From 8b71e798522534bdd48d820665d052e3ef8817a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Stefan Kebekus Date: Thu, 30 Mar 2023 12:56:18 +0200 Subject: [PATCH] Clean up text for first week --- .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt | 20 +++ .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt | 3 + .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.en-US.txt | 1 + 00.tex | 64 ++++------ 01.tex | 73 +++++------ 02.tex | 133 ++++++++++---------- gfx/paperVersion-working.tex | 18 +-- 7 files changed, 154 insertions(+), 158 deletions(-) create mode 100644 .vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt create mode 100644 .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt create mode 100644 .vscode/ltex.hiddenFalsePositives.en-US.txt diff --git a/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt new file mode 100644 index 0000000..dc1abb3 --- /dev/null +++ b/.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt @@ -0,0 +1,20 @@ +Stappen +Meffle +Gathmann +Fulton +Eisenbud +Miles +Reid +CoCalc +Macaulay +Zerfällungskörper +Galoisgruppe +simplizialen +Ricci-flache +Zerfällungskörpern +Galoisgruppen +Gödelschen +Einspolynom +reduzibel +Clebsch +Hammurabi-Dynastie diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt new file mode 100644 index 0000000..ff3d879 --- /dev/null +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt @@ -0,0 +1,3 @@ +{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q irreduzibel ist, dann werden wir den Output von „isIrreducible(\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q)“ aber nicht akzeptieren.\\E$"} +{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in dieser Vorlesung?.\\E$"} +{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"} diff --git a/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.en-US.txt b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.en-US.txt new file mode 100644 index 0000000..eeeab06 --- /dev/null +++ b/.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.en-US.txt @@ -0,0 +1 @@ +{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qfour bar linkage\\E$"} diff --git a/00.tex b/00.tex index 864ba7e..2a0e3e3 100644 --- a/00.tex +++ b/00.tex @@ -3,23 +3,18 @@ \section*{Vorbemerkung} -Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die -Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift +Dieses Skript zur Vorlesung „Kommutative Algebra und Einführung in die +Algebraische Geometrie“ baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt -hat. Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter -geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der -\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}. -Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde -finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das -Datum der letzten Änderung. Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei -auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste -Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand. +hat. Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt, was ungefähr der Länge eines +Sommersemesters entspricht. -Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede -Vorlesung auf unserem -\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}. -Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können -aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten. +Dieses Skript wird ständig weiter geschrieben. Um schnell zu erkennen, ob der +Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde finden Sie unten auf jeder Seite +die aktuelle Revisionsnummer und das Datum der letzten Änderung. Vermutlich +lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei auf Ihrem Computer zu speichern: holen +Sie sich einfach immer die neueste Version aus der Cloud, dann sind sie stets +auf dem aktuellen Stand. Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen. Falls Sie ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen @@ -56,17 +51,17 @@ verwenden. Wikipedia ist auch noch da. \item Der Kollege Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat eine Reihe von hervorragenden \href{https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/de/alggeom.php}{Skripten zur - Algebraischen Geometrie}, die diese Vorlesung perfekt ergänzen. + Algebraischen Geometrie}, die diese Vorlesung perfekt ergänzen. \item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus Stanford gibt regelmäßig Kurse zu - \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}. - Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea: - Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein + \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}. Sein + Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea: + Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bisschen lang, aber ein absolutes Muss. Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen - Youtube-Kanal + YouTube-Kanal \href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic - Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''. + Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten „Pseudo-Vorlesungen“. \item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext \cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf @@ -82,14 +77,14 @@ verwenden. Wikipedia ist auch noch da. \item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz - kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den - Einführungstexten in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel - mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein - das erste Kapitel lohnt sich… + kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den Einführungstexten + in die Algebraische Geometrie. Das Buch behandelt viel, viel mehr Material + als wir in diesem Kurs diskutieren werden. Aber schon allein das erste + Kapitel lohnt sich… \item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem - Universitätsnetz} herunterladen können, ist eher eine sehr durchdachte + Universitätsnetz} herunterladen können, ist eher eine sehr durchdachte Beispielsammlung zur Algebraischen Geometrie als ein Lehrbuch. Hier finden Sie Beispiele für ALLES, was in dieser Vorlesung passiert. @@ -116,21 +111,21 @@ verwenden. Wikipedia ist auch noch da. Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen. Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen, -ausserdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben +außerdem kann man schöne Bilder malen. Wir akzeptieren für Hausaufgaben Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut dokumentiert sind. Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und vereinfachen von Polynomen hilfreich sein. Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den -Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren. +Output von „\texttt{isIrreducible($f$)}“ aber nicht akzeptieren. \subsubsection*{Sage} Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm -herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc -etc. Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, -oder den Service CoCals verwenden. +herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc. +Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, oder +den Service CoCalc verwenden. \subsubsection*{CoCalc} @@ -139,15 +134,10 @@ CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können. Leider ist der kostenlose Dienst manchmal etwas langsam. -Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem -\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor. Sie -können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem -Server rechnen. - \subsubsection*{Macaulay2} Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist \href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos herunterladen können. Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht -leicht zu benutzen. Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen. +leicht zu benutzen. diff --git a/01.tex b/01.tex index 814f6a3..212e908 100644 --- a/01.tex +++ b/01.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \chapter{Worum geht es in dieser Vorlesung?} -\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' haben wir +\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ haben wir im Wesentlichen einen Körper $k$ und ein Polynom in einer Variable mit Koeffizienten in $k$ betrachtet, $f ∈ k[x]$. Wir interessierten uns zum Beispiel für den Zerfällungskörper von $f$ und die zugeordnete Galoisgruppe @@ -36,58 +36,51 @@ vielleicht die folgenden Fragen stellen. Wie sieht die \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Holonomie}{Holonomie} von $A$ aus? Ist $A$ \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf-Rinow#Geod\%C3\%A4tisch_vollst\%C3\%A4ndige_Mannigfaltigkeit}{geodätisch - vollständig}? Wie sehen die lokalen/globalen Symmetriegruppen aus? + vollständig}? Wie sehen die lokalen/globalen Symmetriegruppen aus? -\item Analysis: Gibt es auf $A$ spezielle Metriken? Liefern uns die Lösungen - geeigneter +\item Analysis: Gibt es auf dem Raum $A$ spezielle Metriken? Liefern uns die + Lösungen geeigneter \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Monge-Amp\%C3\%A8resche_Gleichung}{Monge-Ampère-Differentialgleichungen} vielleicht sogar eine Ricci-flache \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_manifold}{Kähler-Einstein-Metrik}? \end{itemize} -Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie ``Krümmung'' oder ``Symmetrie'' , die +Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie „Krümmung“ oder „Symmetrie“, die geometrischer Anschauung zugänglich sind. Die algebraischen Eigenschaften der Gleichungen $f_1$, …, $f_m$ sind nicht sehr anschaulich, erlauben aber direkte -Rechnungen. Die ``Algebraische Geometrie'' bringt diese Begriffe zusammen, -wobei für viele Mathematiker das Zusammenspiel von ``geometrischer Anschauung'' -und ``algebraischer Rechnung'' den Reiz des Gebietes ausmacht. +Rechnungen. Die „Algebraische Geometrie“ bringt diese Begriffe zusammen, wobei +für viele Mathematiker das Zusammenspiel von „geometrischer Anschauung“ und +„algebraischer Rechnung“ den Reiz des Gebietes ausmacht. -Das Wort ``Zusammenspiel'' klingt dabei vielleicht etwas vage. Tatsächlich gibt -es aber sogar eine ``Äquivalenz von Kategorien''. Konsequenz: jedes Objekt der +Das Wort „Zusammenspiel“ klingt dabei vielleicht etwas vage. Tatsächlich gibt +es aber sogar eine „Äquivalenz von Kategorien“. Konsequenz: jedes Objekt der Algebra und jeder Satz der Algebra ist ein Objekt oder Satz der Geometrie, und umgekehrt. Natürlich ist es nicht immer so, dass besonders einfache Sätze der Algebra auch zu besonders einfachen (oder: besonders anschaulichen) Sätzen der Geometrie gehören! Ich möchte mich in dieser Vorlesung nicht mit -Kategorientheorie und der ``Äquivalenz von Kategorien'' aufhalten. Stattdessen -verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch ``Algebra -$⇔$ Geometrie'' zu entwickeln. +Kategorientheorie und der „Äquivalenz von Kategorien“ aufhalten. Stattdessen +verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch „Algebra $⇔$ +Geometrie“ zu entwickeln. \begin{bemerkung} - Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der - Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' sind nur dann interessant, wenn der - Körper $k$ \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist. Im Gegensatz dazu - werden wir uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch - abgeschlossenen Fall interessieren. Der + Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der Vorlesung + „Algebra und Zahlentheorie“ sind nur dann interessant, wenn der Körper $k$ + \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist. Im Gegensatz dazu werden wir uns + in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch abgeschlossenen Fall + interessieren. Der \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Nullstellensatz}{Hilbertsche - Nullstellensatz}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David - Hilbert} (* 23. Januar 1862 in Königsberg; † 14. Februar 1943 in - Göttingen) war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der - bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet - der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige - Forschungsgebiete. Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute - bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und - veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik - und des mathematischen Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen - Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, - die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht - gänzlich erfüllt werden kann. Hilberts programmatische Rede auf dem - internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine - Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die - mathematische Forschung des 20. Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum. + Nullstellensatz}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David + Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen) + war ein deutscher Mathematiker. Er gilt als einer der bedeutendsten + Mathematiker der Neuzeit. Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik + und mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete. Mit + seinen Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische + Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische + Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen + Beweises. Diese Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der + unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte + vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden + kann. Hilberts programmatische Rede auf dem internationalen + Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine Liste von 23 + mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung + des 20.~Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum. \end{bemerkung} - - -%%% Local Variables: -%%% mode: latex -%%% TeX-master: "21-KA" -%%% End: - diff --git a/02.tex b/02.tex index 32d8b3d..1883117 100644 --- a/02.tex +++ b/02.tex @@ -7,33 +7,32 @@ Bevor es richtig losgeht, brauchen wir Beispiele und interessanten polynomialen Gleichungssysteme und zugehörigen Lösungsmengen. Der algebraische Geometer -spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von ``algebraischen Mengen''. Klingt -besser. +spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von „algebraischen Mengen“. +Klingt besser. -\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1} - Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Teilmenge - $A ⊆ k^m$ heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische - Teilmenge des $k^m$}, falls es Polynome - $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass +\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}% + Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl. Eine Teilmenge $A ⊆ k^m$ + heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische Teilmenge des $k^m$}, + falls es Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass \[ A = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0 - \Bigr\}. + \Bigr\} \] ist. \end{defn} \begin{bemerkung} In der Literatur werden algebraische Mengen manchmal als \emph{affine - Varietäten} bezeichnet; die meisten Autoren reservieren das Wort - ``Varietät'' aber für algebraische Mengen, die mit einer gewissen Topologie - versehen wurden. Andere fordern zusätzlich noch, dass man einen Begriff von - ``algebraischen Funktionen'' definiert. + Varietäten}\index{affine Varietäten}\index{Varietät!affin} bezeichnet; die + meisten Autoren reservieren das Wort „Varietät“ aber für algebraische + Mengen, die mit einer gewissen Topologie versehen wurden. Andere fordern + zusätzlich noch, dass man einen Begriff von „algebraischen Funktionen“ + definiert. \end{bemerkung} -\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3} - Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien - $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ Polynome. Die zugehörende algebraische Menge - wird oft mit +\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}% + Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien $f_1, …, f_n ∈ + k[x_1, …, x_m]$ Polynome. Die zugehörende algebraische Menge wird oft mit \[ V(f_1, …, f_n) = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0 \Bigr\} @@ -43,8 +42,8 @@ besser. \begin{bsp}[Der gesamte Raum] Es sei $k$ ein Körper. Der gesamte Raum $k^m$ ist eine algebraische Menge - (nehme für $f_{•}$ das Nullpolynom). Wenn ich von $k^m$ als - algebraischer Menge spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum} und + (nehme für $f_•$ das Nullpolynom). Wenn ich von $k^m$ als algebraischer Menge + spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum}\index{affiner Raum} und schreibe $𝔸^m$. \end{bsp} @@ -63,9 +62,9 @@ besser. \end{bsp} \begin{bsp}[Graph einer rationalen Funktion] - Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion. - Schreibe $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde - Polynome sind. Dann ist der Graph von $f$, + Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion. Schreibe + $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde Polynome + sind. Dann ist der Graph von $f$, \[ A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y·b(x)-a(x) = 0 \Bigr\}, \] @@ -98,18 +97,18 @@ besser. ist eine algebraische Menge. \end{bsp} -\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti} +\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}% Öffnen Sie die \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{folgende - Seite} in Ihrem Web-Browser und spielen Sie mit dem Programm + Seite} in Ihrem Webbrowser und spielen Sie mit dem Programm \href{https://kebekus.gitlab.io/ellipticcurve/de/}{Elliptic Curve Plotter}, um \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Kurve}{elliptische - Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen. Diese Kurven spielen - in der Kryptografie eine wichtige Rolle. Sie verwenden elliptische Kurven + Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen. Diese Kurven spielen in + der Kryptografie eine wichtige Rolle. Sie verwenden elliptische Kurven täglich, wenn Sie Daten im Internet übertragen. \end{bsp} -\begin{bsp}[Kubische Raumkurve] +\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]\label{bsp:crk} Die algebraische Menge \[ \Bigl\{ (x,y,z) ∈ ℝ³ \::\: y - x² = z-x³=0 \Bigr\} @@ -121,11 +120,11 @@ besser. Schauen Sie sich auf \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{meiner Web-Seite} die \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Clebsch_surface}{Clebsche - Diagonalfläche}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Clebsch}{Rudolf - Friedrich Alfred Clebsch} (* 19. Januar 1833 in Königsberg; † 7. November - 1872 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge - zur algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die - auch in Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist. + Diagonalfläche}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Clebsch}{Rudolf + Friedrich Alfred Clebsch} (* 19.~Januar 1833 in Königsberg; † 7.~November 1872 + in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge zur + algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die auch in + Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist. \end{bsp} \begin{figure} @@ -164,8 +163,8 @@ besser. \begin{bsp}[Mechanik] Betrachte einen banalen Roboter in der Ebene. Ein Arm der Länge 2 ist im Ursprung befestigt. An dessen freiem Ende $(x,y)$ ist ein Arm mit Länge 1 - befestigt. Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$. Die Menge der möglichen Zustände - des Roboters ist dann die algebraische Menge + befestigt. Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$. Die Menge der möglichen + Zustände des Roboters ist dann die algebraische Menge \[ \Bigl\{ (x,y,a,b) ∈ ℝ⁴ \::\: x² + y² -4 = (x-a)² + (y-b)² -1 = 0 \Bigr\}. \] @@ -175,29 +174,29 @@ besser. (mechanische Belastbarkeit der Gelenke, Kollisionsvermeidung, …). Bei Robotern mit mehreren Gelenken wird dies sehr schnell zu einer gigantischen Herausforderung! Für den allereinfachsten Fall googeln Sie mal nach den - Worten ``Gelenkviereck'' und ``four-bar linkage''. Sie werden überrascht - sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert die Mathematik - wird. + Worten „Gelenkviereck“ und „\foreignlanguage{english}{four bar linkage}“. Sie + werden überrascht sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert + die Mathematik wird. \end{bsp} \begin{bsp}[Design] Wenn Sie schon einmal mit einem Zeichenprogramm gearbeitet haben, kennen Sie - \emph{Bézier-Kurven}\index{Bézier-Kurve}. Gegeben seien Punkte - $p_0, …, p_n ∈ ℝ²$. Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$ - zu $p_n$ zu zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft, - aber zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft. Dazu konstruiert man + \emph{Bézierkurven}\index{Bézierkurve}. Gegeben seien Punkte $p_0, …, p_n ∈ + ℝ²$. Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$ zu $p_n$ zu + zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft, aber + zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft. Dazu konstruiert man Abbildungen $ℝ → ℝ²$, \begin{align*} B_{p_0, p_1}(t) & = (1-t)·p_0 + t·p_1\\ \intertext{und dann weiter induktiv} B_{p_0,…,p_k}(t) & = (1-t)·B_{p_0,…,p_{k-1}}(t) + t·B_{p_1,…,p_k}(t). \end{align*} - Die Bézier-Kurve ist dann die eingeschränkte Abbildung + Die Bézierkurve ist dann die eingeschränkte Abbildung \[ B_{p_0,…,p_n} : [0, 1] → ℝ². \] - Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist! - Sie finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf + Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist! Sie + finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf \href{https://de.wikipedia.org/wiki/B\%C3\%A9zierkurve}{Wikipedia}. \end{bsp} @@ -217,9 +216,9 @@ Erbrechen. Beide Darstellungen haben Ihre Vor- und Nachteile: \end{itemize} Die Existenz von Parametrisierungen ist vielleicht eine der ersten Fragen, die man bezüglich algebraischer Mengen stellen kann. Wir diskutieren -``Parametrisierungen durch rationale Funktionen'', wobei die rationalen -Funktionen nicht überall definiert sein müssen. Die folgende Definition ist -daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt. +„Parametrisierungen durch rationale Funktionen“, wobei die rationalen Funktionen +nicht überall definiert sein müssen. Die folgende Definition ist daher +vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt. \begin{defn}[Rationale Parametrisierung] Es sei $k$ ein Körper und es sei $A⊆ k^n$ eine algebraische Menge. Eine @@ -244,15 +243,16 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt. \end{bsp} \begin{bsp}[Graphen] - Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational parametrisierbar. + Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational + parametrisierbar. \end{bsp} -\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek} - Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch - $α ↦ (\cos α, \sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist - nicht sehr algebraisch. Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon, - dass der Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt. Gegeben eine Zahl $t$, - dann betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ -- +\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}% + Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch $α ↦ (\cos α, + \sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist nicht sehr + algebraisch. Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon, dass der + Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt. Gegeben eine Zahl $t$, dann + betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ -- Abbildung~\ref{fig:rpk} zeigt den Fall $t = 0.8$. Diese Gerade schneidet den Kreis in $(-1,0)$ und in einem weiteren Punkt $p_t$, der von $t$ abhängt. Rechnen Sie die Koordinaten von $p_t$ sofort aus und stellen Sie fest, dass @@ -262,14 +262,14 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt. φ : ℝ → E, \quad t ↦ \Bigl(\frac{1-t²}{1+t²}, \frac{2t}{1+t²}\Bigr). \] Mit dieser Parametrisierung lässt sich die Frage beantworten, wie viele Punkte - des Einheitskreises rationale Koordinaten haben (``Wie viele \emph{rationale - Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?''). Überlegen Sie sich, dass - $φ(t) ∈ ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist. Cool. Um zu sehen, wie cool - genau, erinnern Sie sich: ein + des Einheitskreises rationale Koordinaten haben („Wie viele \emph{rationale + Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?“). Überlegen Sie sich, dass $φ(t) ∈ + ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist. Cool. Um zu sehen, wie cool genau, + erinnern Sie sich: ein \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel}{\emph{Pythagoreisches - Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, so - dass $a² + b² = c²$ ist. Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas - länger. Wikipedia schreibt: + Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, sodass + $a² + b² = c²$ ist. Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas länger. + Wikipedia schreibt: \begin{figure} \centering @@ -284,7 +284,7 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt. \begin{quote} Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v.~Chr.). - Die Keilschrifttafel ``Plimpton 322'' enthält 15 verschiedene pythagoreische + Die Keilschrifttafel „Plimpton 322“ enthält 15 verschiedene pythagoreische Tripel […], was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500 Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln […] aus einem @@ -300,18 +300,19 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt. \begin{bsp}[Elliptische Kurven] Man kann beweisen, dass es im Gegensatz zum Einheitskreis \emph{keine algebraische Parametrisierung einer elliptischen Kurve geben kann}! Das ist - gut so. Die Kurven müssen auch kompliziert sein, sonst würde man sie in der - Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können. + gut so. Elliptische Kurven müssen kompliziert sein, sonst würde man sie in + der Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können. \end{bsp} \begin{bsp}[Kubische Raumkurve] - Die kubische Raumkurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert. + In Beispiel~\ref{bsp:crk} hatten wir die kubische Raumkurve kennengelernt. + Diese Kurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert. \end{bsp} \begin{bsp}[Clebsche Diagonalfläche] Die Clebsche Diagonalfläche kann rational parametrisiert werden, aber das ist - vielleicht nicht sehr offensichtlich. Die Geometrie der 27 Geraden hilft - unheimlich! + vielleicht nicht sehr offensichtlich. Bei der Suche nach einer + Parametrisierung hilft Geometrie der 27 Geraden unheimlich! \end{bsp} \begin{bsp}[Bézier-Kurven] diff --git a/gfx/paperVersion-working.tex b/gfx/paperVersion-working.tex index 0b41c71..8109545 100644 --- a/gfx/paperVersion-working.tex +++ b/gfx/paperVersion-working.tex @@ -3,19 +3,7 @@ % % sideremark -\newcommand\sideremark[1]{\marginpar -[ -\hskip .45in -\begin{minipage}{1.25in} -\tiny \sf #1 -\end{minipage} -] -{ -\hskip -.075in -\begin{minipage}{1.25in} -\tiny \sf #1 -\end{minipage} -}} +\newcommand\sideremark[1]{\marginpar{\tiny \textsf #1}} % questionSign \newcommand\questionSign[1]{\marginpar @@ -102,5 +90,5 @@ % % Macros to produce different text for different versions of the paper. % -\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\sf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}} -\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\sf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}} +\newcommand{\Preprint}[1]{\marginpar{\color{blue}\tiny\textsf Preprint only}\begin{color}{blue}#1\end{color}} +\newcommand{\Publication}[1]{\marginpar{\color{teal}\tiny\textsf Publication only}\begin{color}{teal}#1\end{color}}