$ geteilt. geteilt.
\end{enumerate} \end{enumerate}
\end{lem} \end{lem}
\begin{proof} \begin{proof}
@ -159,16 +159,16 @@ die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig.
gilt. Die Polynome $g_i$ sind aber kein bisschen eindeutig, denn selbst für gilt. Die Polynome $g_i$ sind aber kein bisschen eindeutig, denn selbst für
das Nullpolynom gibt es immer die Darstellungen das Nullpolynom gibt es immer die Darstellungen
\[ \[
0 = 0 · f_1 + 0 · f_2 = f_2·f_1 - f_1·f_2. 0 = 0·f_1 + 0·f_2 = f_2·f_1 - f_1·f_2.
\] \]
Überlegen Sie sich, dass die $g_i$ eindeutig festgelegt sind, wenn man Überlegen Sie sich, dass die $g_i$ eindeutig festgelegt sind, wenn man
zusätzlich verlangt, dass für jeden Index $j$ kein Term von $g_j·f_j$ ein zusätzlich verlangt, dass für jeden Index $j$ kein Term von $g_j·f_j$ ein
Vielfaches von einem der Monome $f_1, …, f_{j-1}$ ist. Vielfaches von einem der Monome $f_1, …, f_{j-1}$ ist.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{bemerkung}\label{bem:8-2-9} \begin{bemerkung}\label{bem:8-2-9}%
Aussage~\ref{il:8-1-6-2} kann man auch anders schreiben. Überlegen Sie sich, Aussage~\ref{il:8-1-6-2} kann man auch anders schreiben. Überlegen Sie sich,
dass für jeden Term $t ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden Aussage äquivalent dass für jeden Term $t ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden Aussagen äquivalent
sind. sind.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Der Term $t$ ist Vielfaches eines der Monome $f_•$. \item Der Term $t$ ist Vielfaches eines der Monome $f_•$.
@ -193,13 +193,13 @@ die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig.
Unser nächstes Ziel wird sein, Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen Unser nächstes Ziel wird sein, Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen
Idealen zu verallgemeinern. Die Grundidee ist einfach: von jedem der $f_i$ Idealen zu verallgemeinern. Die Grundidee ist einfach: von jedem der $f_i$
wählen wir einen Term aus (dieser wird später ``Leitterm'' genannt werden). wählen wir einen Term aus (dieser wird später „Leitterm“ genannt werden).
Gegeben einen Index $i$, dann addieren ein geeignetes Vielfaches von $f_i$ zu Gegeben einen Index $i$, dann addieren ein geeignetes Vielfaches von $f_i$ zu
$f$ und entfernen so alle Terme, die von dem Leitterm geteilt werden. Ich werde $f$ und entfernen so alle Terme, die von dem Leitterm geteilt werden. Ich werde
dieses Vorgehen demnächst präzisieren; zuerst möchte ich einfach nur einige dieses Vorgehen demnächst präzisieren; zuerst möchte ich einfach nur einige
Beispiele diskutieren. Beispiele diskutieren.
\begin{bsp}[Elimination von $x²$]\label{bsp:8-2-2} \begin{bsp}[Elimination von $x²$]\label{bsp:8-2-2}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei Es sei $k$ ein Körper und es sei
\[ \[
f_1 := x² + xy = x(x+y) ∈ k[x,y]. f_1 := x² + xy = x(x+y) ∈ k[x,y].
@ -207,16 +207,16 @@ Beispiele diskutieren.
Ich wähle den Term $x²$ von $f_1$. Rechnen Sie an Beispielen nach, dass ich Ich wähle den Term $x²$ von $f_1$. Rechnen Sie an Beispielen nach, dass ich
dann jedes Polynom $f ∈ k[x,y]$ in der Form $f = g_1·f_1 + h$ schreiben kann, dann jedes Polynom $f ∈ k[x,y]$ in der Form $f = g_1·f_1 + h$ schreiben kann,
wobei kein Term des Polynoms $h$ ein Vielfaches von $x²$ ist\footnote{Das wobei kein Term des Polynoms $h$ ein Vielfaches von $x²$ ist\footnote{Das
Polynom $h$ ist also von der Form $h(x,y) = h_0(y) + h_1(y)·x$.}. Der Polynom $h$ ist also von der Form $h(x,y) = h_0(y) + h_1(y)·x$.}. Der
Algebraiker schreibt Algebraiker schreibt
\[ \[
h = f - g_1·f_1 h = f - g_1·f_1
\] \]
und erklärt seiner Familie stolz, er habe ``aus $f$ alle Terme eliminiert, die und erklärt seiner Familie stolz, er habe „aus $f$ alle Terme eliminiert, die
Vielfache von $x²$ sind''. Vielfache von $x²$ sind“.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}[Elimination von $y²$]\label{bsp:8-2-3} \begin{bsp}[Elimination von $y²$]\label{bsp:8-2-3}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei Es sei $k$ ein Körper und es sei
\[ \[
f_2 = y² + xy=y(y+x) f_2 = y² + xy=y(y+x)
@ -227,20 +227,20 @@ Beispiele diskutieren.
eliminieren, die Vielfache von $y²$ sind. eliminieren, die Vielfache von $y²$ sind.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4} \begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4}%
Man könnte sich jetzt fragen, ob es möglich ist, durch Kombination der Man könnte sich jetzt fragen, ob es möglich ist, durch Kombination der
Beispiele~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} aus gegebenen Polynomen Beispiele~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} aus gegebenen Polynomen
gleichzeitig alle Terme mit $x²$ und alle Termine mit $y²$ zu eliminieren. gleichzeitig alle Terme mit $x²$ und alle Termine mit $y²$ zu eliminieren. Mit
Mit anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form
\[ \[
f = g_1·f_1 + g_2·f_2 + h f = g_1·f_1 + g_2·f_2 + h
\] \]
schreiben, sodass $h$ keine Terme mit $x²$ und gleichzeitig auch keine Terme schreiben, sodass $h$ keine Terme mit $x²$ und gleichzeitig auch keine Terme
mit $y²$ enthält? Die Antwort ist ``nein'', denn ansonsten wäre mit $y²$ enthält? Die Antwort ist „nein“, denn ansonsten wäre
\[ \[
\bigl\{ [1],[x],[y],[xy] \bigr\} ⊂ \factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)} \bigl\{ [1],[x],[y],[xy] \bigr\} ⊂ \factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}
\] \]
ein vierelementiges Erzeugendensystem von $\factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}$ als ein vier-elementiges Erzeugendensystem von $\factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}$ als
$k$-Vektorraum. Es ist aber $(f_1, f_2) ⊊ (x+y)$. Also gibt es eine $k$-Vektorraum. Es ist aber $(f_1, f_2) ⊊ (x+y)$. Also gibt es eine
Surjektion Surjektion
\begin{equation}\label{eq:8-2-4-1} \begin{equation}\label{eq:8-2-4-1}
@ -257,15 +257,14 @@ Beispiele diskutieren.
\subsection{Monomordnungen} \subsection{Monomordnungen}
Was ist der Grund, dass ich in Beobachtung~\ref{beo:8-3-4} nicht beide Leitterme Was ist der Grund, dass ich in Beobachtung~\ref{beo:8-3-4} nicht beide Leitterme
eliminieren konnte? Antwort: Die Leitterme waren schlecht gewählt. Man sollte eliminieren konnte? Antwort: Die Leitterme waren schlecht gewählt. Man sollte
die Terme ($x²$, $y²$) nicht wahllos festlegen, sondern muss sie gemäß einer die Terme ($x²$, $y²$) nicht wahllos festlegen, sondern muss sie gemäß einer
``Monomordnung'' wählen. „Monomordnung“ wählen.
\begin{defn}[Monomordnung] \begin{defn}[Monomordnung]
Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{Monomordnung}\index{Monomordnung} auf Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{Monomordnung}\index{Monomordnung} auf
$k[x_1, …, x_n]$ ist eine Wohlordnung ``$≤$'' auf der Menge der Monome, sodass $k[x_1, …, x_n]$ ist eine Wohlordnung „$≤$“ auf der Menge der Monome, sodass
für alle Monome $x^A, x^B$ und $x^C ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden für alle Monome $x^A, x^B$ und $x^C ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden
Eigenschaften gelten. Eigenschaften gelten.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -285,8 +284,8 @@ die Terme ($x²$, $y²$) nicht wahllos festlegen, sondern muss sie gemäß einer
\begin{erinnerung} \begin{erinnerung}
Eine Eine
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Totalordnung}{Totalordnung} \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Totalordnung}{Totalordnung}
ist eine Relation ``$≤$'' auf $M$, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv ist eine Relation „$≤$“ auf $M$, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und
und total ist. total ist.
\end{erinnerung} \end{erinnerung}
\begin{defn}[Leitterm] \begin{defn}[Leitterm]
@ -316,30 +315,30 @@ gewählt waren.
\begin{bsp}[Lexikografische Ordnung] \begin{bsp}[Lexikografische Ordnung]
Bei der \emph{lexikografischen Monomordnung}\index{lexikografische Bei der \emph{lexikografischen Monomordnung}\index{lexikografische
Monomordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt Monomordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n}
$x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn ein Index $i$ > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn ein Index $i$ existiert, sodass $α_i
existiert, sodass $α_i > β_i$ gilt und gleichzeitig für alle Indizes $j < i$ > β_i$ gilt und gleichzeitig für alle Indizes $j < i$ die Gleichheit $α_j =
die Gleichheit $α_j = β_j$ gilt. Kurz gesagt: Der erste Index $i$, bei dem β_j$ gilt. Kurz gesagt: Der erste Index $i$, bei dem sich die Exponenten
sich die Exponenten $α_i$ und $β_i$ unterscheiden, entscheidet. Rechnen Sie $α_i$ und $β_i$ unterscheiden, entscheidet. Rechnen Sie nach, dass dies
nach, dass dies tatsächlich eine Monomordnung ist! Die quadratischen Polynome tatsächlich eine Monomordnung ist! Die quadratischen Polynome in $k[x_1, x_2,
in $k[x_1, x_2, x_3]$ werden durch die lexikografischen Monomordnung wie folgt x_3]$ werden durch die lexikografischen Monomordnung wie folgt sortiert
sortiert
\[ \[
x²_1 > x_1 x_2 > x_1 x_3 > x²_2 > x_2x_3 > x²_3. x²_1 > x_1 x_2 > x_1 x_3 > x²_2 > x_2x_3 > x²_3.
\] \]
Vielleicht haben Ihnen ihre Großeltern schon einmal erzählt, dass es früher Vielleicht haben Ihnen ihre Großeltern schon einmal erzählt, dass es früher
statt Wikipedia dicke Bücher gab, die auf Wohnzimmerregalen verstaubten und statt Wikipedia dicke Bücher gab, die auf Wohnzimmerregalen verstaubten und
für das Haus eine erhebliche Brandlast darstellten. In diesen ``Lexika'' für das Haus eine erhebliche Brandlast darstellten. In diesen „Lexika“ waren
waren die Stichworte in ähnlicher Weise sortiert. die Stichworte in ähnlicher Weise sortiert.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}[Graduiert-lexikografische Ordnung] \begin{bsp}[Graduiert-lexikografische Ordnung]
Bei der \emph{graduiert-lexikografischen Bei der \emph{graduiert-lexikografischen
Monomordnung}\index{graduiert.-lexikografische Monomordnung} auf dem Monomordnung}\index{graduiert-lexikografische Monomordnung} auf dem
Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯
$x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt: x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$. \item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$.
\item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n}$ ist bezüglich \item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n}$ ist bezüglich
der lexikografischen Monomordnung größer als $x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$. der lexikografischen Monomordnung größer als $x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$.
\end{enumerate} \end{enumerate}
@ -347,17 +346,16 @@ gewählt waren.
der Monome, dann die lexikografische Ordnung. der Monome, dann die lexikografische Ordnung.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bsp}[Graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung]\label{bsp:8-3-12} \begin{bsp}[Graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung]\label{bsp:8-3-12}%
Bei der \emph{graduiert-rückwärtslexikografischen Bei der \emph{graduiert-rückwärts\-lexiko\-grafischen
Monomordnung}\index{graduiert-rückwärtslexikografische Monomordnung} auf dem Monomordnung}\index{graduiert-rückwärtslexikografische Monomordnung} auf dem
Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯
$x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen gilt.
beiden folgenden Bedingungen gilt.
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$. \item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$.
\item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und der letzte \item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und der letzte nicht-verschwindende Eintrag
nicht-verschwindende Eintrag von von
\[ \[
(α_1-β_1, …, α_n-β_n) ∈ ℤ^n (α_1-β_1, …, α_n-β_n) ∈ ℤ^n
\] \]
@ -379,21 +377,20 @@ gewählt waren.
Es sei $\vec{w} = (w_1, …, w_n) ∈ ℝ^n$ ein Vektor $ℚ$-linear-unabhängiger Es sei $\vec{w} = (w_1, …, w_n) ∈ ℝ^n$ ein Vektor $ℚ$-linear-unabhängiger
reeller Zahlen; wähle zum Beispiel $w_i := \log(p_i)$, wobei die $p_i$ reeller Zahlen; wähle zum Beispiel $w_i := \log(p_i)$, wobei die $p_i$
unterschiedlichen Primzahlen sind. Bei der unterschiedlichen Primzahlen sind. Bei der
\emph{Gewichtsordnung}\index{Gewichtsordnung} auf dem Polynomring \emph{Gewichtsordnung}\index{Gewichtsordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …,
$k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn
dann, wenn
\[ \[
\sum_{i=1}^n w_i·α_i ≤ \sum_{i=1}^n w_i·β_i \sum_{i=1}^n w_i·α_i ≤ \sum_{i=1}^n w_i·β_i
\] \]
ist. Die Unabhängigkeit über $ℚ$ garantiert, dass die Gleichheit ist. Die Unabhängigkeit über $ℚ$ garantiert, dass die Gleichheit $\sum w_i
$\sum w_i α_i = \sum w_i β_i$ nur dann eintritt, wenn für alle Indizes $i$ die α_i = \sum w_i β_i$ nur dann eintritt, wenn für alle Indizes $i$ die Gleichung
Gleichung $α_i = β_i$ gilt. $α_i = β_i$ gilt.
\end{bsp} \end{bsp}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Weitere Beispiele für coole Monomordnungen gibt es Weitere Beispiele für coole Monomordnungen gibt es
\href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{im \href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{im
Internet}. Es ist aber eine gute Übung, sich selber ein paar interessante Internet}. Es ist aber eine gute Übung, sich selber ein paar interessante
Beispiele für Monomordnungen zu überlegen. Beispiele für Monomordnungen zu überlegen.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
@ -402,12 +399,12 @@ gewählt waren.
Ich hatte angekündigt, das wir Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen Ich hatte angekündigt, das wir Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen
Idealen verallgemeinern werden. Damit war der folgende Satz gemeint. Im Idealen verallgemeinern werden. Damit war der folgende Satz gemeint. Im
Unterschied zur klassischen ``Polynomdivision mit Rest'' wird in diesem Satz Unterschied zur klassischen „Polynomdivision mit Rest“ wird in diesem Satz
gleichzeitig durch mehrere Polynome geteilt! Sie finden einen ähnlichen Beweis gleichzeitig durch mehrere Polynome geteilt! Sie finden einen ähnlichen Beweis
und sehr viele Beispiele im Buch \cite[Kapitel~2.3]{MR3330490}, das Sie aus dem und sehr viele Beispiele im Buch \cite[Kapitel~2.3]{MR3330490}, das Sie aus dem
Universitätsnetz kostenlos herunterladen können. Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
\begin{satz}[Schwache Division mit Rest]\label{satz:8-4-6} \begin{satz}[Schwache Division mit Rest]\label{satz:8-4-6}%
In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei eine Monomordnung $≤$ auf $k[x_1, …, x_n]$ In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei eine Monomordnung $≤$ auf $k[x_1, …, x_n]$
gewählt. Dann gibt es für jedes $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ Polynome $g_1, …, g_m$ gewählt. Dann gibt es für jedes $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ Polynome $g_1, …, g_m$
und $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass und $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass
@ -462,7 +459,7 @@ Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Im Satz~\ref{satz:8-4-6} sind die Polynome $g_1, …, g_m$ und $h$ kein bisschen Im Satz~\ref{satz:8-4-6} sind die Polynome $g_1, …, g_m$ und $h$ kein bisschen
eindeutig. Falls es Sie interessiert: Es gibt einen ``Starken Divisionssatz'' eindeutig. Falls es Sie interessiert: Es gibt einen „Starken Divisionssatz“
mit Existenz- und Eindeutigkeitsaussage, bei dem \ref{il:8-4-6-2} durch die mit Existenz- und Eindeutigkeitsaussage, bei dem \ref{il:8-4-6-2} durch die
folgende Forderung ersetzt ist. folgende Forderung ersetzt ist.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
@ -472,30 +469,26 @@ Universitätsnetz kostenlos herunterladen können.
Wir werden diesen stärkeren Divisionssatz im Folgenden aber nicht benötigen. Wir werden diesen stärkeren Divisionssatz im Folgenden aber nicht benötigen.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
\begin{defn}[Divisionsrest]\label{def:8-4-6} \begin{defn}[Divisionsrest]\label{def:8-4-6}%
In der Situation von Satz~\ref{satz:8-4-6} nennen wir jedes Element In der Situation von Satz~\ref{satz:8-4-6} nennen wir jedes Element $h ∈
$h ∈ k[x_1, …, x_n]$, für dass es $g_• ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, die den k[x_1, …, x_n]$, für dass es $g_• ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, die den Bedingungen
Bedingungen \eqref{eq:8-4-6-1}, \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} genügen, \eqref{eq:8-4-6-1}, \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} genügen, einen
einen \emph{Rest von $f$ dividiert durch $f_1, …, f_m$}. \emph{Rest von $f$ dividiert durch $f_1, …, f_m$}.
\end{defn} \end{defn}
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/ba8562a5ddff2655831b5d3bca006fbb06de626f/Divisionsreste.ipynb?viewer=share}{Hier}
zeige ich Ihnen, wie man Divisionsreste bequem mit dem Programm ``Sage'' am
Computer ausrechnet.
\section{Gröbnerbasen}
\section{Gröbner-Basen}
\sideremark{Vorlesung 10}Ich erinnere noch einmal daran, warum wir den \sideremark{Vorlesung 10}Ich erinnere noch einmal daran, warum wir den
Divisionssatz überhaupt betrachtet haben. In Situation~\ref{sit:8-1-1} wollen Divisionssatz überhaupt betrachtet haben. In Situation~\ref{sit:8-1-1} wollen
wir für gegebene Polynome $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ entscheiden, ob $f$ im Ideal $I$ wir für gegebene Polynome $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ entscheiden, ob $f$ im Ideal $I$
liegt. Dazu versuchten wir, eindeutig bestimmte Repräsentanten für die liegt. Dazu versuchten wir, eindeutig bestimmte Repräsentanten für die
Restklasse von $[f] ∈ k[x_1, …, x_n]/I$ zu finden --- wenn das funktioniert, Restklasse von $[f] ∈ k[x_1, …, x_n]/I$ zu finden. Wenn das funktioniert, dann
dann brauche ich nur die eindeutig bestimmte Repräsentanten von $[f]$ und $[0]$ brauche ich nur die eindeutig bestimmte Repräsentanten von $[f]$ und $[0]$ zu
zu vergleichen. Die Grundidee ist, als Repräsentanten den Rest von $f$ bei der vergleichen. Die Grundidee ist, als Repräsentanten den Rest von $f$ bei der
Division durch $f_1, …, f_m$ zu nehmen. Funktioniert diese Idee? Nein! Division durch $f_1, …, f_m$ zu nehmen. Funktioniert diese Idee? Nein!
\begin{bsp}\label{bsp:8-4-2} \begin{bsp}\label{bsp:8-4-2}%
Divisionsreste sind nicht eindeutig. Es kommt aber noch schlimmer: Wir Divisionsreste sind nicht eindeutig. Es kommt aber noch schlimmer: Wir
betrachten einen Körper $k$ und die lexikografische Ordnung auf $k[x_1, x_2]$ betrachten einen Körper $k$ und die lexikografische Ordnung auf $k[x_1, x_2]$
und die Polynome $f_1 := x²_1 x_2 - x²_2$ und $f_2 := x³_1$. Dann ist und die Polynome $f_1 := x²_1 x_2 - x²_2$ und $f_2 := x³_1$. Dann ist
@ -510,14 +503,13 @@ Division durch $f_1, …, f_m$ zu nehmen. Funktioniert diese Idee? Nein!
\end{bsp} \end{bsp}
Was geht in Beispiel~\ref{bsp:8-4-2} schief? Der Grund für das Versagen der Was geht in Beispiel~\ref{bsp:8-4-2} schief? Der Grund für das Versagen der
Idee ist, dass die Leitterme $\ini f_1$ und $\ini f_2$ nicht das Ideal Idee ist, dass die Leitterme $\ini f_1$ und $\ini f_2$ nicht das Ideal $\bigl(
$\bigl( \ini f \::\: f ∈ M \bigr)$ erzeugen. Das motiviert die folgende \ini f \::\: f ∈ M \bigr)$ erzeugen. Das motiviert die folgende Definition.
Definition.
\begin{defn}[Gröbnerbasis]\label{def:8-5-3} \begin{defn}[Gröbnerbasis]\label{def:8-5-3}%
In Situation~\ref{sit:8-1-1} nennt man $f_1, …,f_m$ eine \emph{Gröbnerbasis In Situation~\ref{sit:8-1-1} nennt man $f_1, …,f_m$ eine \emph{Gröbnerbasis
oder Standardbasis von $M$}\index{Gröbnerbasis}\index{Standardbasis}, wenn oder Standardbasis von $M$}\index{Gröbnerbasis}\index{Standardbasis}, wenn für
für jedes Element $f ∈ M$ die folgende Inklusion gilt, jedes Element $f ∈ M$ die folgende Inklusion gilt,
\[ \[
\ini f ∈ \bigl(\ini f_1, …, \ini f_m \bigr). \ini f ∈ \bigl(\ini f_1, …, \ini f_m \bigr).
\] \]
@ -549,19 +541,19 @@ Definition.
Gröbnerbasen wurden 1965 von Bruno Gröbnerbasen wurden 1965 von Bruno
Buchberger\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Bruno_Buchberger}{Bruno Buchberger\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Bruno_Buchberger}{Bruno
Buchberger} (* 22. Oktober 1942 in Innsbruck) ist ein österreichischer Buchberger} (* 22.~Oktober 1942 in Innsbruck) ist ein österreichischer
Mathematiker.} eingeführt, der sie nach seinem Doktorvater Wolfgang Mathematiker.} eingeführt, der sie nach seinem Doktorvater Wolfgang
Gröbner\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Gr\%C3\%B6bner}{Wolfgang Gröbner\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Gr\%C3\%B6bner}{Wolfgang
Gröbner} (2. Februar 1899 in Gossensaß – 20. August 1980) war ein Gröbner} (2.~Februar 1899 in Gossensaß – 20.~August 1980) war ein
österreichischer Mathematiker und Freidenker, der vor allem auf dem Gebiet der österreichischer Mathematiker und Freidenker, der vor allem auf dem Gebiet der
kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie arbeitete. Sein Name ist kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie arbeitete. Sein Name ist
bekannt durch die Gröbnerbasis und die Gröbner-Dualität.} benannte. Ähnliche bekannt durch die Gröbnerbasis und die Gröbner-Dualität.} benannte. Ähnliche
Ideen tauchten etwa um dieselbe Zeit auch in den geometrischen Arbeiten von Ideen tauchten etwa um dieselbe Zeit auch in den geometrischen Arbeiten von
Heisuke Heisuke
Hironaka\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Heisuke_Hironaka}{Heisuke Hironaka\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Heisuke_Hironaka}{Heisuke
Hironaka} (Hironaka Heisuke; * 9. April 1931 in Yuu, Kuga-gun (heute: Hironaka} (Hironaka Heisuke; * 9.~April 1931 in Yuu, Kuga-gun (heute: Iwakuni),
Iwakuni), Präfektur Yamaguchi, Japan) ist ein japanischer Mathematiker und Präfektur Yamaguchi, Japan) ist ein japanischer Mathematiker und Träger der
Träger der Fields-Medaille.} auf. Fields-Medaille.} auf.
\subsection{Vom Nutzen der Gröbnerbasen} \subsection{Vom Nutzen der Gröbnerbasen}
@ -570,7 +562,7 @@ Das folgende Lemma zeigt, dass Gröbnerbasen unsere Probleme lösen: Haben wir
eine Gröbnerbasis von $M$ dann kann die Frage, ob $f ∈ M$ ist, mit einer eine Gröbnerbasis von $M$ dann kann die Frage, ob $f ∈ M$ ist, mit einer
einzigen Division beantwortet werden. einzigen Division beantwortet werden.
\begin{lem}[Divisionsreste für Elemente des Untermoduls]\label{lem:8-5-6} \begin{lem}[Divisionsreste für Elemente des Untermoduls]\label{lem:8-5-6}%
In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei $f_1,…,f_m$ eine Gröbnerbasis. Gegeben ein In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei $f_1,…,f_m$ eine Gröbnerbasis. Gegeben ein
Element $f ∈ M$, dann ist jeder Rest von $f$ bei Division durch $f_1, …, f_m$ Element $f ∈ M$, dann ist jeder Rest von $f$ bei Division durch $f_1, …, f_m$
gleich $0$. gleich $0$.
@ -584,8 +576,8 @@ einzigen Division beantwortet werden.
haben, sodass die Bedingungen \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} gelten. haben, sodass die Bedingungen \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} gelten.
Wegen der Annahme $f ∈ M$ wissen dann auf der einen Seite, dass $h ∈ M$. Auf Wegen der Annahme $f ∈ M$ wissen dann auf der einen Seite, dass $h ∈ M$. Auf
der anderen Seite ist nach Bedingung~\ref{il:8-4-6-3} kein Term von $h$ ein der anderen Seite ist nach Bedingung~\ref{il:8-4-6-3} kein Term von $h$ ein
Vielfaches der Leitterme $\ini f_i$. Wegen der Annahme, dass $f_1,…,f_m$ Vielfaches der Leitterme $\ini f_i$. Wegen der Annahme, dass $f_1,…,f_m$ eine
eine Gröbnerbasis ist, ist das aber offenbar nur möglich, wenn $h = 0$ ist. Gröbnerbasis ist, ist das aber offenbar nur möglich, wenn $h = 0$ ist.
\end{proof} \end{proof}
\begin{kor}[Eindeutigkeit von Divisionsresten]\label{kor:8-5-8} \begin{kor}[Eindeutigkeit von Divisionsresten]\label{kor:8-5-8}
@ -594,15 +586,18 @@ einzigen Division beantwortet werden.
Division durch $f_1, …, f_m$. Dann ist $h_1 = h_2$. \qed Division durch $f_1, …, f_m$. Dann ist $h_1 = h_2$. \qed
\end{kor} \end{kor}
\begin{lem}[Unabhängigkeit von der Wahl der Gröbnerbasis]\label{lem:8-5-9} \begin{lem}[Unabhängigkeit von der Wahl der Gröbnerbasis]\label{lem:8-5-9}%
In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien $f_{1,1}, …, f_{1,m_1}$ und In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien
$f_{2,1}, …, f_{2, m_2}$ zwei Gröbnerbasen von $M$. Gegeben ein Element \[
f_{1,1}, …, f_{1,m_1} \quad \text{und} \quad f_{2,1}, …, f_{2, m_2}
\]
zwei Gröbnerbasen von $M$. Gegeben ein Element
$f ∈ k[x_1, …, x_n]$, sei $h_•$ der (nach Korollar~\ref{kor:8-5-8} eindeutige) $f ∈ k[x_1, …, x_n]$, sei $h_•$ der (nach Korollar~\ref{kor:8-5-8} eindeutige)
Rest von $f$ bei Division durch $f_{•,1}, …, f_{•, m_•}$. Dann ist Rest von $f$ bei Division durch $f_{•,1}, …, f_{•, m_•}$. Dann ist
$h_1 = h_2$. $h_1 = h_2$.
\end{lem} \end{lem}
\begin{proof} \begin{proof}
Nach Definition von ``Divisionsrest'' in Definition~\vref{def:8-4-6} haben die Nach Definition von „Divisionsrest“ in Definition~\vref{def:8-4-6} haben die
Elemente $h_1$ und $h_2$ (soweit sie ungleich Null sind) nur Terme, die Elemente $h_1$ und $h_2$ (soweit sie ungleich Null sind) nur Terme, die
\emph{nicht} in \emph{nicht} in
\[ \[
@ -610,7 +605,7 @@ einzigen Division beantwortet werden.
f_{2,m_2} \bigr) f_{2,m_2} \bigr)
\] \]
enthalten sind. Dasselbe gilt dann auch für die Differenz $h_1 - h_2$, die in enthalten sind. Dasselbe gilt dann auch für die Differenz $h_1 - h_2$, die in
$M$ liegt. Nach Definition~\ref{def:8-5-3} von ``Gröbnerbasis'' bedeutet das $M$ liegt. Nach Definition~\ref{def:8-5-3} von „Gröbnerbasis“ bedeutet das
aber, dass $\ini (h_1 - h_2)=0$ ist. Also ist $h_1 - h_2 = 0$ und deshalb aber, dass $\ini (h_1 - h_2)=0$ ist. Also ist $h_1 - h_2 = 0$ und deshalb
$h_1 = h_2$. $h_1 = h_2$.
\end{proof} \end{proof}
@ -621,13 +616,11 @@ Reihenfolge der Elemente in der Gröbnerbasis sind.
\subsection{Existenz von Gröbnerbasen} \subsection{Existenz von Gröbnerbasen}
Es fragt sich, ob Gröbnerbasen immer existieren. Die Antwort ist natürlich Sie fragen sich vielleicht, ob Gröbnerbasen immer existieren. Die Antwort ist
``ja'', denn Computer-Algebra-Systeme können Gröbnerbasen ausrechnen. natürlich „ja“, denn Computer-Algebra-Systeme können Gröbnerbasen ausrechnen.
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/51e021b2ea6647e808203996d4a6d70f76d829d1/Gr\%C3\%B6bnerbasen.ipynb?viewer=share}{Hier Vielleicht hätten wir aber auch gern ein theoretisches Argument.
zeige ich an einem Beispiel}, wie man das macht. Vielleicht hätten wir aber
auch gern ein theoretisches Argument.
\begin{lem}[Existenz von Gröbnerbasen]\label{lem:8-5-7} \begin{lem}[Existenz von Gröbnerbasen]\label{lem:8-5-7}%
In Situation~\ref{sit:8-1-1} existiert eine Gröbnerbasis von $I$. In Situation~\ref{sit:8-1-1} existiert eine Gröbnerbasis von $I$.
\end{lem} \end{lem}
\begin{proof} \begin{proof}
@ -637,9 +630,9 @@ auch gern ein theoretisches Argument.
fertig. fertig.
\item Falls $f_1, …, f_m$ keine Gröbnerbasis ist, dann gibt es per Annahme ein \item Falls $f_1, …, f_m$ keine Gröbnerbasis ist, dann gibt es per Annahme ein
Element $f_{m+1} ∈ I$ mit Element $f_{m+1} ∈ I$ mit $\ini f_{m+1} \not ∈ \bigl( \ini f_1, …, \ini f_m
$\ini f_{m+1} \not ∈ \bigl( \ini f_1, …, \ini f_m \bigr)$. Nehme $f_{m+1}$ \bigr)$. Nehme $f_{m+1}$ als Erzeuger mit hinzu, fange noch einmal von vorn
als Erzeuger mit hinzu, fange noch einmal von vorn an. an.
\end{itemize} \end{itemize}
Wir erhalten auf diese Weise eine aufsteigende Folge von monomialen Idealen Wir erhalten auf diese Weise eine aufsteigende Folge von monomialen Idealen
des Polynomrings $k[x_1, …, x_n]$. Weil der Polynomring aber Noethersch ist, des Polynomrings $k[x_1, …, x_n]$. Weil der Polynomring aber Noethersch ist,
@ -658,7 +651,7 @@ Verfahren, ein neues Element $f_{m+1}$ zu finden. Das Buchberger-Kriterium lös
diese Probleme für uns. Zuerst müssen wir aber noch kurz über $S$-Polynome diese Probleme für uns. Zuerst müssen wir aber noch kurz über $S$-Polynome
sprechen. sprechen.
\begin{notation}[$S$-Polynom]\label{not:8-6-1} \begin{notation}[$S$-Polynom]\label{not:8-6-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f, g ∈ k[x_1, …, x_n]$ gegeben. Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f, g ∈ k[x_1, …, x_n]$ gegeben.
Schreibe Schreibe
\[ \[
@ -678,16 +671,15 @@ sprechen.
Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende. Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende.
\begin{lem}\label{lem:8-6-2} \begin{lem}\label{lem:8-6-2}%
In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien Polynome In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien Polynome $g_1, … g_r ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{
$g_1, … g_r ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0 \}$ gegeben. Wir nehmen an, dass 0 \}$ gegeben. Wir nehmen an, dass es einen Vektor $A =(α_1, …, α_m)$ gibt,
es einen Vektor $A =(α_1, …, α_m)$ gibt, so dass die Leitterme der sodass die Leitterme der $g_•$ alle von der Form
$g_{•}$ alle von der Form
\[ \[
\ini g_{•} = b_{•}·x^A \ini g_• = b_•·x^A
\] \]
sind, mit $b_{•} ∈ k$. Weiter seien Skalare $a_1, …, a_r ∈ k$ sind, mit $b_• ∈ k$. Weiter seien Skalare $a_1, …, a_r ∈ k$ gegeben, sodass
gegeben, sodass bezüglich der Monomordnung die Ungleichung bezüglich der Monomordnung die Ungleichung
\begin{equation}\label{eq:8-6-2-1} \begin{equation}\label{eq:8-6-2-1}
\ini \left(\sum_{i=1}^{r} a_i·g_i\right)< x^A \ini \left(\sum_{i=1}^{r} a_i·g_i\right)< x^A
\end{equation} \end{equation}
@ -712,7 +704,7 @@ Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende.
\begin{align*} \begin{align*}
\sum_{i=1}^r a_i·g_i & = \sum_{i=1}^r a_ib_i·p_{i} \\ \sum_{i=1}^r a_i·g_i & = \sum_{i=1}^r a_ib_i·p_{i} \\
& = \sum_{i=1}^{r}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Teleskopsumme}\\ & = \sum_{i=1}^{r}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Teleskopsumme}\\
&=\sum_{i=1}^{r-1}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:8-6-2-2}} &=\sum_{i=1}^{r-1}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:8-6-2-2}.}
\end{align*} \end{align*}
Die $S$-Polynome sind aber per Definition gerade Die $S$-Polynome sind aber per Definition gerade
\[ \[
@ -723,7 +715,7 @@ Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende.
\end{proof} \end{proof}
\begin{satz}[Buchberger-Kriterium]\label{satz:8-6-1} \begin{satz}[Buchberger-Kriterium]\label{satz:8-6-1}%
In Situation~\ref{sit:8-1-1} sind folgende Aussagen äquivalent. In Situation~\ref{sit:8-1-1} sind folgende Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item\label{il:8-5-8-1} Die Elemente $f_1, …, f_m$ bilden eine Gröbnerbasis \item\label{il:8-5-8-1} Die Elemente $f_1, …, f_m$ bilden eine Gröbnerbasis
@ -743,18 +735,18 @@ Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende.
--- ---
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-1} $⇒$ \ref{il:8-5-8-2}'' wurde in \item Die Implikation „\ref{il:8-5-8-1} $⇒$ \ref{il:8-5-8-2}“ wurde in
Lemma~\ref{lem:8-5-6} bewiesen. Lemma~\ref{lem:8-5-6} bewiesen.
\item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-2} $⇒$ \ref{il:8-5-8-3}'' ist leicht, \item Die Implikation „\ref{il:8-5-8-2} $⇒$ \ref{il:8-5-8-3}“ ist leicht, denn
denn es ist $S_{ij} ∈ M$, so dass es immer eine Darstellung von $S_{ij}$ als es ist $S_{ij} ∈ M$, sodass es immer eine Darstellung von $S_{ij}$ als
Linearkombination der $f_•$ gibt. Linearkombination der $f_•$ gibt.
\item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-3} $⇒$ \ref{il:8-5-8-1}'' ist der \item Die Implikation „\ref{il:8-5-8-3} $⇒$ \ref{il:8-5-8-1}“ ist der
wesentliche Punkt des Beweises. Details gibt es im (sehr langen) wesentliche Punkt des Beweises. Details gibt es im (sehr langen)
\video{10-1}. Der Beweis ist mit einigen Anpassungen aus dem Skript von \video{10-1}. Der Beweis ist mit einigen Anpassungen aus dem Skript von
\href{https://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/daniel-plaumann/download/AG.pdf}{Skript \href{https://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/daniel-plaumann/download/AG.pdf}{Skript
von Daniel Plaumann} übernommen. \qedhere von Daniel Plaumann} übernommen. \qedhere
\end{itemize} \end{itemize}
\end{proof} \end{proof}
@ -802,24 +794,24 @@ gewünschte liefert.
\begin{proof}[Terminierung des Buchberger-Algorithmus] \begin{proof}[Terminierung des Buchberger-Algorithmus]
Der Schlüssel liegt in Zeile~\ref{lin:buchberger-12}. Wenn es nämlich ein Der Schlüssel liegt in Zeile~\ref{lin:buchberger-12}. Wenn es nämlich ein
Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$. Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$. Auf
Auf der anderen Seite wissen nach Definition von ``Divisionsrest'', dass der der anderen Seite wissen nach Definition von „Divisionsrest“, dass der
Leitterm $\ini h$ kein Vielfaches eines der $\ini g_•$ ist. Es gilt also Leitterm $\ini h$ kein Vielfaches eines der $\ini g_•$ ist. Es gilt also
\[ \[
(\ini g_1, …, \ini g_a) ⊊ (\ini g_1, …, \ini g_a, \ini h). (\ini g_1, …, \ini g_a) ⊊ (\ini g_1, …, \ini g_a, \ini h).
\] \]
Es folgt also, dass sich das Ideal $(g \:: g ∈ G)$ beim Durchlauf von Es folgt also, dass sich das Ideal $(g \:: g ∈ G)$ beim Durchlauf von
Zeile~\ref{lin:buchberger-12} nicht ändert, während das Ideal Zeile~\ref{lin:buchberger-12} nicht ändert, während das Ideal $(\ini g \:: g ∈
$(\ini g \:: g ∈ G)$ bei jedem Durchlauf der Zeile echt größer wird. Wegen G)$ bei jedem Durchlauf der Zeile echt größer wird. Wegen der
der Noether-Eigenschaft von $k[x_1, …, x_n]$ kann Letzteres aber nur endlich Noether-Eigenschaft von $k[x_1, …, x_n]$ kann Letzteres aber nur endlich oft
oft passieren. passieren.
\end{proof} \end{proof}
\begin{proof}[Korrektheit des Buchberger-Algorithmus] \begin{proof}[Korrektheit des Buchberger-Algorithmus]
Der Algorithmus terminiert, wenn in Zeile~\ref{lin:buchberger-12} die Menge Der Algorithmus terminiert, wenn in Zeile~\ref{lin:buchberger-12} die Menge
$S$ gleich leer ist. Das bedeutet aber, dass jedes der $S_{ij}$ einen $S$ gleich leer ist. Das bedeutet aber, dass jedes der $S_{ij}$ einen
Divisionsrest hat, der gleich 0 ist. Nach dem Buchberger-Kriterium ist dies Divisionsrest hat, der gleich 0 ist. Nach dem Buchberger-Kriterium ist dies
gleichbedeutend damit, dass $G$ eine Gröbner-Basis ist. gleichbedeutend damit, dass $G$ eine Gröbnerbasis ist.
\end{proof} \end{proof}
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
@ -833,9 +825,9 @@ gewünschte liefert.
schnell, dass sowohl die Anordnung der $f_•$ als auch die Wahl der schnell, dass sowohl die Anordnung der $f_•$ als auch die Wahl der
Monomordnung einen riesigen Einfluss auf die Laufzeit hat. Es scheint, dass Monomordnung einen riesigen Einfluss auf die Laufzeit hat. Es scheint, dass
die graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung häufig recht gut abschneidet. die graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung häufig recht gut abschneidet.
Es gibt aber kaum quantitative Ergebnisse in dieser Richtung. Es gibt meines Es gibt aber kaum quantitative Ergebnisse in dieser Richtung. Soweit mir
Wissens kein Verfahren, mit dem man vorab entscheiden könnte, welche Anordnung bekannt ist, gibt es kein Verfahren, mit dem man vorab entscheiden könnte,
und welche Monomordnung für ein gegebenes Problem gut ist. welche Anordnung und welche Monomordnung für ein gegebenes Problem gut ist.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}
@ -843,14 +835,14 @@ gewünschte liefert.
Das folgende Beispiel habe ich aus dem Das folgende Beispiel habe ich aus dem
\href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{Skript \href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{Skript
des Mannheimer Kollegen Seiler} gestohlen. Ich hoffe, Kollege Seiler hat sich des Mannheimer Kollegen Seiler} gestohlen. Ich hoffe, Kollege Seiler hat sich
nicht verrechnet und ich habe richtig abgeschrieben. Wir starten mit dem Körper nicht verrechnet und ich habe richtig abgeschrieben. Wir starten mit dem Körper
$ℚ$, dem Polynomring $ℚ[x,y]$ und verwenden die graduiert-lexikografische $ℚ$, dem Polynomring $ℚ[x,y]$ und verwenden die graduiert-lexikografische
Monomordnung. Es sei Monomordnung. Es sei
\[ \[
f_1 = x³ - 2·xy \quad\text{und}\quad f_2 = x²y - 2·y² + x. f_1 = x³ - 2·xy \quad\text{und}\quad f_2 = x²y - 2·y² + x.
\] \]
Wir wollen eine Gröbner-Basis des Ideals $(f_1, f_2)$ bestimmen und wenden zu Wir wollen eine Gröbnerbasis des Ideals $(f_1, f_2)$ bestimmen und wenden zu
diesem Zweck den Buchberger-Algorithmus an. diesem Zweck den Buchberger-Algorithmus an.
\paragraph{Erster Schleifendurchgang:} schreibe \paragraph{Erster Schleifendurchgang:} schreibe
@ -861,7 +853,7 @@ und berechne
\[ \[
S_{1,2} = y·g_1 - x·g_2 = -x². S_{1,2} = y·g_1 - x·g_2 = -x².
\] \]
Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} den Als Nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} den
Divisionsrest, Divisionsrest,
\[ \[
S_{1,2} = 0·g_1 + 0·g_2 + (-x²). S_{1,2} = 0·g_1 + 0·g_2 + (-x²).
@ -881,7 +873,7 @@ und berechne
S_{2,3} & = & g_2 + y·g_3 & = & -2·y²+x. S_{2,3} & = & g_2 + y·g_3 & = & -2·y²+x.
\end{matrix} \end{matrix}
\] \]
Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die Als Nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die
Divisionsreste, Divisionsreste,
\[ \[
\begin{matrix} \begin{matrix}
@ -909,10 +901,10 @@ und berechne
S_{2,5} & = & y·g_2 + \frac{1}{2}x²·g_5 &=& \frac{1}{2}·x³ + x·y -2·y³ \\ S_{2,5} & = & y·g_2 + \frac{1}{2}x²·g_5 &=& \frac{1}{2}·x³ + x·y -2·y³ \\
S_{3,4} & = & -y·g_3 - \frac{1}{2}·x·g_4 &=& 0 \\ S_{3,4} & = & -y·g_3 - \frac{1}{2}·x·g_4 &=& 0 \\
S_{3,5} & = & -y²·g_{3}- \frac{1}{2}·x²·g_{5} &=& \frac{1}{2}·x³ \\ S_{3,5} & = & -y²·g_{3}- \frac{1}{2}·x²·g_{5} &=& \frac{1}{2}·x³ \\
S_{4,5} & = & -\frac{1}{2}·y·g_4 - \frac{1}{2}·x·g_5 &=& \frac{1}{2}·x² S_{4,5} & = & -\frac{1}{2}·y·g_4 - \frac{1}{2}·x·g_5 &=& \frac{1}{2}·x².
\end{matrix} \end{matrix}
\] \]
Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die Als Nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die
Divisionsreste,\setcounter{MaxMatrixCols}{20} Divisionsreste,\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
\[ \[
\begin{matrix} \begin{matrix}
@ -925,7 +917,7 @@ Divisionsreste,\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
S_{2,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& y·g_5 &+& 0 \\ S_{2,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& y·g_5 &+& 0 \\
S_{3,4} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\ S_{3,4} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\
S_{3,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\ S_{3,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\
S_{4,5} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& \frac{-1}{2}·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 S_{4,5} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& \frac{-1}{2}·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0.
\end{matrix} \end{matrix}
\] \]
Voilà! Alle Divisionsreste sind Null, also ist $(g_1, g_2, g_3, g_4, g_5)$ eine Voilà! Alle Divisionsreste sind Null, also ist $(g_1, g_2, g_3, g_4, g_5)$ eine
@ -936,12 +928,12 @@ Gröbnerbasis des Ideals $(f_1, f_2)$.
\begin{bemerkung} \begin{bemerkung}
Das Beispiel zeigt eindrücklich, dass man solche Aufgaben besser dem Computer Das Beispiel zeigt eindrücklich, dass man solche Aufgaben besser dem Computer
überlässt. Es gibt noch ein weiteres Problem, dass in diesem Beispiel nicht überlässt. Es gibt noch ein weiteres Problem, dass in diesem Beispiel nicht
offensichtlich wird: der Algorithmus verlangt exaktes Rechnen, offensichtlich wird: Der Algorithmus verlangt exaktes Rechnen,
Näherungslösungen funktionieren nicht! Das wird ein riesiges Problem bei Näherungslösungen funktionieren nicht! Das wird ein riesiges Problem bei
Rechnungen über dem Körper $ℚ$, denn beim Addieren von Brüchen werden Nenner Rechnungen über dem Körper $ℚ$, denn beim Addieren von Brüchen werden Nenner
und Zähler immer größer und komplizierter. Die Zahlen werden in der Praxis und Zähler immer größer und komplizierter. Die Zahlen werden in der Praxis
oft so lang, dass der Hauptspeicher nicht ausreicht --- und zwar unabhängig oft so lang, dass der Hauptspeicher nicht ausreicht, und zwar unabhängig
davon, auf welchem Rechner sie arbeiten! Dieses Problem tritt bei Rechnungen von der Größe des Hauptspeichers! Dieses Problem tritt bei Rechnungen
mit endlichen Körpern wie $𝔽_3$ natürlich nicht auf. mit endlichen Körpern wie $𝔽_3$ natürlich nicht auf.
\end{bemerkung} \end{bemerkung}