KommutativeAlgebra/11.tex

223 lines
8.7 KiB
TeX
Raw Normal View History

2023-03-30 10:13:25 +02:00
% spell checker language
\selectlanguage{german}
\chapter{Lokale Ringe und Multiplizität von Punkten}
\sideremark{Vorlesung 13}In diesem Kapitel möchte ich die Geometrie aus
Kapitel~\ref{chap:9} und die algebraischen Definitionen von
Kapitel~\ref{chap:10} zusammenbringen. Wir betrachten in diesem Kapitel die
folgende Situation.
\begin{situation}\label{sit:11-1}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $f ∈ k[x,y]$ eine
ebene algebraische Kurve. Weiter sei $p ∈ V(f)$ ein Punkt der Kurve.
\end{situation}
\begin{notation}
In Situation~\ref{sit:11-1} bezeichnen wir den affinen Koordinatenring der
Kurve mit $R$ und betrachten das zum Punkt $p$ gehörende maximale Ideal
$m ⊊ R$. Wie in der algebraischen Geometrie üblich, werden wir die
Lokalisierung $R_m$ mit $𝒪_p(f)$ notieren. Das (nach
Korollar~\ref{kor:10-6-9} eindeutige!) maximale Ideal in $𝒪_p(f)$ bezeichnen
wir mit $m_p$.
\end{notation}
\section{Algebraische Beschreibung der Multiplizität}
Der folgende Satz stellt jetzt den Zusammenhang zwischen der geometrischen Größe
``Multiplizität'' und der Algebra von $𝒪_p(f)$ her. Der Satz sagt insbesondere,
dass man die Multiplizität am lokalen Ring ablesen kann.
\begin{satz}[Algebraische Beschreibung der Multiplizität]\label{satz:11-0-3}
In Situation~\ref{sit:11-1} existiert eine Zahl $N ∈ $, sodass für alle
natürlichen Zahlen $n ≥ N$ die folgende Gleichheit gilt,
\begin{equation}\label{eq:11-0-3-1}
\mult_p(f) = \dim_k \Bigl(\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}\Bigr).
\end{equation}
\end{satz}
\begin{erkl}
Die rechte Seite der Gleichung~\eqref{eq:11-0-3-1} ist vielleicht
erklärungsbedürftig. Um zu verstehen, was die Gleichung eigentlich sagt,
beachte zuerst, dass wir eine Kette von Idealen des Ringes $𝒪_p(f)$ haben,
\[
m_p ⊃ m²_p ⊃ m³_p ⊃ m²_p ⊃ m⁴_p ⊃ ⋯
\]
In \eqref{eq:11-0-3-1} ist also $m^n_p$ ein Ideal von $𝒪_p(f)$ und
$m^{n+1}_p ⊆ m^n_p$ ist ein Unterideal. Jetzt sind Ideale in $𝒪_p(f)$
natürlich Spezialfälle von $𝒪_p(f)$-Moduln. Der Quotient
$\factor{m_p^n}{m_p^{n+1}}$ ist als Quotient von $𝒪_p(f)$-Moduln zu verstehen
und ist deshalb selbst ein $𝒪_p(f)$-Modul. Die Elemente von $k$ können wir
natürlich als Elemente des affinen Koordinatenringes sehen (``konstante
Polynome'') und daher auch als Elemente von $𝒪_p(f)$: Gegeben ein konstantes
Polynom $λ$, betrachte einfach den Bruch $\frac{λ}{1}$. Auf diese Weise
fassen wir den Körper $k$ in trivialer Weise als Unterring von $𝒪_p(f)$ auf.
Dann ist aber jeder $𝒪_p(f)$-Modul trivialerweise auch ein $k$-Modul, und es
sinnvoll, die Dimension dieses Vektorraumes zu diskutieren.
\end{erkl}
\begin{bemerkung}
Satz~\ref{satz:11-0-3} macht präzise, was wir schon im Abschnitt~\ref{sec:11}
angedeutet hatten: Die Multipliziät von Punkten auf einer Kurve ist eine
Eigenschaft, die nur vom affinene Koordinatenring (und dessen maximalen
Idealen) abhängt. Es handelt sich also um eine intrinsische geometrische
Eigenschaft, die nicht davon abhängt, wie die Kurve in einen affinen Raum
eingebettet ist!
\end{bemerkung}
Wir beweisen Satz~\ref{satz:11-0-3} in Kürze. Das folgende vorbereitende Lemma
wird dabei helfen.
\begin{lem}\label{lem:11-1-4}
Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und es sei $I ⊂ k[x,y]$ ein
Ideal, sodass $V(I) = \{ 0 \}$ ist. Betrachte den Quotientenring und das
maximale Ideal des $0$-Punktes,
\[
m := (x,y) ⊊ \factor{k[x,y]}{I} =: R.
\]
Dann ist die Lokalisierungsabbildung $φ : R → R_m$ ein Isomorphismus von
$R$-Moduln.
\end{lem}
\begin{proof}
\video{13-1}
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:11-0-3}]
\video{13-2}
\end{proof}
\subsection{Glatte Punkte und diskrete Bewertungsringe}
\begin{satzdef}
Es sei $R$ ein Ring, der keine Nullteiler enthält und gleichzeitig auch kein
Körper ist. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\begin{enumerate}
\item Der Ring $R$ ist ein lokaler Noetherscher Ring und das maximale Ideal
$m ⊂ R$ ist ein Hauptideal.
\item\label{il:11-0-6-2} Es existiert ein Element $t ∈ R$, sodass jedes
$z ∈ R \{ 0 \}$ eine eindeutige Darstellung der Form $z = u · t^n$
besitzt, wobei $u ∈ R^*$ und $n ∈ $ ist.
\end{enumerate}
Falls die Bedingungen erfüllt ist, so nenne $R$ einen \emph{diskreten
Bewertungsring}\index{diskreter Bewertungsring}. Elemente $t ∈ R$ wie in
\ref{il:11-0-6-2} heißen \emph{uniformisierende
Parameter}\index{uniformisierender Parameter}.
\end{satzdef}
\begin{proof}
\video{13-3}
\end{proof}
Der Begriff des ``uniformisierenden Parameters'' ist vielleicht einigermaßen
selbsterklärend, der Begriff des ``Bewertungsringes'' aber wahrscheinlich nicht.
Es gibt in der Algebra den Begriff der ``diskreten Bewertung eines Körpers''.
\begin{defn}[Diskrete Bewertung eines Körpers]
Es sei $k$ ein Körper. Eine \emph{diskrete Bewertung}\index{diskrete
Bewertung} ist eine Abbildung $ν: K \{ 0 \}$, dass für alle
$x,y ∈ k \{ 0 \}$ folgendes gilt.
\begin{itemize}
\item Es ist $ν(x·y) = ν(x) + ν(y)$.
\item Es ist $ν(x + y)\min \bigl\{ ν(x), ν(y) \bigr\}$.
\end{itemize}
\end{defn}
\begin{bsp}[Null- und Polstellenordnung]\label{bsp:11-1-6}
Wir betrachten den Körper $(x)$ der rationalen Funktionen in einer Variable
und wählen einen Punkt $p ∈ $. Dann definiere eine diskrete Bewertung des
Körpers $(x)$ wie folgt. Gegeben eine rationale Funktion $q(x)(x)$,
setze
\[
ν(q) :=
\begin{cases}
n & \text{falls $q$ bei $p$ eine Nullstelle von Ordnung $n$ hat} \\
-n & \text{falls $q$ bei $p$ eine Polstelle von Ordnung $n$ hat} \\
0 & \text{sonst}
\end{cases}
\]
\end{bsp}
\begin{bsp}[Die $p$-adische Bewertung von $$]
Es sei $p$ eine Primzahl. Die $p$-adische Bewertung $ν(n)$ einer ganzen Zahl
$n$ ist die größte Zahl $k$, sodass $n$ noch durch $p^k$ teilbar ist. Die
$p$-adische Bewertung gibt also an, wie oft die Primzahl $p$ in der
Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt. Die Bewertung $ν$ lässt sich auf den
Körper der rationalen Zahlen fortsetzen: gegeben ein Element
$q = \frac{a}{b}$, so definiere $ν(q) := ν(a)-ν(b)$. Man rechne nach,
dass dies tatsächlich eine diskrete Bewertung von $$ ist.
\end{bsp}
\begin{bsp}[Diskrete Bewertungsringe]\label{bsp:11-1-8}
Wenn $R$ ein diskreter Bewertungsring mit uniformisierenden Parameter $t$ ist,
dann findet man eine diskrete Bewertung auf dem Quotientenkörper $Q(R)$ durch
\[
ν \left(\frac{a}{b}\right) = \text{ (Potenz mit der $t$ in $a$ auftaucht ) -
(Potenz mit der $t$ in $b$ auftaucht)}.
\]
Die Elemente von $R ⊂ Q(R)$ sind dann exakt diejenigen Elemente, die eine
positive Bewertung haben.
\end{bsp}
\begin{aufgabe}
Wie ändert in Beispiel~\ref{bsp:11-1-8} die Bewertung, wenn ich einen anderen
uniformisierenden Parameter wähle?
\end{aufgabe}
\begin{aufgabe}
Erkennen Sie, dass Beispiel~\ref{bsp:11-1-6} ein Spezialfall von
Beispiel~\ref{bsp:11-1-8} ist? Welcher Ring übernimmt in
Beispiel~\ref{bsp:11-1-6} die Rolle von $R$ und welches Element von $R$ ist
für die Rolle des uniformisierenden Parameters geeignet.
\end{aufgabe}
\begin{satz}[Charakterisierung von einfachen Punkten]\label{satz:11-1-10}
In Situation~\ref{sit:11-1} sind die folgenden Aussagen
äquivalent.
\begin{enumerate}
\item Der Ring $𝒪_p(f)$ ist ein diskreter Bewertungsring.
\item Es ist $\mult_p(f) = 1$. Mit anderen Worten: $p$ ist ein einfacher
Punkt der Kurve.
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
\video{13-4}
\end{proof}
\begin{bemerkung}
Wenn man ein wenig aufpasst, zeigt der Beweis von Satz~\ref{satz:11-1-10} noch
etwas mehr: Sei $ ∈ k[x,y]$ ist eine Gerade\footnote{also Polynom von Grad
1}, die den Punkt $p$ enthält. Wenn $$ in $p$ \emph{keine}
Tangentialgerade an $V(f)$ ist, dann ist das Bild von $$ im lokalen Ring
$𝒪_p(f)$ ein uniformisierender Parameter.
\end{bemerkung}
Tabelle~\ref{tab:11-1} fasst die Ergebnisse dieses Kapitels zusammen.
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{p{7cm}p{7cm}}
\rowcolor{lightgray} \textbf{Algebra} & \textbf{Geometrie} \\
maximale Ideale im Koordinatenring $k[X]$ & Punkte \\
maximale Ideale $m ⊊ k[X]$, sodass der lokale Ring $𝒪_p(X)$ ein diskreter Bewertungsring ist & einfache Punkte \\
Dimension von $m_p^n/m_p^{n+1}$ für großes $n$ & Multiplizität des Punktes $p$ in $X$
\end{tabular}
\bigskip
Es sei $X$ eine ebene, algebraische Kurve und $p$ ein Punkt von $X$.
\caption{Wörterbuch: einfache und singuläre Punkte von algebraischen Kurven}
\label{tab:11-1}
\end{table}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "21-KA"
%%% End: