Clean up text for first week

.vscode/ltex.dictionary.de-DE.txt

@@ -0,0 +1,20 @@
+Stappen
+Meffle
+Gathmann
+Fulton
+Eisenbud
+Miles
+Reid
+CoCalc
+Macaulay
+Zerfällungskörper
+Galoisgruppe
+simplizialen
+Ricci-flache
+Zerfällungskörpern
+Galoisgruppen
+Gödelschen
+Einspolynom
+reduzibel
+Clebsch
+Hammurabi-Dynastie

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.de-DE.txt

@@ -0,0 +1,3 @@
+{"rule":"GERMAN_SPELLER_RULE","sentence":"^\\QWenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen sollen, dass ein gegebenes Polynom \\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q irreduzibel ist, dann werden wir den Output von „isIrreducible(\\E(?:Dummy|Ina|Jimmy-)[0-9]+\\Q)“ aber nicht akzeptieren.\\E$"}
+{"rule":"DOPPELTE_SATZZEICHEN","sentence":"^\\QWorum geht es in dieser Vorlesung?.\\E$"}
+{"rule":"DE_CASE","sentence":"^\\QWikipedia schreibt: Rationale Parametrisierung des Kreises Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.).\\E$"}

.vscode/ltex.hiddenFalsePositives.en-US.txt

@@ -0,0 +1 @@
+{"rule":"UPPERCASE_SENTENCE_START","sentence":"^\\Qfour bar linkage\\E$"}

00.tex

@@ -3,23 +3,18 @@
 
 \section*{Vorbemerkung}
 
-Dieses Skript zur Vorlesung ``Kommutative Algebra und Einführung in die
+Dieses Skript zur Vorlesung „Kommutative Algebra und Einführung in die
-Algebraische Geometrie'' baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
+Algebraische Geometrie“ baut auf einer sehr ausführlichen Vorlesungsmitschrift
 auf, die Christoph Stappen vor einigen Jahren in meiner Vorlesung angefertigt
-hat.  Das Skript wird im Laufe des Sommersemesters 2021 ständig weiter
+hat.  Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt, was ungefähr der Länge eines
-geschrieben; sie finden die neueste Version stets auf der
+Sommersemesters entspricht.
-\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/s/HgKt6MctE3Hfmix}{Nextcloud}.
-Um schnell zu erkennen, ob der Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde
-finden Sie am Anfang eines jeden Kapitels die aktuelle Revisionsnummer und das
-Datum der letzten Änderung.  Vermutlich lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei
-auf Ihrem Computer zu speichern: holen Sie sich einfach immer die neueste
-Version aus der Cloud, dann sind sie stets auf dem aktuellen Stand.
 
-Der Stoff ist in 24 Vorlesungen eingeteilt; sie finden das Datum für jede
+Dieses Skript wird ständig weiter geschrieben. Um schnell zu erkennen, ob der
-Vorlesung auf unserem
+Text seit ihrem letzten Besuch geändert wurde finden Sie unten auf jeder Seite
-\href{https://nextcloud.cplx.vm.uni-freiburg.de/index.php/apps/calendar/p/jB4GC5kJ5SYfNKcX}{Kalender}.
+die aktuelle Revisionsnummer und das Datum der letzten Änderung. Vermutlich
-Die Übungsaufgaben werden sich an diesen Daten orientieren; sie selbst können
+lohnt es sich gar nicht, diese PDF-Datei auf Ihrem Computer zu speichern: holen
-aber gern vorarbeiten, wenn Sie das möchten.
+Sie sich einfach immer die neueste Version aus der Cloud, dann sind sie stets
+auf dem aktuellen Stand.  
 
 Beim Schreiben werden uns ganz bestimmt ein paar Fehler unterlaufen.  Falls Sie
 ein Problem entdecken oder sich nicht sicher sind, sprechen Sie einen
@@ -60,13 +55,13 @@ verwenden.  Wikipedia ist auch noch da.
 
 \item Der Kollege \href{http://math.stanford.edu/~vakil/}{Ravi Vakil} aus
   Stanford gibt regelmäßig Kurse zu
-  \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}.
+  \href{https://math216.wordpress.com/}{Foundations of Algebraic Geometry}. Sein
-  Sein Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
+  Skript \href{http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/}{The Rising Sea:
-    Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bischen lang, aber ein
+  Foundations Of Algebraic Geometry Notes} ist ein bisschen lang, aber ein
   absolutes Muss.  Es gibt auch jede Menge anderes Material, wie einen
-  Youtube-Kanal
+  YouTube-Kanal
   \href{https://www.youtube.com/channel/UCy3u23mZE4TyW88yr6JLx9A}{Algebraic
-    Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten ``Pseudo-Vorlesungen''.
+  Geometry In The Time Of COVID} mit sehr hörenswerten „Pseudo-Vorlesungen“.
 
 \item Teile dieser Vorlesung orientieren sich an dem Einführungstext
   \cite{MR1042981} von William Fulton, das kostenlos auf
@@ -82,10 +77,10 @@ verwenden.  Wikipedia ist auch noch da.
  
 \item Das Buch \cite{Ha77}, das Sie sich
   \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3849-0}{aus dem Universitätsnetz
-    kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den
+  kostenlos herunterladen} können, ist der Klassiker unter den Einführungstexten
-  Einführungstexten in die Algebraische Geometrie.  Das Buch behandelt viel, viel
+  in die Algebraische Geometrie.  Das Buch behandelt viel, viel mehr Material
-  mehr Material als wir in diesem Kurs diskutieren werden.  Aber schon allein
+  als wir in diesem Kurs diskutieren werden.  Aber schon allein das erste
-  das erste Kapitel lohnt sich…
+  Kapitel lohnt sich…
 
 \item Das Buch \cite{Harris95}, das Sie sich ebenfalls
   \href{https://doi.org/10.1007/978-1-4757-2189-8}{kostenlos aus dem
@@ -116,21 +111,21 @@ verwenden.  Wikipedia ist auch noch da.
 
 Sie müssen nicht programmieren können, um an dieser Vorlesung teilzunehmen.
 Computer können Ihnen aber oft helfen, komplizierte Rechnungen zu überprüfen,
-ausserdem kann man schöne Bilder malen.  Wir akzeptieren für Hausaufgaben
+außerdem kann man schöne Bilder malen.  Wir akzeptieren für Hausaufgaben
 Rechnungen mit Computer-Algebra-Systemen, wenn diese nachvollziehbar und gut
 dokumentiert sind.  Das kann zum Beispiel beim Ausmultiplizieren und
 vereinfachen von Polynomen hilfreich sein.  Wenn Sie als Hausaufgabe nachrechnen
 sollen, dass ein gegebenes Polynom $f$ irreduzibel ist, dann werden wir den
-Output von ``\texttt{isIrreducible($f$)}'' aber nicht akzeptieren.
+Output von „\texttt{isIrreducible($f$)}“ aber nicht akzeptieren.
 
 
 \subsubsection*{Sage}
 
 Sage ist ein Computer-Algebra-System, mit dem man jede Art von Rechnungen
 durchführen kann; auf \url{http://www.sagemath.org} können Sie das Programm
-herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc
+herunterladen; dort finden Sie auch unendlich viele Anleitungen, Beispiele, etc.
-etc.  Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren,
+Sie können das Programm entweder auf Ihrem eigenen Computer installieren, oder
-oder den Service CoCals verwenden.
+den Service CoCalc verwenden.
 
 
 \subsubsection*{CoCalc}
@@ -139,15 +134,10 @@ CoCalc, im Internet unter \url{https://cocalc.com} zu finden, ist eine
 Web-Seite, auf der Sie Rechnungen mit Sage durchführen können.  Leider ist der
 kostenlose Dienst manchmal etwas langsam.
 
-Wir stellen Ihnen Beispielrechnung auf unserem
-\href{https://sage.cplx.vm.uni-freiburg.de/share/}{Sage/CoCalc-Server} vor.  Sie
-können sich die Beispiele auf unserem Server ansehen, aber nicht selbst auf dem
-Server rechnen.
-
 
 \subsubsection*{Macaulay2}
 
 Das Standard-Computer-Algebra-System der Algebraischen Geometrie ist
 \href{http://www2.macaulay2.com/Macaulay2/}{Macaulay2}, das Sie sich kostenlos
 herunterladen können.  Macaulay2 kann alles, was wir hier machen, ist aber nicht
-leicht zu benutzen.  Ich werde vielleicht hin und wieder ein Beispiel bringen.
+leicht zu benutzen.

01.tex

@@ -3,7 +3,7 @@
 
 \chapter{Worum geht es in dieser Vorlesung?}
 
-\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' haben wir
+\sideremark{Vorlesung 1}In der Vorlesung „Algebra und Zahlentheorie“ haben wir
 im Wesentlichen einen Körper $k$ und ein Polynom in einer Variable mit
 Koeffizienten in $k$ betrachtet, $f ∈ k[x]$.  Wir interessierten uns zum
 Beispiel für den Zerfällungskörper von $f$ und die zugeordnete Galoisgruppe
@@ -38,56 +38,49 @@ vielleicht die folgenden Fragen stellen.
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Hopf-Rinow#Geod\%C3\%A4tisch_vollst\%C3\%A4ndige_Mannigfaltigkeit}{geodätisch
   vollständig}?  Wie sehen die lokalen/globalen Symmetriegruppen aus?
   
-\item Analysis: Gibt es auf $A$ spezielle Metriken?  Liefern uns die Lösungen
+\item Analysis: Gibt es auf dem Raum $A$ spezielle Metriken?  Liefern uns die
-  geeigneter
+  Lösungen geeigneter
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Monge-Amp\%C3\%A8resche_Gleichung}{Monge-Ampère-Differentialgleichungen}
   vielleicht sogar eine Ricci-flache
   \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_manifold}{Kähler-Einstein-Metrik}?
 \end{itemize}
-Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie ``Krümmung'' oder ``Symmetrie'' , die
+Viele dieser Fragen betreffen Begriffe wie „Krümmung“ oder „Symmetrie“, die
 geometrischer Anschauung zugänglich sind.  Die algebraischen Eigenschaften der
 Gleichungen $f_1$, …, $f_m$ sind nicht sehr anschaulich, erlauben aber direkte
-Rechnungen.  Die ``Algebraische Geometrie'' bringt diese Begriffe zusammen,
+Rechnungen.  Die „Algebraische Geometrie“ bringt diese Begriffe zusammen, wobei
-wobei für viele Mathematiker das Zusammenspiel von ``geometrischer Anschauung''
+für viele Mathematiker das Zusammenspiel von „geometrischer Anschauung“ und
-und ``algebraischer Rechnung'' den Reiz des Gebietes ausmacht.
+„algebraischer Rechnung“ den Reiz des Gebietes ausmacht.
 
-Das Wort ``Zusammenspiel'' klingt dabei vielleicht etwas vage.  Tatsächlich gibt
+Das Wort „Zusammenspiel“ klingt dabei vielleicht etwas vage.  Tatsächlich gibt
-es aber sogar eine ``Äquivalenz von Kategorien''.  Konsequenz: jedes Objekt der
+es aber sogar eine „Äquivalenz von Kategorien“.  Konsequenz: jedes Objekt der
 Algebra und jeder Satz der Algebra ist ein Objekt oder Satz der Geometrie, und
 umgekehrt.  Natürlich ist es nicht immer so, dass besonders einfache Sätze der
 Algebra auch zu besonders einfachen (oder: besonders anschaulichen) Sätzen der
 Geometrie gehören!  Ich möchte mich in dieser Vorlesung nicht mit
-Kategorientheorie und der ``Äquivalenz von Kategorien'' aufhalten.  Stattdessen
+Kategorientheorie und der „Äquivalenz von Kategorien“ aufhalten.  Stattdessen
-verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch ``Algebra
+verfolge ich das bescheidenere Ziel, Stück für Stück ein Wörterbuch „Algebra $⇔$
-$⇔$ Geometrie'' zu entwickeln.
+Geometrie“ zu entwickeln.
 
 \begin{bemerkung}
-  Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der
+  Die Frage nach Zerfällungskörpern und Galoisgruppen die wir in der Vorlesung
-  Vorlesung ``Algebra und Zahlentheorie'' sind nur dann interessant, wenn der
+  „Algebra und Zahlentheorie“ sind nur dann interessant, wenn der Körper $k$
-  Körper $k$ \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist.  Im Gegensatz dazu
+  \emph{nicht} algebraisch abgeschlossen ist.  Im Gegensatz dazu werden wir uns
-  werden wir uns in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch
+  in dieser Vorlesung hauptsächlich für den algebraisch abgeschlossenen Fall
-  abgeschlossenen Fall interessieren.  Der
+  interessieren.  Der
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertscher_Nullstellensatz}{Hilbertsche
   Nullstellensatz}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/David_Hilbert}{David
-      Hilbert} (* 23.  Januar 1862 in Königsberg; † 14.  Februar 1943 in
+  Hilbert} (* 23.~Januar 1862 in Königsberg; † 14.~Februar 1943 in Göttingen)
-    Göttingen) war ein deutscher Mathematiker.  Er gilt als einer der
+  war ein deutscher Mathematiker.  Er gilt als einer der bedeutendsten
-    bedeutendsten Mathematiker der Neuzeit.  Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet
+  Mathematiker der Neuzeit.  Viele seiner Arbeiten auf dem Gebiet der Mathematik
-    der Mathematik und mathematischen Physik begründeten eigenständige
+  und mathematischen Physik begründeten eigenständige Forschungsgebiete.  Mit
-    Forschungsgebiete.  Mit seinen Vorschlägen begründete er die bis heute
+  seinen Vorschlägen begründete er die bis heute bedeutsame formalistische
-    bedeutsame formalistische Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und
+  Auffassung von den Grundlagen der Mathematik und veranlasste eine kritische
-    veranlasste eine kritische Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik
+  Analyse der Begriffsdefinitionen der Mathematik und des mathematischen
-    und des mathematischen Beweises.  Diese Analysen führten zum Gödelschen
+  Beweises.  Diese Analysen führten zum Gödelschen Unvollständigkeitssatz, der
-    Unvollständigkeitssatz, der unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm,
+  unter anderem zeigt, dass das Hilbertprogramm, die von ihm angestrebte
-    die von ihm angestrebte vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht
+  vollständige Axiomatisierung der Mathematik, nicht gänzlich erfüllt werden
-    gänzlich erfüllt werden kann.  Hilberts programmatische Rede auf dem
+  kann.  Hilberts programmatische Rede auf dem internationalen
-    internationalen Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine
+  Mathematikerkongress in Paris im Jahre 1900, in der er eine Liste von 23
-    Liste von 23 mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die
+  mathematischen Problemen vorstellte, beeinflusste die mathematische Forschung
-    mathematische Forschung des 20.  Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum.
+  des 20.~Jahrhunderts nachhaltig.} erklärt, warum.
 \end{bemerkung}
-
-
-%%% Local Variables:
-%%% mode: latex
-%%% TeX-master: "21-KA"
-%%% End:
-

02.tex

@@ -7,33 +7,32 @@
 
 Bevor es richtig losgeht, brauchen wir Beispiele und interessanten polynomialen
 Gleichungssysteme und zugehörigen Lösungsmengen.  Der algebraische Geometer
-spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von ``algebraischen Mengen''.  Klingt
+spricht dabei nicht von Lösungsmengen, sondern von „algebraischen Mengen“.
-besser.
+Klingt besser.
 
-\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}
+\begin{defn}[Algebraische Menge]\label{def:2-1-1}%
-  Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine Teilmenge
+  Es sei $k$ ein Körper und es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl.  Eine Teilmenge $A ⊆ k^m$
-  $A ⊆ k^m$ heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische
+  heißt \emph{algebraische Teilmenge}\index{algebraische Teilmenge des $k^m$},
-    Teilmenge des $k^m$}, falls es Polynome
+  falls es Polynome $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass
-  $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ gibt, sodass
   \[
     A = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ = f_n(\vec{x}) = 0
-    \Bigr\}.
+    \Bigr\}
   \]
   ist.
 \end{defn}
 
 \begin{bemerkung}
   In der Literatur werden algebraische Mengen manchmal als \emph{affine
-    Varietäten} bezeichnet; die meisten Autoren reservieren das Wort
+    Varietäten}\index{affine Varietäten}\index{Varietät!affin} bezeichnet; die
-  ``Varietät'' aber für algebraische Mengen, die mit einer gewissen Topologie
+    meisten Autoren reservieren das Wort „Varietät“ aber für algebraische
-  versehen wurden.  Andere fordern zusätzlich noch, dass man einen Begriff von
+    Mengen, die mit einer gewissen Topologie versehen wurden.  Andere fordern
-  ``algebraischen Funktionen'' definiert.
+    zusätzlich noch, dass man einen Begriff von „algebraischen Funktionen“
+    definiert.
 \end{bemerkung}
 
-\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}
+\begin{notation}[Algebraische Menge]\label{not:2-1-3}%
-  Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien
+  Es sei $k$ ein Körper, es sei $m ∈ ℕ$ eine Zahl und es seien $f_1, …, f_n ∈
-  $f_1, …, f_n ∈ k[x_1, …, x_m]$ Polynome.  Die zugehörende algebraische Menge
+  k[x_1, …, x_m]$ Polynome.  Die zugehörende algebraische Menge wird oft mit
-  wird oft mit
   \[
     V(f_1, …, f_n) = \Bigl\{ \vec{x} ∈ k^m \::\: f_1(\vec{x}) = ⋯ =
     f_n(\vec{x}) = 0 \Bigr\}
@@ -43,8 +42,8 @@ besser.
 
 \begin{bsp}[Der gesamte Raum]
   Es sei $k$ ein Körper.  Der gesamte Raum $k^m$ ist eine algebraische Menge
-  (nehme für $f_{•}$ das Nullpolynom).  Wenn ich von $k^m$ als
+  (nehme für $f_•$ das Nullpolynom).  Wenn ich von $k^m$ als algebraischer Menge
-  algebraischer Menge spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum} und
+  spreche, benutze ich oft das Wort \emph{affiner Raum}\index{affiner Raum} und
   schreibe $𝔸^m$.
 \end{bsp}
 
@@ -63,9 +62,9 @@ besser.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Graph einer rationalen Funktion]
-  Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion.
+  Es sei $k$ ein Körper und es sei $f ∈ k(x)$ eine rationale Funktion. Schreibe
-  Schreibe $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde
+  $f$ als Quotient, $f = a/b$, wobei $a$ und $b ∈ k[x]$ teilerfremde Polynome
-  Polynome sind.  Dann ist der Graph von $f$,
+  sind.  Dann ist der Graph von $f$,
   \[
     A = \Bigl\{ (x,y) ∈ k² \::\: y·b(x)-a(x) = 0 \Bigr\},
   \]
@@ -98,18 +97,18 @@ besser.
   ist eine algebraische Menge.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}
+\begin{bsp}[Elliptische Kurven]\label{bsp:ellipti}%
   Öffnen Sie die
   \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/storage/software/ellipticcurve/wasm/ellipticcurve.html}{folgende
-    Seite} in Ihrem Web-Browser und spielen Sie mit dem Programm
+  Seite} in Ihrem Webbrowser und spielen Sie mit dem Programm
   \href{https://kebekus.gitlab.io/ellipticcurve/de/}{Elliptic Curve Plotter}, um
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Elliptische_Kurve}{elliptische
-    Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen.  Diese Kurven spielen
+  Kurven}\index{elliptische Kurve} im $ℝ²$ zu zeichnen.  Diese Kurven spielen in
-  in der Kryptografie eine wichtige Rolle.  Sie verwenden elliptische Kurven
+  der Kryptografie eine wichtige Rolle.  Sie verwenden elliptische Kurven
   täglich, wenn Sie Daten im Internet übertragen.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
+\begin{bsp}[Kubische Raumkurve]\label{bsp:crk}
   Die algebraische Menge
   \[
     \Bigl\{ (x,y,z) ∈ ℝ³ \::\: y - x² = z-x³=0 \Bigr\}
@@ -122,10 +121,10 @@ besser.
   \href{https://cplx.vm.uni-freiburg.de/de/research-ag/}{meiner Web-Seite} die
   \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Clebsch_surface}{Clebsche
   Diagonalfläche}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Clebsch}{Rudolf
-      Friedrich Alfred Clebsch} (* 19.  Januar 1833 in Königsberg; † 7.  November
+  Friedrich Alfred Clebsch} (* 19.~Januar 1833 in Königsberg; † 7.~November 1872
-    1872 in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge
+  in Göttingen) war ein deutscher Mathematiker, der bedeutende Beiträge zur
-    zur algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die
+  algebraischen Geometrie und zur Invariantentheorie leistete.} an, die auch in
-  auch in Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist.
+  Abbildung~\ref{fig:cds} dargestellt ist.
 \end{bsp}
 
 \begin{figure}
@@ -164,8 +163,8 @@ besser.
 \begin{bsp}[Mechanik]
   Betrachte einen banalen Roboter in der Ebene.  Ein Arm der Länge 2 ist im
   Ursprung befestigt.  An dessen freiem Ende $(x,y)$ ist ein Arm mit Länge 1
-  befestigt.  Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$.  Die Menge der möglichen Zustände
+  befestigt.  Dessen Ende sei im Punkt $(a,b)$.  Die Menge der möglichen
-  des Roboters ist dann die algebraische Menge
+  Zustände des Roboters ist dann die algebraische Menge
   \[
     \Bigl\{ (x,y,a,b) ∈ ℝ⁴ \::\: x² + y² -4 = (x-a)² + (y-b)² -1 = 0 \Bigr\}.
   \]
@@ -175,29 +174,29 @@ besser.
   (mechanische Belastbarkeit der Gelenke, Kollisionsvermeidung, …).  Bei
   Robotern mit mehreren Gelenken wird dies sehr schnell zu einer gigantischen
   Herausforderung!  Für den allereinfachsten Fall googeln Sie mal nach den
-  Worten ``Gelenkviereck'' und ``four-bar linkage''.  Sie werden überrascht
+  Worten „Gelenkviereck“ und „\foreignlanguage{english}{four bar linkage}“.  Sie
-  sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert die Mathematik
+  werden überrascht sein, wie kompliziert die Kurven werden und wie kompliziert
-  wird.
+  die Mathematik wird.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Design]
   Wenn Sie schon einmal mit einem Zeichenprogramm gearbeitet haben, kennen Sie
-  \emph{Bézier-Kurven}\index{Bézier-Kurve}.  Gegeben seien Punkte
+  \emph{Bézierkurven}\index{Bézierkurve}.  Gegeben seien Punkte $p_0, …, p_n ∈
-  $p_0, …, p_n ∈ ℝ²$.  Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$
+  ℝ²$.  Das Ziel ist es, eine optisch schöne Kurve von $p_0$ zu $p_n$ zu
-  zu $p_n$ zu zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft,
+  zeichnen, die die Punkte $p_1, …, p_{n-1}$ nicht unbedingt trifft, aber
-  aber zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft.  Dazu konstruiert man
+  zumindest in der Nähe dieser Punkte verläuft.  Dazu konstruiert man
   Abbildungen $ℝ → ℝ²$,
   \begin{align*}
     B_{p_0, p_1}(t) & = (1-t)·p_0 + t·p_1\\
     \intertext{und dann weiter induktiv}
     B_{p_0,…,p_k}(t) & = (1-t)·B_{p_0,…,p_{k-1}}(t) + t·B_{p_1,…,p_k}(t).
   \end{align*}
-  Die Bézier-Kurve ist dann die eingeschränkte Abbildung
+  Die Bézierkurve ist dann die eingeschränkte Abbildung
   \[
     B_{p_0,…,p_n} : [0, 1] → ℝ².
   \]
-  Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist!
+  Ich behaupte, dass die Bildmenge $B_{p_0,…,p_n}(ℝ)$ algebraisch ist! Sie
-  Sie finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
+  finden Abbildungen und weiterführende Informationen auf
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/B\%C3\%A9zierkurve}{Wikipedia}.
 \end{bsp}
 
@@ -217,9 +216,9 @@ Erbrechen.  Beide Darstellungen haben Ihre Vor- und Nachteile:
 \end{itemize}
 Die Existenz von Parametrisierungen ist vielleicht eine der ersten Fragen, die
 man bezüglich algebraischer Mengen stellen kann.  Wir diskutieren
-``Parametrisierungen durch rationale Funktionen'', wobei die rationalen
+„Parametrisierungen durch rationale Funktionen“, wobei die rationalen Funktionen
-Funktionen nicht überall definiert sein müssen.  Die folgende Definition ist
+nicht überall definiert sein müssen.  Die folgende Definition ist daher
-daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
+vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
 
 \begin{defn}[Rationale Parametrisierung]
   Es sei $k$ ein Körper und es sei $A⊆ k^n$ eine algebraische Menge.  Eine
@@ -244,15 +243,16 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Graphen]
-  Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational parametrisierbar.
+  Graphen von rationalen Funktionen sind trivialerweise rational
+  parametrisierbar.
 \end{bsp}
 
-\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}
+\begin{bsp}[Einheitskreis]\label{bsp:rpek}%
-  Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch
+  Aus der Analysis-Vorlesung wissen wir, dass sich der Kreis durch $α ↦ (\cos α,
-  $α ↦ (\cos α, \sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist
+  \sin α)$ parametrisieren lässt, aber diese Parametrisierung ist nicht sehr
-  nicht sehr algebraisch.  Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon,
+  algebraisch.  Hier ist eine andere Konstruktion: wir wissen schon, dass der
-  dass der Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt.  Gegeben eine Zahl $t$,
+  Punkt $(-1,0)$ auf dem Einheitskreis liegt.  Gegeben eine Zahl $t$, dann
-  dann betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ --
+  betrachten Sie die Gerade durch $(-1,0)$ mit Steigung $t$ --
   Abbildung~\ref{fig:rpk} zeigt den Fall $t = 0.8$.  Diese Gerade schneidet den
   Kreis in $(-1,0)$ und in einem weiteren Punkt $p_t$, der von $t$ abhängt.
   Rechnen Sie die Koordinaten von $p_t$ sofort aus und stellen Sie fest, dass
@@ -262,14 +262,14 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
     φ : ℝ → E, \quad t ↦ \Bigl(\frac{1-t²}{1+t²}, \frac{2t}{1+t²}\Bigr).
   \]
   Mit dieser Parametrisierung lässt sich die Frage beantworten, wie viele Punkte
-  des Einheitskreises rationale Koordinaten haben (``Wie viele \emph{rationale
+  des Einheitskreises rationale Koordinaten haben („Wie viele \emph{rationale
-    Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?'').  Überlegen Sie sich, dass
+  Punkte} gibt es auf dem Einheitskreis?“).  Überlegen Sie sich, dass $φ(t) ∈
-  $φ(t) ∈ ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist.  Cool.  Um zu sehen, wie cool
+  ℚ²$ genau dann gilt, wenn $t ∈ ℚ$ ist.  Cool.  Um zu sehen, wie cool genau,
-  genau, erinnern Sie sich: ein
+  erinnern Sie sich: ein
   \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoreisches_Tripel}{\emph{Pythagoreisches
-      Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, so
+  Tripel}}\index{Pythagoreisches Tripel} ist ein Tripel $(a,b,c) ∈ ℤ³$, sodass
-  dass $a² + b² = c²$ ist.  Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas
+  $a² + b² = c²$ ist.  Pythagoreische Tripel diskutiert man schon etwas länger.
-  länger.  Wikipedia schreibt:
+  Wikipedia schreibt:
   
   \begin{figure}
     \centering
@@ -284,7 +284,7 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
   \begin{quote}
     Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die
     in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v.~Chr.).
-    Die Keilschrifttafel ``Plimpton 322'' enthält 15 verschiedene pythagoreische
+    Die Keilschrifttafel „Plimpton 322“ enthält 15 verschiedene pythagoreische
     Tripel […], was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500
     Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war.  Für Ägypten
     ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln […] aus einem
@@ -300,18 +300,19 @@ daher vielleicht ein wenig komplizierter als man erst einmal denkt.
 \begin{bsp}[Elliptische Kurven]
   Man kann beweisen, dass es im Gegensatz zum Einheitskreis \emph{keine
     algebraische Parametrisierung einer elliptischen Kurve geben kann}!  Das ist
-  gut so.  Die Kurven müssen auch kompliziert sein, sonst würde man sie in der
+    gut so.  Elliptische Kurven müssen kompliziert sein, sonst würde man sie in
-  Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können.
+    der Verschlüsselungstechnik nicht verwenden können.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Kubische Raumkurve]
-  Die kubische Raumkurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert.
+  In Beispiel~\ref{bsp:crk} hatten wir die kubische Raumkurve kennengelernt.
+  Diese Kurve wird durch $t ↦ (t, t², t³)$ parametrisiert.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Clebsche Diagonalfläche]
   Die Clebsche Diagonalfläche kann rational parametrisiert werden, aber das ist
-  vielleicht nicht sehr offensichtlich.  Die Geometrie der 27 Geraden hilft
+  vielleicht nicht sehr offensichtlich.  Bei der Suche nach einer
-  unheimlich!
+  Parametrisierung hilft Geometrie der 27 Geraden unheimlich!
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}[Bézier-Kurven]

gfx/paperVersion-working.tex

@@ -3,19 +3,7 @@
 %
 
 % sideremark
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+\newcommand\sideremark[1]{\marginpar{\tiny \textsf #1}}
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-\end{minipage}
-]
-{
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-\tiny \sf #1
-\end{minipage}
-}}
 
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 \newcommand\questionSign[1]{\marginpar
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 % Macros to produce different text for different versions of the paper.
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