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Stefan Kebekus 2023-03-30 12:56:18 +02:00
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20
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@ -0,0 +1,20 @@
Stappen
Meffle
Gathmann
Fulton
Eisenbud
Miles
Reid
CoCalc
Macaulay
Zerfällungskörper
Galoisgruppe
simplizialen
Ricci-flache
Zerfällungskörpern
Galoisgruppen
Gödelschen
Einspolynom
reduzibel
Clebsch
Hammurabi-Dynastie

3
.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt vendored Normal file
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@ -0,0 +1,3 @@
{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q irreduzibel ist, dann werden wir den Output von „isIrreducible(\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q)“ aber nicht akzeptieren.\\E$"}
{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in dieser Vorlesung?.\\E$"}
{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"}

1
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@ -0,0 +1 @@
{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qfour bar linkage\\E$"}

60
00.tex
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@ -3,23 +3,18 @@
\section*{Vorbemerkung}
Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die
Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
Dieses Skript zur Vorlesung „Kommutative Algebra und Einführung in die
Algebraische Geometrie“ baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
hat. Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter
geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}.
Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
Datum der letzten Änderung. Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei
auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste
Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand.
hat. Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt, was ungefähr der Länge eines
Sommersemesters entspricht.
Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
Vorlesung auf unserem
\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}.
Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.
Dieses Skript wird ständig weiter geschrieben. Um schnell zu erkennen, ob der
Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde finden Sie unten auf jeder Seite
die aktuelle Revisionsnummer und das Datum der letzten Änderung. Vermutlich
lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei auf Ihrem Computer zu speichern: holen
Sie sich einfach immer die neueste Version aus der Cloud, dann sind sie stets
auf dem aktuellen Stand.
Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie
ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
@ -60,13 +55,13 @@ verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
\item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
\href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}.
Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein
\href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}. Sein
Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bisschen lang, aber ein
absolutes Muss. Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen
Youtube-Kanal
YouTube-Kanal
\href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic
Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''.
Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten „Pseudo-Vorlesungen“.
\item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext
\cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf
@ -82,10 +77,10 @@ verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
\item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich
\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz
kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den
Einführungstexten in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel
mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein
das erste Kapitel lohnt sich…
kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den Einführungstexten
in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel mehr Material
als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein das erste
Kapitel lohnt sich…
\item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls
\href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem
@ -116,21 +111,21 @@ verwenden. Wikipedia ist auch noch da.
Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben
außerdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben
Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.
Output von „\texttt{isIrreducible($f$)}“ aber nicht akzeptieren.
\subsubsection*{Sage}
Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
oder den Service CoCals verwenden.
herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc.
Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, oder
den Service CoCalc verwenden.
\subsubsection*{CoCalc}
@ -139,15 +134,10 @@ CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine
Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der
kostenlose Dienst manchmal etwas langsam.
Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie
können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
Server rechnen.
\subsubsection*{Macaulay2}
Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist
\href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos
herunterladen können. Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht
leicht zu benutzen. Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen.
leicht zu benutzen.

69
01.tex
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@ -3,7 +3,7 @@
\chapter{Worum geht es in dieser Vorlesung?}
\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' haben wir
\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ haben wir
im Wesentlichen einen Körper $k$ und ein Polynom in einer Variable mit
Koeffizienten in $k$ betrachtet, $f ∈ k[x]$. Wir interessierten uns zum
Beispiel für den Zerfällungskörper von $f$ und die zugeordnete Galoisgruppe
@ -38,56 +38,49 @@ vielleicht die folgenden Fragen stellen.
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf-Rinow#Geod\%C3\%A4tisch_vollst\%C3\%A4ndige_Mannigfaltigkeit}{geodätisch
vollständig}? Wie sehen die lokalen/globalen Symmetriegruppen aus?
\item Analysis: Gibt es auf $A$ spezielle Metriken? Liefern uns die Lösungen
geeigneter
\item Analysis: Gibt es auf dem Raum $A$ spezielle Metriken? Liefern uns die
Lösungen geeigneter
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Monge-Amp\%C3\%A8resche_Gleichung}{Monge-Ampère-Differentialgleichungen}
vielleicht sogar eine Ricci-flache
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_manifold}{Kähler-Einstein-Metrik}?
\end{itemize}
Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie ``Krümmung'' oder ``Symmetrie'' , die
Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie „Krümmung“ oder „Symmetrie“, die
geometrischer Anschauung zugänglich sind. Die algebraischen Eigenschaften der
Gleichungen $f_1$, …, $f_m$ sind nicht sehr anschaulich, erlauben aber direkte
Rechnungen. Die ``Algebraische Geometrie'' bringt diese Begriffe zusammen,
wobei für viele Mathematiker das Zusammenspiel von ``geometrischer Anschauung''
und ``algebraischer Rechnung'' den Reiz des Gebietes ausmacht.
Rechnungen. Die „Algebraische Geometrie“ bringt diese Begriffe zusammen, wobei
für viele Mathematiker das Zusammenspiel von „geometrischer Anschauung“ und
„algebraischer Rechnung“ den Reiz des Gebietes ausmacht.
Das Wort ``Zusammenspiel'' klingt dabei vielleicht etwas vage. Tatsächlich gibt
es aber sogar eine ``Äquivalenz von Kategorien''. Konsequenz: jedes Objekt der
Das Wort „Zusammenspiel“ klingt dabei vielleicht etwas vage. Tatsächlich gibt
es aber sogar eine „Äquivalenz von Kategorien“. Konsequenz: jedes Objekt der
Algebra und jeder Satz der Algebra ist ein Objekt oder Satz der Geometrie, und
umgekehrt. Natürlich ist es nicht immer so, dass besonders einfache Sätze der
Algebra auch zu besonders einfachen (oder: besonders anschaulichen) Sätzen der
Geometrie gehören! Ich möchte mich in dieser Vorlesung nicht mit
Kategorientheorie und der ``Äquivalenz von Kategorien'' aufhalten. Stattdessen
verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch ``Algebra
$⇔$ Geometrie'' zu entwickeln.
Kategorientheorie und der „Äquivalenz von Kategorien“ aufhalten. Stattdessen
verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch „Algebra $⇔$
Geometrie“ zu entwickeln.
\begin{bemerkung}
Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der
Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' sind nur dann interessant, wenn der
Körper $k$ \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist. Im Gegensatz dazu
werden wir uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch
abgeschlossenen Fall interessieren. Der
Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der Vorlesung
„Algebra und Zahlentheorie“ sind nur dann interessant, wenn der Körper $k$
\emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist. Im Gegensatz dazu werden wir uns
in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch abgeschlossenen Fall
interessieren. Der
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Nullstellensatz}{Hilbertsche
Nullstellensatz}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in
Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der
bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik
und des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen
Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm,
die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem
internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum.
Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen)
war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten
Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik
und mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Mit
seinen Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische
Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische
Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen
Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der
unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte
vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden
kann. Hilberts programmatische Rede auf dem internationalen
Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine Liste von 23
mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung
des 20.~Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum.
\end{bemerkung}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "21-KA"
%%% End:

131
02.tex
View File

@ -7,33 +7,32 @@
Bevor es richtig losgeht, brauchen wir Beispiele und interessanten polynomialen
Gleichungssysteme und zugehörigen Lösungsmengen. Der algebraische Geometer
spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von ``algebraischen Mengen''. Klingt
besser.
spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von „algebraischen Mengen“.
Klingt besser.
\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}
Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Teilmenge
$A ⊆ k^m$ heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische
Teilmenge des $k^m$}, falls es Polynome
$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass
\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}%
Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Teilmenge $A ⊆ k^m$
heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische Teilmenge des $k^m$},
falls es Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass
\[
A = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0
\Bigr\}.
\Bigr\}
\]
ist.
\end{defn}
\begin{bemerkung}
In der Literatur werden algebraische Mengen manchmal als \emph{affine
Varietäten} bezeichnet; die meisten Autoren reservieren das Wort
``Varietät'' aber für algebraische Mengen, die mit einer gewissen Topologie
versehen wurden. Andere fordern zusätzlich noch, dass man einen Begriff von
``algebraischen Funktionen'' definiert.
Varietäten}\index{affine Varietäten}\index{Varietät!affin} bezeichnet; die
meisten Autoren reservieren das Wort „Varietät“ aber für algebraische
Mengen, die mit einer gewissen Topologie versehen wurden. Andere fordern
zusätzlich noch, dass man einen Begriff von „algebraischen Funktionen“
definiert.
\end{bemerkung}
\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}
Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien
$f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ Polynome. Die zugehörende algebraische Menge
wird oft mit
\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}%
Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien $f_1, …, f_n ∈
k[x_1, …, x_m]$ Polynome. Die zugehörende algebraische Menge wird oft mit
\[
V(f_1, …, f_n) = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ =
f_n(\vec{x}) = 0 \Bigr\}
@ -43,8 +42,8 @@ besser.
\begin{bsp}[Der gesamte Raum]
Es sei $k$ ein Körper. Der gesamte Raum $k^m$ ist eine algebraische Menge
(nehme für $f_{•}$ das Nullpolynom). Wenn ich von $k^m$ als
algebraischer Menge spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum} und
(nehme für $f_•$ das Nullpolynom). Wenn ich von $k^m$ als algebraischer Menge
spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum}\index{affiner Raum} und
schreibe $𝔸^m$.
\end{bsp}
@ -63,9 +62,9 @@ besser.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Graph einer rationalen Funktion]
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion.
Schreibe $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde
Polynome sind. Dann ist der Graph von $f$,
Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion. Schreibe
$f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde Polynome
sind. Dann ist der Graph von $f$,
\[
A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y·b(x)-a(x) = 0 \Bigr\},
\]
@ -98,18 +97,18 @@ besser.
ist eine algebraische Menge.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}
\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}%
Öffnen Sie die
\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{folgende
Seite} in Ihrem Web-Browser und spielen Sie mit dem Programm
Seite} in Ihrem Webbrowser und spielen Sie mit dem Programm
\href{https://kebekus.gitlab.io/ellipticcurve/de/}{Elliptic Curve Plotter}, um
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Kurve}{elliptische
Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen. Diese Kurven spielen
in der Kryptografie eine wichtige Rolle. Sie verwenden elliptische Kurven
Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen. Diese Kurven spielen in
der Kryptografie eine wichtige Rolle. Sie verwenden elliptische Kurven
täglich, wenn Sie Daten im Internet übertragen.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]\label{bsp:crk}
Die algebraische Menge
\[
\Bigl\{ (x,y,z) ∈ ℝ³ \::\: y - x² = z-x³=0 \Bigr\}
@ -122,10 +121,10 @@ besser.
\href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{meiner Web-Seite} die
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Clebsch_surface}{Clebsche
Diagonalfläche}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Clebsch}{Rudolf
Friedrich Alfred Clebsch} (* 19. Januar 1833 in Königsberg; † 7. November
1872 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge
zur algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die
auch in Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist.
Friedrich Alfred Clebsch} (* 19.~Januar 1833 in Königsberg; † 7.~November 1872
in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge zur
algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die auch in
Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist.
\end{bsp}
\begin{figure}
@ -164,8 +163,8 @@ besser.
\begin{bsp}[Mechanik]
Betrachte einen banalen Roboter in der Ebene. Ein Arm der Länge 2 ist im
Ursprung befestigt. An dessen freiem Ende $(x,y)$ ist ein Arm mit Länge 1
befestigt. Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$. Die Menge der möglichen Zustände
des Roboters ist dann die algebraische Menge
befestigt. Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$. Die Menge der möglichen
Zustände des Roboters ist dann die algebraische Menge
\[
\Bigl\{ (x,y,a,b) ∈ ℝ⁴ \::\: x² + y² -4 = (x-a)² + (y-b)² -1 = 0 \Bigr\}.
\]
@ -175,29 +174,29 @@ besser.
(mechanische Belastbarkeit der Gelenke, Kollisionsvermeidung, …). Bei
Robotern mit mehreren Gelenken wird dies sehr schnell zu einer gigantischen
Herausforderung! Für den allereinfachsten Fall googeln Sie mal nach den
Worten ``Gelenkviereck'' und ``four-bar linkage''. Sie werden überrascht
sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert die Mathematik
wird.
Worten „Gelenkviereck“ und „\foreignlanguage{english}{four bar linkage}“. Sie
werden überrascht sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert
die Mathematik wird.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Design]
Wenn Sie schon einmal mit einem Zeichenprogramm gearbeitet haben, kennen Sie
\emph{Bézier-Kurven}\index{Bézier-Kurve}. Gegeben seien Punkte
$p_0, …, p_n ∈ ℝ²$. Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$
zu $p_n$ zu zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft,
aber zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft. Dazu konstruiert man
\emph{Bézierkurven}\index{Bézierkurve}. Gegeben seien Punkte $p_0, …, p_n ∈
ℝ²$. Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$ zu $p_n$ zu
zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft, aber
zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft. Dazu konstruiert man
Abbildungen $ℝ → ℝ²$,
\begin{align*}
B_{p_0, p_1}(t) & = (1-t)·p_0 + t·p_1\\
\intertext{und dann weiter induktiv}
B_{p_0,…,p_k}(t) & = (1-t)·B_{p_0,…,p_{k-1}}(t) + t·B_{p_1,…,p_k}(t).
\end{align*}
Die Bézier-Kurve ist dann die eingeschränkte Abbildung
Die Bézierkurve ist dann die eingeschränkte Abbildung
\[
B_{p_0,…,p_n} : [0, 1] → ℝ².
\]
Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist!
Sie finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist! Sie
finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/B\%C3\%A9zierkurve}{Wikipedia}.
\end{bsp}
@ -217,9 +216,9 @@ Erbrechen. Beide Darstellungen haben Ihre Vor- und Nachteile:
\end{itemize}
Die Existenz von Parametrisierungen ist vielleicht eine der ersten Fragen, die
man bezüglich algebraischer Mengen stellen kann. Wir diskutieren
``Parametrisierungen durch rationale Funktionen'', wobei die rationalen
Funktionen nicht überall definiert sein müssen. Die folgende Definition ist
daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
„Parametrisierungen durch rationale Funktionen“, wobei die rationalen Funktionen
nicht überall definiert sein müssen. Die folgende Definition ist daher
vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
\begin{defn}[Rationale Parametrisierung]
Es sei $k$ ein Körper und es sei $A⊆ k^n$ eine algebraische Menge. Eine
@ -244,15 +243,16 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Graphen]
Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational parametrisierbar.
Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational
parametrisierbar.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}
Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch
$α ↦ (\cos α, \sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist
nicht sehr algebraisch. Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon,
dass der Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt. Gegeben eine Zahl $t$,
dann betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ --
\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}%
Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch $α ↦ (\cos α,
\sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist nicht sehr
algebraisch. Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon, dass der
Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt. Gegeben eine Zahl $t$, dann
betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ --
Abbildung~\ref{fig:rpk} zeigt den Fall $t = 0.8$. Diese Gerade schneidet den
Kreis in $(-1,0)$ und in einem weiteren Punkt $p_t$, der von $t$ abhängt.
Rechnen Sie die Koordinaten von $p_t$ sofort aus und stellen Sie fest, dass
@ -262,14 +262,14 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
φ : ℝ → E, \quad t ↦ \Bigl(\frac{1-t²}{1+t²}, \frac{2t}{1+t²}\Bigr).
\]
Mit dieser Parametrisierung lässt sich die Frage beantworten, wie viele Punkte
des Einheitskreises rationale Koordinaten haben (``Wie viele \emph{rationale
Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?''). Überlegen Sie sich, dass
$φ(t) ∈ ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist. Cool. Um zu sehen, wie cool
genau, erinnern Sie sich: ein
des Einheitskreises rationale Koordinaten haben („Wie viele \emph{rationale
Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?“). Überlegen Sie sich, dass $φ(t) ∈
ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist. Cool. Um zu sehen, wie cool genau,
erinnern Sie sich: ein
\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel}{\emph{Pythagoreisches
Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, so
dass $a² + b² = c²$ ist. Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas
länger. Wikipedia schreibt:
Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, sodass
$a² + b² = c²$ ist. Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas länger.
Wikipedia schreibt:
\begin{figure}
\centering
@ -284,7 +284,7 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
\begin{quote}
Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die
in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v.~Chr.).
Die Keilschrifttafel ``Plimpton 322'' enthält 15 verschiedene pythagoreische
Die Keilschrifttafel „Plimpton 322“ enthält 15 verschiedene pythagoreische
Tripel […], was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500
Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten
ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln […] aus einem
@ -300,18 +300,19 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
\begin{bsp}[Elliptische Kurven]
Man kann beweisen, dass es im Gegensatz zum Einheitskreis \emph{keine
algebraische Parametrisierung einer elliptischen Kurve geben kann}! Das ist
gut so. Die Kurven müssen auch kompliziert sein, sonst würde man sie in der
Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können.
gut so. Elliptische Kurven müssen kompliziert sein, sonst würde man sie in
der Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
Die kubische Raumkurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert.
In Beispiel~\ref{bsp:crk} hatten wir die kubische Raumkurve kennengelernt.
Diese Kurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Clebsche Diagonalfläche]
Die Clebsche Diagonalfläche kann rational parametrisiert werden, aber das ist
vielleicht nicht sehr offensichtlich. Die Geometrie der 27 Geraden hilft
unheimlich!
vielleicht nicht sehr offensichtlich. Bei der Suche nach einer
Parametrisierung hilft Geometrie der 27 Geraden unheimlich!
\end{bsp}
\begin{bsp}[Bézier-Kurven]

18
gfx/paperVersion-working.tex
View File

@ -3,19 +3,7 @@
%
% sideremark
\newcommand\sideremark[1]{\marginpar
[
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