From 9211031e5bbff62c482efbd70c81ac6947461ba0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Tue, 9 May 2023 11:13:56 +0200 Subject: [PATCH] Clean up Section 8 --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 29 ++ .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 5 + 08.tex | 306 ++++++++++---------- 3 files changed, 183 insertions(+), 157 deletions(-) diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt index 5f78910..a31f929 100644 --- a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -85,3 +85,32 @@ Grothendieck Saint-Lizier Saint-Girons Ariège +Gradabschätzungen +Monomiale +monomialen +Monom +Monome +Monomen +monomial +monomiale +Quotientenringes +Monomordnungen +vier-elementiges +Monomordnung +Initialterm +graduiert-rückwärtslexikografischen +rückwärtslexikografische +Rückwärtslexika +Eindeutigkeitsaussage +Gröbnerbasis +Gröbner +Gossensaß +Gröbner-Dualität +Heisuke +Hironaka +Yuu +Kuga-gun +Iwakuni +Yamaguchi +Teleskopsumme +graduiert-rückwärtslexikografische diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt index 2486449..d92aa43 100644 --- a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -12,3 +12,8 @@ {"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\Q\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q (* als Georg oder Juri Rabinowitsch 25. März 1886 in Odessa; † 10. Oktober 1968 in Ann Arbor) war ein russisch-US-amerikanischer Mathematiker und theoretischer Physiker.\\E$"} {"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qlightgray Algebra Geometrie Radikalideale algebraische Mengen maximale Ideale Punkte Primideale irreduzible Mengen Radikalideale sind Durchschnitte von Primidealen Zerlegung von algebraischen Mengen in irreduzible Komponenten Noether-Eigenschaft des Polynomrings Existenz von Zerlegungen\\E$"} {"rule":"IDEN_IDEEN","sentence":"^\\QBeeinflusst durch politische Ideen des Mai 1968 in Frankreich, zog er sich bereits um 1970 weitgehend aus seiner zentralen Position im mathematischen Leben von Paris zurück.\\E$"} +{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QLiegt mein Element im Ideal?.\\E$"} +{"rule":"WHITESPACE_RULE","sentence":"^\\QSituation \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q–\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gelten Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, …, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Schwache Division mit Rest Statt eines abstrakten Existenzsatzes finden Sie in Algorithmus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine konkrete Vorschrift zur Berechnung der Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QSituation \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, sodass \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q–\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q gelten Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q, …, \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Setze \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q Schwache Division mit Rest Statt eines abstrakten Existenzsatzes finden Sie in Algorithmus \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q eine konkrete Vorschrift zur Berechnung der Polynome \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q und \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Implikation “\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q” ist der wesentliche Punkt des Beweises.\\E$"} +{"rule":"GERMAN_WORD_REPEAT_BEGINNING_RULE","sentence":"^\\QDie Implikation „\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q“ ist der wesentliche Punkt des Beweises.\\E$"} diff --git a/08.tex b/08.tex index d4ffbff..3a65ce8 100644 --- a/08.tex +++ b/08.tex @@ -47,29 +47,29 @@ verwendet. Gradabschätzungen für potenzielle Polynome $g_i$ gibt es. Sie wurden meines Wissens nach zuerst 1926 von Grete Hermann\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Grete_Hermann}{Grete - Hermann} oder Grete Henry oder Grete Henry-Hermann (* 2. März 1901 in - Bremen; † 15. April 1984 in Bremen) war eine deutsche Mathematikerin, - Physikerin, Philosophin und Pädagogin, die mit Physikern wie Werner Heisenberg - und anderen Wissenschaftlern ihrer Zeit in Diskussion über die Entwicklung vor - allem der modernen Quantenphysik stand.} bewiesen, die in Freiburg studierte, +Hermann} oder Grete Henry oder Grete Henry-Hermann (* 2.~März 1901 in Bremen; † +15.~April 1984 in Bremen) war eine deutsche Mathematikerin, Physikerin, +Philosophin und Pädagogin, die mit Physikern wie Werner Heisenberg und anderen +Wissenschaftlern ihrer Zeit in Diskussion über die Entwicklung vor allem der +modernen Quantenphysik stand.} bewiesen, die in Freiburg studierte, \cite{MR1512302}. Inzwischen wurden die Abschätzung zwar dramatisch verbessert, \cite{MR944576}, liefern aber nach wie vor kein praktisch brauchbares Verfahren. In dieser Vorlesung soll daher eine andere Methode vorgestellt werden, die sich -gut für die Implementierung auf Computern eignet. Dazu ändere ich +gut für die Implementierung auf Computern eignet. Dazu ändere ich die Frage~\ref{frage:8-0-1} etwas ab. -\begin{frage}\label{frage:8-1-3} - In der Situation aus Frage~\ref{frage:8-0-1}, kann ich für jedes Polynom - $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ einen ``kanonischen Repräsentanten'' der Restklasse +\begin{frage}\label{frage:8-1-3}% + In der Situation aus Frage~\ref{frage:8-0-1}, kann ich für jedes Polynom $f ∈ + k[x_1, …, x_n]$ einen „kanonischen Repräsentanten“ der Restklasse \[ [f] ∈ \factor{k[x_1, …, x_n]}{I} \] finden, der idealerweise in der Praxis auch noch gut berechenbar ist? \end{frage} -Falls ich Frage~\ref{frage:8-1-3} positiv beantworten kann, kann ich das Ideal -Membership Problem lösen. Gegeben ein Polynom $f$, dann berechne ich einfach -die kanonischen Repräsentanten für die Restklassen $[f]$ und $[0]$ und +Falls ich die Frage~\ref{frage:8-1-3} positiv beantworten kann, kann ich das +Ideal Membership Problem lösen. Gegeben ein Polynom $f$, dann berechne ich +einfach die kanonischen Repräsentanten für die Restklassen $[f]$ und $[0]$ und vergleiche diese. Dann gilt offenbar: Das Polynom $f$ ist genau dann in $I$, wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind. So einfach ist das. @@ -77,8 +77,8 @@ wenn die kanonischen Repräsentanten gleich sind. So einfach ist das. \section{Monomiale Ideale} Um nicht sofort ins kalte Wasser zu springen, beantworten wir -Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von ``monomialen Idealen''. -Was das sein soll, erkläre ich jetzt. +Frage~\ref{frage:8-1-3} zuerst im einfachen Fall von „monomialen Idealen“. Was +das sein soll, erkläre ich jetzt. \begin{definition}[Monome, Terme] Es sei $k$ ein Körper. Ein \emph{Monom}\index{Monom!im Polynomring} ist ein @@ -103,17 +103,17 @@ Was das sein soll, erkläre ich jetzt. \begin{notation}[Multi-Index-Schreibweise] Beim Umgang mit Monomen verwenden wir oft Multi-Index-Schreibweise: Statt - $x_1^{α_1}·x_2^{α_2}⋯ x_n^{α_m}$ schreibe ich kurz $x^A$. Dabei soll - $A =(α_1, …, α_m)$ und $x = (x_1, …, x_n)$ sein. Manchmal schreibe ich + $x_1^{α_1}·x_2^{α_2}⋯ x_n^{α_m}$ schreibe ich kurz $x^A$. Dabei soll $A + =(α_1, …, α_m)$ und $x = (x_1, …, x_n)$ sein. Manchmal schreibe ich vielleicht auch $\vec{A}$ und $\vec{x}$. \end{notation} \begin{beobachtung} - Es sei $k$ ein Körper und es seien $A =(α_1, …, α_m)$ und - $B =(β_1, …, β_m) ∈ ℕ^m$, mit zugehörigen Monomen $x^A$ und - $x^B ∈ k[x_1, …, x_n]$. Dann gilt Folgendes. + Es sei $k$ ein Körper und es seien $A =(α_1, …, α_m)$ und $B =(β_1, …, β_m) ∈ + ℕ^m$, mit zugehörigen Monomen $x^A$ und $x^B ∈ k[x_1, …, x_n]$. Dann gilt + Folgendes. \begin{enumerate} - \item Es ist $x^A · x^B = x^{A+B}$ + \item Es ist $x^A · x^B = x^{A+B}$. \item Das Monom $x^A$ teilt $x^B$ genau dann, wenn für alle Indizes $i$ die Ungleichung $a_i ≤ b_i$ gilt. @@ -125,15 +125,15 @@ Was das sein soll, erkläre ich jetzt. \end{beobachtung} \begin{definition}[Monimiales Ideal] - Es sei $k$ ein Körper. Ein Ideal $J ⊂ k[x_1, …, x_n]$ heißt + Wieder sei $k$ ein Körper. Ein Ideal $J ⊂ k[x_1, …, x_n]$ heißt \emph{monomial}\index{monomiales Ideal}, wenn es Monome $M_1, …, M_a$ gibt, sodass die Gleichheit $J = (M_1, …, M_a)$ gilt. \end{definition} Für monomiale Ideale mit gegebenem Satz von Erzeugern löst das folgende Lemma -die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig. +die Aufgabe „finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten“ vollständig. -\begin{lem}[Division mit Rest für monomiale Ideale]\label{lem:8-1-6} +\begin{lem}[Division mit Rest für monomiale Ideale]\label{lem:8-1-6}% In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien die $f_1, …, f_m$ Monome. Dann gibt es zu jedem Polynom $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ genau ein $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass Folgendes gilt. @@ -141,8 +141,8 @@ die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig. \item\label{il:8-1-6-1} Die Restklassen der Polynome $f$ und $h$ im Quotientenring $\factor{k[x_1, …, x_n]}{I}$ sind gleich. - \item\label{il:8-1-6-2} Kein Term von $h$ wird von einem der Monome - $f_•$ geteilt. + \item\label{il:8-1-6-2} Kein Term von $h$ wird von einem der Monome $f_•$ + geteilt. \end{enumerate} \end{lem} \begin{proof} @@ -159,16 +159,16 @@ die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig. gilt. Die Polynome $g_i$ sind aber kein bisschen eindeutig, denn selbst für das Nullpolynom gibt es immer die Darstellungen \[ - 0 = 0 · f_1 + 0 · f_2 = f_2·f_1 - f_1·f_2. + 0 = 0·f_1 + 0·f_2 = f_2·f_1 - f_1·f_2. \] Überlegen Sie sich, dass die $g_i$ eindeutig festgelegt sind, wenn man zusätzlich verlangt, dass für jeden Index $j$ kein Term von $g_j·f_j$ ein Vielfaches von einem der Monome $f_1, …, f_{j-1}$ ist. \end{bemerkung} -\begin{bemerkung}\label{bem:8-2-9} +\begin{bemerkung}\label{bem:8-2-9}% Aussage~\ref{il:8-1-6-2} kann man auch anders schreiben. Überlegen Sie sich, - dass für jeden Term $t ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden Aussage äquivalent + dass für jeden Term $t ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden Aussagen äquivalent sind. \begin{enumerate} \item Der Term $t$ ist Vielfaches eines der Monome $f_•$. @@ -193,13 +193,13 @@ die Aufgabe ``finde einen möglichst kanonischen Repräsentanten'' vollständig. Unser nächstes Ziel wird sein, Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen Idealen zu verallgemeinern. Die Grundidee ist einfach: von jedem der $f_i$ -wählen wir einen Term aus (dieser wird später ``Leitterm'' genannt werden). +wählen wir einen Term aus (dieser wird später „Leitterm“ genannt werden). Gegeben einen Index $i$, dann addieren ein geeignetes Vielfaches von $f_i$ zu $f$ und entfernen so alle Terme, die von dem Leitterm geteilt werden. Ich werde dieses Vorgehen demnächst präzisieren; zuerst möchte ich einfach nur einige Beispiele diskutieren. -\begin{bsp}[Elimination von $x²$]\label{bsp:8-2-2} +\begin{bsp}[Elimination von $x²$]\label{bsp:8-2-2}% Es sei $k$ ein Körper und es sei \[ f_1 := x² + xy = x(x+y) ∈ k[x,y]. @@ -207,16 +207,16 @@ Beispiele diskutieren. Ich wähle den Term $x²$ von $f_1$. Rechnen Sie an Beispielen nach, dass ich dann jedes Polynom $f ∈ k[x,y]$ in der Form $f = g_1·f_1 + h$ schreiben kann, wobei kein Term des Polynoms $h$ ein Vielfaches von $x²$ ist\footnote{Das - Polynom $h$ ist also von der Form $h(x,y) = h_0(y) + h_1(y)·x$.}. Der + Polynom $h$ ist also von der Form $h(x,y) = h_0(y) + h_1(y)·x$.}. Der Algebraiker schreibt \[ h = f - g_1·f_1 \] - und erklärt seiner Familie stolz, er habe ``aus $f$ alle Terme eliminiert, die - Vielfache von $x²$ sind''. + und erklärt seiner Familie stolz, er habe „aus $f$ alle Terme eliminiert, die + Vielfache von $x²$ sind“. \end{bsp} -\begin{bsp}[Elimination von $y²$]\label{bsp:8-2-3} +\begin{bsp}[Elimination von $y²$]\label{bsp:8-2-3}% Es sei $k$ ein Körper und es sei \[ f_2 = y² + xy=y(y+x) @@ -227,20 +227,20 @@ Beispiele diskutieren. eliminieren, die Vielfache von $y²$ sind. \end{bsp} -\begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4} +\begin{beobachtung}\label{beo:8-3-4}% Man könnte sich jetzt fragen, ob es möglich ist, durch Kombination der Beispiele~\ref{bsp:8-2-2} und \ref{bsp:8-2-3} aus gegebenen Polynomen - gleichzeitig alle Terme mit $x²$ und alle Termine mit $y²$ zu eliminieren. - Mit anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form + gleichzeitig alle Terme mit $x²$ und alle Termine mit $y²$ zu eliminieren. Mit + anderen Worten: kann ich jedes Polynom $f$ in der Form \[ f = g_1·f_1 + g_2·f_2 + h \] schreiben, sodass $h$ keine Terme mit $x²$ und gleichzeitig auch keine Terme - mit $y²$ enthält? Die Antwort ist ``nein'', denn ansonsten wäre + mit $y²$ enthält? Die Antwort ist „nein“, denn ansonsten wäre \[ \bigl\{ [1],[x],[y],[xy] \bigr\} ⊂ \factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)} \] - ein vierelementiges Erzeugendensystem von $\factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}$ als + ein vier-elementiges Erzeugendensystem von $\factor{k[x, y]}{(f_1, f_2)}$ als $k$-Vektorraum. Es ist aber $(f_1, f_2) ⊊ (x+y)$. Also gibt es eine Surjektion \begin{equation}\label{eq:8-2-4-1} @@ -257,15 +257,14 @@ Beispiele diskutieren. \subsection{Monomordnungen} - Was ist der Grund, dass ich in Beobachtung~\ref{beo:8-3-4} nicht beide Leitterme eliminieren konnte? Antwort: Die Leitterme waren schlecht gewählt. Man sollte die Terme ($x²$, $y²$) nicht wahllos festlegen, sondern muss sie gemäß einer -``Monomordnung'' wählen. +„Monomordnung“ wählen. \begin{defn}[Monomordnung] Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{Monomordnung}\index{Monomordnung} auf - $k[x_1, …, x_n]$ ist eine Wohlordnung ``$≤$'' auf der Menge der Monome, sodass + $k[x_1, …, x_n]$ ist eine Wohlordnung „$≤$“ auf der Menge der Monome, sodass für alle Monome $x^A, x^B$ und $x^C ∈ k[x_1, …, x_n]$ die folgenden Eigenschaften gelten. \begin{enumerate} @@ -285,8 +284,8 @@ die Terme ($x²$, $y²$) nicht wahllos festlegen, sondern muss sie gemäß einer \begin{erinnerung} Eine \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Ordnungsrelation#Totalordnung}{Totalordnung} - ist eine Relation ``$≤$'' auf $M$, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv - und total ist. + ist eine Relation „$≤$“ auf $M$, die reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und + total ist. \end{erinnerung} \begin{defn}[Leitterm] @@ -316,30 +315,30 @@ gewählt waren. \begin{bsp}[Lexikografische Ordnung] Bei der \emph{lexikografischen Monomordnung}\index{lexikografische - Monomordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt - $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn ein Index $i$ - existiert, sodass $α_i > β_i$ gilt und gleichzeitig für alle Indizes $j < i$ - die Gleichheit $α_j = β_j$ gilt. Kurz gesagt: Der erste Index $i$, bei dem - sich die Exponenten $α_i$ und $β_i$ unterscheiden, entscheidet. Rechnen Sie - nach, dass dies tatsächlich eine Monomordnung ist! Die quadratischen Polynome - in $k[x_1, x_2, x_3]$ werden durch die lexikografischen Monomordnung wie folgt - sortiert + Monomordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} + > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn ein Index $i$ existiert, sodass $α_i + > β_i$ gilt und gleichzeitig für alle Indizes $j < i$ die Gleichheit $α_j = + β_j$ gilt. Kurz gesagt: Der erste Index $i$, bei dem sich die Exponenten + $α_i$ und $β_i$ unterscheiden, entscheidet. Rechnen Sie nach, dass dies + tatsächlich eine Monomordnung ist! Die quadratischen Polynome in $k[x_1, x_2, + x_3]$ werden durch die lexikografischen Monomordnung wie folgt sortiert \[ x²_1 > x_1 x_2 > x_1 x_3 > x²_2 > x_2x_3 > x²_3. \] Vielleicht haben Ihnen ihre Großeltern schon einmal erzählt, dass es früher statt Wikipedia dicke Bücher gab, die auf Wohnzimmerregalen verstaubten und - für das Haus eine erhebliche Brandlast darstellten. In diesen ``Lexika'' - waren die Stichworte in ähnlicher Weise sortiert. + für das Haus eine erhebliche Brandlast darstellten. In diesen „Lexika“ waren + die Stichworte in ähnlicher Weise sortiert. \end{bsp} \begin{bsp}[Graduiert-lexikografische Ordnung] Bei der \emph{graduiert-lexikografischen - Monomordnung}\index{graduiert.-lexikografische Monomordnung} auf dem - Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt - $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt: + Monomordnung}\index{graduiert-lexikografische Monomordnung} auf dem + Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ + x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt: \begin{enumerate} \item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$. + \item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n}$ ist bezüglich der lexikografischen Monomordnung größer als $x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$. \end{enumerate} @@ -347,17 +346,16 @@ gewählt waren. der Monome, dann die lexikografische Ordnung. \end{bsp} -\begin{bsp}[Graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung]\label{bsp:8-3-12} - Bei der \emph{graduiert-rückwärtslexikografischen - Monomordnung}\index{graduiert-rückwärtslexikografische Monomordnung} auf dem - Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt - $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der - beiden folgenden Bedingungen gilt. +\begin{bsp}[Graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung]\label{bsp:8-3-12}% + Bei der \emph{graduiert-rückwärts\-lexiko\-grafischen + Monomordnung}\index{graduiert-rückwärtslexikografische Monomordnung} auf dem + Polynomring $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ + x_n^{β_n}$ genau dann, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen gilt. \begin{itemize} \item Es ist $\sum α_i > \sum β_i$. - \item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und der letzte - nicht-verschwindende Eintrag von + \item Es ist $\sum α_i = \sum β_i$ und der letzte nicht-verschwindende Eintrag + von \[ (α_1-β_1, …, α_n-β_n) ∈ ℤ^n \] @@ -379,21 +377,20 @@ gewählt waren. Es sei $\vec{w} = (w_1, …, w_n) ∈ ℝ^n$ ein Vektor $ℚ$-linear-unabhängiger reeller Zahlen; wähle zum Beispiel $w_i := \log(p_i)$, wobei die $p_i$ unterschiedlichen Primzahlen sind. Bei der - \emph{Gewichtsordnung}\index{Gewichtsordnung} auf dem Polynomring - $k[x_1, …, x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau - dann, wenn + \emph{Gewichtsordnung}\index{Gewichtsordnung} auf dem Polynomring $k[x_1, …, + x_n]$ gilt $x_1^{α_1} ⋯ x_n^{α_n} > x_1^{β_1} ⋯ x_n^{β_n}$ genau dann, wenn \[ \sum_{i=1}^n w_i·α_i ≤ \sum_{i=1}^n w_i·β_i \] - ist. Die Unabhängigkeit über $ℚ$ garantiert, dass die Gleichheit - $\sum w_i α_i = \sum w_i β_i$ nur dann eintritt, wenn für alle Indizes $i$ die - Gleichung $α_i = β_i$ gilt. + ist. Die Unabhängigkeit über $ℚ$ garantiert, dass die Gleichheit $\sum w_i + α_i = \sum w_i β_i$ nur dann eintritt, wenn für alle Indizes $i$ die Gleichung + $α_i = β_i$ gilt. \end{bsp} \begin{bemerkung} Weitere Beispiele für coole Monomordnungen gibt es \href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{im - Internet}. Es ist aber eine gute Übung, sich selber ein paar interessante + Internet}. Es ist aber eine gute Übung, sich selber ein paar interessante Beispiele für Monomordnungen zu überlegen. \end{bemerkung} @@ -402,12 +399,12 @@ gewählt waren. Ich hatte angekündigt, das wir Lemma~\ref{lem:8-1-6} auf den Fall von beliebigen Idealen verallgemeinern werden. Damit war der folgende Satz gemeint. Im -Unterschied zur klassischen ``Polynomdivision mit Rest'' wird in diesem Satz +Unterschied zur klassischen „Polynomdivision mit Rest“ wird in diesem Satz gleichzeitig durch mehrere Polynome geteilt! Sie finden einen ähnlichen Beweis und sehr viele Beispiele im Buch \cite[Kapitel~2.3]{MR3330490}, das Sie aus dem Universitätsnetz kostenlos herunterladen können. -\begin{satz}[Schwache Division mit Rest]\label{satz:8-4-6} +\begin{satz}[Schwache Division mit Rest]\label{satz:8-4-6}% In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei eine Monomordnung $≤$ auf $k[x_1, …, x_n]$ gewählt. Dann gibt es für jedes $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ Polynome $g_1, …, g_m$ und $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, sodass @@ -462,7 +459,7 @@ Universitätsnetz kostenlos herunterladen können. \begin{bemerkung} Im Satz~\ref{satz:8-4-6} sind die Polynome $g_1, …, g_m$ und $h$ kein bisschen - eindeutig. Falls es Sie interessiert: Es gibt einen ``Starken Divisionssatz'' + eindeutig. Falls es Sie interessiert: Es gibt einen „Starken Divisionssatz“ mit Existenz- und Eindeutigkeitsaussage, bei dem \ref{il:8-4-6-2} durch die folgende Forderung ersetzt ist. \begin{enumerate} @@ -472,30 +469,26 @@ Universitätsnetz kostenlos herunterladen können. Wir werden diesen stärkeren Divisionssatz im Folgenden aber nicht benötigen. \end{bemerkung} -\begin{defn}[Divisionsrest]\label{def:8-4-6} - In der Situation von Satz~\ref{satz:8-4-6} nennen wir jedes Element - $h ∈ k[x_1, …, x_n]$, für dass es $g_• ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, die den - Bedingungen \eqref{eq:8-4-6-1}, \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} genügen, - einen \emph{Rest von $f$ dividiert durch $f_1, …, f_m$}. +\begin{defn}[Divisionsrest]\label{def:8-4-6}% + In der Situation von Satz~\ref{satz:8-4-6} nennen wir jedes Element $h ∈ + k[x_1, …, x_n]$, für dass es $g_• ∈ k[x_1, …, x_n]$ gibt, die den Bedingungen + \eqref{eq:8-4-6-1}, \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} genügen, einen + \emph{Rest von $f$ dividiert durch $f_1, …, f_m$}. \end{defn} -\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/ba8562a5ddff2655831b5d3bca006fbb06de626f/Divisionsreste.ipynb?viewer=share}{Hier} -zeige ich Ihnen, wie man Divisionsreste bequem mit dem Programm ``Sage'' am -Computer ausrechnet. - -\section{Gröbner-Basen} +\section{Gröbnerbasen} \sideremark{Vorlesung 10}Ich erinnere noch einmal daran, warum wir den Divisionssatz überhaupt betrachtet haben. In Situation~\ref{sit:8-1-1} wollen wir für gegebene Polynome $f ∈ k[x_1, …, x_n]$ entscheiden, ob $f$ im Ideal $I$ liegt. Dazu versuchten wir, eindeutig bestimmte Repräsentanten für die -Restklasse von $[f] ∈ k[x_1, …, x_n]/I$ zu finden --- wenn das funktioniert, -dann brauche ich nur die eindeutig bestimmte Repräsentanten von $[f]$ und $[0]$ -zu vergleichen. Die Grundidee ist, als Repräsentanten den Rest von $f$ bei der +Restklasse von $[f] ∈ k[x_1, …, x_n]/I$ zu finden. Wenn das funktioniert, dann +brauche ich nur die eindeutig bestimmte Repräsentanten von $[f]$ und $[0]$ zu +vergleichen. Die Grundidee ist, als Repräsentanten den Rest von $f$ bei der Division durch $f_1, …, f_m$ zu nehmen. Funktioniert diese Idee? Nein! -\begin{bsp}\label{bsp:8-4-2} +\begin{bsp}\label{bsp:8-4-2}% Divisionsreste sind nicht eindeutig. Es kommt aber noch schlimmer: Wir betrachten einen Körper $k$ und die lexikografische Ordnung auf $k[x_1, x_2]$ und die Polynome $f_1 := x²_1 x_2 - x²_2$ und $f_2 := x³_1$. Dann ist @@ -510,14 +503,13 @@ Division durch $f_1, …, f_m$ zu nehmen. Funktioniert diese Idee? Nein! \end{bsp} Was geht in Beispiel~\ref{bsp:8-4-2} schief? Der Grund für das Versagen der -Idee ist, dass die Leitterme $\ini f_1$ und $\ini f_2$ nicht das Ideal -$\bigl( \ini f \::\: f ∈ M \bigr)$ erzeugen. Das motiviert die folgende -Definition. +Idee ist, dass die Leitterme $\ini f_1$ und $\ini f_2$ nicht das Ideal $\bigl( +\ini f \::\: f ∈ M \bigr)$ erzeugen. Das motiviert die folgende Definition. -\begin{defn}[Gröbnerbasis]\label{def:8-5-3} +\begin{defn}[Gröbnerbasis]\label{def:8-5-3}% In Situation~\ref{sit:8-1-1} nennt man $f_1, …,f_m$ eine \emph{Gröbnerbasis - oder Standardbasis von $M$}\index{Gröbnerbasis}\index{Standardbasis}, wenn - für jedes Element $f ∈ M$ die folgende Inklusion gilt, + oder Standardbasis von $M$}\index{Gröbnerbasis}\index{Standardbasis}, wenn für + jedes Element $f ∈ M$ die folgende Inklusion gilt, \[ \ini f ∈ \bigl(\ini f_1, …, \ini f_m \bigr). \] @@ -549,19 +541,19 @@ Definition. Gröbnerbasen wurden 1965 von Bruno Buchberger\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Bruno_Buchberger}{Bruno - Buchberger} (* 22. Oktober 1942 in Innsbruck) ist ein österreichischer - Mathematiker.} eingeführt, der sie nach seinem Doktorvater Wolfgang +Buchberger} (* 22.~Oktober 1942 in Innsbruck) ist ein österreichischer +Mathematiker.} eingeführt, der sie nach seinem Doktorvater Wolfgang Gröbner\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Gr\%C3\%B6bner}{Wolfgang - Gröbner} (2. Februar 1899 in Gossensaß – 20. August 1980) war ein - österreichischer Mathematiker und Freidenker, der vor allem auf dem Gebiet der - kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie arbeitete. Sein Name ist - bekannt durch die Gröbnerbasis und die Gröbner-Dualität.} benannte. Ähnliche +Gröbner} (2.~Februar 1899 in Gossensaß – 20.~August 1980) war ein +österreichischer Mathematiker und Freidenker, der vor allem auf dem Gebiet der +kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie arbeitete. Sein Name ist +bekannt durch die Gröbnerbasis und die Gröbner-Dualität.} benannte. Ähnliche Ideen tauchten etwa um dieselbe Zeit auch in den geometrischen Arbeiten von Heisuke Hironaka\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Heisuke_Hironaka}{Heisuke - Hironaka} (Hironaka Heisuke; * 9. April 1931 in Yuu, Kuga-gun (heute: - Iwakuni), Präfektur Yamaguchi, Japan) ist ein japanischer Mathematiker und - Träger der Fields-Medaille.} auf. +Hironaka} (Hironaka Heisuke; * 9.~April 1931 in Yuu, Kuga-gun (heute: Iwakuni), +Präfektur Yamaguchi, Japan) ist ein japanischer Mathematiker und Träger der +Fields-Medaille.} auf. \subsection{Vom Nutzen der Gröbnerbasen} @@ -570,7 +562,7 @@ Das folgende Lemma zeigt, dass Gröbnerbasen unsere Probleme lösen: Haben wir eine Gröbnerbasis von $M$ dann kann die Frage, ob $f ∈ M$ ist, mit einer einzigen Division beantwortet werden. -\begin{lem}[Divisionsreste für Elemente des Untermoduls]\label{lem:8-5-6} +\begin{lem}[Divisionsreste für Elemente des Untermoduls]\label{lem:8-5-6}% In Situation~\ref{sit:8-1-1} sei $f_1,…,f_m$ eine Gröbnerbasis. Gegeben ein Element $f ∈ M$, dann ist jeder Rest von $f$ bei Division durch $f_1, …, f_m$ gleich $0$. @@ -584,8 +576,8 @@ einzigen Division beantwortet werden. haben, sodass die Bedingungen \ref{il:8-4-6-2} und \ref{il:8-4-6-3} gelten. Wegen der Annahme $f ∈ M$ wissen dann auf der einen Seite, dass $h ∈ M$. Auf der anderen Seite ist nach Bedingung~\ref{il:8-4-6-3} kein Term von $h$ ein - Vielfaches der Leitterme $\ini f_i$. Wegen der Annahme, dass $f_1,…,f_m$ - eine Gröbnerbasis ist, ist das aber offenbar nur möglich, wenn $h = 0$ ist. + Vielfaches der Leitterme $\ini f_i$. Wegen der Annahme, dass $f_1,…,f_m$ eine + Gröbnerbasis ist, ist das aber offenbar nur möglich, wenn $h = 0$ ist. \end{proof} \begin{kor}[Eindeutigkeit von Divisionsresten]\label{kor:8-5-8} @@ -594,15 +586,18 @@ einzigen Division beantwortet werden. Division durch $f_1, …, f_m$. Dann ist $h_1 = h_2$. \qed \end{kor} -\begin{lem}[Unabhängigkeit von der Wahl der Gröbnerbasis]\label{lem:8-5-9} - In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien $f_{1,1}, …, f_{1,m_1}$ und - $f_{2,1}, …, f_{2, m_2}$ zwei Gröbnerbasen von $M$. Gegeben ein Element +\begin{lem}[Unabhängigkeit von der Wahl der Gröbnerbasis]\label{lem:8-5-9}% + In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien + \[ + f_{1,1}, …, f_{1,m_1} \quad \text{und} \quad f_{2,1}, …, f_{2, m_2} + \] + zwei Gröbnerbasen von $M$. Gegeben ein Element $f ∈ k[x_1, …, x_n]$, sei $h_•$ der (nach Korollar~\ref{kor:8-5-8} eindeutige) Rest von $f$ bei Division durch $f_{•,1}, …, f_{•, m_•}$. Dann ist $h_1 = h_2$. \end{lem} \begin{proof} - Nach Definition von ``Divisionsrest'' in Definition~\vref{def:8-4-6} haben die + Nach Definition von „Divisionsrest“ in Definition~\vref{def:8-4-6} haben die Elemente $h_1$ und $h_2$ (soweit sie ungleich Null sind) nur Terme, die \emph{nicht} in \[ @@ -610,7 +605,7 @@ einzigen Division beantwortet werden. f_{2,m_2} \bigr) \] enthalten sind. Dasselbe gilt dann auch für die Differenz $h_1 - h_2$, die in - $M$ liegt. Nach Definition~\ref{def:8-5-3} von ``Gröbnerbasis'' bedeutet das + $M$ liegt. Nach Definition~\ref{def:8-5-3} von „Gröbnerbasis“ bedeutet das aber, dass $\ini (h_1 - h_2)=0$ ist. Also ist $h_1 - h_2 = 0$ und deshalb $h_1 = h_2$. \end{proof} @@ -621,13 +616,11 @@ Reihenfolge der Elemente in der Gröbnerbasis sind. \subsection{Existenz von Gröbnerbasen} -Es fragt sich, ob Gröbnerbasen immer existieren. Die Antwort ist natürlich -``ja'', denn Computer-Algebra-Systeme können Gröbnerbasen ausrechnen. -\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/51e021b2ea6647e808203996d4a6d70f76d829d1/Gr\%C3\%B6bnerbasen.ipynb?viewer=share}{Hier - zeige ich an einem Beispiel}, wie man das macht. Vielleicht hätten wir aber -auch gern ein theoretisches Argument. +Sie fragen sich vielleicht, ob Gröbnerbasen immer existieren. Die Antwort ist +natürlich „ja“, denn Computer-Algebra-Systeme können Gröbnerbasen ausrechnen. +Vielleicht hätten wir aber auch gern ein theoretisches Argument. -\begin{lem}[Existenz von Gröbnerbasen]\label{lem:8-5-7} +\begin{lem}[Existenz von Gröbnerbasen]\label{lem:8-5-7}% In Situation~\ref{sit:8-1-1} existiert eine Gröbnerbasis von $I$. \end{lem} \begin{proof} @@ -637,9 +630,9 @@ auch gern ein theoretisches Argument. fertig. \item Falls $f_1, …, f_m$ keine Gröbnerbasis ist, dann gibt es per Annahme ein - Element $f_{m+1} ∈ I$ mit - $\ini f_{m+1} \not ∈ \bigl( \ini f_1, …, \ini f_m \bigr)$. Nehme $f_{m+1}$ - als Erzeuger mit hinzu, fange noch einmal von vorn an. + Element $f_{m+1} ∈ I$ mit $\ini f_{m+1} \not ∈ \bigl( \ini f_1, …, \ini f_m + \bigr)$. Nehme $f_{m+1}$ als Erzeuger mit hinzu, fange noch einmal von vorn + an. \end{itemize} Wir erhalten auf diese Weise eine aufsteigende Folge von monomialen Idealen des Polynomrings $k[x_1, …, x_n]$. Weil der Polynomring aber Noethersch ist, @@ -658,7 +651,7 @@ Verfahren, ein neues Element $f_{m+1}$ zu finden. Das Buchberger-Kriterium lös diese Probleme für uns. Zuerst müssen wir aber noch kurz über $S$-Polynome sprechen. -\begin{notation}[$S$-Polynom]\label{not:8-6-1} +\begin{notation}[$S$-Polynom]\label{not:8-6-1}% Es sei $k$ ein Körper und es seien Polynome $f, g ∈ k[x_1, …, x_n]$ gegeben. Schreibe \[ @@ -678,16 +671,15 @@ sprechen. Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende. -\begin{lem}\label{lem:8-6-2} - In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien Polynome - $g_1, … g_r ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ 0 \}$ gegeben. Wir nehmen an, dass - es einen Vektor $A =(α_1, …, α_m)$ gibt, so dass die Leitterme der - $g_{•}$ alle von der Form +\begin{lem}\label{lem:8-6-2}% + In Situation~\ref{sit:8-1-1} seien Polynome $g_1, … g_r ∈ k[x_1, …, x_n] ∖ \{ + 0 \}$ gegeben. Wir nehmen an, dass es einen Vektor $A =(α_1, …, α_m)$ gibt, + sodass die Leitterme der $g_•$ alle von der Form \[ - \ini g_{•} = b_{•}·x^A + \ini g_• = b_•·x^A \] - sind, mit $b_{•} ∈ k$. Weiter seien Skalare $a_1, …, a_r ∈ k$ - gegeben, sodass bezüglich der Monomordnung die Ungleichung + sind, mit $b_• ∈ k$. Weiter seien Skalare $a_1, …, a_r ∈ k$ gegeben, sodass + bezüglich der Monomordnung die Ungleichung \begin{equation}\label{eq:8-6-2-1} \ini \left(\sum_{i=1}^{r} a_i·g_i\right)< x^A \end{equation} @@ -712,7 +704,7 @@ Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende. \begin{align*} \sum_{i=1}^r a_i·g_i & = \sum_{i=1}^r a_ib_i·p_{i} \\ & = \sum_{i=1}^{r}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Teleskopsumme}\\ - &=\sum_{i=1}^{r-1}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:8-6-2-2}} + &=\sum_{i=1}^{r-1}\left(\sum_{j=1}ⁱ a_j b_j\right)\left(p_i-p_{i+1}\right) && \text{Gleichung~\eqref{eq:8-6-2-2}.} \end{align*} Die $S$-Polynome sind aber per Definition gerade \[ @@ -723,7 +715,7 @@ Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende. \end{proof} -\begin{satz}[Buchberger-Kriterium]\label{satz:8-6-1} +\begin{satz}[Buchberger-Kriterium]\label{satz:8-6-1}% In Situation~\ref{sit:8-1-1} sind folgende Aussagen äquivalent. \begin{enumerate} \item\label{il:8-5-8-1} Die Elemente $f_1, …, f_m$ bilden eine Gröbnerbasis @@ -743,18 +735,18 @@ Die relevante Eigenschaft von $S$-Polynomen ist die Folgende. --- \begin{itemize} - \item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-1} $⇒$ \ref{il:8-5-8-2}'' wurde in + \item Die Implikation „\ref{il:8-5-8-1} $⇒$ \ref{il:8-5-8-2}“ wurde in Lemma~\ref{lem:8-5-6} bewiesen. - \item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-2} $⇒$ \ref{il:8-5-8-3}'' ist leicht, - denn es ist $S_{ij} ∈ M$, so dass es immer eine Darstellung von $S_{ij}$ als + \item Die Implikation „\ref{il:8-5-8-2} $⇒$ \ref{il:8-5-8-3}“ ist leicht, denn + es ist $S_{ij} ∈ M$, sodass es immer eine Darstellung von $S_{ij}$ als Linearkombination der $f_•$ gibt. - \item Die Implikation ``\ref{il:8-5-8-3} $⇒$ \ref{il:8-5-8-1}'' ist der + \item Die Implikation „\ref{il:8-5-8-3} $⇒$ \ref{il:8-5-8-1}“ ist der wesentliche Punkt des Beweises. Details gibt es im (sehr langen) \video{10-1}. Der Beweis ist mit einigen Anpassungen aus dem Skript von \href{https://www.mathematik.tu-dortmund.de/sites/daniel-plaumann/download/AG.pdf}{Skript - von Daniel Plaumann} übernommen. \qedhere + von Daniel Plaumann} übernommen. \qedhere \end{itemize} \end{proof} @@ -802,24 +794,24 @@ gewünschte liefert. \begin{proof}[Terminierung des Buchberger-Algorithmus] Der Schlüssel liegt in Zeile~\ref{lin:buchberger-12}. Wenn es nämlich ein - Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$. - Auf der anderen Seite wissen nach Definition von ``Divisionsrest'', dass der + Element $h ∈ S$ gibt, dann liegt $h$ einerseits im Ideal $(g_1, …, g_a)$. Auf + der anderen Seite wissen nach Definition von „Divisionsrest“, dass der Leitterm $\ini h$ kein Vielfaches eines der $\ini g_•$ ist. Es gilt also \[ (\ini g_1, …, \ini g_a) ⊊ (\ini g_1, …, \ini g_a, \ini h). \] Es folgt also, dass sich das Ideal $(g \:: g ∈ G)$ beim Durchlauf von - Zeile~\ref{lin:buchberger-12} nicht ändert, während das Ideal - $(\ini g \:: g ∈ G)$ bei jedem Durchlauf der Zeile echt größer wird. Wegen - der Noether-Eigenschaft von $k[x_1, …, x_n]$ kann Letzteres aber nur endlich - oft passieren. + Zeile~\ref{lin:buchberger-12} nicht ändert, während das Ideal $(\ini g \:: g ∈ + G)$ bei jedem Durchlauf der Zeile echt größer wird. Wegen der + Noether-Eigenschaft von $k[x_1, …, x_n]$ kann Letzteres aber nur endlich oft + passieren. \end{proof} \begin{proof}[Korrektheit des Buchberger-Algorithmus] Der Algorithmus terminiert, wenn in Zeile~\ref{lin:buchberger-12} die Menge $S$ gleich leer ist. Das bedeutet aber, dass jedes der $S_{ij}$ einen Divisionsrest hat, der gleich 0 ist. Nach dem Buchberger-Kriterium ist dies - gleichbedeutend damit, dass $G$ eine Gröbner-Basis ist. + gleichbedeutend damit, dass $G$ eine Gröbnerbasis ist. \end{proof} \begin{bemerkung} @@ -833,9 +825,9 @@ gewünschte liefert. schnell, dass sowohl die Anordnung der $f_•$ als auch die Wahl der Monomordnung einen riesigen Einfluss auf die Laufzeit hat. Es scheint, dass die graduiert-rückwärtslexikografische Ordnung häufig recht gut abschneidet. - Es gibt aber kaum quantitative Ergebnisse in dieser Richtung. Es gibt meines - Wissens kein Verfahren, mit dem man vorab entscheiden könnte, welche Anordnung - und welche Monomordnung für ein gegebenes Problem gut ist. + Es gibt aber kaum quantitative Ergebnisse in dieser Richtung. Soweit mir + bekannt ist, gibt es kein Verfahren, mit dem man vorab entscheiden könnte, + welche Anordnung und welche Monomordnung für ein gegebenes Problem gut ist. \end{bemerkung} @@ -843,14 +835,14 @@ gewünschte liefert. Das folgende Beispiel habe ich aus dem \href{http://hilbert.math.uni-mannheim.de/~seiler/CA17/CASkript17.pdf}{Skript - des Mannheimer Kollegen Seiler} gestohlen. Ich hoffe, Kollege Seiler hat sich +des Mannheimer Kollegen Seiler} gestohlen. Ich hoffe, Kollege Seiler hat sich nicht verrechnet und ich habe richtig abgeschrieben. Wir starten mit dem Körper $ℚ$, dem Polynomring $ℚ[x,y]$ und verwenden die graduiert-lexikografische Monomordnung. Es sei \[ f_1 = x³ - 2·xy \quad\text{und}\quad f_2 = x²y - 2·y² + x. \] -Wir wollen eine Gröbner-Basis des Ideals $(f_1, f_2)$ bestimmen und wenden zu +Wir wollen eine Gröbnerbasis des Ideals $(f_1, f_2)$ bestimmen und wenden zu diesem Zweck den Buchberger-Algorithmus an. \paragraph{Erster Schleifendurchgang:} schreibe @@ -861,7 +853,7 @@ und berechne \[ S_{1,2} = y·g_1 - x·g_2 = -x². \] -Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} den +Als Nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} den Divisionsrest, \[ S_{1,2} = 0·g_1 + 0·g_2 + (-x²). @@ -881,7 +873,7 @@ und berechne S_{2,3} & = & g_2 + y·g_3 & = & -2·y²+x. \end{matrix} \] -Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die +Als Nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die Divisionsreste, \[ \begin{matrix} @@ -909,10 +901,10 @@ und berechne S_{2,5} & = & y·g_2 + \frac{1}{2}x²·g_5 &=& \frac{1}{2}·x³ + x·y -2·y³ \\ S_{3,4} & = & -y·g_3 - \frac{1}{2}·x·g_4 &=& 0 \\ S_{3,5} & = & -y²·g_{3}- \frac{1}{2}·x²·g_{5} &=& \frac{1}{2}·x³ \\ - S_{4,5} & = & -\frac{1}{2}·y·g_4 - \frac{1}{2}·x·g_5 &=& \frac{1}{2}·x² + S_{4,5} & = & -\frac{1}{2}·y·g_4 - \frac{1}{2}·x·g_5 &=& \frac{1}{2}·x². \end{matrix} \] -Als nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die +Als Nächstes berechne ich mithilfe von Algorithmus~\ref{alg:8-4-6} die Divisionsreste,\setcounter{MaxMatrixCols}{20} \[ \begin{matrix} @@ -925,7 +917,7 @@ Divisionsreste,\setcounter{MaxMatrixCols}{20} S_{2,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& y·g_5 &+& 0 \\ S_{3,4} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\ S_{3,5} & = & \frac{1}{2}·g_1 &+& 0·g_2 &+& 0·g_3 &+& \frac{-1}{2}·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 \\ - S_{4,5} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& \frac{-1}{2}·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0 + S_{4,5} & = & 0·g_1 &+& 0·g_2 &+& \frac{-1}{2}·g_3 &+& 0·g_4 &+& 0·g_5 &+& 0. \end{matrix} \] Voilà! Alle Divisionsreste sind Null, also ist $(g_1, g_2, g_3, g_4, g_5)$ eine @@ -936,12 +928,12 @@ Gröbnerbasis des Ideals $(f_1, f_2)$. \begin{bemerkung} Das Beispiel zeigt eindrücklich, dass man solche Aufgaben besser dem Computer überlässt. Es gibt noch ein weiteres Problem, dass in diesem Beispiel nicht - offensichtlich wird: der Algorithmus verlangt exaktes Rechnen, + offensichtlich wird: Der Algorithmus verlangt exaktes Rechnen, Näherungslösungen funktionieren nicht! Das wird ein riesiges Problem bei Rechnungen über dem Körper $ℚ$, denn beim Addieren von Brüchen werden Nenner und Zähler immer größer und komplizierter. Die Zahlen werden in der Praxis - oft so lang, dass der Hauptspeicher nicht ausreicht --- und zwar unabhängig - davon, auf welchem Rechner sie arbeiten! Dieses Problem tritt bei Rechnungen + oft so lang, dass der Hauptspeicher nicht ausreicht, und zwar unabhängig + von der Größe des Hauptspeichers! Dieses Problem tritt bei Rechnungen mit endlichen Körpern wie $𝔽_3$ natürlich nicht auf. \end{bemerkung}