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\chapter{Der Residuensatz}
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In diesem Abschnitt sei $U ⊂ ℂ$ offen, es sei $P ⊂ U$ endlich, und es $f ∈ 𝒪(U
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∖ P)$ eine holomorphe Funktion mit isolierten Singularitäten bei $P$. Gegeben
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einen geschlossenen Weg $γ: [a,b] → U ∖ P$, der in $U$ zusammenziehbar ist, dann
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fragen wir nach Möglichkeiten, das Integral
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\[
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\int_{γ} f(z) \, dz
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\]
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einfach zu berechnen. Einige Fälle kennen wir schon.
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\begin{bemerkung}[Integralsatz von Cauchy]
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Falls $P = ∅$ die leere Menge ist, also $f ∈ 𝒪(U)$, dann sagt
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Korollar~\ref{kor:4-3-2} („Integralsatz von Cauchy“), dass das gesuchte
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Integral verschwindet,
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\[
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\int_{γ} f(z) \, dz = 0.
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\]
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}[Umlaufsinn ist wichtig]\label{bem:12-0-2}%
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Wenn $\overline{γ}$ derselbe Weg wie $γ$ ist, aber entgegengesetzter Richtung
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läuft, dann gilt
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\[
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\int_{\overline{γ}} f(z) \, dz = -\int_{γ} f(z) \, dz.
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\]
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Also muss es eine Rolle spielen, wie $γ$ durchlaufen wird.
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\end{bemerkung}
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\begin{bemerkung}[Spezielle Koeffizienten der Laurent-Entwicklung]
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Es sei $U = ℂ$ $P = \{rho\}$ sei ein einziger Punkt. Schreibe $f$ als
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Laurentreihe,
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\[
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f(z) = \sum_{k=-∞}^∞ c_k (z-p)^k.
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\]
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Dann gilt nach Korollar~\ref{kor:10-2-5} für jede reelle Zahl $r ∈ ℝ⁺$ die
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Gleichung
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\[
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\frac{1}{2π i} \int_{\mathcal{B}_R(p)} f(z) \, dz = c_{-1}.
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\]
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Der Koeffizient $c_{-1}$ der Laurententwicklung scheint also eine besondere
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Rolle zu spielen.
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\end{bemerkung}
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\section{Die Umlaufzahl}
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Der Begriff „Umlaufzahl“ präzisiert die in \ref{bem:12-0-2} gemachte
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Beobachtung.
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\begin{satz}[Umlaufzahl]\label{satz:12-2-1}%
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Sei $p ∈ ℂ$ und $γ: [0,1] → ℂ ∖ \{p\}$ ein stetiger, geschlossener Weg. Dann
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gibt es genau eine Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
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\[
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[0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ p + \exp(2π int)
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\]
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ist, nämlich
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\[
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n = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{1}{z-p} \, dz.
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\]
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\end{satz}
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Wir beweisen Satz~\ref{satz:12-2-1} später. Zunächst definieren wir die
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Umlaufzahl und diskutieren den Inhalt des Satzes geometrisch.
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\begin{definition}[Umlaufzahl]\label{def:12-2-2}%
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In der Situation von Satz~\ref{satz:12-2-1} heißt $n$ die
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\emph{Umlaufzahl}\index{Umlaufzahl} oder
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\emph{Windungszahl}\index{Windungszahl} des Weges $γ$ um und Punkt $p$. Die
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Schreibweise $\Um(γ, p)$ ist üblich.
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\end{definition}
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\subsection{Anschauliche Bedeutung der Umlaufzahl}
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Anschaulich gesprochen: Die Umlaufzahl zählt, wie oft $γ$ den Punkt $p$ entgegen
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dem Uhrzeigersinn umläuft (Umrundungen im Uhrzeigersinn werden mit $-1$
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gezählt). Mit den folgenden goldenen Regeln kann man die Umlaufzahl praktisch
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ermitteln, wenn man den Weg $γ$ zeichnerisch gegeben hat und wenn der Weg $γ$
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einfach durchlaufen wird. Dabei bedeutet „einfach durchlaufen“, dass es eine
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endliche Menge $Z ⊂ [0,1]$ gibt, sodass $γ|_{[0,1] ∖ Z}$ injektiv ist.
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\begin{description}
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\item[Goldene Regel 1] Die Umlaufzahl $\Um(γ, p)$ hängt nur von der
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Zusammenhangskomponente von $ℂ ∖ \Bild(γ)$ ab, in der sich der Punkt $p$
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befindet.
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\item[Goldene Regel 2] Auf der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von $\bC
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∖ \Bild(γ)$ ist die Umlaufzahl gleich $0$.
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\item[Goldene Regel 3] Die Windungszahl in benachbarten
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Zusammenhangskomponenten unterscheidet sich um $± 1$, wobei die größere Zahl
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in Fahrtrichtung links liegt.
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\end{description}
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Abbildung~\ref{fig:12-1-1} zeigt, was dabei herauskommt. Wir beweisen die
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goldenen Regeln nicht wirklich vollständig, sondern geben nur gute Gründe für
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deren Gültigkeit an. Details sind Inhalt der Vorlesung „Topologie“.
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\begin{figure}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=4cm]{12-res1.png}
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\end{center}
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\caption{Anwendung der Goldenen Regeln}
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\label{fig:12-1-1}
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\end{figure}
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\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 1]
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Der Satz über parameterabhängige Integral zeigt, dass die Funktion
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\[
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\Um(γ, ·): ℂ ∖ \Bild(γ) → ℤ
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\]
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stetig ist. Die Aussage folgt, weil die Bildmenge $ℤ$ diskret ist.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 2]
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In der Topologie zeigt man: Der Weg $γ$ ist in $ℂ ∖ \{p\}$ zusammenziehbar,
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falls $p$ in der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von $γ$ liegt. Die
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Aussage folgt dann aus Korollar~\ref{kor:4-3-2} („Integralsatz von Cauchy“),
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\[
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\int_γ \frac{1}{z-p} \, dz = \Um(γ, p) = 0.
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\]
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\end{proof}
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\begin{proof}[Begründung zur Goldenen Regel 3]
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Seien $p_1, p_2 ∈ ℂ ∖ \Bild(γ)$ in benachbarten Zusammenhangskomponenten. Das
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sieht dann etwa so aus:
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\begin{center}
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\includegraphics[width=14cm]{12-res2.png}
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\end{center}
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Wir ändern den Weg $γ$ wie eingezeichnet ab und vergleichen die Umlaufzahlen
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der Wege $γ$ und $\widetilde{γ}_{ε}$. Es ist
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\[
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\Um(γ, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_1) = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_2).
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\]
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Dabei gilt das erste Gleichheitszeichen, weil der Weg $γ$ in $ℂ ∖ \{p_1\}$
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homotop zu $\widetilde{γ}_{ε}$ ist. Die zweite Gleichheit gilt nach der
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Goldenen Regel 1, weil $p_1$ und $p_2$ in derselben Zusammenhangskomponente
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von $ℂ ∖ \Bild(\widetilde{γ}_{ε})$ ist. Die Umlaufzahl $\Um(\widetilde{β},
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p_2)$ hängt natürlich nicht von der Größe $ε$ ab. Wenn man $ε$ gegen null
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gehen lässt, erhält man folgendes Bild:
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\begin{center}
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\includegraphics[width=6cm]{12-res3.png}
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\end{center}
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Dann ist
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\begin{align*}
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\Um(γ, p_1) & = \Um(\widetilde{γ}_{ε}, p_2) \\
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& = \frac{1}{2π i} \int_{\widetilde{γ}} \frac{1}{z-p_2} \, dz \\
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& = \frac{1}{2π i} \left( \int_{γ} \frac{1}{z-p_2} \, dz + \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz \right) \\
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||
& = \Um(γ, p_2) + \frac{1}{2π i} · \int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz
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\intertext{und für $r$ ausreichend klein ist nach der Cauchy-Integralformel}
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\int_{β} \frac{1}{z-p_2} \, dz & = \int_{B_r(p_2)} \frac{1}{z-p_2} \, dz = ± 2π i.
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\end{align*}
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Damit ist die Goldene Regel 3 zumindest halbwegs gerechtfertigt.
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\end{proof}
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\subsection{Beweis des Satzes~\ref*{satz:12-2-1} über die Umlaufzahl}
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Wir bewiesen Satz~\ref{satz:12-2-1} in mehreren Schritten.
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\begin{bemerkung}
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Nach Anwendung einer geeigneten Verschiebung können wir ohne Beschränkung der
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Allgemeinheit annehmen, dass $p$ der Nullpunkt ist, $p = 0$.
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\end{bemerkung}
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\begin{behauptung}[Existenz eines Logarithmus-Wegs]\label{beh:12-2-3}%
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Sei $a ∈ ℂ$ ein Logarithmus von $γ(0)$ (das bedeutet: $\exp(a) = γ(0)$). Dann
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gibt es einen stetigen Weg $\widetilde{γ}: [0,1] → ℂ$ mit $\widetilde{γ}(0) =
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a$, sodass für jedes $t \in [0,1]$ die Gleichung
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\[
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γ(t) = exp \bigl( \widetilde{γ}(t) \bigr)
|
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\]
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gilt.
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\end{behauptung}
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\begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-3}]
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Einige Fälle sind einfach.
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\begin{itemize}
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\item Falls $\Bild(γ)$ ganz in der geschlitzten Ebene $S \subseteq \bC$ liegt,
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nehmen wir
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\[
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\widetilde{γ}(t) = \log (γ(t)) + 2π i k.
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\]
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Dabei ist $\log$ der Hauptzweig des Logarithmus und $k ∈ ℤ$ ist so gewählt,
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dass $\widetilde{γ}(0) = a$ ist.
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\item Falls $\Bild(γ)$ ganz in $-S \subseteq \bC$ liegt, können wir analog
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vorgehen.
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\end{itemize}
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Im Allgemeinen wird das Bild von $\gamma$ weder in $S$ noch in $-S$ liegen.
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Dann zerlegen wir das Intervall $[0,1]$ durch Zwischenpunkte, $0 = t_0 < t_1 <
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… < t_r = 1$ so, dass $γ([t_{i-1}, t_i])$ jeweils in einem $S$ oder in $-S$
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enthalten ist. Wähle dann induktiv Logarithmus-Wege
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\[
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||
\widetilde{γ}_i: [t_{i-1}, t_i] → ℂ
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||
\quad\text{mit}\quad
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\widetilde{γ}_i(t_{i-1}) =
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\begin{cases}
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a & \text{falls } i = 1 \\
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\widetilde{γ}_{i-1}(t_{i-1}) & \text{sonst}
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\end{cases}
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\]
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und erhalte durch Zusammenfügen der Wege $\widetilde{γ}_i$ den gewünschten Weg
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$\widetilde{γ}$.
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\end{proof}
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\begin{behauptung}[Existenz von $n$]\label{beh:12-2-4}%
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Es gibt eine Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
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\[
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||
\delta_n : [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ \exp(2πin·t)
|
||
\]
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ist.
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\end{behauptung}
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\begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-4}]
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Es ist
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\[
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\exp(\widetilde{γ}(0)) = γ(0) = γ(1) = \exp(\widetilde{γ}(1)).
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\]
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Also ist $\widetilde{γ}(1) - \widetilde{γ}(0) ∈ \ker(\exp) = 2π i ℤ$. Demnach
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gibt es eine Zahl $n ∈ ℤ$ mit
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\[
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||
\widetilde{γ}(1) = \widetilde{γ}(0) + 2π i·n.
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||
\]
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Wir erinnern uns daran, dass der Topologische Raum $\bC$ einfach
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zusammenhängend ist. Daher ist der $\widetilde{γ}$ in $ℂ$ homotop zu jedem
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anderen Weg mit denselben Anfangs- und Endpunkt. Insbesondere ist
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$\widetilde{γ}$ homotop zu
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\[
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β: [0,1] → ℂ, \quad t ↦ \widetilde{γ}(0) + 2πin·t.
|
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\]
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||
Also ist der Weg $γ = \exp \circ \widetilde{γ}$ in $\bC^*$ homotop zu
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\[
|
||
\exp \circ β: [0,1] → ℂ, \quad t ↦ γ(0)·\exp(2πin·t).
|
||
\]
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Dieser Weg wiederum ist in $ℂ^*$ frei homotop zu $\delta_n$. Damit ist die
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Existenz von $n$ gezeigt.
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\end{proof}
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\begin{behauptung}[Eindeutigkeit von $n$]\label{beh:12-2-5}%
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Es gibt genau Zahl $n ∈ ℤ$, sodass der Weg $γ$ frei homotop zum Weg
|
||
\[
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||
\delta_n : [0,1] → ℂ ∖ \{p\}, \quad t ↦ \exp(2πin·t)
|
||
\]
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ist, nämlich
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\[
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||
n = \frac{1}{2π i} \int_{γ} \frac{1}{z} \, dz.
|
||
\]
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\end{behauptung}
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\begin{proof}[Beweis von Behauptung~\ref{beh:12-2-5}]
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Sei $n$ eine Zahl mit der Eigenschaft, dass $γ$ frei homotop zu $\delta_n$
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ist. Dann ist
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\begin{align*}
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n & = \frac{1}{2π i} \int_{\delta_n} \frac{1}{z} \, dz && \text{Beispiel~\ref{bsp:3-2-2}} \\
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& = \frac{1}{2π i} \int_{β} \frac{1}{z} \, dz. && \text{Satz~\ref{satz:4-3-6}.}
|
||
\end{align*}
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Damit ist die Zahl $n$ eindeutig bestimmt.
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\end{proof}
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\section{Das Residuum}
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\begin{definition}[Residuensatz]\label{def:12-3-1}%
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Es sei $f \in \sO(U \setminus p)$ und es sei $R > 0$, sodass
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$\overline{K_{0,R}(p)} \subset U$ ist. Der Koeffizient von $(z-p)^{-1}$ in
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der Laurententwicklung von $f$ auf $K_{0,R}(p)$ wird
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\emph{Residuum}\index{Residuum} von $f$ in $p$ genannt. Die Bezeichnung
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$\Res_p(f)$ ist üblich.
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\end{definition}
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\begin{bsp}[Hebbare Singularität]
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Wenn $f$ in $p$ eine hebbare Singularität hat, dann ist $\Res_p(f) = 0$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Polstelle]
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Es sei $U = \bC$, $p = 0$ und $f(z) = \frac{1}{z}$. Dann ist $\Res_p(f) = 1$.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Polstelle]
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Es sei $U = \bC^*$, $p \ne 0$ und $f(z) = \frac{1}{z}$. Dann ist $\Res_p(f) =
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0$.
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\end{bsp}
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\begin{erinnerung}
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In der Situation von Definition~\ref{def:12-3-1} ist
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\[
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||
\Res_p(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial K_R(p)} f(z) \, dz.
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||
\]
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\end{erinnerung}
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\section{Der Residuensatz}
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\begin{satz}[Residuensatz]\label{satz:12-3-2}%
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Es sei $U \subset \bC$ offen, es sei $P \subset U$ eine endliche Teilmenge,
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und $f \in \sO(U \setminus P)$. Sei weiter $\gamma: [a,b] \to U \setminus P$
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ein geschlossener und stetiger Weg, der in $U$ zusammenziehbar ist. Dann gilt:
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||
\[
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||
\int_\gamma f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \sum_{p \in P} \Um(\gamma, p) \cdot \Res_p(f).
|
||
\]
|
||
\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis]
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Betrachte zunächst einen Punkt $p \in P$. Entwickle $f$ in eine Laurentreihe
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in $p$:
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\[
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||
f(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k \cdot (z-p)^k
|
||
\]
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||
und definiere
|
||
\[
|
||
h_p(z) := \sum_{k=-\infty}^{-2} c_k \cdot (z-p)^k.
|
||
\]
|
||
Die Funktion $h_p$ hat folgende Eigenschaften.
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||
\begin{enumerate}
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||
\item Nach Fakt~\ref{fakt:10-3-1} definiert die Reihe $h_p$ eine auf ganz
|
||
$\bC \setminus \{p\}$ holomorphe Funktion.
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||
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||
\item Die Reihe
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||
\[
|
||
\sum_{k=-\infty}^{-2} c_k \cdot \frac{(z-p)^{k+1}}{k+1}
|
||
\]
|
||
definiert eine auf ganz $\bC \setminus \{p\}$ holomorphe Stammfunktion von
|
||
$h_p$.
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||
|
||
\item Die auf $U \setminus P$ definierte Funktion
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\[
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||
f(z) - h_p(z) - \Res_p(f) \cdot (z-p)^{-1} = \sum_{k=0}^\infty c_k \cdot (z-p)^k
|
||
\]
|
||
hat in $p$ eine hebbare Singularität!
|
||
\end{enumerate}
|
||
Das machen wir jetzt für alle $p \in P$ und erhalten: Die Funktion
|
||
\[
|
||
g(z) := f(z) - \sum_{p \in P} h_p(z) - \sum_{p \in P} \Res_p(f) \cdot (z-p)^{-1}
|
||
\]
|
||
hat in allen Punkte $p \in P$ hebbare Singularitäten. Da die Kurve $\gamma$ in $U$ zusammenziehbar ist, folgt aus dem
|
||
Cauchy-Integralsatz
|
||
\[
|
||
\int_\gamma g(z) \, dz = 0.
|
||
\]
|
||
Also ist
|
||
\[
|
||
\int_\gamma f(z) \, dz = \sum_{p \in P} \underbrace{\int_\gamma h_p(z) \, dz}_{=0\text{, weil Stammfkt.~existiert}}
|
||
+ \sum_{p \in P} \underbrace{\int_\gamma \frac{\Res_p(f)}{z-p} \, dz}_{= 2\pi i \cdot \Um(\gamma, p) \cdot \Res_p(f)}.
|
||
\]
|
||
Damit ist der Satz bewiesen.
|
||
\end{proof}
|
||
% !TEX root = Funktionentheorie
|