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\selectlanguage{german}
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\chapter{Der Riemannsche Abbildungssatz}
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\begin{satz}[Riemannscher Abbildungssatz]\label{satz:14-5-1}%
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\index{Riemannscher Abbildungssatz}Es sei $U ⊊ ℂ$ offen, zusammenhängend und
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einfach zusammenhängend. Dann ist $U$ biholomorph zur Kreisscheibe $B_1(0)$.
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\end{satz}
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\begin{bem}
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Die Annahme $U ⊊ \bC$ ist wichtig, denn $U = \bC$ ist nicht biholomorph zu
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$B_1(0)$.
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\end{bem}
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\section{Der Satz von Montel}
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Ein wesentlicher technisches Hilfsmittel im Beweis ist der folgende Satz über
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gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen. In der Literatur findet man statt
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„gleichmäßig beschränkt“ manchmal auch den Begriff „betragsmäßig simultan
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beschränkt“.
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\begin{defn}[Gleichmäßig beschränkte Funktionenfolgen]\label{def:15-0-3}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen. Eine Funktionenfolge $f_n : U → ℂ$ ist \emph{gleichmäßig
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beschränkt}\index{gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn eine Zahl $R
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∈ ℝ$ existiert, sodass für jedes $p ∈ U$ und jedes $n ∈ ℕ$ die Ungleichung
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$|f_n(p)| < R$ gilt. Die Funktionenfolge ist \emph{lokal gleichmäßig
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beschränkt}\index{local gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge}, wenn jeder
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Punkt $p ∈ U$ eine Umgebung $V = V(p) ⊂ U$ hat, sodass $f_n|_V : V → ℂ$
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gleichmäßig beschränkt ist.
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\end{defn}
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\begin{satz}[Satz von Montel\footnote{Paul Antoine Aristide Montel (* 29.~April
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1876 in Nizza; † 22.~Januar 1975 in Paris) war ein französischer
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Mathematiker.}]\label{satz:15-0-4}%
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Es sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f_n ∈ 𝒪(U)$ eine lokal gleichmäßig beschränkte
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Folge von holomorphen Funktionen. Dann gibt es eine Teilfolge, die lokal
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gleichmäßig konvergiert.
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\end{satz}
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\begin{erinnerung}[Satz von Heine\footnote{Heinrich Eduard Heine (* 18.~März
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1821 in Berlin; † 21.~Oktober 1881 in Halle (Saale)) war ein deutscher
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Mathematiker und Hochschullehrer.}--Borel\footnote{Félix Édouard Justin
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Émile Borel (* 7.~Januar 1871 in Saint-Affrique, Département Aveyron, Region
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Midi-Pyrénées; † 3.~Februar 1956 in Paris) war ein französischer
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Mathematiker und Politiker.}]%
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Es sei $a_n$ eine beschränkte Folge von komplexen Zahlen. Dann gibt es eine
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konvergente Teilfolge. Im Kontext von Satz~\ref{satz:15-0-4} bedeutet das:
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wenn ein Punkt $p ∈ U$ gegeben ist, dann gibt es eine Teilfolge $f_{n_1},
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f_{n_2}, …$, sodass $f_{n_k}(p)$ konvergiert.
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\end{erinnerung}
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\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 1 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-4}%
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Wir wissen, dass es eine abzählbare Basis der Topologie gibt. Insbesondere
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gibt es eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, p_3, …$ von $U$.
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\begin{itemize}
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\item Es gibt Teilfolgen $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$, die bei $p_1$
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konvergiert.
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\item Davon gibt es Teilfolgen $f_{n_1''}, f_{n_2''}, f_{n_3''}, …$, die bei
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$p_1$ und $p_2$ konvergiert.
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\item …
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\end{itemize}
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Am Ende gilt: die Teilfolge $f_{n_1'}, f_{n_2'}, f_{n_3'}, …$ konvergiert bei
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allen $p_k$!
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\end{vorueberlegung}
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\begin{vorueberlegung}[Vorbereitung 2 zum Satz von Montel]\label{vor:15-0-5}%
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Wenn eine Kreisscheibe $\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben ist, dann gilt für jede
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Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_r(p)$ nach der Integralformel für
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Ableitungen die Gleichung
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\[
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f_n'(w) = \frac{1}{2π} \int_{∂ B_r(p)} \frac{f_n(z)}{(z-w)²}\,dz.
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\]
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Beachte:
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\begin{itemize}
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\item Die Funktionswerte $f_n(z)$ ist per Annahme betragsmäßig beschränkt.
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\item Auf $B_{r/2}(p)$ ist die Funktion $\frac{1}{(z-w)²}$ ebenfalls
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betragsmäßig beschränkt.
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\end{itemize}
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Wir erhalten: Die Funktion $f_n'(w)$ ist lokal beschränkt. Genauer: es
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existiert $M ∈ ℝ$, sodass für jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈
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B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
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\[
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|f_n'(w)| < M
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\]
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gilt.
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\end{vorueberlegung}
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Der folgenden Mittelwert- und Beschränktheitssatz sing nun eine direkte
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Konsequenz der Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-5}.
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\begin{konsequenz}[Mittelwertsatz]
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In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei eine Kreisscheibe
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$\overline{B_r(p)} ⊂ U$ gegeben. Dann existiert eine Zahl $M ∈ ℝ$, sodass für
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jede Zahl $n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{r/2}(p)$ die Ungleichung
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\[
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|f_n(p) - f_n(w)| < M · |p-w|
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\]
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gilt. \qed
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\end{konsequenz}
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\begin{konsequenz}[Beschränktheitssatz]\label{kon:15-0-6}%
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In der Situation von Satz~\ref{satz:15-0-4} sei ein Punkt $p ∈ U$ und eine
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Zahl $ε > 0$ gegeben. Dann existiert eine positive Zahl $δ_{p, ε} > 0$,
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sodass die Kreisscheibe $B_{δ_{p, ε}}(p)$ ganz in $U$ liegt und für jede Zahl
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$n ∈ ℕ$ und jeden Punkt $w ∈ B_{δ_{p, ε}}(p)$ die Ungleichung
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\[
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|f_n(p) - f_n(w)| < ε/3
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\]
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gilt. \qed
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\end{konsequenz}
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\begin{proof}[Beweis des Satzes~\ref{satz:15-0-4} von Montel]
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Nach Vorüberlegung~\ref{vor:15-0-4} können wir die Folge $f_n$ (falls nötig)
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durch eine Teilfolge ersetzen und ohne Beschränkung der Allgemeinheit
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annehmen, dass eine abzählbare, dichte Teilmenge $p_1, p_2, … ∈ U$ existiert,
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sodass $f_n(p_k)$ konvergiert.
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Wir werden zeigen, dass die Folge $f_n$ dann bereits lokal gleichmäßig
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konvergiert: gegeben ein Kompaktum $K ⊂ U$, so gibt es für jedes $ε > 0$ einen
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Index $N$, sodass für alle $n, m > N$ und jedes $p ∈ K$ die Ungleichung
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\[
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|f_n(p) - f_m(p)| < ε
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\]
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gilt. Seien also $K$ und $ε$ gegeben.
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Man beachte: Die Kreisscheiben $B_{δ(p_i, ε/3)}(p_i)$ aus
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Konsequenz~\ref{kon:15-0-6} („Beschränktheitssatz“) bilden eine offene
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Überdeckung von $U$. Weil $K$ kompakt ist, überdecken endlich viele dieser
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Kreisscheiben die Menge $K$. Nach Umnummerierung seien dies
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\[
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B_{δ_{p_1, ε/3}}(p_1), …, B_{δ_{p_{ℓ}, ε/3}}(p_{ℓ}).
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\]
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Jetzt kann ich nach Annahme $N ∈ ℕ$ wählen, sodass alle $n, m > N$ und jeden
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Index $1 ≤ i ≤ ℓ$ die Ungleichung
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\[
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|f_n(p_i) - f_m(p_i)| < ε/3
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\]
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gilt. Gegeben irgendeinen $p ∈ K$, so gibt es nun ein $p_i$, mit $1 ≤ i ≤ ℓ$,
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sodass $p ∈ B_{δ_{p_i, ε/3}}(p_i)$ ist und für alle $n, m > N$ gilt:
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\begin{align*}
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|f_n(p_i) - f_m(p)| & = |f_n(p) - f_n(p_i) + f_n(p_i) - f_m(p_i) + f_m(p_i) - f_m(p)| \\
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& ≤ |f_n(p) - f_n(p_i)| + |f_n(p_i) - f_m(p_i)| + |f_m(p_i) - f_m(p)| \\
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& ≤ ε.
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\end{align*}
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Damit ist der Satz bewiesen.
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\end{proof}
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% !TEX root = Funktionentheorie
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