Disambiguation

06.tex

@@ -185,10 +185,9 @@ Der Beweis von Satz~\ref{satz:6-2-3} kommt gleich.  Zuerst benötige ich noch
 einige Vorüberlegungen.
 
 \begin{lem}[Existenz minimaler Mengen]
-  Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei $n ∈ ℕ$ eine Zahl
-  und es sei
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:6-2-3} sei
   \[
-    X ⊆ \mathcal{P}(𝔸^n_k)
+    M ⊆ \mathcal{P}(𝔸^n_k)
   \]
   eine nicht-leere Menge von algebraischen Mengen des $𝔸^n_k$.  Dann besitzt $X$
   ein Element, das minimales bezüglich Inklusion minimal ist.
@@ -196,29 +195,30 @@ einige Vorüberlegungen.
 \begin{proof}
   Nach dem \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Lemma_von_Zorn}{Lemma von
     Zorn}\footnote{\href{https://de.wikipedia.org/wiki/Max_August_Zorn}{Max
-      August Zorn} (* 6.  Juni 1906 in Krefeld; † 9.  März 1993 in Bloomington,
+    August Zorn} (* 6.~Juni 1906 in Krefeld; † 9.~März 1993 in Bloomington,
     Indiana, USA) war ein US-amerikanischer Professor der Mathematik deutscher
     Abstammung.} genügt es zu zeigen, dass jede absteigende Kette
   \[
-    X_1 ⊇ X_2 ⊇ ⋯
+    M_1 ⊇ M_2 ⊇ ⋯
   \]
-  von algebraischen Mengen stationär wird.  Mit anderen Worten:
+  von algebraischen Mengen $M_i \in M$ stationär wird.  Mit anderen Worten:
   \[
-    ∃ m ∈ ℕ: X_m = X_{m+1} = X_{m+2} = ⋯
+    ∃ m ∈ ℕ: M_m = M_{m+1} = M_{m+2} = ⋯
   \]
-  gilt.  Wir betrachten die zugehörige Kette von Idealen $I(X_1) ⊆ I(X_2) ⊆ ⋯$.
-  Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär.
-  Mit anderen Worten:
+  gilt.  Wir betrachten die zugehörige Kette von Idealen $I(M_1) ⊆ I(M_2) ⊆ ⋯$.
+  Weil der Ring $k[x_1, …, x_n]$ Noethersch ist, wird diese Kette stationär. Mit
+  anderen Worten:
   \[
-    ∃ m ∈ ℕ: I(X_m) = I(X_{m+1}) = I(X_{m+2}) = ⋯.
+    ∃ m ∈ ℕ: I(M_m) = I(M_{m+1}) = I(M_{m+2}) = ⋯.
   \]
   Weil die Abbildungen $I$ und $V$ bijektiv sind, folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
 \begin{lem}
-  Sei $X=X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r$ irgendeine Darstellung von $X$ als Vereinigung von
-  endlich vielen irreduziblen algebraischen Mengen.  Sei $p ⊇ I(X)$ irgendein
-  Primideal.  Dann gibt es einen Index $i$, sodass $p ⊇ I(X_i)$ ist.
+  In der Situation von Satz~\ref{satz:6-2-3} sei $X=X_1 ∪ ⋯ ∪ X_r$ irgendeine
+  Darstellung von $X$ als Vereinigung von endlich vielen irreduziblen
+  algebraischen Mengen.  Sei $p ⊇ I(X)$ irgendein Primideal.  Dann gibt es einen
+  Index $i$, sodass $p ⊇ I(X_i)$ ist.
 \end{lem}
 \begin{proof}
   Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass es für jeden Index $i$

07.tex

@@ -324,7 +324,6 @@ diskutiere hier nur das allererste Beispiel.
   Hausaufgabe!
 \end{proof}
 
-
 \begin{frage}
   Wo habe ich im Beweis von Proposition~\ref{prop:7-3-4} die Annahme „$k$
   algebraisch abgeschlossen“ verwendet.  Ist der Satz vielleicht auch ohne diese