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\selectlanguage{german}
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\chapter{Harmonische Funktionen}
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In der angewandten Mathematik, Physik und Stochastik treten häufig
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\emph{harmonische Funktionen} auf. Das sind Funktionen, die die
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Mittelwert-Eigenschaft per Definition erfüllen.
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\begin{definition}
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Sei $U ⊂ ℝ²$ offen. Eine stetige Funktion $f : U → ℝ$ heißt
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\emph{harmonisch}\index{harmonische Funktion}, wenn für jede Kreisscheibe
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$B_r(p) ⊂ U$ gilt:
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\[
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f(p) = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(p + e^{it})\,dt.
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\]
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Der Funktionswert im Mittelpunkt $p$ ist also das Mittel der Funktionswerte am
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Rand der Kreisscheibe.
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\end{definition}
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\begin{bsp}[Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen]
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Proposition~\ref{satz:5-2-1} („Mittelwertsatz“) besagt unter anderem, dass
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Real- und Imaginärteil holomorpher Funktionen harmonisch sind.
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\end{bsp}
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\section{Konsequenzen von Harmonizität}
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\begin{prop}[Maximumprinzip für harmonische Funktionen]\label{prop:14-1-1}%
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\index{Maximumprinzip für harmonische Funktionen}Es sei $U ⊂ ℝ²$
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zusammenhängend und offen und es sei $f : U → ℝ$ harmonisch. Wenn $f$ auf $U$
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ein Maximum oder Minimum erreicht, dann ist $f$ konstant.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Angenommen, ein Maximum
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\[
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M := \max\{ f(z) \mid z ∈ U \}
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\]
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existiert und es sei $p$ ein Punkt aus $U$ mit $f(p) = M$. Wenn $ε ≪ 1$
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ausreichend klein ist, dann ist $B_ε(p) ⊂ U$ und es gilt für jeden Punkt $z ∈
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∂B_ε(p)$ die Ungleichung $f(z) ≤ f(p)$. Die Gleichung
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\[
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f(p) = \frac{1}{2π} \int_0^{2π} f(p + ε · e^{it})\,dt
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\]
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zeigt dann, dass für jeden Punkt $z ∈ ∂B_ε(p)$ bereits die Gleichung $f(z) =
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f(p)$ gelten muss. Es folgt, dass $f$ auf $B_ε(p)$ konstant ist. In der
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Summe sehen wir, dass die Menge
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\[
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\{z ∈ U \::\: f(z) = M\} ⊆ U
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\]
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offen ist. Da diese Menge offensichtlich auch abgeschlossen ist, folgt die
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Behauptung.
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\end{proof}
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\begin{prop}
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Es sei $p ∈ ℝ²$ und $r > 0$. Weiter seien $f_1, f_2 : \overline{\bar{B}_r(p)}
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→ ℝ$ zwei stetige Funktionen, die auf $B_r(p)$ harmonisch sind und auf dem
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Rand $∂\bar{B}_r(p)$ übereinstimmen. Dann ist $f_1 = f_2$.
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\end{prop}
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\begin{proof}
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Die Funktion $f := f_1 - f_2$ ist stetig auf $B_r(p)$ harmonisch und auf dem
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Rand $∂\bar{B}_r(p)$ gleich null. Als stetige Funktion auf der kompakten
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Menge $\overline{\bar{B}_r(p)}$ nimmt $f_1 - f_2$ ein Maximum und Minimum an.
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Sollten diese ungleich Null sein, so würden diese an einem Punkt im Innern von
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$B_r(p)$ angenommen. Dann ist $f_1 - f_2$ aber nach Satz~\ref{prop:14-1-1}
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konstant.
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\end{proof}
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\section{Konstruktion von harmonischen Funktionen}
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\begin{konstruktion}[Funktionen vom Rand der Kreisscheibe in das Innere Fortsetzen]\label{konst:14-2-1}%
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Es sei $S¹ ⊂ ℂ$ der Einheitskreis und $h : S¹ → ℝ$ sei stetig. Dann betrachte
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\[
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\bar{h} : \overline{B_1(0)} → ℝ,
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\quad
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z ↦
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\begin{cases}
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h(z) & \text{falls } |z| = 1 \\
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\frac{1}{2π} \int_0^{2π} h(e^{it}) · \operatorname{Realteil}\left(\frac{e^{it} + z}{e^{it} - z}\right)\,dt & \text{sonst}.
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\end{cases}
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\]
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Eine mühsame Rechnung, die ich mir spare, zeigt Folgendes.
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\begin{itemize}
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\item Die Funktion $\bar{h}$ ist auf der abgeschlossenen
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Einheitskreisscheibe stetig.
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\item Die Funktion $\bar{h}$ ist auf der offenen Einheitskreisscheibe
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harmonisch.
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\end{itemize}
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\end{konstruktion}
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\begin{rem}[Poisson\footnote{Siméon Denis Poisson (* 21.~Juni 1781 in Pithiviers
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(Département Loiret); † 25.~April 1840 in Paris) war ein französischer
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Physiker und Mathematiker.}-Transformation und Fourier\footnote{Baron Jean
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Baptiste Joseph Fourier (* 21. März 1768 bei Auxerre; † 16. Mai 1830 in
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Paris) war ein französischer Mathematiker und Physiker.}-Transformation]%
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Der Integralausdruck aus Konstruktion~\ref{konst:14-2-1} ist in der Analysis
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wichtig und wird als „Poisson-Transformation“\index{Poisson-Transformation}
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der Funktion $h$ bezeichnet. Die Poisson-Transformation ist eng mit der
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Fourier-Transformation von $h$ verwandt! Um den Zusammenhang zu sehen,
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betrachte die Fourier-Entwicklung der periodischen Funktion
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\[
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h' : ℝ → ℝ, \quad t ↦ h(\exp(it)),
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\quad
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t ↦ \sum_{k ∈ ℤ} a_k \exp(ikt).
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\]
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Setze jeden Term ein in die Formel aus Konstruktion~\ref{konst:14-2-1} ein
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schaue, was passiert.
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\end{rem}
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\begin{kons}[Holographieprinzip für harmonische Funktionen]
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Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ ℂ$ und eine stetige Funktion $h : ∂B_r(p)
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→ ℝ$, so gibt es genau eine stetige Funktion $\bar{h} : \overline{B_r(p)} →
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ℝ$, die auf dem Rand mit $h$ übereinstimmt und im Innern harmonisch ist. \qed
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\end{kons}
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\begin{kons}[Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen]
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Gegeben eine Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ ℂ$ und eine harmonische Funktion $h :
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B_r(p) → ℝ$. Dann ist $h$ der Realteil einer holomorphen Funktion.
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\end{kons}
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\begin{proof}
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Wir wissen aus Satz~\vref{satz:3-1-12} („Ableiten unter dem Integral“), dass
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die Abbildung
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\[
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B_r(ρ) → ℂ, \qquad z ↦ \frac{1}{2π} \int_0^{2π} h(e^{it}) ·
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\frac{e^{it} + z}{e^{it} - z}\,dt
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\]
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holomorph ist.
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\end{proof}
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\section{Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen}
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\begin{bsp}[Harmonische Funktionen sind nicht immer Realteile holomorpher Funktionen]
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Im Allgemeinen sind harmonische Funktionen nicht unbedingt Realteile von
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holomorphen Funktionen. Betrachte zum Beispiel den Hauptzweig des Logarithmus
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\[
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\log : ℂ^* → ℂ, \quad z ↦ \log|z| + i · \arg(z).
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\]
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Wir wissen schon: diese Funktion ist nicht stetig, weil $\arg$ nicht stetig
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ist. Der Realteil, die Funktion $h : z ↦ \log|z|$, ist aber auf ganz $ℂ^*$
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harmonisch. Die Funktion $h$ ist aber nicht der Realteil einer holomorphen
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Funktion auf $ℂ^*$. Falls $h$ nämlich der Realteil einer holomorphen Funktion
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$φ ∈ 𝒪(ℂ^*)$ wäre, dann wäre
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\[
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\operatorname{Realteil}(φ ◦ \exp - \Id) = 0.
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\]
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Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen, Korollar~\vref{kor:7-2-2},
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ist dann auch $φ ◦ \exp - \Id = 0$. Also wäre $φ$ eine Logarithmus-Funktion.
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Eine solche Funktion existiert aber nicht einmal als stetige Funktion, wie wir
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spätestens seit Lemma~\ref{lem:1-2-15} wissen.
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\end{bsp}
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\begin{satz}[Harmonische Funktionen als Realteile holomorpher Funktionen]\label{satz:14-3-2}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ einfach zusammenhängend, $f : U → ℝ$. Dann sind folgende Aussagen
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äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item Die Funktion $f$ ist harmonisch.
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\item\label{il:14-3-2-2} Die Funktion $f$ ist Realteil einer holomorphen
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Funktion.
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\end{enumerate}
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Insbesondere gilt: Die holomorphe Funktion $f$ aus \ref{il:14-3-2-2} ist
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eindeutig bis auf Addition mit einer rein imaginären Zahl.
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\end{satz}
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Wir beweisen Satz~\ref{satz:14-3-2} auf Seite~\vpageref{pf:14-3-2}.
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\section{Infinitesimale Beschreibung harmonischer Funktionen}
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\begin{satz}[Infinitesimale Beschreibung harmonischer Funktionen]\label{satz:14-4-1}%
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Sei $U ⊂ ℂ$ offen und $f : U → ℝ$ harmonisch. Dann sind folgende Aussagen
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äquivalent.
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\begin{enumerate}
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\item\label{il:14-4-1-1} Die Funktion $f$ ist harmonisch.
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\item\label{il:14-4-1-2} Die Funktion $f$ ist zweimal stetig differenzierbar
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und es ist
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\[
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Δf = \left(\frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}\right) f = 0.
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\]
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{notation}[Laplace\footnote{Pierre-Simon Laplace, seit 1817 Marquis de
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Laplace (* 23.~März 1749 in Beaumont-en-Auge in der Normandie; † 5.~März
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1827 in Paris) war ein französischer Mathematiker, Physiker und Astronom. Er
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beschäftigte sich unter anderem mit der Wahrscheinlichkeitstheorie und mit
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Differenzialgleichungen.}-Operator]%
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Statt $\left(\frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}\right) f$ schreibt man oft $Δf$.
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Der Differenzialoperator $Δ = \frac{∂²}{∂x²} + \frac{∂²}{∂y²}$ wird auch als
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\emph{Laplace-Operator}\index{Laplace-Operator} bezeichnet.
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\end{notation}
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\begin{rem}[Differenzialoperatoren, Vorüberlegung zum Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}]
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Wenn eine Funktion $g : U → ℝ$ oder $g : U → ℂ$ zweimal differenzierbar ist,
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dann ist
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\begin{align*}
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\frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} g & = \frac{∂}{∂\bar{z}} \left(\frac{1}{2}\left(\frac{∂g}{∂x} + i\frac{∂g}{∂y}\right)\right) \\
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& = \frac{1}{4} \left(\frac{∂²g}{∂x²} - i\frac{∂²g}{∂x∂y} + i\left(\frac{∂²g}{∂y∂y} - i\frac{∂²g}{∂y²}\right)\right) \\
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& = \frac{1}{4} \, Δg.
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\end{align*}
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\end{rem}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}, Implikation \ref{il:14-4-1-1} $⇒$ \ref{il:14-4-1-2}]
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Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass $U$ eine
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Kreisscheibe ist. Dort kann ich $f$ mithilfe der Poisson-Transformation als
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Realteil einer holomorphen Funktion $f' ∈ 𝒪(U)$ schreiben. Dann ist
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$\frac{∂f'}{∂z}$ holomorph. Also gilt
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\[
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Δ(\text{Realteil} f') + iΔ(\text{Imaginärteil} f') = Δf' = \const⁺·\frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f' = 0.
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\]
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Also ist $Δf = 0$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-4-1}, Implikation \ref{il:14-4-1-2} $⇒$ \ref{il:14-4-1-1}]
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Per Annahme ist
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\[
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0 = Δf = \frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f.
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\]
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Also ist die Funktion
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\[
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\frac{∂f}{∂z} = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y}
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\]
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bereits holomorph! Jetzt müssen wir testen, ob $f$ harmonisch ist. Sei also
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eine beliebige Kreisscheibe $B_r(p) ⊂ U$ gegeben. Dann ist für $ε ≪ 1$ auch
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$B_{r+ε}(p) ⊂ U$ und dort hat die holomorphe Funktion $\frac{∂f}{∂z}$ eine
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Stammfunktion $F ∈ 𝒪(B_{r+ε}(p))$. Es ist aber
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\[
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\begin{matrix}
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\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂z} & = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y} \\
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\frac{∂F}{∂y} & = i\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂y} + i\frac{∂f}{∂x}.
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\end{matrix}
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\]
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Also ist
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\[
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\operatorname{grad} \operatorname{Realteil}(F) = \operatorname{grad} f.
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\]
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Die Funktionen $\operatorname{Realteil}(F)$ und $f$ unterscheiden sich also
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nur um eine additive Konstante. Daher ist $f = \operatorname{Realteil}(F) +
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\const$ auf $B_{r+ε}(p)$ Realteil einer holomorphen Funktion, also harmonisch!
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\end{proof}
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Der gerade geführte Beweis liefert fast wörtlich auch einen Beweis von
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Satz~\ref{satz:14-3-2}.
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\begin{proof}[Beweis von Satz~\ref{satz:14-3-2}]\label{pf:14-3-2}%
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Per Annahme ist $0 = Δf = \frac{∂}{∂\bar{z}} \frac{∂}{∂z} f$. Also ist die
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Funktion
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\[
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\frac{∂f}{∂z} = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y}
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||
\]
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bereits holomorph! Jetzt müssen wir testen, ob $f$ harmonisch ist. Weil $U$
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per Annahme einfach zusammenhängend ist, gibt es nach Korollar~\ref{kor:4-3-4}
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eine Stammfunktion $F ∈ 𝒪(B_{r+ε}(p))$. Es ist aber
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\[
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\begin{matrix}
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\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂z} & = \frac{∂f}{∂x} - i\frac{∂f}{∂y} \\
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||
\frac{∂F}{∂y} & = i\frac{∂F}{∂x} & = \frac{∂f}{∂y} + i\frac{∂f}{∂x}.
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||
\end{matrix}
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\]
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Die Funktionen $\operatorname{Realteil}(F)$ und $f$ unterscheiden sich also
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nur um eine additive Konstante. Daher ist $f = \operatorname{Realteil}(F) +
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\const$ auf $B_{r+ε}(p)$ Realteil einer holomorphen Funktion, also harmonisch!
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\end{proof}
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% !TEX root = Funktionentheorie
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