Triviale Verbesserungen

12.tex

@@ -37,7 +37,8 @@ zu Primidealen, das legt die folgende Definition nahe.
   \[
     P_0 ⊊ P_1 ⊊ P_2 ⊊ … ⊊ P_n.
   \]
-  Die Länge einer Primidealkette ist dabei die Anzahl der echten Inklusionen, die in ihr vorkommen.
+  Die Länge einer Primidealkette ist dabei die Anzahl der echten Inklusionen,
+  die in ihr vorkommen.
 \end{defn}
 
 \begin{defn}[Krullsche Dimension einer Varietät]

13.tex

@@ -10,9 +10,9 @@ eines Polynomrings zurückzuführen.  Die Formulierung des Satzes über die
 Noether-Normalisierung ist aber zunächst einmal recht technisch.
 
 \begin{satz}[Noether-Normalisierung]\label{satz:13-0-1}%
-  Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra.  Weiter
+  Es sei $k$ ein Körper und es sei $A$ eine endlich erzeugte $k$-Algebra.
-  sei $I ⊂ A$ ein Ideal.  Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1, …, y_d
+  Weiter sei $I ⊂ A$ ein Ideal.  Dann gibt es Zahlen $α ≤ d$ und Elemente $y_1,
-  ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
+  …, y_d ∈ A$, sodass Folgendes gilt.
   \begin{enumerate}
   \item\label{il:13-0-1-1} Die Menge $\{y_1, …, y_d \}$ ist algebraisch
     unabhängig über $k$.
@@ -302,21 +302,19 @@ ist eine recht einfache Abwandlung der Definition von Dimension.
 \end{bsp}
 
 \begin{bsp}\label{bsp:13-3-9}%
-  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter
+  Es sei $A ⊂ B$ eine ganze Erweiterung von Integritätsringen.  Weiter seien $p
-  seien $p ⊂ A$ und $q ⊂ B$ Primideale, sodass $q$ über $p$ liegt.
+  ⊂ A$ und $q ⊂ B$ Primideale, sodass $q$ über $p$ liegt.
   \begin{itemize}
-    \item Gegeben eine strikte Kette $q_0 ⊊ q_1 ⊊ ⋯
+    \item Gegeben eine strikte Kette $q_0 ⊊ q_1 ⊊ ⋯ ⊊ q_m = q$ von Primidealen
-    ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$, so setze $p_i := q_i ∩ A$ und
+    in $B$, so setze $p_i := q_i ∩ A$ und erhalte eine Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊
-    erhalte eine Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊ p_m = p$
+    p_m = p$ von Primidealen in $A$, die nach Satz~\ref{satz:12-2-9} strikt ist.
-    von Primidealen in $A$, die nach Satz~\ref{satz:12-2-9} strikt ist.
     Insbesondere ist $\height p ≥ \height q$.
 
-    \item Gegeben sei eine strikte Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯
+    \item Gegeben sei eine strikte Kette $p_0 ⊊ p_1 ⊊ ⋯ ⊊ p_m = p$ von
-    ⊊ p_m = p$ von Primidealen in $A$.  Wenn $A$ normal ist, dann gibt
+    Primidealen in $A$.  Wenn $A$ normal ist, dann gibt es nach
-    es nach Satz~\ref{satz:goingDown} (``Going Down'') eine strikte Kette $q_0
+    Satz~\ref{satz:goingDown} („\foreignlanguage{english}{Going Down}“) eine
-    ⊊ q_1 ⊊ ⋯ ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$,
+    strikte Kette $q_0 ⊊ q_1 ⊊ ⋯ ⊊ q_m = q$ von Primidealen in $B$, wobei die
-    wobei die $q_{•}$ über den $p_{•}$ liegen.  Insbesondere ist
+    $q_•$ über den $p_•$ liegen. Insbesondere ist $\height q ≥ \height p$.
-    $\height q ≥ \height p$.
   \end{itemize}
 \end{bsp}
 

14.tex

@@ -52,7 +52,7 @@ gelernt.
 
 Die Lösung für die Schwierigkeit mit den parallelen und nicht-parallelen Geraden
 kannte schon mein Physik-Lehrer: „Zwei parallele Geraden schneiden sich im
-unendlichen“.  Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum
+Unendlichen“.  Das Ziel in letzten Teil dieser Vorlesung ist, den affinen Raum
 $𝔸^n_k$ durch „unendlich ferne Punkte“ zum „projektiven“ Raum $ℙ^n_k$ zu
 ergänzen.  Diese soll die Eigenschaft haben, dass sich zwei Geraden stets in
 einem Punkt schneiden.  Allgemeiner soll also gelten: zwei Kurven $C_1$ und